Construction algorithms for plane nets in base $b$
在基$b$中的$(0,m,s)$ -网类已经由Niederreiter作为具有优良均匀分布性质的$s$维单位立方体中的点集的例子而引入。特别是这种蚊帐已被证明具有非常低的差异。这个性质对于在数值积分的拟蒙特卡罗方法规则中使用网是必不可少的。本文提出了在基~ $b$中构造平面$(0,m,2)$ -网的两个算法。
2015-06-10 math.NT
Dispersion of digital $(0,m,2)$-nets
我们研究了数字$(0,m,2)$ -网的分散性，即在这样的点集中最大的轴平行盒的大小。数字网是一类重要的低差异点集。我们证明了严格的下界和上界的某些子类的数字网络的生成矩阵是三角形的形式和计算的特殊网络，如Hammersley点集的分散准确。
2020-04-30 math.CO math.MG math.NT
Lower bounds on the $L_p$ discrepancy of digital NUT sequences
本文研究了数字NUT序列的$L_p$不一致性，NUT序列是数字$(0,1)$ -序列的一个重要子类。主要结果是数字NUT序列的某些子类的下界。
2019-04-02 math.NT
Discrepancy bounds for infinite-dimensional order two digital sequences over $\mathbb{F}_2$
本文给出了无限维单位立方体中二阶有限域上的数字序列的显式构造，该单位立方体的第一个$N$点投影到第一个$s$坐标上，对于所有的$N = 2^{m_1} + 2^{m_2} + \cdots + 2^{m_r} \ge 2$和$2 \le q < \infty$，其$\mathcal{L}_q$差异以$r^{3/2-1/q} \sqrt{m_1^{s-1} + m_2^{s-1} + \cdots + m_r^{s-1}} N^{-1}$为界.特别地，对于$N = 2^m$，对于所有$\mathcal{L}_q$差异都是$m^{(s-1)/2} 2^{-m}$阶。
2013-09-24 math.NT
A metrical lower bound on the star discrepancy of digital sequences
本文研究素数阶有限域上数字序列的一致分布性质。在1998年，它是由拉彻表明，几乎所有的$s$维数字序列的明星差异$D_N^\ast$满足一个上界的形式$D_N^\ast=O((\log N)^s (\log \log N)^{2+\varepsilon})$的任何$\varepsilon>0$。一般来说，获得特定序列的良好下界比上界要困难得多。在这里，我们表明，拉彻的结果是最好的可能达到一些$\log \log N$条款。更详细地说，我们证明了对于几乎所有的$s$维数字序列，对于无穷多个$N \in \NN$，星差满足$D_N^\ast \ge c(q,s) (\log N)^s \log \log N$，其中$c(q,s)>0$只依赖于$q$和$s$而不依赖于$N$ .
2013-02-18 math.NT
Metrical lower bounds on the discrepancy of digital Kronecker-sequences
数字Kronecker序列是经典Kronecker序列的一种非阿基米德模拟，它的构造是基于有限域上的洛朗级数。本文证明了对于几乎所有的数字Kronecker序列，对于无穷多个$N \in \NN$，其星差满足$D_N^\ast \ge c(q,s) (\log N)^s \log \log N$，其中$c(q,s)>0$只依赖于有限域的维数$s$和阶$q$，而不依赖于$N$ .这一结果表明，相应的度量上限，由于Larcher是一些$\log \log N$项最好的可能。
2013-02-21 math.NT
Discrepancy of second order digital sequences in function spaces with dominating mixed smoothness
差异函数测量$[0,1]^d$中的点集的经验分布与均匀分布的偏差。本文研究了经典的偏差函数关于BMO和指数Orlicz范数，以及Sobolev，Besov和Triebel-Lizorkin范数的控制混合光滑性.我们给出了无穷序列在这种范数下的差异函数的精确界。
2016-08-24 math.NT
Explicit constructions of Vandermonde sequences using global function fields
作者最近引入了所谓的Vandermonde网。这些数字网与著名的多项式格共享属性。例如，两者都可以通过逐个组件的搜索算法来构建。范德蒙网的一个显著特征是，对于固定的$m$，在有限域$F_q$上的生成矩阵的$m \times m$的显式构造对于维度$s \le q+1$是已知的。本文在两个方向上扩展了这一明确的建设。通过引入$F_q$上数字序列的$\infty \times \infty$生成矩阵的构造算法，给出了$m$的一个极大扩展，该算法在$F_q$上的有理函数域上工作.进一步地，我们将该方法推广到正亏格的整体函数域，从而得到了在$s$维上的推广。
2013-11-22 math.NT
Golden Ratio Nets and Sequences
该研究提出并研究了黄金比例基下的网与序列，构建了等分布性质研究框架，定义了对应序列与点集并证明相关性质，数值实验显示其分布优于传统整数基构造，还给出了无理基推广思路。
2023-12-18 math.NT
Characterization of matrices $B$ such that $(I,B,B^2)$ generates a digital net with $t$-value zero
研究了由矩阵$(I,B,B^2)$生成的$\mathbb{F}_2$上的$3$维数字网，其中$I$是单位矩阵，$B$是方阵.给出了数字网的$t$ -值为$0$的$B$的一个特征.作为推论，我们证明了这样的$B$满足$B^3=I$。
2018-01-07 math.NT
Equivalence classes of codimension one cut-and-project nets
我们证明，在任何完全不合理的切割和投影设置与余维（内部空间维度）1，它是可能的选择部分（窗口）在非平凡的方式，使所得到的集有界位移格。我们的证明表明，对于任何无理$α$，无论丢番图类型，有一个收集的区间在$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$这是封闭下的翻译，包含区间的任意小的长度，并沿其序列$\{nα\}$的差异是有界的以上一致的常数。
2014-01-26 math.DS math.NT
Low Discrepancy Digital Kronecker-Van der Corput Sequences
本文利用函数域上的 Diophantine 逼近及 $t$-$LC$ 反例，构造并证明了由数字 Kronecker 与 Van der Corput 序列组成的二维混合序列可具有低偏差。
2024-09-09 math.NT
Discrepancy of Digital Sequences: New Results on a Classical QMC Topic
本文研究了数字序列的偏差问题，回顾了最近关于各种偏差类型的最新结果，包括星偏差、加权星偏差、L_p偏差、有界平均振荡偏差、指数Orlicz范数偏差以及具有主导混合光滑度的Sobolev、Besov和Triebel-Lizorkin范数偏差。
2019-04-23 cs.NA math.NA math.NT
Estimates of the Discrepancy Function in Exponential Orlicz Spaces
本文证明了在n ≥ 3的所有维数上，对于任意整数N，存在基数点分布$ N$，其相关的偏差函数D_N满足指数Orlicz类exp）L^{2/（n+1）}中N的急剧增长率的估计.这一点最近已被M.~证明。Skriganov，使用二进制数字网的随机数字移位，建立在W.L.~ Chen和M.~斯克里加诺夫我们独立开发的方法是对Skriganov方法的补充。
2013-06-07 math.CA math.NT
Metrical star discrepancy bounds for lacunary subsequences of digital Kronecker-sequences and polynomial tractability
星差$D_N^*(\mathcal{P})$是对多维单位立方体中有限点集$\mathcal{P}$分布不规则性的定量度量，它与拟蒙特卡罗算法的积分误差密切相关。已知对于每一个整数$N \ge 2$，在具有$|\mathcal{P}|=N$和$D_N^*(\mathcal{P}) =O((\log N)^{d-1}/N)$的$[0,1)^d$中存在点集$\mathcal{P}$。然而，对于与维度$d$相比更小的$N$，该渐近优良的界限是无用的（例如，对于$N \le {\rm e}^{d-1}$）。在2001年Heinrich，Novak，Wasilkowski和Woonniakowski证明了对于每一个整数$N \ge 2$，在$[0,1)^d$中存在点集$\mathcal{P}$，并且有$|\mathcal{P}|=N$和$D_N^*(\mathcal{P}) \le C \sqrt{d/N}$。虽然在$N$的渐近意义上不是最优的，但这个上界对$d$维度有更好的（甚至是最优的）依赖性。不幸的是，海因里希等人的结果以及其他作者后来的变体都是纯粹的存在性结果，直到现在还没有明确的具有上述性质的点集的构造。最近，Löbbe研究了Kronecker的$(n \boldsymbolα)$序列的缺项约束，并显示了$C \sqrt{d (\log d)/N}$形式的度量差异界限，其中隐含的绝对…
2018-03-21 math.NT
Optimal periodic $L_2$-discrepancy and diaphony bounds for higher order digital sequences
给出了$d$维单位立方体中的无穷序列$(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \ldots)$的显式构造，该单位立方体的周期$L_2$ -差异满足$$L_{2,N}^{\rm per}(\{\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_1,\ldots, \boldsymbol{x}_{N-1}\}) \le C_d N^{-1} (\log N)^{d/2} \quad \mbox{for all } N \ge 2,$$，其中因子$C_d > 0$只依赖于维数$d$ .该构造基于如J. Dick在2008年引入的高阶数字序列。根据P.D.普罗伊诺夫由于周期性的$L_2$ -不一致性与P. Zinterhof的不一致性是等价的，因此该结果也适用于分布的不规则性的这种替代的定量测量。
2022-12-12 cs.NA math.NA math.NT
The star discrepancy of a union of randomly digitally shifted Korobov polynomial lattice point sets depends polynomially on the dimension
The University of New South Wales（新南威尔士大学）；Johannes Kepler University Linz（林茨约翰内斯·开普勒大学）
本文通过分析Korobov多项式格点集的并集，证明了其星差系数与维度呈线性关系，为寻找显式构造的点集提供了新的方向。
2026-03-05 cs.NA math.NA math.NT
Optimal $L_p$-discrepancy bounds for second order digital sequences
本文研究了二维数字序列的L_p不均衡性界，证明了此类序列在所有p>1的情况下均达到最优顺序。
2016-04-15 cs.NA math.FA math.NA
Digital net properties of a polynomial analogue of Frolov's construction
本文研究了一种多项式类Frolov求积公式，该公式在有限域上的Laurent级数域中定义，证明了其作为(t,m,d)-网的性质，并展示了其在高维情况下的应用价值。
2018-02-14 cs.NA math.NA math.NT
Optimal $\mathcal{L}_2$ discrepancy bounds for higher order digital sequences over the finite field $\mathbb{F}_2$
本文证明了在 $[0,1)^s$ 上基于 $\mathbb{F}_2$ 构造的无限序列的 $\mathcal{L}_2$ 差异满足最优上界，并显式构造了有限点集使其 $\mathcal{L}_2$ 差异达到类似最优界。
2013-06-03 cs.NA math.NA math.NT
