Lower bounds on the $L_p$ discrepancy of digital NUT sequences
Ralph Kritzinger, Friedrich Pillichshammer
本文研究了数字NUT序列的$L_p$不一致性，NUT序列是数字$(0,1)$ -序列的一个重要子类。主要结果是数字NUT序列的某些子类的下界。
We study the $L_p$ discrepancy of digital NUT sequences which are an important sub-class of digital $(0,1)$-sequences in the sense of Niederreiter. The main result is a lower bound for certain sub-classes of digital NUT sequences.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Finding exact formulas for the $L_2$ discrepancy of digital $(0,n,2)$-nets via Haar functions
利用Haar函数系统研究了一类数字$(0,n,2)$ -网的$L_2$不一致性.我们的方法产生这个量的精确公式，它测量单位区间内一组点分布的不规则性。我们将得到这样的公式不仅为经典的数字网络，而且为移位和对称化的版本。我们证明的基本思想是精确计算偏差函数的所有Haar系数，并将它们插入Parseval恒等式中。我们还将讨论为什么某些（对称化）数字网不能达到$L_2$差异的最优阶的原因，并使用Littlewood-Paley不等式，以获得所有$p\in (1,\infty)$的$L_p$差异的结果。
Digital nets in dimension two with the optimal order of $L_p$ discrepancy
研究了二维数字网的有限$p$的$L_p$差异性。在2001年，Larcher和Pillichshammer确定了一类数字网，其Davenport意义下的对称化版本具有$\sqrt{\log N}/N$阶的$L_2$差异，由于Roth的著名结果，这是最可能的。然而，这种差异界限是否也适用于未经任何修改的原始数字网络，仍然是一个问题。在本文中，我们从上述类别中识别出不需要对称化的网络，以便为所有$p \in [1,\infty)$实现$L_p$差异的最佳顺序。我们的发现是在精神上的Bilyk从2013年，谁考虑了$L_2$差异的晶格组成的元素$(k/N,\{k α\})$为$k=0,1,\ldots,N-1$，并给出了丢番图性质的$α$保证最佳顺序的$L_2$差异。
Discrepancy bounds for infinite-dimensional order two digital sequences over $\mathbb{F}_2$
本文给出了无限维单位立方体中二阶有限域上的数字序列的显式构造，该单位立方体的第一个$N$点投影到第一个$s$坐标上，对于所有的$N = 2^{m_1} + 2^{m_2} + \cdots + 2^{m_r} \ge 2$和$2 \le q < \infty$，其$\mathcal{L}_q$差异以$r^{3/2-1/q} \sqrt{m_1^{s-1} + m_2^{s-1} + \cdots + m_r^{s-1}} N^{-1}$为界.特别地，对于$N = 2^m$，对于所有$\mathcal{L}_q$差异都是$m^{(s-1)/2} 2^{-m}$阶。
A metrical lower bound on the star discrepancy of digital sequences
本文研究素数阶有限域上数字序列的一致分布性质。在1998年，它是由拉彻表明，几乎所有的$s$维数字序列的明星差异$D_N^\ast$满足一个上界的形式$D_N^\ast=O((\log N)^s (\log \log N)^{2+\varepsilon})$的任何$\varepsilon>0$。一般来说，获得特定序列的良好下界比上界要困难得多。在这里，我们表明，拉彻的结果是最好的可能达到一些$\log \log N$条款。更详细地说，我们证明了对于几乎所有的$s$维数字序列，对于无穷多个$N \in \NN$，星差满足$D_N^\ast \ge c(q,s) (\log N)^s \log \log N$，其中$c(q,s)>0$只依赖于$q$和$s$而不依赖于$N$ .
Metrical lower bounds on the discrepancy of digital Kronecker-sequences
数字Kronecker序列是经典Kronecker序列的一种非阿基米德模拟，它的构造是基于有限域上的洛朗级数。本文证明了对于几乎所有的数字Kronecker序列，对于无穷多个$N \in \NN$，其星差满足$D_N^\ast \ge c(q,s) (\log N)^s \log \log N$，其中$c(q,s)>0$只依赖于有限域的维数$s$和阶$q$，而不依赖于$N$ .这一结果表明，相应的度量上限，由于Larcher是一些$\log \log N$项最好的可能。
Discrepancy of second order digital sequences in function spaces with dominating mixed smoothness
差异函数测量$[0,1]^d$中的点集的经验分布与均匀分布的偏差。本文研究了经典的偏差函数关于BMO和指数Orlicz范数，以及Sobolev，Besov和Triebel-Lizorkin范数的控制混合光滑性.我们给出了无穷序列在这种范数下的差异函数的精确界。
On the quasi-uniformity properties of quasi-Monte Carlo point sets and sequences -- Part II: digital nets and sequences
本文研究了低偏差数字网的准均匀性质，提出well-separated点集的概念，并构造了低偏差且准均匀的二维数字网实例，同时提供了非准均匀的反例。
On the existence of hyperplane sequences, with quality parameter and discrepancy bounds
众所周知，有限域上的数字$(t,m,s)$ -网和$(\Tfett,s)$ -序列作为拟蒙特卡罗方法积分规则的底层节点时具有优良的性质。数字网的一个非常普遍的子类是超平面网，它可以被看作是循环网和多项式格点集的推广。本文引入了超平面网的无限形式，并称这些序列为超平面序列。我们的建设是基于最近的对偶理论的数字序列，根据迪克和Niederreiter。然后我们用质量函数$\Tfett$和星差分析了超平面序列的等分布性质。
Discrepancy of Digital Sequences: New Results on a Classical QMC Topic
本文研究了数字序列的偏差问题，回顾了最近关于各种偏差类型的最新结果，包括星偏差、加权星偏差、L_p偏差、有界平均振荡偏差、指数Orlicz范数偏差以及具有主导混合光滑度的Sobolev、Besov和Triebel-Lizorkin范数偏差。
Low Discrepancy Digital Kronecker-Van der Corput Sequences
本文利用函数域上的 Diophantine 逼近及 $t$-$LC$ 反例，构造并证明了由数字 Kronecker 与 Van der Corput 序列组成的二维混合序列可具有低偏差。
Metrical star discrepancy bounds for lacunary subsequences of digital Kronecker-sequences and polynomial tractability
星差$D_N^*(\mathcal{P})$是对多维单位立方体中有限点集$\mathcal{P}$分布不规则性的定量度量，它与拟蒙特卡罗算法的积分误差密切相关。已知对于每一个整数$N \ge 2$，在具有$|\mathcal{P}|=N$和$D_N^*(\mathcal{P}) =O((\log N)^{d-1}/N)$的$[0,1)^d$中存在点集$\mathcal{P}$。然而，对于与维度$d$相比更小的$N$，该渐近优良的界限是无用的（例如，对于$N \le {\rm e}^{d-1}$）。在2001年Heinrich，Novak，Wasilkowski和Woonniakowski证明了对于每一个整数$N \ge 2$，在$[0,1)^d$中存在点集$\mathcal{P}$，并且有$|\mathcal{P}|=N$和$D_N^*(\mathcal{P}) \le C \sqrt{d/N}$。虽然在$N$的渐近意义上不是最优的，但这个上界对$d$维度有更好的（甚至是最优的）依赖性。不幸的是，海因里希等人的结果以及其他作者后来的变体都是纯粹的存在性结果，直到现在还没有明确的具有上述性质的点集的构造。最近，Löbbe研究了Kronecker的$(n \boldsymbolα)$序列的缺项约束，并显示了$C \sqrt{d (\log d)/N}$形式的度量差异界限，其中隐含的绝对…
Optimal periodic $L_2$-discrepancy and diaphony bounds for higher order digital sequences
给出了$d$维单位立方体中的无穷序列$(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \ldots)$的显式构造，该单位立方体的周期$L_2$ -差异满足$$L_{2,N}^{\rm per}(\{\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_1,\ldots, \boldsymbol{x}_{N-1}\}) \le C_d N^{-1} (\log N)^{d/2} \quad \mbox{for all } N \ge 2,$$，其中因子$C_d > 0$只依赖于维数$d$ .该构造基于如J. Dick在2008年引入的高阶数字序列。根据P.D.普罗伊诺夫由于周期性的$L_2$ -不一致性与P. Zinterhof的不一致性是等价的，因此该结果也适用于分布的不规则性的这种替代的定量测量。
Optimal $L_p$-discrepancy bounds for second order digital sequences
本文研究了二维数字序列的L_p不均衡性界，证明了此类序列在所有p>1的情况下均达到最优顺序。
An extension of the digital method based on $b$-adic integers
我们引入了一个混合的数字序列与均匀分布的序列在域中的$b$ -进整数，$\mathbb Z_{b}, b\in\mathbb N\setminus\{1\}$，通过使用这样的序列作为输入生成矩阵。生成矩阵自然需要具有有限的行长度。我们展示了一些关系的“经典”的数字方法，我们的扩展版本，并给出了几个新的建设与各自的质量评估方面的$t,\mathbf T$和差异的例子。
Sharp general and metric bounds for the star discrepancy of perturbed Halton--Kronecker sequences
我们考虑二维序列的星差，该序列由Kronecker序列和基为2的扰动Halton序列的混合序列构成，其中扰动是通过Niederreiter意义下的数字序列构造实现的，其生成矩阵包含一个给定周期长度的周期扰动序列.在假设Kronecker序列包含系数有界的连分数参数的条件下，得到了参数的尖锐偏差估计。此外，我们还从度量的角度研究了这个问题。最后，我们还提出了尖锐的一般和严格的度量界限，某些缺额三角产品似乎是强烈相关的这些问题。
Kronecker-Halton sequences in $\mathbb{F}_p((X^{-1}))$
本文研究了多项式环上的Halton序列与数字Kronecker序列的混合序列的分布性质。我们给出了均匀分布的充分判据，并证明了这类混合序列的差异性结果。
On the quasi-uniformity properties of quasi-Monte Carlo point sets and sequences -- Part I: Lattices and Kronecker sequences
本文研究了由格点和克罗内克序列构造的准蒙特卡洛点集的准均匀性性质，探讨了其在低偏差和准均匀分布应用中的潜力。
Optimal $\mathcal{L}_2$ discrepancy bounds for higher order digital sequences over the finite field $\mathbb{F}_2$
本文证明了在 $[0,1)^s$ 上基于 $\mathbb{F}_2$ 构造的无限序列的 $\mathcal{L}_2$ 差异满足最优上界，并显式构造了有限点集使其 $\mathcal{L}_2$ 差异达到类似最优界。
Central Limit Theorem for $(t,s)$-sequences, I
令$ (X_n)_{n \geq 0} $是基$2$中的数字$(t,s)$ -序列，$\mathcal{P}_m =(X_n)_{n=0}^{2^m-1} $，并且令$D(\mathcal{P}_m, Y )$是$\mathcal{P}_m$的局部差异。设$T \oplus Y$是$T$和$Y$的数字加法，令$$\mathcal{M}_{s,p} (\mathcal{P}_m) =\Big( \int_{[0,1)^{2s}} |D(\mathcal{P}_m \oplus T , Y ) |^p \mathrm{d}T \mathrm{d}Y \Big)^{1/p} .$$本文证明了对于$m \rightarrow \infty$，$D(\mathcal{P}_m \oplus T , Y ) / \mathcal{M}_{s,2} (\mathcal{P}_m)$弱收敛于标准高斯分布，其中$T,Y$是$[0,1)^s$中的均匀分布随机变量.此外，我们还证明了\begin{equation} \nonumber \mathcal{M}_{s,p} (\mathcal{P}_m) / \mathcal{M}_{s,2} (\mathcal{P}_m) \to \frac{1}{\sqrt{2π}}\int_{-\infty}^{\infty} |u|^p e^{-u^2/2} \m…
Digital net properties of a polynomial analogue of Frolov's construction
本文研究了一种多项式类Frolov求积公式，该公式在有限域上的Laurent级数域中定义，证明了其作为(t,m,d)-网的性质，并展示了其在高维情况下的应用价值。
Generalized Hofstadter functions $G, H$ and beyond: numeration systems and discrepancy
本文研究由嵌套递归次数 $k$ 定义的广义 Hofstadter 函数 $F_k$，借助类 Fibonacci 序列与 Zeckendorf 型数字展开分析其偏差，证明偏差有限当且仅当 $k\le4$，并据此解决两个 OEIS 猜想且完成 Coq/Rocq 形式化验证。
The hybrid spectral test
本文的出发点是序列的构造原理与作为构造基础的紧阿贝尔群的性质之间的相互作用。在$s$维单位立方体$[0,1)^s$中基$\mathbf b=(b_1, \ldots, b_s)$中的Halton序列的情况下，这是一种重要类型的数字序列，这种对偶原理导致所谓的$\mathbf b$ -adic函数系统，并为我们结合混合序列提出的$\mathbf b$ -adic方法提供了基础。该方法利用$\mathbf b$ -adic整数紧群的结构性质以及$\mathbf b$ -adic算术推导出分析$[0,1)^s$中序列均匀分布的工具。我们首先阐明了分析数字序列需要哪些函数系统。然后，我们提出的混合谱测试的三角，沃尔什，和$\mathbf b$ -进函数。各种概念的diaphony，以及许多数字的品质为秩-1正交规则在拟蒙特卡罗方法积分和某些线性类型的伪随机数发电机包括在这种措施的均匀分布。此外，差异可以通过合适的谱测试版本任意接近地近似。
An improved Halton sequence for implementation in quasi-Monte Carlo methods
针对经典Halton序列在高维下投影分布差的问题，提出基于整数和无理数van der Corput序列的改进Halton序列，并首次引入无理数数字序列的置乱算法，提升QMC方法在数值积分和模拟中的估计精度。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。