A metrical lower bound on the star discrepancy of digital sequences
本文研究素数阶有限域上数字序列的一致分布性质。在1998年，它是由拉彻表明，几乎所有的$s$维数字序列的明星差异$D_N^\ast$满足一个上界的形式$D_N^\ast=O((\log N)^s (\log \log N)^{2+\varepsilon})$的任何$\varepsilon>0$。一般来说，获得特定序列的良好下界比上界要困难得多。在这里，我们表明，拉彻的结果是最好的可能达到一些$\log \log N$条款。更详细地说，我们证明了对于几乎所有的$s$维数字序列，对于无穷多个$N \in \NN$，星差满足$D_N^\ast \ge c(q,s) (\log N)^s \log \log N$，其中$c(q,s)>0$只依赖于$q$和$s$而不依赖于$N$ .
2013-02-18 math.NT
Metrical lower bounds on the discrepancy of digital Kronecker-sequences
数字Kronecker序列是经典Kronecker序列的一种非阿基米德模拟，它的构造是基于有限域上的洛朗级数。本文证明了对于几乎所有的数字Kronecker序列，对于无穷多个$N \in \NN$，其星差满足$D_N^\ast \ge c(q,s) (\log N)^s \log \log N$，其中$c(q,s)>0$只依赖于有限域的维数$s$和阶$q$，而不依赖于$N$ .这一结果表明，相应的度量上限，由于Larcher是一些$\log \log N$项最好的可能。
2013-02-21 math.NT
Discrepancy of second order digital sequences in function spaces with dominating mixed smoothness
差异函数测量$[0,1]^d$中的点集的经验分布与均匀分布的偏差。本文研究了经典的偏差函数关于BMO和指数Orlicz范数，以及Sobolev，Besov和Triebel-Lizorkin范数的控制混合光滑性.我们给出了无穷序列在这种范数下的差异函数的精确界。
2016-08-24 math.NT
Low-discrepancy sequences for piecewise smooth functions on the two-dimensional torus
Università di Bergamo（贝加莫大学）；Università di Milano Bicocca（米兰比可卡大学）
本文提出用于近似凸域上光滑周期函数积分的显式低偏差无限序列，方法结合了同时丢番图逼近与广义Erdos-Turan不等式。
2015-03-23 cs.NA math.NA math.NT
L_p- and S_{p,q}^rB-discrepancy of the symmetrized van der Corput sequence and modified Hammersley point sets in arbitrary bases
本文研究了对称van der Corput序列和修改Hammersley点集在任意基底中的局部偏差，给出了Besov空间中的偏差范数上界，从而得到L_p-偏差界，并证明了序列在L_p-和S_{p,q}^rB-偏差上达到最优阶。
2015-10-28 cs.NA math.NA math.NT
On the quasi-uniformity properties of quasi-Monte Carlo point sets and sequences -- Part II: digital nets and sequences
School of Mathematics and Statistics, UNSW Sydney（新南威尔士大学数学与统计学院）；Graduate School of Engineering, The University of Tokyo（东京大学大学院工学系研究科）；Faculty of Science, Yamagata University（山形大学理学部）
本文研究了低偏差数字网的准均匀性质，提出well-separated点集的概念，并构造了低偏差且准均匀的二维数字网实例，同时提供了非准均匀的反例。
2026-02-13 math.NT
On the existence of hyperplane sequences, with quality parameter and discrepancy bounds
众所周知，有限域上的数字$(t,m,s)$ -网和$(\Tfett,s)$ -序列作为拟蒙特卡罗方法积分规则的底层节点时具有优良的性质。数字网的一个非常普遍的子类是超平面网，它可以被看作是循环网和多项式格点集的推广。本文引入了超平面网的无限形式，并称这些序列为超平面序列。我们的建设是基于最近的对偶理论的数字序列，根据迪克和Niederreiter。然后我们用质量函数$\Tfett$和星差分析了超平面序列的等分布性质。
2012-11-15 math.NT
On the lower bound of the discrepancy of (t; s) sequences: I
我们找到了移位Niedereiter序列不一致性的精确下界。
2015-07-01 math.NT
Discrepancy estimates for index-transformed uniformly distributed sequences
在本文中，我们显示的索引变换均匀分布序列的差异界。从一个一般的结果，我们推导出非常紧密的上下上界的差异指数变换范德Corput，Halton，和$(t,s)$ -序列索引的数字和功能。我们还分析了由其他函数索引的序列的差异，例如，$\lfloor n^α\rfloor$和$0 < α< 1$。
2014-07-31 math.NT
A sharp estimate of the discrepancy of a certain numerical sequence
考虑由素数构成的一类等分布的有理数序列。特别地，我们确定了所述序列的星差异的急剧收敛速度。我们的论点是基于众所周知的逆同馀伪随机数的差异估计与渐近公式涉及素数。
2021-07-27 math.NT
A lower bound on the star discrepancy of generalized Halton sequences in rational bases
本文将Levin关于广义Halton序列在正整数基上的星差的一个下界的结果推广到有理基上.
2018-10-30 math.NT
Discrepancy of generalized $LS$-sequences
$LS$ -序列是单位区间上点的参数序列族。它们是由Carbone引入的，Carbone还证明了在适当选择参数$L$和$S$的情况下，这样的序列是低差异的。本文的目的是给出$LS$ -序列的偏差界的显式常数。进一步推广了Carbone的构造，构造了一类新的单位区间上的点列，即广义$LS$ -列.
2015-03-25 math.NT
Discrepancy estimates for sequences: new results and open problems
在本文中，我们给出了一个概述最近的结果（上，下）的差异估计（具体）序列的单位立方体。特别是，我们也给出了某些类别的混合序列的差异估计的概述。这里，通过混合序列，我们理解为$(s+t)$维序列，其是特定类型的$s$维序列（例如Kronecker-、Niederreiter-、Halton-、.类型）和另一类型的$t$维序列。杂交序列（及其组成部分）的差异分析是一个相当流行和生动的研究分支。我们收集了一些具有挑战性的开放问题在这个主题上。
2014-07-09 math.NT
Low Discrepancy Digital Kronecker-Van der Corput Sequences
本文利用函数域上的 Diophantine 逼近及 $t$-$LC$ 反例，构造并证明了由数字 Kronecker 与 Van der Corput 序列组成的二维混合序列可具有低偏差。
2024-09-09 math.NT
Lebesgue constants for the Walsh system and the discrepancy of the van der Corput sequence
本文揭示沃尔什系统勒贝格常数与范德科特序列星偏差的数学一致性，指出两者在理论研究中虽曾独立发展，但本质相同。
2024-12-04 cs.NA math.NA math.NT
On the lower bound of the discrepancy of Halton's sequence
令$ (H_s(n))_{n \geq 1} $是$s-$维Halton序列。令$D_N$为序列$ (H_s(n))_{n = 1}^{N} $的差异。已知$ND_N =O(\ln^s N)$为$N \to \infty $。在本文中，我们证明了这个估计是精确的：$$ \overline{\lim}_{ N \to \infty} N \ln^{-s}(N) D_N >0. $$
2014-12-30 math.NT
Exact order of extreme $L_p$ discrepancy of infinite sequences in arbitrary dimension
研究了$d$维单位立方体中无穷序列的极端$L_p$差异性问题，该问题以单位立方体的任意子区间为测试集。这与经典的星型$L_p$差异相反，后者只使用锚定在原点的区间作为测试集。我们表明，对于任何尺寸$d$和任何$p>1$的极端$L_p$差异的每一个无限序列中的$[0,1)^d$是至少数量级$(\log N)^{d/2}$，其中$N$是考虑的序列的初始项的数量。对于$p \in (1,\infty)$，该数量级是最可能的。
2021-09-14 math.NT
On low-discrepancy sequences and Poissonian pair correlation
TU Graz（格拉茨工业大学）
本文构造了一个同时具有低差异性和泊松配对相关性的序列，解决了此前认为这两种性质不可调和的猜想。
2026-09-21 math.NT math.PR
Discrepancy bounds for $\boldsymbolβ$-adic Halton sequences
Van der Corput和Halton序列是著名的低差异序列。大约20年前，二宫定义了$β$ -计数的van der Corput序列的类似物，并证明了如果$β$是Pisot数，它们也形成低差异序列。只是最近罗伯特Tichy和他的合著者成功地证明$\boldsymbolβ$ -进Halton序列是等分布的某些参数$\boldsymbolβ=(β_1,\ldots,β_s)$使用的方法从遍历论。在本文中，我们继续这一研究，并给出了$\boldsymbolβ$ -adic Halton序列的偏差估计，其中$β_i$是$m$ -bonacci数.我们的方法是完全不同的，并使用动力学和几何性质的Rauzy分形，允许相关的$\boldsymbolβ$ -进Halton序列旋转高维环面。这些旋转的差异可以通过依赖于W的经典方法来估计。M.~ Schmidt子空间定理
2017-05-04 math.NT
A survey on M. B. Levin's proofs for the exact lower discrepancy bounds of special sequences and point sets
这篇综述文章的目的是对M。B.莱文这些工作为Halton序列和一类$(t, s)$ -序列的精确偏差下界提供了证明。我们的调查旨在突出证明的主要思想，我们讨论了所采用的方法的进一步影响。此外，我们还得到了Levin结果的推广。
2018-03-14 math.NT
Metrical star discrepancy bounds for lacunary subsequences of digital Kronecker-sequences and polynomial tractability
星差$D_N^*(\mathcal{P})$是对多维单位立方体中有限点集$\mathcal{P}$分布不规则性的定量度量，它与拟蒙特卡罗算法的积分误差密切相关。已知对于每一个整数$N \ge 2$，在具有$|\mathcal{P}|=N$和$D_N^*(\mathcal{P}) =O((\log N)^{d-1}/N)$的$[0,1)^d$中存在点集$\mathcal{P}$。然而，对于与维度$d$相比更小的$N$，该渐近优良的界限是无用的（例如，对于$N \le {\rm e}^{d-1}$）。在2001年Heinrich，Novak，Wasilkowski和Woonniakowski证明了对于每一个整数$N \ge 2$，在$[0,1)^d$中存在点集$\mathcal{P}$，并且有$|\mathcal{P}|=N$和$D_N^*(\mathcal{P}) \le C \sqrt{d/N}$。虽然在$N$的渐近意义上不是最优的，但这个上界对$d$维度有更好的（甚至是最优的）依赖性。不幸的是，海因里希等人的结果以及其他作者后来的变体都是纯粹的存在性结果，直到现在还没有明确的具有上述性质的点集的构造。最近，Löbbe研究了Kronecker的$(n \boldsymbolα)$序列的缺项约束，并显示了$C \sqrt{d (\log d)/N}$形式的度量差异界限，其中隐含的绝对…
2018-03-21 math.NT
On the star discrepancy of sequences in the unit interval
已知存在常数$c > 0$，使得对于$[0,1)$中的每个序列$x_1, x_2, \ldots$，对于序列的第一个$N$元素的星形差异$D_N^*$，$N D_N^* \ge c \cdot \log N$对于无限多个$N$成立。设$c^*$是所有具有此性质的$c$的上确界。我们显示$c^* > 0.0646363$，从而提高到现在已知的估计。
2014-07-08 math.NT
Discrepancy results for the Van der Corput sequence
设$d_N=ND_N(ω)$为Van der Corput序列在碱基$2$中的差异。我们改进了已知的指数$N$的数目的界，使得$d_N\leq \log N/100$。此外，我们证明了$d_N$的求和函数满足一个精确的公式，涉及一个$1$ -周期，连续函数。最后，我们证明了$d_N$在基$2$的数字反转下是不变的。
2017-10-04 math.NT
Explicit constructions of point sets and sequences with low discrepancy
在这篇文章中，我们综述了最近的结果，有限点集和无穷序列的显式结构的最佳顺序$\mathcal{L}_q$差异。在1954年罗斯证明了一个下界的$\mathcal{L}_2$差异的有限点集的单位立方体的任意维。后来，不同的作者将罗斯的结果扩展到$\mathcal{L}_q$差异和无穷序列的下界。虽然它是已知的已经从20世纪80年代初的罗斯的下界是最好的可能在数量级，这是一个长期悬而未决的问题，以找到明确的建设点集和序列的最佳顺序的$\mathcal{L}_2$差异。这个问题是解决了陈和Skriganov在2002年有限点集，最近由作者的这篇文章的无穷序列。这些构造也可以推广到给出$q \in (1,\infty)$的有限点集的$\mathcal{L}_q$差异的最优阶。这篇文章的主要目的是给这些结构和相关结果的概述。
2013-08-20 math.NT
An improved bound for the star discrepancy of sequences in the unit interval
已知存在常数$c>0$，使得对于$[0,1)$中的每个序列$x_1, x_2,\ldots$，对于序列的第一个$N$元素的星形差异$D^{*}_N$，$N D^{*}_N\geq c\cdot \log N$对于无限多个$N$成立。设$c^{*}$是所有具有此性质的$c$的上确界。我们展示了$c^{*}>0.065664679\ldots$，从而略微改进了迄今为止已知的估计。
2015-11-12 math.NT
Low discrepancy sequences failing Poissonian pair correlations
M. Levin定义了一个实数$x$，它满足$(2^n x)_{n\geq 1}$的小数部分的序列是这样的，第一个$N$项具有差异$O((\log N)^2/ N)$，这是已知的这种参数序列的最小差异。在这项工作中，我们表明，小数部分的序列$(2^n x)_{n\geq 1}$没有泊松对相关。此外，我们表明，所有的实数$x$的莱文数使用杨辉三角形矩阵的变体是这样的序列$(2^n x)_{n\geq 1}$的小数部分未能泊松对相关。
2019-03-05 cs.DM math.NT
The Pair Correlation Function of Multi-Dimensional Low-Discrepancy Sequences with Small Stochastic Error Terms
在任何维度$d \geq 2$中，没有已知的具有泊松对相关性的低差异序列的例子。这在某种意义上是相当令人惊讶的，因为低差异序列对于所有$0 < β< \tfrac{1}{d}$总是具有$β$ -泊松对相关性，并且因此任意地接近于具有泊松对相关性（其对应于$β= \tfrac{1}{d}$的情况）。在本文中，我们进一步阐述了这两个概念的紧密性。我们证明了具有任意小的均匀分布随机误差项的差可逼近向量$\vecα$的$d$ -维Kronecker序列一般具有$β= \tfrac{1}{d}$ -Poissonian对相关性.
2023-03-23 math.NT
Sharp general and metric bounds for the star discrepancy of perturbed Halton--Kronecker sequences
我们考虑二维序列的星差，该序列由Kronecker序列和基为2的扰动Halton序列的混合序列构成，其中扰动是通过Niederreiter意义下的数字序列构造实现的，其生成矩阵包含一个给定周期长度的周期扰动序列.在假设Kronecker序列包含系数有界的连分数参数的条件下，得到了参数的尖锐偏差估计。此外，我们还从度量的角度研究了这个问题。最后，我们还提出了尖锐的一般和严格的度量界限，某些缺额三角产品似乎是强烈相关的这些问题。
2017-05-05 math.NT
Some Connections Between Discrepancy, Finite Gap Properties, and Pair Correlations
$[0,1)$中的一般均匀分布序列$(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$具有泊松对相关（PPC）。反之亦然，已经证明具有PPC的序列是均匀分布的。Grepstad和Larcher给出了一个显式的上界的差异序列，它有PPC。作为第一个结果，我们在这里把他们的结果推广到$α$对与$0 < α< 1$相关的情形.由于最高可能水平的均匀性是通过低差异序列实现的，因此很容易假设存在也具有PPC的此类序列的示例。虽然没有这样的已知的例子，我们证明，每一个低差异序列至少有$α$对相关的$0 < α<1$。根据Larcher和Stockinger的说法，许多已知的低差异序列没有PPC的原因是它们的有限间隙属性。在这篇文章中，我们进一步表明，一个序列的差异与有限的间隙属性加上一个条件上的分布不同的间隙长度可以估计。作为该估计的一个具体应用，我们重新证明了van der Corput序列和Kronecker序列是低差异序列。因此，从有限间隙性质可以得出，这些序列对于$0 < α< 1$具有$α$对相关性.
2022-06-29 math.CO math.NT
Semi-algebraic discrepancy estimates for multi-frequency shift sequences with applications to quantum dynamics
本文研究多频平移序列的差异估计，建立渐近精确的半代数界，并将其用于推导长程拟周期 Schrödinger 算子量子动力学的新上界。
2025-07-26 math-ph math.MP math.NT
On the lower bound of the discrepancy of Halton's sequence II
令$ (H_s(n))_{n \geq 1} $为$s-$维广义Halton序列。令$\emph{D}^{*}_N$为序列$ (H_s(n) )_{n = 1}^{N} $的差异。已知$D^{*}_{N} =O(\ln^s N)$为$N \to \infty $。在本文中，我们证明了这个估计是准确的。即，存在一个常数$C(H_s)>0$，使得$$ \max_{1 \leq M \leq N} M \emph{D}^{*}_{M} \geq C(H_s) \log_2^s N \quad {\rm for} \; \; N=2,3,... \; . $$
2015-07-30 math.NT
Polynomial p-adic Low-Discrepancy Sequences
本文刻画了多项式在 $\mathbb{Z}_p$ 中生成低偏差序列的充要条件，并给出小素数情形的判定准则及非线性构造。
2024-06-13 math.NT
$L_p$-discrepancy of the symmetrized van der Corput sequence
众所周知，van der Corput序列的$p \in [1,\infty]$的$L_p$ -差异具有精确的数量级$O((\log N)/N)$。然而，根据Roth和Proinov，这对于$p \in (1,\infty)$来说不是关于下界的最佳可能。对于$p=2$的情况，众所周知，由于达文波特的对称化技巧导致对称化的van der Corput序列的最佳$L_2$ -差异率$O(\sqrt{\log N}/N)$。在本文中，我们证明了这个结果对所有$p \in (1,\infty)$都成立。证明是基于估计的Haar系数的相应的本地差异和使用的Littlewood-Paley不等式。
2015-01-12 math.NT
Variants of the Littlewood conjecture, their connection to uniformly distributed sequences, and the exact order of the discrepancy of van der Corput--Kronecker-type sequences
本文利用有限域上 $X$-进 Littlewood 猜想的反例构造 van der Corput–Kronecker 型序列，并确定其差异度精确阶，从而支持一致分布理论中的最优差异度上界猜想。
2025-08-29 math.NT
On the upper bound of the $L_2$-discrepancy of Halton's sequence
令$(H(n))_{n \geq 0} $是$2-$维Halton序列。令$D_{2} ( (H(n))_{n=0}^{N-1}) $为$ (H_n)_{n=0}^{N-1} $的$L_2$差异。已知$\limsup_{N \to \infty } (\log N)^{-1} D_{2} ( H(n) )_{n=0}^{N-1} >0$ .本文证明了$$D_{2} (( H(n) )_{n=0}^{N-1}) =O( \log N) \quad {\rm for} \; \; N \to \infty ,$$，我们发现了二维Halton序列的$L_2$ -差异的最小可能数量级。主要工具是$p$ -adic对数中的线性形式定理。
2020-12-27 math.NT
Uniformly distributed sequences generated by a greedy minimization of the $L_2$ discrepancy
本文的目的是发展贪婪算法，产生均匀分布的序列的$d$ -维单位立方体$[0,1]^d$。品质因数是$L_2$差异的三种不同变体。理论结果和数值实验表明，所得到的序列具有良好的分布特性。我们在这里遵循的方法是由Steinerberger和Pausinger最近的工作的动机，他们认为类似的贪婪算法，在那里他们最小化的泛函，可以涉及到星的差异或能量的点集。与许多贪婪算法相比，在这些算法中，序列的结果元素只能用数字给出，我们会发现，在一维情况下，我们的算法产生的有理数可以精确地描述。特别地，我们将观察到，$[0,1)$中序列的任何初始段都可以自然地扩展为均匀分布的序列，其中所有后续元素对于某些$n\in\{1,\dots,N\}$都具有$x_N=\frac{2n-1}{2N}$的形式。我们还将研究所得到的序列的$L_2$差异对维度$d$的依赖性。
2022-01-08 math.NT
On the lower bound of the discrepancy of $(t,s)$ sequences: II
设$ (\bx(n))_{n \geq 1} $是基$b$中的$s-$维Niederreiter-Xing序列.令$D((\bx(n))_{n = 1}^{N})$为序列$ (\bx(n))_{n = 1}^{N} $的差异。已知$N D((\bx(n))_{n = 1}^{N}) =O(\ln^s N)$为$N \to \infty $。在本文中，我们证明了这个估计是准确的。也就是说，存在一个常数$K>0$，使得$$ \inf_{\bw \in [0,1)^s} \sup_{1 \leq N \leq b^m} N D((\bx(n)\oplus \bw)_{n = 1}^{N}) \geq K m^s \quad {\rm for} \; \; m=1,2,...\;. $$我们对$(t,s)$序列的其他显式构造也得到了类似的结果.
2015-07-01 math.NT
On the uniform distribution modulo 1 of multidimensional LS-sequences
University of New South Wales（新南威尔士大学）；Graz University of Technology（格拉茨工业大学）
本文证明了当两个一维低差异LS-序列的参数满足特定数论条件时，它们的二维组合在[0,1]^2中甚至不稠密，从而否定了通过坐标组合得到多维低差异序列的直观假设。
2012-11-15 cs.NA math.NA math.NT
Dimensions of Orbit Closures and Discrepancy for Dynamical $p$-adic Sequences
该研究针对p进整数环中的动力序列，证明遍历1-Lipschitz自映射的轨道为低偏差序列，得到多项式自映射轨道大小增长界，确定其轨道闭包盒维数为0或1。
2026-08-25 math.DS math.NT
On sequences with prescribed metric discrepancy behavior
H. Weyl指出，对于每个序列$\left(a_{n}\right)_{n\geq 1}$的不同的正整数的序列的小数部分的$\left(a_{n} α\right)_{n \geq1}$是均匀分布的模1几乎所有的$α$。然而，一般来说，对于几乎所有的$α$，计算$\left(\left\{a_{n} α\right\}\right)_{n \geq 1}$的偏差$D_{N}$的精确收敛阶是一个非常困难的问题。利用R. C. Baker认为，对于几乎所有$α$和所有$\varepsilon >0$，这种差异始终满足$N D_{N} = \mathcal{O} \left(N^{\frac{1}{2}+\varepsilon}\right)$的要求。在本说明中，对于任意的$γ\in \left(0, \frac{1}{2}\right]$，我们构造了一个序列$\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$，使得对于几乎所有的$α$，我们有$ND_{N} = \mathcal{O} \left(N^γ\right)$，对于所有的$\varepsilon > 0$，我们有$ND_{N} = Ω\left(N^{γ-\varepsilon}\right)$，从而证明了在容许范围内的任何规定的度量差异行为实际上都可以实现。
2015-07-23 math.NT
Discrepancy, separation and Riesz energy of finite point sets on compact connected Riemannian manifolds
Mathematical Sciences Institute, Australian National University（澳大利亚国立大学数学科学研究所）
研究在紧连通黎曼流形上有限点集的偏差、分离性与里斯能量的关系，证明了当0 < s < d时，渐进等分布且良好的分离点集的里斯s能量序列收敛于能量双积分，收敛速率取决于测地球偏差。
2014-06-28 cs.NA math.NA math.NT
Additive energy, discrepancy and Poissonian $k$-level correlation
$k$级相关是序列模1的局部统计量，描述元素的$k$元组的局部间距。对于$k = 2$，这也称为配对相关。我们表明，存在一个良好的间隔增加的实数序列的顺序$N^3$和泊松$k$ -所有整数$k \geq 2$水平的相关性的能量添加剂，回答在肯定的问题所提出的Aistleitner，EL-巴兹，和Munsch。该构造是概率性的，因此我们无法获得满足该条件的特定序列。为了证明这一点，我们表明，随机扰动的一个序列，小的差异，几乎可以肯定，一个序列的泊松$k$水平的相关性，一个事实，这可能是独立的利益。
2021-09-11 math.NT math.PR
Discrepancy bounds for low-dimensional point sets
类$(t,m,s)$ -网和$(t,s)$ -序列，介绍了在其最一般的形式由Niederreiter，是重要的例子，点集和序列，通常用于拟蒙特卡罗方法的积分和近似算法。$(t,m,s)$ -网和$(t,s)$ -序列的低维版本，如Hammersley点集和van der Corput序列，形成重要的子类，因为它们从理论的角度来看是有趣的数学对象，同时作为例子，使得更容易理解任意维的$(t,m,s)$ -网和$(t,s)$ -序列的结构性质。由于这些原因，已经有相当数量的论文写在低维网和序列的性质。
2014-07-03 math.NT
A SAT Attack on the Erdos Discrepancy Conjecture
20世纪30年代PaulErdos证明了：对于任意正整数C，在任意+1 -1无穷序列（x_n）中，存在子序列x_d，x_{2d}，.，x_{kd}，对于一些正整数k和d，使得|x_d + x_{2d} +. + x_{kd}|> C.该猜想已被称为组合数论和差异理论中的主要开放问题之一。对于C=1的特殊情况，存在猜想的人类证明;对于C=2，定制的计算机程序生成了长度为1124的序列，其差异为2，但即使对于如此小的边界，猜想的状态仍然是开放的。我们表明，通过编码的问题到布尔可满足性和应用最先进的SAT求解器，可以得到一个序列的长度为1160与差异2和证明的Erdos差异猜想C=2，声称没有序列的长度为1161和差异2存在。我们还提出了我们的部分结果的情况下，C=3。
2014-02-17 cs.DM math.CO math.NT
Uniform distribution of sequences of points and partitions
均匀分布（u. d.）点序列，特别是具有小差异的序列，产生于各种应用。例如，低差异序列，即具有$((\log N)^d)/N$阶差异的序列（$d$是序列所在空间的维数），是用于在涉及拟蒙特卡罗方法的近似中获得更快的收敛速率的基本工具。本文的主要工作包括以下几个方面：（1）研究引入新的u. d类的显式技术。（2）通过研究$[0,1]$上的一类广义Kakutani序列的差异性，定量分析了它们在$[0,1]$上的分布行为。关于（1），我们提出了一个构造u. d.分形上的划分和点的序列，由相似度具有相同比率的迭代函数系统（IFS）生成，并且满足它们的分量的自然分离条件，称为开集条件（OSC）。我们还提供了这些序列的基本差异的估计。我们将这些结果推广到更广泛的一类分形使用最近推广角谷分裂程序$[0,1]$，即技术的$ρ-$细化。首先，我们专注于（2），并得到精确的界限的差异的一大类广义Kakutani的序列，利用之间的对应关系的树表示相关联的连续$ρ-$细化和Khodak的编码算法生成的树。然后，我们适应的$ρ-$细化方法，以新的类的分形和证明边界的基本差异的序列的分区构造这样一个程序。
2014-06-24 math.NT math.PR
Regularities of the distribution of abstract van der Corput sequences
类似于$β$ -adic van der Corput序列，抽象van der Corput序列可以被定义为抽象计数系统。在某些假设下，这些序列是低差异序列。显式计算差异函数，并提供了$[0,y)$形式的有界剩余集的特征。
2010-01-23 cs.DM math.NT
On pair correlation and discrepancy
如果对所有的$s>0$都有\begin{equation*} \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \# \left\{ 1 \leq l \neq m \leq N \, : \, \left\lVert x_l-x_m \right\rVert < \frac{s}{N} \right\} = 2s \end{equation*}，我们说$[0,1)$中的序列$\{x_n\}_{n \geq 1}$具有泊松对相关。在本说明中，我们表明，如果在上述表达式的收敛-在某种意义上-快，那么这意味着一个小的差异序列$\{x_n\}_{n \geq 1}$。作为一个简单的结果，它遵循泊松对相关的每个序列均匀分布在$[0,1)$。
2017-06-20 math.NT
A metric discrepancy results for geometric progression with ratio $3/2$
证明了序列$\{(3/2)^kx\}$的差重对数律。
2018-03-30 math.NT
A Digital Binomial Theorem for Sheffer Sequences
通过证明Sheffer多项式序列的Sierpienski矩阵满足与Sheffer序列的卷积恒等式等价的乘法性质，将数字二项式定理推广到Sheffer多项式序列.
2015-10-29 math.NT
Good weights for the Erdős discrepancy problem
埃尔德什的差异问题，现在由T。陶，问是否每一个序列的价值加或减一有无界的差异沿所有齐次等差数列。我们建立这个问题的加权变体，权重由结构序列，享受一些非理性的功能，或某些随机序列。作为一个中间结果，我们建立了有界乘性函数的加权和与移位乘积的无界性。在我们的结构权重分析的一个关键因素，是一个结构性的结果，测度保持系统自然与有界乘性函数，最近获得的联合工作与B。主持人
2020-07-15 math.CO math.DS math.NT
An extension of the digital method based on $b$-adic integers
我们引入了一个混合的数字序列与均匀分布的序列在域中的$b$ -进整数，$\mathbb Z_{b}, b\in\mathbb N\setminus\{1\}$，通过使用这样的序列作为输入生成矩阵。生成矩阵自然需要具有有限的行长度。我们展示了一些关系的“经典”的数字方法，我们的扩展版本，并给出了几个新的建设与各自的质量评估方面的$t,\mathbf T$和差异的例子。
2017-06-27 math.NT
Substitutions and 1/2-discrepancy of $\{n θ+ x\}$
$\{x + i θ\bmod 1\}$的1/2差异和的序列是通过在三个符号的字母表上的替换序列来实现的;特别注意的是$x=0$。第一个应用是表明，任何渐近增长率的差异总和不平凡禁止可以实现。第二个应用是证明对于不好逼近的$θ$和任何$x$，在$i=0,1,...n-1$上取值域与$\log(n)$渐近相似，这是一个比Denjoy-Koksma不等式更强的结论。
2011-05-29 math.DS math.NT
Metric results on the discrepancy of sequences $\left(a_{n} α\right)_{n \geq 1}$ modulo one for integer sequences $\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$ of polynomial growth
H. Weyl指出，对于每个序列$\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$的不同的正整数的序列的小数部分的$\left(a_{n} α\right)_{n\geq 1}$是均匀分布模1几乎所有的$α$。然而，一般来说，对于几乎所有的$α$，计算$\left(\left\{a_{n} α\right\}\right)_{n \geq 1}$的偏差的精确收敛阶是一个非常困难的问题。特别是它是很难给尖锐的收敛速度的下限。到目前为止，这仅对缺失序列$\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$和某些特殊情况如Kronecker序列$\left(\left\{n α\right\}\right)_{n \geq 1}$或序列$\left(\left\{n^2 α\right\}\right)_{n \geq1}$进行。在本文中，我们回答了一个大类的序列$\left(a_{n}\right)_{n \geq 1}$的问题，包括作为特殊情况下，所有的多项式$a_{n} = P\left(n\right)$与$P \in \mathbb{Z} \left[x\right]$的程度至少为2。
2016-03-16 math.CA math.DS math.NT
Optimal $\mathcal{L}_2$ discrepancy bounds for higher order digital sequences over the finite field $\mathbb{F}_2$
本文证明了在 $[0,1)^s$ 上基于 $\mathbb{F}_2$ 构造的无限序列的 $\mathcal{L}_2$ 差异满足最优上界，并显式构造了有限点集使其 $\mathcal{L}_2$ 差异达到类似最优界。
2013-06-03 cs.NA math.NA math.NT
