Combinatorial properties of sparsely totient numbers
设$N_1(m)=\max\{n \colon ϕ(n) \leq m\}$和$N_1 = \{N_1(m) \colon m \in ϕ(\mathbb{N})\}$，其中$ϕ(n)$表示欧拉函数。Masser和Shiu \cite{masser}称$N_1$的元素为“稀疏的totient数”，并开始了对这些数的研究。在这篇文章中，我们建立了几个结果稀疏totient数。首先，我们证明了一个无平方因子的整数能整除所有足够大的稀疏整数，而一个非无平方因子的整数能整除无穷多个稀疏整数。其次，我们构造了显式的稀疏素数无限族，并描述了它们与连续素数分布的关系。我们还研究了$N_1$的稀疏性，证明了它是乘性分段联会而不是加性分段联会。最后，我们研究算术/等比数列和其他加法和乘法模式，如$\{x, y, x+y\}, \{x, y, xy\}, \{x+y, xy\}$和它们的推广稀疏totient数。
2019-07-23 math.CO math.NT
A Generalisation of Euler Totient Function
欧拉函数$φ(n)$计算了有多少个$0,1,\dots,n-1$与$n$互质，它有一个明确的渐近下界$n/\log \log n$，模某个常数。在本文中，我们推广了$φ$ ;给定一个不可约整数多项式$P$，我们定义了算术函数$φ_P(n)$，它计算$P(0),P(1),\dots,P(n-1)$中与$n$互质的数的数量。我们还提供了一个渐近下界的$φ_P(n)$。
2022-11-19 math.NT
On $k$-Lehmer numbers
Lehmer的totient问题包括确定正整数集合$n$使得$φ(n)|n-1$其中$φ$是欧拉totient函数。本文引入了$k$ -Lehmer数的概念。$k$ -Lehmer数是一个合数，使得$φ(n)|(n-1)^k$ .利用$k$ -Lehmer数与Carmichael数之间的关系，给出了Carmichael数的一个新的刻画，并给出了与Carmichael数的分布有关的一些定理，这些定理也是$k$ -Lehmer数.
2012-03-22 math.NT
Counting invertible sums of squares modulo $n$ and a new generalization of Euler totient function
本文引入并研究了推广欧拉函数的一类算术函数族$Φ_k$。这些函数由方程$\gcd(x_1^2+\ldots +x_k^2, n)=1$与$x_1,\ldots,x_k \in {\mathbb{Z}}/n{\mathbb{Z}}$的解的数目给出，对于$k=2,4$和$8$，这些解分别与${\mathbb{Z}}/n{\mathbb{Z}}$上的高斯整数、四元数和八元数的环中的单位数一致。证明了$Φ_k$对每个$k$都是乘性的，利用$n$的素幂分解得到了$Φ_k(n)$的一个显式表达式，并导出了$\sum_{n\le x} Φ_k(n)$的一个渐近公式.作为一种工具，我们调查的乘法算术函数，计数的解决方案的数量$x_1^2+\ldots +x_k^2\equiv λ$（模$n$）$λ$互质$n$，从而扩展了旧的结果，只处理与总理$n$的情况。
2014-06-25 math.NT
Residue classes free of values of Euler's function
我们刻画了哪些剩余类包含无穷多个totients（欧拉函数的值），哪些不包含。我们表明，工会的所有剩余类是totient免费的渐近密度3/4，也就是说，几乎所有的号码是2模4是在一个剩余类是totient免费的。在另一个方向上，我们证明了奇数m的正密度的存在性，使得对于任何$s\ge0$和任何偶数$a$，剩余类$a\pmod{2^sm}$包含无穷多个元素。
2020-05-05 math.NT
Divisors of the Euler and Carmichael functions
本文研究了Euler函数和Carmichael函数的因子分布。特别是，我们估计这些函数的值有多少次具有“密集”因子。
2008-05-08 math.NT
The number of preimages of iterates of $ϕ$ and $σ$
本文将 Euler 函数 $ϕ$ 和 $σ$ 原像数量的渐近上界扩展至其迭代情形，并借此证明了 Konick 和 Katai 论文中的相关猜想及推论。
2024-01-08 math.NT
On the distribution of $ϕ(σ(n))$
本文研究 $ϕ(σ(n))$ 的分布，针对任意 $c>0$ 给出满足 $ϕ(σ(n))>cn$ 的 $n\leq x$ 数量的显式上界，改进了 Alaoglu 与 Erdős 的结果。
2024-08-04 math.NT
Sophie Germain Primes and the Totient of Fibonacci Numbers
Indian Institute of Technology, Kanpur（坎普尔印度理工学院）
研究了在模Pisano周期π(q)下，使得q整除φ(F_m)对所有m≡r mod π(q)的残差类集合S(q)，证明若q为赛普蒂默· Germain素数且z(2q+1)整除π(q)，则S(q)是非空的等差数列，且对于q>5，其基数为奇数且q≡8 mod 15。
2026-04-22 math.NT
On Schemmel Nontotient Numbers
对于每个正整数$r$，令$S_r$表示$r^{th}$ Schemel函数，由\[S_r(p^α)=\begin{cases} 0, & \mbox{if } p\leq r; \\ p^{α-1}(p-r), & \mbox{if } p>r \end{cases}\]定义的乘法算术函数，用于所有素数$p$和正整数$α$。函数$S_1$就是欧拉函数$ϕ$。我们定义一个Schemmel非整数的顺序$r$是一个正整数，它不在范围内的功能$S_r$。在本文中，我们修改了张的几个证明，以说明目前已知的关于非整数的结果有多少推广到Schemmel非整数的结果。我们还援引Zsigmondy定理，以推广由于门德尔松的结果。
2014-12-09 math.NT
Common values of the arithmetic functions phi and sigma
本文证明了方程phi（a）=σ（b）有无穷多个解，其中phi是欧拉函数，σ是约数和函数.这证明了鄂尔多斯50年前的一个猜想。此外，我们还证明了存在无穷多个整数n使得phi（a）=n和sigma（b）=n都有n^c个以上的解，其中c>0。证据依赖于最近的工作的前两个作者和Konyagin的素数分布的素数p，其中一个给定的总理划分一些的phi在p，并在结果希斯布朗连接可能存在的西格尔零与分布的孪生素数。
2010-10-26 math.NT
Phi, Primorials, and Poisson
素数$p$的素数$p\#$是所有素数$q\le p$的乘积。设pr $(n)$表示具有$p\# \mid ϕ(n)$的最大素数$p$，其中$ϕ$是欧拉函数。我们证明了pr $(n)$的正规序是$\log\log n/\log\log\log n$ .也就是说，在一组渐近密度为1的整数上pr $(n) \sim \log\log n/\log\log\log n$为$n\to\infty$。事实上，我们表明，有一个渐进的第二项，并在第三级，有一个渐进的泊松分布。对于最大整数$k$和$k!\mid ϕ(n)$，我们也给出了类似的结果.
2020-01-18 math.NT
On the calculation of an integral introduced by Hubert Delange
本文研究Hubert Delange引入的积分，先给出q>1时积分的一般性质并简化问题，再针对q=2的情况提供公式，将问题转化为特定和的计算。
2026-10-14 math.NT
On twin prime distribution and associated biases
本文研究孪生素数分布，引入修正欧拉函数$\phi_2$并推导其乘积形式，证明相关存在性定理，建立孪生素数计数的勒让德型公式，还发现了孪生素数分布中的三类偏差。
2023-07-13 math.NT
Completely Additive Height Functions: Profile Laws, Matula Bounds, and Inverse Growth
The Caravan
本文研究了完全可加高度函数的轮廓律、马图拉界限与逆增长原理，通过数论方法证明了极值界限，并探讨了高度函数在多项式和非多项式范围内的行为。
2026-07-31 math.CO math.NT
Distinct exponents in the prime factorization
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；National Research University “Higher School of Economics”（国立研究大学高等经济学校）
本文研究正整数素数分解中不同指数个数的算术函数$h(n)$，证明其作用于欧拉函数时求和渐近等价于$x(\log\log x/\log\log\log x)^{1/2}$，关键使用Ford的泊松随机模型。
2026-09-23 math.NT
Distribution of squares modulo a composite number
本文研究了无平方数$q$的平方分布。我们还期待在分布方面的大筛子的逆问题，我们对现有的结果的分布$s$ -元组的减少剩余的改进。
2015-02-17 math.NT
The distribution of the eigenvalues of Hecke operators
对于每个素数$p$，我们确定了全模群的大权Hecke特征形的$p^{th}$傅里叶系数的分布.与$p\to\infty$一样，该分布趋向于Sato-Tate分布。
1996-09-10 math.NT
The Prime Clockwork: A Dynamic Representation of Modular and Multiplicative Arithmetic
Faculty of Information Technology, University of Jyväskylä（于韦斯屈莱勒信息技术学院）
该研究提出素数发条这一离散动力系统，无需显式模除等运算即可生成素数并表示整数，其大循环对应中国剩余定理，还可用于计算多种数论函数。
2026-09-04 cs.DM math.DS math.HO
