Formal deformation theory in left-proper model categories
Marco Manetti, Francesco Meazzini
我们发展了左真模型范畴中态射变形的概念。作为应用，我们给出了局部DG-Artin环上交换（非正）分次微分代数变形的几何/同伦描述.
We develop the notion of deformation of a morphism in a left-proper model category. As an application we provide a geometric/homotopic description of deformations of commutative (non-positively) graded differential algebras over a local DG-Artin ring.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Formal completions and idempotent completions of triangulated categories of singularities
本文的主要目的是证明两个方案的三角化奇点范畴的幂等完备化是等价的，如果这些方案沿奇点的形式完备化是同构的。我们还讨论了稠密子范畴上的Kesason定理以及它与负K-理论的关系。
Generators in formal deformations of categories
本文利用Lurie提出的形式模问题理论研究了域$k$的$k$ -线性$\infty$ -范畴的形式变形空间.我们的主要结果是：如果$\mathcal{C}$是一个具有紧生成元的$k$ -线性$\infty$ -范畴，且该紧生成元的自扩张群在足够高的正度下为零，则$\mathcal{C}$的每一个形式变形都具有零曲率，并且允许一个紧生成元.
Smooth categories in a 6 functor formalism and compact generation for nuclear categories in analytic geometry
本文在六 functor 形式主义框架下研究光滑 ∞-范畴，并利用凝聚数学理论和解析堆的结果，证明了刚性解析流形光滑当且仅当其关联的核sheaves范畴光滑，同时将核sheaves范畴的紧生成性与刚性解析流形的代数化联系起来，从而得到一个非原子生成但内部光滑的范畴例子。
Formal aspects of Gray's tensor product of 2-categories
小2-范畴的范畴有两个么半群结构，一个是双闭的，一个是闭的。我们提出了一个形式化的建设正确的内部和内部霍姆斯这些monoidal结构。
Monoidal Categories for Formal Concept Analysis
我们研究形式背景的幺半范畴，其中状态对应于形式概念。特别是，我们研究范畴的债券或朱对应的背景下，这是已知的是相当于 *-自治范畴的完全超格。我们发现，第二monoidal结构存在于这两个类别，对应的直积的形式背景下定义的甘特和威尔，并讨论使用这些类别的成分模型的意义。
Tannakian formalism for fiber functors over tensor categories
本文将Tannakian形式推广到一般张量范畴上的纤维函子。我们将证明（在某些技术条件下）如果纤维函子有截面，则源范畴等价于目标范畴中的霍普夫代数上的余模范畴。我们还将使用框架对象的概念来描述这个霍普夫代数。
Formal balls of ${\sf Q}$-categories
Edalat和Heckmann关于度量空间的形式球模型的构造被Kostanek和Waszkiewicz推广到${\sf Q}$ -范畴。本文研究了Quantale ${\sf Q}$的结构对${\sf Q}$ -范畴的Yoneda完备性与其形式球集的有向完备性之间联系的影响。在${\sf Q}$是具有连续t-范$\&$的区间${\sf Q}$的情况下，证明了为了使每个${\sf Q}$ -范畴的Yoneda完全性等价于其形式球集的有向完全性，一个充要条件是t-范$\&$是阿基米德的。
Reconstruction of Formal Schemes from Categories of Nuclear Modules
研究从核模对称幺半范畴重构形式概型的方法，通过恢复挠子范畴并结合巴尔默谱来重构，还证明了特定情形下相关逆变函子的完全忠实性。
Tangentads: a formal approach to tangent categories
本文形式化定义了tangentads并构造其$2$-余单子结构，引入多种特殊类型，将子切结构解释为右Kan扩张，并证明切单子代数构造及切分裂限制范畴的$2$-等价性。
On formal codegrees of fusion categories
我们证明了一个一般性的结果，这意味着一个融合范畴的整体和Frobenius-Perron维数生成代数整数代数整数环中的伽罗瓦不变理想。
A formal category theoretic approach to the homotopy theory of dg categories
本文通过形式范畴论引入细化dg范畴拟等价局部化的双范畴，构造前箭装备并定义同伦（余）极限，给出预三角dg范畴的形式刻画，证明其粘合保持性及相关反射结果。
Harder-Narasimhan categories
本文提出了Quillen正合范畴的一个推广--算术正合范畴，并讨论了在这类范畴上可以建立Harder-Narasimhan滤子和Harder-Narasimhan多边形概念的条件.此外，我们还证明了Harder-Narasimhan过滤（索引为$\mathbb R$）的功能性，这在Harder和Narasimhan的形式主义的经典设置中是无法表述的。
Univalent Double Categories
范畴论是数学的一个分支，它为理解数学结构之间的关系提供了一个形式化的框架。为此，类别不仅包含所需对象的数据，还包含“态射”，它捕获不同对象如何相互作用。范畴论在数学和计算机科学中有许多应用，例如在函数式编程中。双范畴是范畴的自然概括，它包含两个独立的态射类的数据，允许更细致地表示对象之间的关系和交互。类似于范畴论，双范畴已经成功地应用于数学和计算机科学中的各种情况，其中对象自然地表现出两种类型的态射。例子包括类别本身，也包括镜头，Petri网和跨度。虽然类别已经在各种证明助手中正式化，但双重类别受到的关注要少得多。在本文中，我们通过证明助手Coq，依靠Coq UniMath库，提出了双范畴的形式化来弥补这种情况。作为这项工作的一部分，我们提出了两个等价的形式化的定义的双重范畴，一个展开的明确的定义和第二个定义，表现出良好的形式属性，通过2边显示的类别。作为形式方法的应用，我们建立了一个单叶双范畴的概念和一个单叶原则：单叶双范畴的等价性与它们的恒等式一致
Gluing Data categories and gluing data functors
本文引入粘合数据范畴与粘合数据函子，对代数几何中的粘合作范畴论刻画，并统一描述拓扑空间、层、概形等多种数学结构中的粘合。
Formalizing all indexed mathematics as a benchmark for general reasoning, with the example of implementing dilatations of categories
本文提出将全部已发表数学形式化为机器可验证知识库的基准问题，并以范畴代数中的范畴膨胀为例展示实现过程。
Dilatations of categories, via their lean formalization
本文在Lean 4证明助手的Mathlib库上形式化范畴扩张的构造及主要定理，建立数学命题与Lean声明的对应表，为范畴扩张理论提供形式化基础。
Localization theory for triangulated categories
这些注释介绍了三角范畴的局部化理论。局部化是一种在范畴中形式上反转态射的机制。我们解释这种形式主义的一些细节，我们展示了它是如何适用于三角范畴。
Formalizing colimits in Cat
本文在 Lean 中形式化了范畴的 1-范畴的基本构造，构造神经嵌入的左伴随并证明该伴随是反射的，从而首次形式化证明 Cat 具有余极限且范畴的范畴是余完备的。
An Internal Logic of Virtual Double Categories
本文提出纤维化虚拟双范畴类型论（FVDblTT），作为形式范畴论的内在语言，通过语法-语义对偶性（双伴随）验证其与虚拟双范畴的等价性，从而支持范畴论中的同构推理。
Formal weakly enriched category theory
本文构造了编码弱充实的形式范畴论，证明其与拟范畴的无穷宇宙等价，并导出充实版Quillen定理A。
The tricategory of formal composites and its strictification
这篇论文的结果允许一个替代的计算在三范畴与等价的计算在灰色范畴（又名半严格三范畴）。特别地，例如在线证明助手globular（arXiv：1612.01093）所使用的格雷范畴的重写演算，或者等价地，在完全弱三范畴的情况下也可以使用arXiv：1211.0529的格雷图。
The familial nature of enrichment over virtual double categories
本文研究虚拟双范畴上强化范畴的家族性质，证明相关2-函子是参数化右2-伴随且具有家族性，并通过家族构造形式化其上强化范畴的2-范畴，为更一般结构下的强化范畴提供更好的形式性质与示例覆盖。
Free Globularly Generated Double Categories II: The Canonical Double Projection
这是第二部分的两部分系列论文研究自由全球产生的双重范畴。我们介绍了典型的双投影结构。规范双重投影将信息从自由的球形生成的双重类别转换为通过同一组球形和垂直数据定义的双重类别。我们使用规范双投影定义相容的Haagerup标准式的形式线性函子扩张和因子间可能无穷指数态射的Connes融合运算.利用正则双投影证明了自由球生成的双范畴结构是修饰水平化的左伴随。因此，我们解释自由全球生成的双重范畴作为正式的装饰类似物的双重范畴的五重奏和发电机的内在化。
The formal theory of Tannaka duality
Tannakian范畴是一个阿贝尔张量范畴，它配备了一个纤维函子和额外的结构，这些结构确保它等价于作用在域扩张的谱上的某个仿射广群概型的表示范畴。如果我们研究的是任意的交换环而不是域，则表示范畴不再是阿贝尔的。我们提供了一个充分条件的列表，以确保添加剂张量范畴是等价的仿射广群计划的表示的范畴上的仿射计划，或更一般地说，在一个对称的幺半范畴范畴的Hopf代数体的表示范畴。为了做到这一点，我们开发了一个“Tannaka二元性的形式理论”的启发罗斯街的“单子的形式理论。”“我们将我们的结果应用于某些类别的过滤模块，用于研究p-adic伽罗瓦表示。
Cluster categories of formal DG algebras and singularity categories
给定一个负分次Calabi-Yau代数，将其视为微分为零的DG代数，研究其簇范畴。我们证明了这个DG代数是符号扭曲的Calabi-Yau，并将其簇范畴实现为一个导出范畴的轨道范畴的三角壳，以及有限维Iwanaga-Gorenstein代数的奇异范畴.在此过程中，我们给出了两个独立的结果。首先，我们证明了Calabi-Yau代数上凝聚层的导出范畴有一个自然的簇倾斜子范畴，其维数由代数的Calabi-Yau维数和$a$ -不变量决定.其次，我们证明了由DG内函子及其同伦逆得到的两个DG轨道范畴是拟等价的。作为应用，我们证明了一个高表示无限代数的高簇范畴与一个明确描述的Iwanaga-Gorenstein代数的奇异范畴是三角等价的.此外，我们证明了我们的结果推广的背景下Keller-Murfet-Van den Bergh导出的轨道类别涉及的AR翻译的平方根。
On $\infty$-cosmoi of bicategories
$\infty$ -宇宙是发展$(\infty,1)$ -范畴的形式范畴论的一个背景.本文探讨了$\infty$ -宇宙论的几个非典型例子，它们的对象是2-范畴或双范畴而不是$(\infty,1)$ -范畴，并将这样编码的形式范畴论与经典的2-范畴和双范畴论进行了比较。我们希望这项工作将告知未来的探索正式的$(\infty,2)$ -范畴论。
Formal category theory in augmented virtual double categories
本文在增广虚拟双范畴中形式化Kan扩张、Yoneda嵌入、全范畴与小余完备化等经典范畴论概念，并证明Yoneda嵌入存在性等价于相应内hom存在性，同时给出沿泛态射提升Yoneda嵌入的一般结果。
Dilatations of categories
本文提出并研究了范畴的膨胀构造，通过泛性质形式化要求某些态射通过另一些分解，其例子包括范畴局部化和环膨胀。
Formal Model Theory & Higher Topology
本研究将2-范畴BIon与Acc_ω作为形式模型论的抽象框架，关联拓扑斯、几何草图等范畴结构，给出重构与类完备性结果，还建立了抽象初等类与局部可判定拓扑斯的联系，提出饱和对象范畴概念并关联原子拓扑斯。
Unbiasing symmetric monoidal categories in Lean
本文在Lean 4中形式化了对称单子范畴的去偏过程，通过扩展数据到伪函子并利用Kleisli双范畴实现高 arity张量积的一致性。
Universality of span 2-categories and the construction of 6-functor formalisms
本文研究了2-范畴的普遍性，证明了其与双伴随可变换的对应关系，并扩展到对称单子和松散对称单子情形，为6- functor形式的构造提供了理论基础。
The formal theory of tangentads PART I
本文通过 tangentads 形式化框架，为切范畴的不同变体构造了向量场的统一概念，证明其构成李代数与 2-单子，并给出 PIE 极限构造方法及实例计算。
Contraherent cosheaves of contramodules on Noetherian formal schemes
本文定义了局部Noetherian形式方案上反合凝聚层反模的精确范畴，以及局部反合凝聚层反模（相对于给定的开覆盖）的精确范畴，并构造了局部反合凝聚层反模在局部Noetherian形式方案映射下的直接像和逆像函子。
Triangulated categories with a single compact generator and two Brown representability theorems
该研究构建可逼近三角范畴的一般形式体系，证明两个相关可表示性定理，为三角范畴领域的可表示性研究提供理论支撑。
The Strict 2-Category Structure of Distorted Monoidal Categories
本文提出扭曲单子范畴的严格2-范畴结构，通过构造性演算实现非可逆交换的正式推理，扩展单子范畴的表达能力以建模不可逆过程。
Chu connections and back diagonals between $\mathcal{Q}$-distributors
Chu连接和后对角线作为态射被引入到一个小量子群$\mathcal{Q}$中的范畴之间。这些概念对于闭双范畴是有意义的，它们使箭范畴的构造和范畴的Freyd完备化二元论化。证明了对于小量子群$\mathcal{Q}$，完备$\mathcal{Q}$ -范畴和左伴随范畴是$\mathcal{Q}$ -分配者范畴和Chu联络范畴的对偶的收缩，并且它对偶等价于$\mathcal{Q}$ -分配者范畴和后对角范畴.作为Chu联络的应用，给出了形式概念分析理论中形式背景归约的直观思想的一个假设，并得到了形式背景归约的一个刻画.
Formal category theory in $\infty$-equipments I
本文将proarrow equipments推广至$\infty$-范畴，定义$\infty$-equipments，并研究其例子及内部范畴论基本概念如余极限和Kan扩张。
Deformation Theory of $\mathbb{E}_n$-Monoidal Categories
本文研究了$\mathbb{E}_n$-单向量范畴的变形理论，证明了其变形问题与非单位$\mathbb{E}_{n+2}$-代数的关系，并探讨了其在特定变形问题中的应用。
Virtually indecomposable tensor categories
设k为任意域。J-P. Serre证明了群的k-表示范畴的Grothendieck环的谱是连通的，并且对于k上的李代数的表示范畴的特征零也是如此。我们说，一个张量范畴C在k上是几乎不可分解的，如果它的Grothendieck环不包含非平凡的中心幂等元。我们证明了以下张量范畴是实际上不可分解的：张量范畴与Chevalley性质;仿射群计划的表示范畴;表示范畴的正式组;表示范畴的仿射超群计划（在特征\ne 2）;表示范畴的正式超群（在特征\ne 2）;对称张量范畴的指数增长性在特征零。特别地，我们得到了Serre定理的另一种证明，并由此推论出任意k上李代数的表示范畴在正特征上也是虚不可分解的（这回答了塞尔的一个问题），（在超情形中使用Deligne定理，和Deligne-Milne的一个定理）导出了任何（超）Tannakian范畴是几乎不可分解的（这回答了塞尔的另一个问题）。
The Formal Theory of Monads, Univalently
在单值基础中发展单子的形式理论，定义单子的双范畴并证明其单值性，定义Eilenberg-Moore对象并关联单子与伴随，用Coq和UniMath库形式化。
Towards 2-derivators for formal $\infty$-category theory
本文提出2-导出量的公理，用于形式∞-范畴理论，展示其在多种模型中的适用性及位移操作下的稳定性。
Cartesian Differential Comonads and New Models of Cartesian Differential Categories
笛卡尔微分范畴配备了一个微分组合子，它形式化了多变量微分学的导数，并且还提供了微分$λ$ -演算的范畴语义。笛卡尔微分范畴的例子的一个重要来源是微分范畴的comonads的coKleisli范畴，后者的概念提供了微分线性逻辑的范畴语义。在本文中，我们通过引入笛卡尔微分余单子来推广这种构造，这些余单子的coKleisli范畴正是笛卡尔微分范畴，因此允许更广泛的笛卡尔微分范畴的例子。因此，我们从基于幂级数、可分幂代数和Zinbiel代数的笛卡尔微分comonads中构造新的笛卡尔微分范畴的例子。
Enriched cofibration categories
上纤维化范畴是同伦理论的一种形式化，用于处理存在于模型水平上的同伦上极限，作为相干图的上极限。在本文中，我们处理他们的丰富版本。我们的主要结果声称，范畴$[\mathcal{C},\mathcal{M}]$的丰富的图配备了投影结构继承的结构，一个cofibration范畴时，$\mathcal{C}$是局部凝聚（或更一般地说，局部平坦）。
Segal Enriched Categories I
我们发展了一个关于（更高）范畴M的丰富范畴理论，该范畴M配备了称为同伦等价的态射类W。我们称之为Segal M_W -范畴。我们的动机是推广的概念“上同伦幺半群”在一个幺半范畴范畴M，介绍了Leinster。所采用的形式主义是对经典Segal范畴的推广，并将丰富范畴理论推广到双范畴上。特别是我们有一个线性版本的西格尔类别不存在至今。我们在本文中的目标是提出理论，并提供一些例子。应用程序是为将来保留的。
Binary trees and fibred categories
我们开发了一个纯粹的集理论的形式主义二叉树和二叉图。我们定义了一类二元自动机，并将其显示为二元图类上的一个类。我们还将二进制图的概念与并发计算理论中出现的过渡系统联系起来。
Concept lattices of $Q$-relations via diagonal and back-diagonal categories
本文通过对角与反对角范畴为 $Q$-关系的两类概念格建立范畴论基础，证明其由可表示函子诱导，并揭示正则关系的张量积保持性质。
6-Functor Formalisms and Smooth Representations
本文改进了6-函子形式化的定义，系统研究了其附带的核的2-范畴以揭示内部结构并定义有限性条件，并将这些方法应用于p-进李群的光滑表示理论，在导出Hecke代数上构造了推广Schneider--Sorensen结果的典范反对合。
Free gs-monoidal categories and free Markov categories
扩展前人工作，构造由任意元数和余数态射生成的自由 gs-幺半范畴与自由 Markov 范畴，给出基于带标签超图结构化余跨的组合描述，证明其满足 $2$-范畴普遍性质，并探讨其在计算机实现及推广贝叶斯网络的统计因果模型中的应用。
Towards Theory and Applications of Generalized Categories to Areas of Type Theory and Categorical Logic
出于潜在的应用理论计算机科学，特别是那些领域的Curry-Howard对应起着重要的作用，以及正在进行的搜索在纯粹数学的可行方法，高阶范畴理论，我们进行了详细的研究一个新的数学抽象，广义范畴。它是一个部分定义的幺半群，配备有定义任意元素上的源和目标的自同态映射，可能允许关于组合的邻近行为。本文首先对广义范畴理论作了一个正式的介绍。我们描述函子，等价，自然变换，伴随，并在广义设置的限制。接下来，我们指出单子理论如何扩展到广义范畴。接下来，我们提出了一个变种的演算的演绎系统开发的Lambek，并给出了一个推广的Curry-Howard-Lambek定理之间的范畴类型的类间演算和范畴的Carnival闭范畴和指数保持态射，利用广义范畴的理论。接下来，我们开发的基本拓扑理论的理想拓扑的广义设置，利用Curry-Howard-Lambek定理开发的形式主义。特别是，我们证明了理想的拓扑具有相同的海廷代数结构和平方的伴随，普通的拓扑做。最后，我们发展了广义层，并证明了这样的范畴形成理想的拓扑。本文将Lawvere和Tierney关于$j$ -层和Grothendieck层的定理推广到广义情形。
On the Commutative Algebra of Categories
讨论了对称幺半范畴范畴是交换半环范畴上的模的意义。（1）Carnival幺半范畴，（2）半加法范畴，（3）联络谱范畴中的每一个范畴都可以用这种方法恢复为交换半环范畴（或后一种情况下的$\infty$ -范畴）上的模范畴。这种语言提供了代数理论（运算，PROPs，Lawvere理论）和稳定同伦理论的形式主义的同时推广，基本上是代数K理论的一个变体。
Presheaves and cocompletions in formal category theory
本文研究了在形式范畴论中，陪射构造与自由陪集完成之间的关系，揭示了在熟悉场景中两者概念的重合，并扩展了富集范畴论中加权余极限的理论，提供了对陪射对象、自由陪集完成和完备对象的认识定理。
An Infinitary Model of Diagrammatic Calculus in Unbiased Monoidal Categories
本文通过引入本质上抵抗同痕形变的结构，将无穷张量积和超限复合相干地引入图式形式体系，从而扩展了幺半范畴的弦图理论，构建了无穷幺半范畴模型。
Sheafifiable homotopy model categories
如果一个奎伦模型范畴可以用某种逻辑语法来指定（直观地说，“是代数/组合足够”），这样它就可以在任何层范畴中定义，那么奎伦公理在任何地点上的满足是它们在集范畴上被满足的纯粹形式上的结果。这样的数据产生了一个函子，从拓扑和几何态射范畴到奎伦模型范畴和奎伦映射。
On equality of objects in categories in constructive type theory
在这篇文章中，我们对马丁-勒夫的构造型理论中形式化的范畴中的对象的相等性问题进行了评论。在这个系统中范畴的一个标准概念是E-范畴，其中没有这样的等式被指定。这里的主要观察是，E范畴没有一般性地扩展到在对象上具有相等性的范畴，除非同一性证明的唯一性（Uniform of Identity Proofs，UIP）原则成立。我们还介绍了一个H-范畴的概念，一个变种的范畴与平等的对象，这使得它很容易比较的概念，单叶范畴提出的单叶类型理论的Ahrens，Körkkin和Shulman。
Typing Tensor Calculus in 2-Categories (I)
本研究为开发适配函数式编程与并行计算的线性代数形式化框架，将矩阵、张量建模为半加性2-范畴中的态射，构建无指标带类型的线性代数框架，并扩展至幺半半加性2-范畴完成运算验证。
A 2-categories companion
本文是一个相当非正式的指导一些基本理论的2范畴和bicategories，包括概念的限制和colimit，2维泛代数，正式范畴论，神经的bicategories。正如这些事情的方式一样，主题的选择有点个人化。没有试图在严格性或完整性。它也不完全是介绍性的：你找不到双范畴的定义;但你也不需要一个定义来阅读它。为了与范畴论的哲学保持一致，双范畴之间的态射比双范畴本身发挥更大的作用。
Some properties of the theory of n-categories
设$L_n$表示弱n-范畴除以n-等价的Dwyer-Kan局部化.我们提出了一个列表的属性，这个单纯的类别可能有，并推测这些属性的特点$L_n$等价。我们展示了，使用这些属性，如何获得态射$n-1$ -类别之间的两个点在一个对象的$L_n$和如何获得的组合映射之间的态射对象。
Hidden Categories: a New Perspective on Lewin's Generalized Interval Systems and Klumpenhouwer Networks
本文用范畴论重新形式化列文的广义音程系统与变换网络，提出一般音乐范畴中的CT-Nets新定义，并揭示其与代数、几何及图论方法之间的统一联系。
A note on Frobenius-Eilenberg-Moore objects in dagger 2-categories
我们定义Frobenius-Eilenberg-Moore对象的匕首Frobenius单子在任意匕首2范畴，并扩展到匕首上下文的一个著名的泛性质的单子的形式理论。我们表明，自由完成的2-范畴下的Eilenberg-Moore对象扩展到匕首的上下文中，提供一个愿意与这样的匕首Frobenius单子的endofunctor部分适当地与他们的单位交换。最后，我们定义了匕首宽松函子和匕首宽松限制，这样的函子，并表明Frobenius-Eilenberg-Moore对象是这样的限制的例子。
Exponentiable Virtual Double Categories and Representability of Exponentials
本文研究了虚拟双范畴的可指数性，通过细胞分解的存在性给出了等价刻画，并证明了余弦的虚拟双范畴、伪双范畴以及可指数多范畴的可指数性，同时给出了虚拟双范畴的虚拟双函子的复合条件。
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