Transformations of Hypergeometric Motives
本文从几何的观点考虑超几何函数的代数变换。超几何函数是由超几何动机的deRham实现而产生的。该动机的$\ell$ -adic实现给出了有限域上的超几何特征和.这有助于统一和解释最近关于超几何特征和变换的一些结果。
2020-06-02 math.NT
Traces of Hecke Operators via Hypergeometric Character Sums
本文提出一种一致且具几何性的方法，利用有限域上的超几何特征和，给出了算术三角群相关情形下尖点形式空间上Hecke算子迹的显式公式，适用于椭圆模曲线和Shimura曲线，并可求出特征值。
2025-03-03 math.NT
q-hypergeometric double sums as mock theta functions
最近，Bringmann和Kane建立了两个新的Bailey对，并利用它们将某些q-超几何级数与实二次域联系起来.我们展示了这些对如何产生新的模拟θ函数的形式的q-超几何双和。此外，我们证明了这些款项和两个经典的模拟θ函数介绍戈登和麦金托什之间的一个身份。
2012-10-23 math.CO math.NT
QM abelian varieties, hypergeometric character sums and modular forms
本文是与合作者的近期工作报告，针对算术定义的Fuchsian子群（尤其对应判别式6的四元数可除代数$B_6$的群），给出了涉及超几何特征和的Hecke算子$T_p$在尖点形式空间上迹的显式公式。
2024-08-13 math.NT
Fields of definition of finite hypergeometric functions
有限超几何函数是有限域${\bf F}_q$至${\bf C}$的函数。它们作为某些扭曲指数和的傅立叶展开而出现，并由John Greene和Nick Katz在20世纪80年代独立引入。它们与解析对应的超几何函数有许多共同的性质。有限超几何函数定义中的一个限制是，超几何参数必须是有理数，其因子除$q-1$。在本文中，我们利用超几何参数的对称性和指数和的推广来尽可能地避免这个问题。
2018-05-08 math.NT
Generating functions for finite sums involving higher powers of binomial coefficients: Analysis of hypergeometric functions including new families of polynomials and numbers
本研究的起源是基于不仅显式公式的有限和涉及高次幂的二项式系数，但也显式评估的生成函数，这种总和。应该强调的是，这项研究既包含了新的结果，也包含了对迄今为止存在的一些相关结果的文献调查。借助于超几何函数，构造了一类新的与二项式系数的有限次幂和有关的组合数的生成函数。利用这些生成函数，得到了一系列新的恒等式，同时推广了以前熟知的公式和恒等式。此外，在这种情况下，我们确定新的家庭的多项式，包括一些家庭的著名的数字，如伯努利数，欧拉数，斯特林数，弗兰纳数，加泰罗尼亚数，Changhee数，Daehee数和其他，也为多项式，如勒让德多项式，迈克尔沃多项式，Mirimanoff多项式，Golombek型多项式，和其他。我们也给出了这些多项式的Riemann和$p$ -adic整表示。最后，我们给出了这些新的数族、多项式族和二项式系数幂的有限和族的组合解释。我们也给这些数字的普通生成函数的开放性问题。
2019-01-04 math.NT
On the interplay between hypergeometric series, Fourier-Legendre expansions and Euler sums
在这项工作中，我们继续研究超几何函数和傅里叶-勒让德（PDMATHAMM）级数展开之间的相互作用。在“与$π,π^2$和双纽线常数有关的超几何级数”一节中，通过$\left[x(1-x)\right]^μ$的FL-展开（用$μ+1\in\frac{1}{4}\mathbb{N}$），证明了只要$p(x)$是满足适当对称性约束的多项式，所有的超几何级数$$ \sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n(4n+1)}{p(n)}\left[\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\right]^3,\quad \sum_{n\geq 0}\frac{(4n+1)}{p(n)}\left[\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\right]^4,$$ $$\quad \sum_{n\geq 0}\frac{(4n+1)}{p(n)^2}\left[\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\right]^4,\; \sum_{n\geq 0}\frac{1}{p(n)}\left[\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\right]^3,\; \sum_{n\geq 0}\frac{1}{p(n)}\left[\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\right]^2 $$都返回$\frac{1}π,\frac{1}{…
2018-06-21 math.NT
Moments of Gaussian hypergeometric functions over finite fields
本文证明了$q$为奇素数的有限域上具有$q$元素的高斯超几何函数族$_{n+1}F_n$，$n\ge1$的一阶和二阶矩的显式表达式.这使我们能够找到值$_6F_5(1)$的估计值。此外，我们评估某些第二时刻的轨迹的克劳森椭圆曲线的家庭的价值$_3F_2(-1)$。这些公式也使我们能够表示某些$_2F_1$和$_{n+1}F_n$功能的产品在有限域Appell系列，推广了目前的产品的$_2F_1$功能的公式。最后给出了用不同乘法特征定义的高斯超几何函数和的封闭形式表达式。
2022-02-07 math.NT
General Multi-sum Transformations and Some Implications
我们给出了两个一般的转换，允许某些相当一般的基本超几何多重和任意深度（涉及任意序列$\{g(k)\}$的总和），减少到一个无限的$q$产品倍一个单一的基本超几何和。给出了各种应用，包括某些$q$正交多项式的求和公式，以及可表示为无穷乘积的各种多重和。
2019-01-06 math.NT
Arithmetic hypergeometric $\mathcal {D}$-modules and exponential sums on reductive groups
Tsinghua University（清华大学）
本文定义约化群有限表示族关联的超几何指数和，引入带Frobenius结构的算术超几何$\boldsymbol{\textrm{D}}$-模研究该指数和，得到其估计并构造相关$F$-等晶体。
2026-10-15 math.AG math.NT
Hypergeometric functions over finite fields
本文利用修改后的Gauss和定义了有限域上的广义超几何函数，证明其求和、变换与乘积公式，展现与复数域经典超几何函数的类比，并应用于K3曲面zeta函数。
2023-08-01 math.CA math.NT
Certain transformations and values of p-adic hypergeometric functions
我们证明了两个转换的$p$ -adic超几何函数，可以描述为$p$ -adic类似物的欧拉变换和克劳森变换。我们首先计算某些特征和，然后将它们与$p$ -adic超几何函数联系起来，推导出相应的变换。我们使用的特征和单位证明了Ahlgren，Ono，和Penniston推导出的$p$ -adic克劳森变换。我们还导出了某些$p$ -adic超几何函数的特殊值.
2022-04-21 math.NT
Monomial Deformations of Certain Hypersurfaces and Two Hypergeometric Functions
利用有限域上的超几何函数，给出了推广Dwork族的一类光滑超曲面的zeta函数的一个显式描述.这里的要点是，我们计算的有理点的数量，同时使用的特征和理论的重量，这使我们能够启发的zeta函数的计算。
2014-11-19 math.NT
Hypergeometric decomposition of symmetric K3 quartic pencils
研究了射影空间中Delsarte K3四次超曲面的五种单参数变形所对应的超几何函数.我们计算他们所有的Picard-Fuchs微分方程;我们使用高斯和来计算点，并将其重写为有限域超几何和;然后我们将每个微分方程与zeta函数的一个因子匹配，并将其写成全局L函数。这种计算给出了一个完整的，明确的描述这些铅笔的动机超几何动机。
2020-01-24 math.AG math.NT
Real quadratic double sums
1988年，Andrews，Dyson和Hickerson在实二次域上首次研究了系数由算术决定的q-超几何级数。本文给出了实二次域的整数环中给定范数的理想个数的母函数的一打q-超几何双和，并证明了一些相关的恒等式.
2015-06-16 math.CO math.NT
Some Nice Sums are Almost as Nice if you turn them Upside Down
我们将和$\sum_{k=0}^{n-1}{n \choose k}^{-2}$、$\sum_{k=0}^m{m\choose k}^{-1}{a\choose n-k}^{-1}$、$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{q^{-k(k-1)}}{{\genfrac{[}{]}{0pt}{}{n}{k}}_q}$以及狄克逊恒等式中的被加数的倒数之和表示为{ \it不定超几何和}乘以（封闭形式）{ \it超几何序列}的乘积
2009-09-12 math.CO math.NT
On Matrices Arising in Finite Field Hypergeometric Functions
针对有限域超几何函数变换公式中出现、元素为单位根或零的一类矩阵，本文确定其特征多项式、特征值、特征向量与k次幂，并指出特征值由Jacobi和的乘积构成。
2023-12-05 math.NT
Six Gluon Open Superstring Disk Amplitude, Multiple Hypergeometric Series and Euler-Zagier Sums
用超弦理论计算了六胶子盘的振幅。这个振幅探测了规范与DP膜上六个外部支腿的相互作用，特别是包括例如F^6项。全弦S-矩阵可以用六个广义多重超几何函数（三重超几何函数）表示，它们在有效作用量中对安排高阶α '规范相互作用项（如F^6，D^4 F^4，D^2 F^5，D^6 F^4，D^2 F^6，.）一个系统的和有效的方法被发现来计算树级弦振幅相等的看似不同的表达式为一个和相同的字符串S-矩阵：比较出现在弦环计算的黎曼恒等式，我们发现一个有趣的方式使用世界片超对称性，以产生一个系统的非平凡方程的弦树级振幅。这些方程导致不同的多重超几何函数之间的代数恒等式。他们的（六维）解给出了弦S-矩阵的成分。我们导出与任何开弦六点散射过程相关的材料：三重超几何函数、它们的积分表示和它们由（广义）欧拉-扎吉埃和或（相关）威滕ζ函数给出的α '（动量）展开之间的关系。
2005-09-06 hep-th math-ph math.MP
Hypergeometric Motives from Toric Hypersurfaces
Kyiv School of Economics（基辅经济学院）
本文研究由 d 维环面中 d+2 个单项式线性组合定义的一般超曲面的两种紧化，证明其 F_q-点数量可由有限超几何和表示，并通过引入 gamma 三元组将有限超几何和推广到素数幂情形，推广了 Beukers、Cohen 和 Mellit 的工作。
2026-10-28 math.AG math.NT
Mock Jacobi forms in basic hypergeometric series
我们证明了一些$q$ -级数，如泛仿θ函数，是θ项与权为1/2的仿Jacobi形式的线性和，当它们被限制在扭点上并乘以$q$的适当幂时，它们成为实解析模形式的全纯部分.证明了某些$q$ -级数的线性和是权为1/2的弱全纯模形式，这是由于模Jacobi形式的湮灭或模Jacobi形式的完备化.作为应用，我们得到了划分的秩与曲柄之间的关系。
2008-10-27 math.CO math.NT
On the rank of hypergeometric sheaves on higher dimensional tori
本文证明了有限域上高维环面超几何反常层的显式秩公式，并给出几乎所有素数p下相应超几何特征和的显式估计。
2026-06-09 math.AG math.NT
Modular Forms and Certain ${}_2F_1(1)$ Hypergeometric Series
本文利用超几何动机与模形式的框架，构造了具有复乘法的权2 Hecke 特征形式族，并通过 ${}_2F_1(1)$ 超几何级数理论精确计算其中心 $L$-值，同时揭示傅里叶系数与 Jacobi 和的动机联系。
2025-02-12 math.NT
Expressing $q$-series in terms of building blocks of Hecke-type double-sums
本文将Wang、Yee和Liu研究的双重和用两类Hecke型双重和构建块表示，确定其（模拟）模性，并将Andrews的$q$-超几何函数表示为混合模拟模形式。
2022-08-01 math.NT
On unit root formulas for toric exponential sums
从一个经典的生成系列的贝塞尔函数由于Schlomilch，我们使用Dwork的相对对偶理论，广泛推广单位根Dwork的Kloosterman和Sperber的结果上hyperkloosterman和。特别地，我们用A-超几何函数之比的p-adic解析延拓的特殊值来表示环面上任意指数和的（唯一）p-adic单位根.与早期的作品相比，我们使用noncohomological方法，并获得的结果是有效的任意指数和没有任何假设的nondegeneracy。
2010-12-07 math.NT
Gosper Summability of Rational Multiples of Hypergeometric Terms
最近，孙文用伸缩方法给出了一些与$π$有关的超几何级数。我们调查这些系列的角度来看，Goethe的算法。给定一个超几何项$t_k$，我们考虑当$r(k)$是$k$的有理函数时，$r(k)t_k$的可和性.本文给出了$r(k)$的分子次数的上界和下界，使得$r(k)t_k$是Goethnic可和的.我们还表明，$r(k)$的分母可以从$t_{k+1}/t_k$的Goethon表示读取。在此基础上，我们给出了一种构造级数的系统方法，该级数的和可由已知级数导出。我们还说明了相应的超同余和$q$ -模拟的方法。
2021-05-12 math.CO math.NT
Summation identities and transformations for hypergeometric series
我们发现的麦卡锡的$p$ -进超几何级数求和的身份和转换，通过评估某些高斯和出现，而计数点的家庭$$Z_λ: x_1^d+x_2^d=dλx_1x_2^{d-1}$$在有限域$\mathbb{F}_p$。A. Salerno在满足$d|p-1$的条件下，用$p$-adic Γ函数的乘积表示了$Z_λ$族上有限域$\mathbb{F}_p$上的点数.本文首先用McCarthy的$p$-adic超几何级数表示有限域$\mathbb{F}_p$上的点的个数，并对不整除$d(d-1)$的奇素数$p$给出了$p$-adic超几何级数的两个求和恒等式.我们还找到了$p$ -adic超几何级数的某些变换和特殊值.最后给出了Greene有限域超几何级数的求和恒等式.
2016-09-22 math.NT
Sum relations for multiple zeta values and connection formulas for the Gauss hypergeometric functions
我们给出了一个明确的表示为多个zeta-star值的固定重量和高度的Riemann zeta值的总和。
2003-07-19 math.CA math.NT
Recurrences for Hypergeometric Moments and Binomial-Harmonic Sums
University of North Texas（北德克萨斯大学）
研究系数特定的超几何级数，通过在分母引入移位参数，利用欧拉超几何微分方程推导递归，求解得到普通和与交错和化简及正分母幂公式，还应用于乘积二项式情形与调和数和，给出处理多种相关和式的统一框架。
2026-08-07 math.CA math.NT
On a $q$-deformation of modular forms
当模形式的傅里叶系数与超几何级数的部分和全等时，有许多已知的例子。在我们以前的工作arXiv：1803.01830中，这样的部分和与无穷$q$ -超几何和在单位根处的径向渐近性有关。在这里，我们结合这两个特点，构造了一个超几何$q$ -变形的两个CM模形式的重量3，并讨论了相应的$q$ -同余。
2019-03-21 math.AG math.CA math.CO
Arcsine kernels, inverse-binomial harmonic sums, and classical hypergeometric transformations
Pie Mathematics Association（Pie数学协会）
研究将反正弦幂展开相关系数族放入双曲反正弦核，通过有限傅里叶投影和梅林变形等方法，得到含特定参数的恒等式及相关结果，还记录了核间卷积等细节，指出直接四次核会导致不同的\({}_4F_3\)族。
2026-10-16 math.CA math.NT
Certain product formulas and values of Gaussian hypergeometric series
本文找到了经典超几何级数满足的某些乘积公式的有限域类似。本文将两个${_2}F_1$ -高斯超几何级数的乘积表示为${_4}F_3$ -和${_3}F_2$ -高斯超几何级数.利用Gauss和Jacobi和的性质以及我们在有限域Appell级数上的工作，导出了Gauss超几何级数满足的乘积公式.然后，我们使用这些转换明确评估${_4}F_3$ -和${_3}F_2$ -高斯超几何级数的一些特殊的价值。通过计算有限域上CM椭圆曲线上的点，Ono发现了包含平凡和二次特征的${_2}F_1$ -和${_3}F_2$ -高斯超几何级数的某些特殊值。后来，埃文斯和格林发现特殊价值观的某些${_3}F_2$ -高斯超几何级数包含任意字符作为参数，其中一些价值观获得的小野以下作为特殊情况。我们表明，埃文斯和格林的一些结果遵循我们的产品公式，包括一个有限域模拟的经典克劳森的身份。
2020-06-21 math.NT
Deformation and Symmetry in Two Hypergeometric Supercongruences
该研究证明了Li-Long-Tu的两个超同余猜想，通过变形方法结合超几何变换与$W(D_5)$对称性归约问题，为超同余提供统一解释并拓展了方法适用范围。
2026-10-14 math.NT
The Explicit Hypergeometric-Modularity Method I
本文提出显式超几何-模性方法，将给定超几何数据关联到模形式，利用拉马努金椭圆函数理论、形式群律和超同余，构造eta商并给出应用。
2025-06-19 math.NT
Some supercongruences occurring in truncated hypergeometric series
超同余是指终止超几何级数与$p$ -adic Γ函数的同元之间的同余，其强于人们期望用交换形式群定律证明的那些同元。我们利用经典的超几何变换公式证明了一些这样的超同余。这些公式（见附录），其中大多数是几十年或几百年前的，允许我们将终止级数写成$Γ$ -值的乘积的比率。在这一点上，总和已经成为一种共识。将这些$Γ$ -同余式写成$Γ_p$ -同余式，我们就处于非常适合证明$p$ -adic同余式的情形。这些$Γ_p$ -函数可以用它们的泰勒级数展开式来近似为$p$ -代数。有时会有低阶项的抵消，导致更强的同余。使用这种技术，我们证明，除其他事项外，猜想Kibelbek和加强版本的猜想范哈姆。
2014-09-03 math.NT
Quantum Modular Forms from Real Quadratic Double Sums
本文研究Lovejoy和Osburn发现的十二个$q$-超几何级数，证明其傅里叶系数构成群$Γ_0(2)$上的三个向量值量子模形式。
2023-04-12 math.NT
Ramanujan's radial limits and mixed mock modular bilateral $q$-hypergeometric series
使用结果从拉马努金的丢失的笔记本电脑，Zudilin最近给出了一个有见地的证明径向极限结果福尔松，小野和罗兹模拟θ函数。在这里，我们看到，作者以前的工作的双重性质Appell-Lerch和部分θ函数和建设双边$q$ -系列混合模拟模块化的行为是非常适合这样的径向限制。我们提出了五个以上的径向极限结果，从混合模拟模块化双边$q$ -超几何级数。我们还得到了Gordon和McIntosh的通用模拟θ函数的混合模拟模双边级数。后双边系列可以用来计算许多经典的二阶，六阶，八阶和十阶模拟θ函数的径向极限。
2014-06-20 math.NT
Explicit hypergeometric modularity of certain weight two and four Hecke eigenforms
Indian Institute of Technology Guwahati（印度理工学院古瓦哈提分校）
本文基于超几何模性方法，构造了两个eta商函数家族，利用Jacobi theta函数理论及其立方类比，将某些重量为二和四的海尔克埃钦形式的傅里叶系数表示为有限域周期函数，并获得新的模形式傅里叶系数与有限域Appell级数特殊值的关系式。
2026-09-22 math.NT
Hypergeometric decomposition of Delsarte K3 pencils
University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）；University of Denver（丹佛大学）
研究五族项目ive四次Delsarte K3表面，通过超几何求和给出有限域上的点计数公式，并在复数域上匹配周期与超几何微分算子，分解L函数为超几何L函数和狄利克雷ζ函数。
2026-05-01 math.AG math.NT
$N$-tuple sum analogues for Ramanujan-type congruences
本文证明了基本超几何级数的截断$N$ -元组和的超同余关系。作为应用，我们给出了一些Ramanujan型超同余的二重、三重、四重和类似物。
2021-12-01 math.NT
Equidistributions of Jacobi sums
设$\mathbf{F}_q$是$q$元素的有限域。我们表明，规范化的雅可比和$J(χ,η)/\sqrt{q}$，为每个固定的非平凡乘法字符$η$，成为均匀分布在单位圆$q\rightarrow+\infty,$时，$χ$运行在所有非平凡乘法字符不同于$η^{-1}.$以前，类似的均匀分布得到了Katz和郑通过改变两者的$χ$和$η$。另一方面，我们也得到了当$(χ,η)$在$\mathcal{X}\times\mathcal{Y}\subseteq(\widehat{\mathrm{F}^*})^2$上运行时，只要对任何$\varepsilon>0$有$|\mathcal{X}|>q^{\frac{1}{2}+\varepsilon}$和$|\mathcal{Y}|>q^\varepsilon$，$J(χ,η)$的等分布。这更新了Lu，Zheng和Zheng最近的工作，他们需要$|\mathcal{X}||\mathcal{Y}|>q\log^2q.$。主要成分是由于Katz的超几何和的估计。
2018-09-12 math.NT
On the supercongruence conjectures of van Hamme
在1997年，范·哈姆为素数$p$开发了$p-$进类比，它将超几何级数与最初由拉马努金研究的Γ函数的值联系起来。这些类似物将超几何级数的截断和与$p-$ adic Γ函数的值联系起来，称为Ramanujan型超同余。在所有，凡Hamme estretured 13这样的公式，其中三个是证明了凡Hamme自己，和其他五个已证明最近使用广泛的方法。在这里，我们将探讨剩下的五个van Hamme超同余中的四个，重新审视一些已证明的超同余，并提供一些扩展。
2015-04-04 math.NT
Two New Zeta Constants: Fractal String, Continued Fraction, and Hypergeometric Aspects of the Riemann Zeta Function
整数参数的黎曼ζ函数可以写成某些超几何函数的无限和，更一般地，这同样可以用多项式来完成，其中几个zeta函数是特例。这些超几何函数的解析延拓公式存在，并用于导出一些无穷和，允许zeta函数在整数参数n被写为一个加权无穷和的超几何函数在n - 1。这种形式可以被认为是黎曼ζ函数的移位算子，它导致奇怪的值<$F（0）= I_0（2）- 1和<$F（1）= Ei（1）- γ，它们分别涉及第一类贝塞尔函数和指数积分，并且不同于通常的延拓方法给出的值<$F（0）= -1/2和<$F（1）= \infty。用公因子概率的倒数来解释zeta常数的这些“超几何连续”值，我们得到了[1] F（0）^-1 \sim 78.15%和[2] F（1）^-1 \sim 75.88%，这与已知的标准值（例如[2] F（2）^-1 \sim 60.79%和[3] F（1）^-1 \sim 83.19%）形成了对比。第二类Stirling数和第二类2-限制Stirling数的组合定义是因为它们出现在由多重对数的超几何表示所满足的微分方程中。分形弦的概念与连分数研究中出现的单位区间的（混沌）高斯映射有关，另一种混沌映射也被称为“调和弦”，其梅林变换是（适当缩放的）黎曼ζ函数。这些映射属于所谓的“确定性混沌”。一些数论定义也被召回。
2012-07-04 math.NT
Mock theta double sums
证明了关于贝利对的一个一般性结果，并指出Bringmann和Kane这两个贝利对是它们的特例。我们还展示了如何使用的基础公式的变化，通过对布林曼和凯恩对安德鲁斯在他的研究拉马努金的七阶模拟θ函数。我们推导出几个类似类型的Bailey对，并利用它们构造了一些新的q-超几何双和，它们是模拟θ函数。最后，我们证明了其中一些模拟θ双和与经典的模拟θ函数之间的恒等式。
2016-01-05 math.CO math.NT
New properties of multiple harmonic sums modulo $p$ and $p$-analogues of Leshchiner's series
本文给出了指数为序列$(\{1\}^a,c,\{1\}^b),$ $(\{2\}^a,c,\{2\}^b)$的多重调和和的一些新的超几何型恒等式，并证明了这些和模一个素数$p.$的一些同余式。所得到的同余式使我们能够找到Leshchiner级数对zeta值的很好的$p$ -模拟，并改进了M. Hoffman和J. Zhao关于权为7和9的模$p$的多重谐波和的生成元集合的研究.此外，我们还能够提供一个新的证明Zagier的公式$ζ^{*}(\{2\}^a,3,\{2\}^b)$的基础上的有限身份的部分和zeta-明星系列。
2013-03-22 math.CO math.NT
Gosper's algorithm and Bell numbers
计算机擅长计算封闭形式的有限和，但也有有限和没有封闭形式。不产生闭合形式的被加数通常可以通过将它们乘以适当的多项式来“固定”。我们提供了一个明确的描述一类这样的多项式简单的超几何被加数的贝尔数。
2022-10-24 cs.SC math.CO math.NT
A $q$-microscope for supercongruences
通过研究某些无限基本（$q$ -）超几何和在单位根（即在“$q$ -微观”水平）的渐近行为，我们证明了多项式同余的截断。后者减少到非平凡的（超）同余截断普通超几何和，这已被观察到的数字和证明很少。一个典型的例子包括从拉马努金公式$$ \sum_{n=0}^\infty\frac{\binom{4n}{2n}{\binom{2n}{n}}^2}{2^{8n}3^{2n}}\,(8n+1) =\frac{2\sqrt{3}}π, $$的类似物$q$导出对所有素数$p>3$有效的两个超同余$$ S(p-1)\equiv p\biggl(\frac{-3}p\biggr)\pmod{p^3} \quad\text{and}\quad S\Bigl(\frac{p-1}2\Bigr) \equiv p\biggl(\frac{-3}p\biggr)\pmod{p^3}, $$，其中$S(N)$表示在$N$第位的无限和的截断，而$(\frac{-3}{\cdot})$代表模$3$的二次特征。
2019-02-13 math.CA math.CO math.NT
