On Some Hypergeometric Supercongruence Conjectures of Long
在2003年，Rodriguez Villegas证明了14个超同余，它们是由某些刚性卡-丘三重函数族的周期所产生的超几何函数与权为4的模形式的傅里叶系数之间的超同余。2019年，Long、Tu、Yui和Zudilin给出了这些超同余的统一证明。利用Dwork的p-adic技巧，将原超同余约化为只涉及超几何级数的相关同余.我们推广他们的技术，考虑六个进一步的超同余最近由龙。特别是，我们证明了一个类似的版本的龙，涂，Yui，和Zudilin的减少这六种情况下的每一个同余。我们还推测一个推广Dwork的工作已经观察到计算，这将与一个模块性的证明伽罗瓦表示与我们的超几何数据，产生一个充分的证明龙的代数。
2022-02-11 math.NT
$q$-Supercongruences from squares of basic hypergeometric series
给出了基本超几何级数平方截尾形式上的一些新的$q$ -超同余。它们中的大多数模是分圆多项式的立方，其中两个模是分圆多项式的四次方。我们的证明的主要成分是创造性的显微镜方法，El Bachraoui引理，和互质多项式的孙子剩余定理。我们还提出了几个相关的算法供进一步研究。
2021-12-17 math.NT
Some supercongruences of arbitrary length
证明了截断超几何级数在某些特殊点上的模$p^2$超同余。对于任何整数$d\ge2$，超几何级数的参数是$1/2$的$d$拷贝和$1$的$d$拷贝。
2018-10-31 math.NT
Deformation and Symmetry in Two Hypergeometric Supercongruences
该研究证明了Li-Long-Tu的两个超同余猜想，通过变形方法结合超几何变换与$W(D_5)$对称性归约问题，为超同余提供统一解释并拓展了方法适用范围。
2026-10-14 math.NT
Gaussian hypergeometric series and supercongruences
设p是一个奇素数。1984年，Greene提出了有限域上的超几何函数的概念。由于这些函数的特殊值与代数簇上F_p点的个数和模形式的傅里叶系数有关，因而引起了人们的兴趣。在本文中，我们明确地确定这些功能模高功率的p和讨论的应用超同余。这个应用程序使用两个非平凡的广义调和和身份发现使用计算机求和包西格玛。我们举例说明使用西格玛在发现和证明这两个身份。
2007-11-08 math.NT
Two supercongruences involving truncated hypergeometric series
该研究利用超几何变换公式建立两个截断超几何级数的超同余式，分别证实第二作者的猜想、部分证实Guo等人的猜想并扩展Long和Ramakrishna的超同余式。
2023-07-19 math.CO math.NT
Some $q$-supercongruences modulo the square and cube of a cyclotomic polynomial
利用基本超几何级数的特殊恒等式，建立了含两个自由参数的截断基本超几何级数的两个$q$ -超同余.这些结果部分地推广了两个$q$ -超同余，这两个$q$ -超同余是由同一作者早先提出的，并且涉及模分圆多项式的平方和立方的$q$ -超同余.其中一个新证明的$q$ -超同余甚至被证明是模分圆多项式的四次幂。
2021-01-24 math.NT
Some supercongruences on truncated ${}_3F_2$ hypergeometric series
2003年，Rodriguez-Villegas在截断${}_3F_2$超几何级数上证明了某些模K3曲面的四个超同余，并逐渐被一些作者证明.受Apéry数和Domb数等组合数上的超同余的启发，建立了截断${}_3F_2$超几何级数上的一些新的超同余，推广了四个Rodriguez-Villegas超同余.
2017-12-05 math.CO math.NT
Supercongruences between truncated ${}_3F_2$ hypergeometric series
建立了四个包含$p$ -adic Γ函数的截断${}_3F_2$超几何级数之间的超同余，推广了Rodriguez-Villegas超同余.
2017-12-05 math.CO math.NT
Supercongruences arising from hypergeometric series identities
利用某些超几何级数恒等式，证明了截断超几何级数上的两个超同余，其中一个与模Calabi-Yau三重有关，另一个被认为是Ramanujan恒等式的$p$ -adic模拟.
2018-12-21 math.CO math.NT
A $p$-adic supercongruence for truncated hypergeometric series ${}_7F_6$
利用Gessel和Stanton的一个恒等式和$p$ -adic Γ函数的一些性质，建立了截断超几何级数${}_7F_6$的一个$p$ -adic超同余.由此我们推出了一些相关的超同余，推广了某些最近的结果，证实了一个超同余猜想。
2017-08-30 math.CO math.NT
On a supercongruence conjecture of Rodriguez-Villegas
在研究某些卡-丘流形上的$\mathbb{F}_p$上的点数与对应于流形特定周期的超几何级数之间的关系时，罗德里格斯-维勒加斯在数字上确定了22个可能的超同余。证明了截断广义超几何级数的一个特殊值与模形式的第$p$个傅里叶系数之间的一个突出的超同余关系.
2012-04-06 math.NT
Supercongruences arising from a ${}_7F_6$ hypergeometric transformation formula
本文借助 ${}_7F_6$ 超几何变换公式证明两个超同余式，其中之一证实 Guo–Liu–Schlosser 猜想并推广 Long–Ramakrishna 的结果。
2023-06-05 math.CO math.NT
New $q$-supercongruences arising from a summation of basic hypergeometric series
利用基本超几何级数的求和方法、郭和祖迪林最近提出的创造性的微观方法以及互质多项式的孙子剩余定理，我们发现了一些新的$q$ -超同余.特别地，我们给出了由于刘[J. Math. Anal.申请497（2021），第~条124915]。
2021-05-08 math.CO math.NT
On the supercongruence conjectures of van Hamme
在1997年，范·哈姆为素数$p$开发了$p-$进类比，它将超几何级数与最初由拉马努金研究的Γ函数的值联系起来。这些类似物将超几何级数的截断和与$p-$ adic Γ函数的值联系起来，称为Ramanujan型超同余。在所有，凡Hamme estretured 13这样的公式，其中三个是证明了凡Hamme自己，和其他五个已证明最近使用广泛的方法。在这里，我们将探讨剩下的五个van Hamme超同余中的四个，重新审视一些已证明的超同余，并提供一些扩展。
2015-04-04 math.NT
Supercongruences Arising from Truncated Appell Series
Nanjing Audit University（南京审计大学）
研究截断Appell级数和截断q - Appell级数的同余性质，利用组合恒等式和‘创造性显微镜’方法，给出截断Appell级数\(F_1\)和\(F_2\)一些同余式的q - 类似，建立与\(F_4\)相关新q - 超同余式并猜想。
2026-07-13 math.NT
Supercongruences for a truncated hypergeometric series
本文的目的是得到一些涉及截断超几何级数$$\sum_{k=1}^{p-1} {(x)_k(1-x)_k\over (1)_k^2}\cdot{1\over k^a}$$的素数$p$模幂的同余式，其中涉及$a=1$和$a=2$ .在最后一节中，考虑特殊情况$x=1/2$。
2011-05-23 math.CO math.NT
Supercongruences satisfied by coefficients of 2F1 hypergeometric series
最近，Chan，Cooper和Sica证明了经典2F1超几何级数系数的两个同余式，它们也是由模形式的幂级数展开式用模函数表示的.我们证明这两个同余使用组合性质的系数。
2009-12-03 math.CO math.NT
$q$-Supercongruences on triple and quadruple sums
受El Bachraoui最近工作的启发，我们给出了基本超几何级数的三重和与四重和的一些新的$q$ -超同余.特别地，我们给出了一个分圆多项式的模五次幂的$q$ -超同余，它是Van Hamme超同余（G. 2）的四重和的$q$ -模拟.
2022-03-19 math.NT
Order drop, Hecke descent, and a mod $p^4$ supercongruence for symmetric-cube hypergeometric coefficients
本文证明了三次对称超几何系数满足模 p⁴ 的超同余关系，通过 Ore 分解实现阶降，建立模算术字典并结合拉格朗日-布尔曼提取与三层指数截断，利用弗里克-海克 intertwining 方法消除缺陷形式。
2026-04-05 math.NT
Supercongruences involving $p$-adic Gamma functions
建立了包含$p$ -adic Γ函数的截断${}_2F_1$和${}_3F_2$超几何级数的超同余.其中一些结果推广了截断${}_3F_2$超几何级数上的四个Rodriguez-Villegas超同余.并给出了相应的模$p^3$的代数超同余.
2018-03-19 math.CO math.NT
An extension of a supercongruence of Long and Ramakrishna
证明了特定截断超几何级数的两个超同余。其中包括一个单参数扩展的超同余，最近建立的龙和罗摩克里希纳。我们的证明涉及各种超几何身份，包括惠普尔变换和Karlsson-明顿求和的特殊情况。
2020-12-26 math.CO math.NT
Supercongruences related to ${}_3F_2(1)$ involving harmonic numbers
我们证明了包含中心二项式系数和调和数的截断级数的各种超同余。并对相应的无穷级数进行了计算。
2017-01-30 math.NT
Congruences for truncated hypergeometric series ${}_2F_1$
Rodriguez-Villegas证明了与某些椭圆曲线相关的四个超同余，这些超同余首先由Mortenson使用Gross-Koblitz公式证实。本文证明了两个截断超几何级数${}_2F_1$之间的四个超同余。这推广了这四个Rodriguez-Villegas超同余。
2017-01-16 math.CO math.NT
Supercongruences involving Domb numbers and binary quadratic forms
本文证明了孙志宏关于Domb数截断和的两个最近证明的超同余（模$p^3$，其中$p$是大于$3$的素数）.我们的证明涉及一些成分，如涉及专门的伯努利多项式，调和数，二项式系数，超几何求和和变换的同余。
2021-12-23 math.NT
Some $q$-supercongruences from transformation formulas for basic hypergeometric series
几个新的$q$ -超同余得到使用基本超几何级数的变换公式，连同各种技术，如适当的结合条款，和创造性的显微镜，最近开发的第一作者与瓦迪姆Zudilin合作的方法。更具体地说，本文的结果包括由Long，Long和Ramakrishna建立的超同余的$q$ -模拟（指$p$ -adic恒等式对$p$的某些高次幂仍然有效），以及其他几个$q$ -超同余.所使用的六个基本超几何变换公式是：Watson变换，Rahman二次变换，Gasper和Rahman三次变换，Gasper和Rahman四次变换，Ismail，Rahman和Suslov二重级数变换，以及一个新的非终止非常平衡${}_{12}ϕ_{11}$级数变换公式。此外，还使用了无终止的$q$ -Dixon求和公式。利用新的${}_{12}ϕ_{11}$变换公式的一个特例，得到了连续$q$ -超球多项式的Rogers线性化公式的推广.
2020-08-03 math.CO math.NT
Proof of some conjectural hypergeometric supercongruences via curious identities
本文证明了Z.- W.太阳在十年前通过某些奇怪的超几何恒等式。例如，对任何素数$p>3$，我们证明了$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{4k}{2k+1}\binom{2k}k}{48^k}\equiv0\pmod{p^2},$$和$$ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}{k}\binom{3k}{k}}{24^k}\equiv\begin{cases}\binom{(2p-2)/3}{(p-1)/3}\pmod{p^2}\ &\mbox{if}\ p\equiv1\pmod{3},\\ p/\binom{(2p+2)/3}{(p+1)/3}\pmod{p^2}\ &\mbox{if}\ p\equiv2\pmod{3}.\end{cases} $$.我们还得到了这类类型的其它一些结果.
2021-08-09 math.CO math.NT
Supercongruences for rigid hypergeometric Calabi--Yau threefolds
建立了由Rodriguez-Villegas于2003年提出的$\mathbb Q$上14个刚性超几何Calabi-Yau三重环的超同余.第一种方法是基于Dwork的$p$ -adic单位根理论，它允许我们建立截断的超几何级数和相应的普通素数单位根之间的超同余关系。另一种方法利用超几何动机理论，特别是采用了Beukers，Cohen和Mellit最近关于$\mathbb Q$上有限超几何和的工作中的技巧.在执行这两种方法的基本成分是模块化的基础Calabi-丘三倍和$p$进扰动法应用于超几何函数。
2021-10-03 math.AG math.CA math.CO
Representations of $\mathrm{GL}_2$ over $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ and supercongruences for hypergeometric polynomials
本文在模 $p^n$ 上实现 $\mathrm{GL}_2$ 的平凡表示，通过对称幂表示的直和子商构造，并归结为证明超几何多项式的新超同余。
2025-10-09 math.NT math.RT
Proof of some supercongruences concerning truncated hypergeometric series
本文证明了截断超几何级数的一些超同余。例如，我们证明了对于任何素数$p>3$和正整数$r$，$$ \sum_{k=0}^{p^r-1}(3k+1)\frac{(\frac12)_k^3}{(1)_k^3}4^k\equiv p^r+\frac76p^{r+3}B_{p-3}\pmod{p^{r+4}} $$和$$ \sum_{k=0}^{(p^r-1)/2}(4k+1)\frac{(\frac12)_k^4}{(1)_k^4}\equiv p^r+\frac76p^{r+3}B_{p-3}\pmod{p^{r+4}}, $$，其中$(x)_k=x(x+1)\cdots(x+k-1)$是Pochhammer符号和$B_0,B_1,B_2,\ldots$是伯努利数。这两个一致性证实了孙[科学。中国数学。54（2011），2509--2535]和郭[Adv. Appl. Math. 120（2020），Art. 102078]分别。
2020-10-26 math.CO math.NT
Supercongruences and Complex Multiplication
研究了_ rF_{r-1}（1/2，. 1/2;1，...，1;λ）_{（mp^s-1）/2} = \sum_{k=0}^{(mp^s-1)/2}（（1/2）_k/k！）^其中p是素数，m、s、r是正整数。这些截断的超几何级数与代数簇族的算术有关，并具有Atkin和Swinnerton-Dyer型同余.特别地，当r=3时，它们与K3曲面相关。对于λ的特殊值，s=1和r=3，我们的同余式比形式群理论所能预测的要强，因为存在具有复乘的椭圆曲线。推广了Rodriguez-Villegas关于λ=1的一个猜想，并证实了λ在特殊值时的一些超同余定理.
2012-11-20 math.NT
Binomial coefficient-harmonic sum identities associated to supercongruences
利用部分分式分解方法建立了两个二项式系数--广义调和和恒等式.这些恒等式是证明许多超同余的关键要素。特别是，在其他作品的作者，他们被用来建立模$p^k$（$k>1$）之间的同余截断广义超几何级数，并在有限域上的函数扩展格林的超几何函数的$p$ -adic设置。一个专门化的这些同余之一是用来证明一个杰出的猜想罗德里格斯Villegas有关截断广义超几何级数的$p$第傅里叶系数的一个特定的模块形式。
2012-04-06 math.CO math.NT
$q$-Supercongruences Modulo the Third and Fifth Powers of a Cyclotomic Polynomial
Department of Mathematics, National Institute of Technology Silchar（锡尔查尔国家技术学院数学系）
该研究针对分圆多项式三次与五次幂模，建立基本超几何级数的q-超同余式，推广Van Hamme相关结果，采用创造性微缩放方法与Watson的₈φ₇变换公式完成证明。
2026-10-09 math.NT
Supercongruence conjectures of Rodriguez-Villegas
在研究某些卡-丘流形上的$\mathbb{F}_p$上的点数与对应于流形特定周期的超几何级数之间的关系时，罗德里格斯-维勒加斯确定了22个可能的超同余。我们提供了一个框架，涵盖所有22例全等。利用这一框架，我们证明了截断的普通超几何级数的一个特殊值与模形式的$p$ -th傅里叶系数之间的一个杰出的超同余关系.在工作过程中，我们还建立了两个新的二项式系数-调和和恒等式。
2009-07-29 math.CO math.NT
Some supercongruences arising from symbolic summation
基于符号求和的组合恒等式，推广了由Guo和Schlosser提出并由Jana和Kalita证实的关于超几何级数部分和的两个超同余.
2019-12-02 math.CO math.NT
$N$-tuple sum analogues for Ramanujan-type congruences
本文证明了基本超几何级数的截断$N$ -元组和的超同余关系。作为应用，我们给出了一些Ramanujan型超同余的二重、三重、四重和类似物。
2021-12-01 math.NT
Hypergeometric type identities in the $p$-adic setting and modular forms
证明了由$p$ -adic Γ函数的导数定义的函数的超几何型恒等式.利用这些恒等式证明了Rodriguez-Villegas关于截断$_4F_3$超几何级数与某个权四模形式的傅里叶系数的超同余猜想.
2014-07-24 math.NT
Symbolic summation methods and hypergeometric supercongruences
本文建立了以下两个同余式：\begin{gather*} \sum_{k=0}^{(p+1)/2}(3k-1)\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)_k^2\left(\frac{1}{2}\right)_k4^k}{k!^3}\equiv p-6p^3\left(\frac{-1}{p}\right)+2p^3\left(\frac{-1}{p}\right)E_{p-3}\pmod{p^4},\\ \sum_{k=0}^{p-1}(3k-1)\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)_k^2\left(\frac{1}{2}\right)_k4^k}{k!^3}\equiv p-2p^3\pmod{p^4}, \end{gather*}其中$p>3$是素数，$E_{p-3}$是第$(p-3)$个欧拉数，$\left(-\right)$是Legendre符号.第一个模$p^3$同余是最近由Guo和Schlosser得到的.
2020-04-25 math.CO math.NT
$p$-Adic hypergeometric functions and certain weight three newforms
本文通过证明经典超几何恒等式的 $p$-进类比，将某些权为三的新形式的第 $p$ 个傅里叶系数用 McCarthy 的 ${_3}G_3[\cdots]_p$ 特殊值表示，并由此重新证明了 Rodriguez-Villegas 猜想的超同余式。
2024-03-28 math.NT
Further $q$-supercongruences from a transformation of Rahman
利用Rahman的二次变换公式和“创造性显微镜”方法（作者和Zudilin在2019年介绍），我们给出了截断基本超几何级数的一些新的$q$ -超同余。特别是，我们证实了两个最近的刘和王。我们也给出了超同余和$q$ -超同余的一些相关结果。
2022-01-09 math.CO math.NT
Proof of two supercongruences of truncated hypergeometric series ${}_4F_3$
本文利用 Wilf-Zeilberger 方法证明了孙智伟提出的两个关于截断超几何级数 ${}_4F_3$ 的超同余式，并给出其中一个涉及勒让德符号与欧拉数的模 $p^4$ 同余结果。
2024-11-20 math.CO math.NT
Extending Gaussian hypergeometric series to the $p$-adic setting
我们定义了一个函数，它将高斯超几何级数推广到$p$ -adic设置。这个新的功能允许涉及高斯超几何级数的结果被扩展到更广泛的一类素数。我们证明了这一点，通过提供各种同余之间的功能和截断的经典超几何级数。这些同余式为Rodriguez-Villegas的超同余式的证明提供了一个框架。
2012-04-06 math.NT
($q$-)Supercongruences hit again
利用内在的$q$ -超几何策略，当$H(N)$是对应于刚性Calabi-Yau三重周期的截断超几何和时，我们推广了$s=1,2,\dots$和$p$为素数的Dwork型同余$H(p^{s+1})/H(p^s)\equiv H(p^s)/H(p^{s-1})\pmod{p^3}$.
2021-02-03 math-ph math.CA math.CO
A supercongruence involving cubes of Catalan numbers
本文主要证明了Catalan数立方截尾级数的一个超同余，推广了孙志伟的一个结果。
2018-07-31 math.CO math.NT
Some q-supercongruences on double and triple sums
本文研究了二重和与三重和上的若干$q$ -超同余。利用El Bachraoui的一个引理及其推广，将一些关于二重和、三重和的$q$ -超同余变换为截尾基本超几何级数的平方和立方的$q$ -超同余，主要工具仍然是郭和祖迪林的“创造性显微镜”方法，郭和李的一个引理以及孙子剩余定理.
2021-12-19 math.CO math.NT
Hypergeometric series, truncated hypergeometric series, and Gaussian hypergeometric functions
在本文中，我们研究超几何级数，截断超几何级数和高斯超几何函数之间的关系，通过一些家庭的“超几何”代数簇，是更高的维类似勒让德曲线。
2015-09-23 math.NT
$p$-adic analogues of hypergeometric identities
证明了截断超几何级数的一些超同余。
2018-08-26 math.CO math.NT
Supercongruences concerning truncated hypergeometric series
设$n\geq 3$是一个整数，$p$是一个素数，其中有$p\equiv 1\pmod{n}$。本文证明了$${}_nF_{n-1}\bigg[\begin{matrix} \frac{n-1}{n}&\frac{n-1}{n}&\ldots&\frac{n-1}{n}\\ &1&\ldots&1\end{matrix}\bigg | \, 1\bigg]_{p-1}\equiv -Γ_p\bigg(\frac{1}{n}\bigg)^n\pmod{p^3}, $$，其中截断的超几何级数$$_nF_{n-1} \bigg[\begin{matrix} x_1&x_2&\ldots&x_n\\ &y_1&\cdots&y_{n-1}\end{matrix}\bigg | \, z\bigg]_m=\sum_{k=0}^{m}\frac{z^k}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\frac{(x_1+j)\cdots(x_{n}+j)}{(y_1+j)\cdots(y_{n-1}+j)} $$和$Γ_p$表示$p$ -adic Γ函数.这证实了Deines，Fuselier，Long，Swisher和Tu的一个猜想。此外，在同样的假设下，我们还证明了解Deines，Fuselier，Long，Swisher和Tu的另一个猜想的$$p^n\cdot {}_{n+1} F_n \b…
2018-06-21 math.CO math.NT
A local-global theorem for $p$-adic supercongruences
令${\mathbb Z}_p$表示所有$p$ -进整数的环，并称$${\mathcal U}=\{(x_1,\ldots,x_n):\,a_1x_1+\ldots+a_nx_n+b=0\}$$为${\mathbb Z}_p^n$上的超平面，其中至少有一个$a_1,\ldots,a_n$不能被$p$整除。证明了如果一个充分正则的$n$ -变量函数在$r$超平面的适当集合上模$p^r$为零，则它在整个${\mathbb Z}_p^n$上模$p^r$为零.我们通过建立几个超几何恒等式的$p$ -adic类似物来提供这个一般准则的各种应用。
2020-10-24 math.NT
On the divisibility of the truncated hypergeometric function 3F2
证明了截断超几何函数3F 2的整除性的一个结果。
2013-09-03 math.NT
Supercongruences arising from Ramanujan-Sato Series
本文借助 CM 超几何椭圆曲线证明一般 p-adic 超同余式定理，为非紧型算术三角群模形式产生的 11 个 Ramanujan–Sato 级数提供 p-adic 类似物，并给出对应显式例子。
2025-03-12 math.NT
A modular supercongruence for $_6F_5$: an Apéry-like story
本文证明了权为6的模形式的$p$次傅里叶系数与截断的${}_6F_5$ -超几何级数之间的模$p^3$超同余.新成分的证明是比较两个有理逼近$ζ(3)$，以产生非平凡的调和和身份，并减少由此产生的同余之间的调和和通过一个同余之间的Apéry数和另一个Apéry序列。
2017-11-15 math.CO math.NT
Truncated Hypergeometric Functions and Discretized Integrals
Shimane University（岛根大学）
本文引入超几何级数的有限截断及其离散化积分表示，并证明联系截断多重多重对数与截断超几何级数的 Ohno–Zagier 型公式。
2026-10-14 math.NT
Refinements of Van Hamme's (E.2) and (F.2) supercongruences and two supercongruences by Swisher
该研究利用更一般的WZ对，将Van Hamme的(E.2)、(F.2)超同余式及Swisher的两个超同余式推广到奇素数$p$的模$p^4$情形，且推广结果与Euler多项式相关，同时提出了相关$q$-同余猜想供后续研究。
2025-01-16 math.CO math.NT
