A new presentation of the plane Cremona group
Christian Urech, Susanna Zimmermann
给出了代数闭域上平面Cremona群关于Noether定理和Castelnuovo定理所给出的生成元的表示.这种表示特别简单，可用于显式计算。
We give a presentation of the plane Cremona group over an algebraically closed field with respect to the generators given by the Theorem of Noether and Castelnuovo. This presentation is particularly simple and can be used for explicit calculations.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Plane Cremona maps preserving a Euclidean volume form
该研究给出了保持沿三重直线带极点微分形式的平面双有理变换群的生成元与关系表示，该群包含仿射平面自同构群。
Bounds for the order for p-elementary subgroups in the plane Cremona group over a perfect field
得到了任意完满域上平面Cremona群中p-初等子群的一个精确界.
On the classification of cubic plane Cremona maps
本文给出了三次平面Cremona映射的一个很好的分类。几年前，Cerveau和Déserti获得了先前的部分分类。
The real plane Cremona group is a non-trivial amalgam
我们表明，真正的克雷莫纳集团的飞机是一个非平凡的汞合金的两个群体合并沿其交叉点，并给出了另一种证明其abelianisation。
Conjugacy classes of linear actions in the plane Cremona group
本文在Cremona群共轭意义下，对有限群在射影平面上的正则一般自由作用进行了分类。
On degenerations of plane Cremona transformations
本文研究了一定次数的平面Cremona变换到较小次数的映射的可能退化。
The conjugacy classes of finite nonsolvable subgroups in the plane Cremona group
给出了平面Cremona群中非可解子群共轭类的代数簇的几何刻画。
On linearization problems in the plane Cremona group
研究平面 Cremona 群中可能稳定可线性化的有限非线性化子群。
Generating the plane Cremona groups by involutions
本文证明在任意完美域上，平面Cremona群可由对合生成，这是关于该群生成元结构的重要结论。
On Cremona contractibility of unions of lines in the plane
本文讨论了Cremona可缩平面曲线的概念，并对这一问题的发展作了历史的叙述。然后，我们分类克雷莫纳收缩工会的d > 11线在平面上。
On stable conjugacy of finite subgroups of the plane Cremona group, II
证明了除少数情况外，平面Cremona群的有限子群的稳定线性化蕴涵线性化。
Algebraic subgroups of the plane Cremona group over a perfect field
该研究针对完美域上平面Cremona群的代数子群问题，证明了其任意无限代数子群都含于某个极大代数子群，并通过双有理映射共轭关系完成了极大群及有理点子群的分类。
Classification of the monomial Cremona transformations of the plane
我们分类所有单项平面克雷莫纳地图的多度使用最近的方法开发的Brachffi。在主要结果的基础上，我们证明了这些映射的集合的几个性质，并将结果推广到更一般的r. c.单项映射
Fixed points of a finite subgroup of the plane Cremona group
对平面Cremona群中所有具有不动点的有限子群进行了分类.换句话说，我们确定了所有有理曲面X与一个有限群G的作用，使得X与一个具有G-不动点的曲面等变双有理。
On stable conjugacy of finite subgroups of the plane Cremona group, I
讨论了Cremona群的有限子群的稳定共轭性问题。我们证明了群$H^1(G,Pic(X))$是一个稳定的双有理不变量，并在某些情况下计算了这个群。
Infinite algebraic subgroups of the real Cremona group
给出了平面上实Cremona群的极大无限代数子群的共轭分类，并给出了每个共轭类的参数化空间.此外，我们证明了实平面Cremona群不是由它的无限个代数子群的可数并生成的。
Some effectivity questions for plane Cremona transformations
我们给出了一种快速估计的双曲等距相关的平面克雷莫纳变换，是作为两个对合的产品的长度。我们还表明，使用的想法Cantat和拉米，即，只要基域是代数的特征不2或特征零，正常关闭的高功率这样的变换是一个真子群的克雷莫纳组，这给了一个有效的实例，他们的一些结果。此外，我们证明了任何双曲型Cremona变换是刚性的，并给出了一个简单的标准，它是紧的。这个版本是从以前的版本彻底修订。特别是，它纠正了Lonjou指出的早期版本中的一个错误。
Centralizers of elements of infinite order in plane Cremona groups
设$\mathbf{K}$是一个代数闭域. Cremona群$\operatorname{Cr}_2(\mathbf{K})$是射影平面$\mathbb{P}^2_{\mathbf{K}}$的双有理变换群。本文对$\operatorname{Cr}_2(\mathbf{K})$中无限阶元素的中心化子进行了全面的研究，从而得到了$\mathbf{Z}^2$嵌入$\operatorname{Cr}_2(\mathbf{K})$的分类，以及当$\operatorname{char}(\mathbf{K})=0$时$\operatorname{Cr}_2(\mathbf{K})$的极大非挠阿贝尔子群的分类.
On plane Cremona maps of degree 4 and length 2
本文对次数为4且长度为2的平面Cremona映射在射影平面自同构作用下进行分类，并计算其普通二次长度，证明该长度至多为7且分类达到上界的映射。
Generators of the plane Cremona group over the field with two elements
本文证明二元域上平面Cremona群由三个无限族及有限个双有理映射生成，并给出各族的参数化生成集及所需映射数上界，最终证明该群由对合生成。
Cremona equivalence and log Kodaira dimension
本文研究了Cremona等价与log Kodaira维度的关系，发现一个有理曲面在项目空间中具有负log Kodaira维度但不与平面Cremona等价，展示了log版本的Castelnuovo理性准则不成立。
On the quadratic length of plane Cremona maps of degree 4
本文研究四次平面 Cremona 映射的二次长度，证明非 de Jonquières 型长度为 2，de Jonquières 型长度为 3、4 或 5，并分类达到上界的映射。
Cohomology of finite subgroups of the plane Cremona group
有限群在光滑射影簇上作用的等变稳定双有理不变量是Picard模的第一上同调群。博戈莫洛夫-普罗霍罗夫和辛德计算了这一行动的循环群的理性表面，最大的稳定，在几何形状的不动点轨迹。使用Brauer组的商栈，我们扩展到更一般的行动，并将其与等变伯恩赛德组形式主义的计算。
The Abelianisation of the real Cremona group
本文给出实射影平面的双有理变换的阿贝尔化。
Equivalent Birational Embeddings III: cones
$\mathbb P^n$中的两个约数被称为Cremona等价的，如果存在Cremona修改将一个发送到另一个。本文研究了$\mathbb P^n$中的不可约锥，证明了若两个锥的广义超平面截面是双有理的，则这两个锥是Cremona等价的。特别是我产生的例子圆锥体在$\mathbb P^3$克雷莫纳相当于一个平面，其平面部分是不克雷莫纳相当于一条线在$\mathbb P^2$。
Linearization problem for finite subgroups of the plane Cremona group
该论文解决了特征零代数闭域上平面Cremona群有限子群的线性化问题，提供了完整解法。
Bijective Cremona transformations of the plane
研究了有限域上射影平面上的双有理自映射，它们在有理点的集合上诱导置换。作为主要结果，我们证明了特征为2的非素有限域上不存在奇置换，从而完成了Cantat关于置换可以这样实现的研究.在我们的证明中的主要成分包括奇偶性的不变性下群共轭的双有理映射，和一个列表的发电机组这样的地图。
The Cremona group is compactly presentable
这篇文章表明，克雷莫纳集团是compatible presentable。为了证明这一点，我们表明，它是一个广义的合并产品的三个代数子群（自同构的平面和Hirzebruch表面）除以一个关系。
On the inertia group of elliptic curves in the Cremona group of the plane
本文研究了平面上固定几何亏格为1的曲线的双有理变换群。一个精确的描述的有限元给出;它特别显示，该命令是最多6，并且，如果该组包含一个非平凡的扭转，固定曲线的图像是一个光滑的三次由双有理变换的平面。证明了光滑三次曲线的群是由其3次元素生成的，并证明了它包含Z/2 Z的自由积，由曲线的点来表示.
Linearisation of finite abelian subgroups of the Cremona group of the plane
本文给出了[J. Blanc，Finite Abel subgroups of the Cremona group of the plane，C.R. Acad. Sci.巴黎先生I 344（2007），21-26.]以及有理曲面的自同构的一些描述。给出了平面Cremona群的有限Abel子群与极小曲面的自同构群群是否双有理共轭的一种判定方法。特别地，我们证明了平面的双有理变换的有限循环群是线性化的当且仅当它的非平凡元素都不固定正亏格的曲线。对于有限阿贝尔群，只有一个令人惊讶的例外，即同构于Z/2 ZxZ/4 Z的群，其非平凡元素不固定正亏格的曲线，但不共轭于极小有理曲面的自同构自同构群。我们也给出了del Pezzo曲面和锥丛的自同构（不一定是有穷级的）的一些描述。
Automorphisms of real del Pezzo surfaces and the real plane Cremona group
我们研究的自同构群的真正del Pezzo曲面，集中在有限群最小的作用在他们身上。结果得到了实平面Cremona群中有限子群的大部分分类。
Relations in the Cremona group over perfect fields
对于满足$[\bar k:k]>2$的完满域$k$，我们构造了平面Cremona群的新正规子群，并给出了它的非单性的一个初等证明.
Two non-conjugate embeddings of $S_3\times \mathbb Z_2$ into the Cremona group II
我们更精确地证明了\cite{Isk1}的下列主要结果。有两个非共轭嵌入$S_3\times \ZZ_2$到Cremona群，这是由这个群在平面上的线性作用和在二维环面上的作用。
Sous-groupes algébriques du groupe de Cremona
给出了平面Cremona群的极大代数子群的完全分类，并给出了共轭类的参数化代数簇。--我们将克雷莫纳地区最大的亚组进行了完整的分类，并明确了以共轭类为参数的各种类型。
Finite subgroups of the plane Cremona group
我们完成了古典和现代的工作分类的共轭类的有限子群的双有理变换组的复射影平面。
Jordan bounds for volume-preserving Cremona groups
研究确定了体积保持平面克雷莫纳群的乔丹常数为12，并为三维体积保持克雷莫纳群提供144的界限，同时为平面克雷莫纳群提供弱几何界限。
Borel subgroups of the plane Cremona group
众所周知，线性代数群的所有博雷尔子群都是共轭的.这个结果也适用于仿射平面\cite{BerestEshmatovEshmatov2016}的自同构群${\mathrm{Aut}} (\mathbb A^2)$（另见\cite{FurterPoloni2018}）。本文描述了复Cremona群${{\rm Bir}({\mathbb P}^2)}$的所有直到共轭的博雷尔子群，特别证明了它们不一定是共轭的.更精确地说，我们证明了${{\rm Bir}({\mathbb P}^2)}$允许任何秩$r \in \{ 0,1,2 \}$的博雷尔子群，并且所有秩$r \in \{ 1,2 \}$的博雷尔子群是共轭的。在秩$0$中，秩$0$的博雷尔子群的共轭类与亏格$g \geq 1$的超椭圆曲线之间存在$1-1$对应.因此，秩$0$ Borel子群的共轭类有两个不变量：一个是离散的，亏格$g$，另一个是连续的，对应亏格$g$的超椭圆曲线的粗模空间。后一个空间的维数为$2g-1$。
Subgroups of odd order in the real plane Cremona group
本文描述了实射影平面上双有理自同构群中奇阶有限子群的共轭类。
On elements of order p^s in the plane Cremona group over a field of characteristic p
我们证明了特征p > 0的域上的平面Cremona群不包含p的幂次阶大于2的元素，并且除非p =2，否则不包含p^2阶元素。此外，我们描述共轭类的元素的顺序4。
Finitely generated subgroups of algebraic elements of plane Cremona groups are bounded
该研究证明平面Cremona群中仅含代数元素的有限生成子群次数有界，基于无穷直和上“良好”作用的更一般结论，还刻画了这类子群的次数增长特性。
Cremona transformations of weighted projective planes, Zariski pairs, and rational cuspidal curves
本文研究了一类加权射影平面的Cremona变换，它推广了标准的射影平面的Cremona变换.从特殊平面射影曲线出发，构造了加权射影平面上具有特殊性质的曲线族。我们解释了如何计算基本群的补充，使用爆破下降分解的克雷莫纳变换，我们发现的例子Zagliki对加权射影平面（区别于亚历山大多项式）。作为另一个应用程序的这一机制，我们研究了一个家庭的奇异性称为加权Lê-Yomdin，它提供了无限的例子，表面奇异性的一个合理的同源球链接。最后，本文还研究了一个家庭的表面奇点推广Brieskorn-Pham奇点在不同的方向。这个家庭包含无穷多个新的例子积分同源球链接，回答一个问题的Némethi。
$p$-elementary non-cyclic subgroups of the Cremona group of the plane
研究平面克雷莫纳群中同构于\((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^r\)（\(p\)素数，\(r \geq 2\)）的子群，在特定代数闭域上进行共轭分类，给出代表列表和共轭性研究，还给出特征等于\(p\)时的相关结果。
On plane Cremona transformations of fixed degree
研究了由三个固定次数d的多项式定义的平面Cremona变换的拟射影簇Bir_d及其子簇Bir_d^o，其中三个多项式没有公共因子.我们计算它们的维数和不可约分量的分解。我们证明了对于每个d，Bir_d是连通的，并且当d < 7时，Bir_d^o是连通的。
Equivalent birational embeddings II: divisors
$¶^n$中的两个约数被称为Cremona等价的，如果存在Cremona修改将一个发送到另一个。我们产生无穷多个任意维数的非等价除子嵌入，最多14个。然后研究了平面曲线和有理超曲面的特殊情况。对于后者，我们将Cremona曲面等效为平面。
Simple relations in the Cremona group
我们给一个简单的一组生成元和关系的克雷莫纳群的飞机。也就是说，我们证明了Cremona群是de Jonquières群与平面自同构群的合并产物，除以一个关系，即$στ=τσ$，其中$τ=(x:y:z)\mapsto (y:x:z)$和$σ=(x:y:z)\dasharrow (yz:xz:xy)$。
Cremona transformations, surface automorphisms and plane cubics
给出了在有理复曲面上构造许多正熵自同构的方法。一般的想法是从一个二次克雷莫纳变换开始，它固定了一个简化的三次曲线，然后使用三次曲线上的群结构来理解何时可以通过重复爆破来消除变换的不确定性和异常行为。
On elements of prime order in the plane Cremona group over a perfect field
证明了特征为$p \ge 0$的完满域$k$上的平面Cremona群包含一个不等于$p$的素数阶元$\ell\ge 7$当且仅当存在$k$上的二维代数环面$T$，使得$T(k)$包含一个$\ell$阶元.如果$p = 0$和$k$不包含一个本原的$\ell$ -th单位根，我们证明了在$\Cr_2(k)$中没有素数阶元素$\ell > 7$，并且所有的7阶元素都是共轭的.
Cremona maps of de Jonquières type
本文利用$n\geq 3$将平面de Jonquières映射推广到高维空间$\mathbb{P}^n$.对于$\mathbb{P}^n$的每一个给定的点，都有一个由这样的映射组成的维度为$n$的整个克雷莫纳群的子群。一个研究这一概念的几何和群论性质。在这种情况下，其中$n=3$一个描述了一个明确的一组发电机的组，并给出了一个同调表征的基本子群。
Constructions for rational multiple planes
本文在适当一般条件下，分类了更简单的三重平面，且给出了无限多个非克雷莫纳等价的更高倍数平面家族的例子。
The number of conjugacy classes of elements of the Cremona group of some given finite order
本文研究了平面Cremona群中某些给定的有穷级n元的共轭类。特别是，它表明，共轭类的数量是无限的，如果n是偶数，n=3或n=5，它是等于3（分别为9），如果n=9（分别为15），并正好是1的所有剩余的奇数阶。给出了该类的一些精确的代表元素。
Quadratic Planar Differential Systems with Algebraic Limit Cycles via Quadratic Plane Cremona Maps
在本文中，我们展示了如何将二次系统转换成新的二次系统后，一些双有理变换，二次平面克雷莫纳映射。然后我们将这些变换应用于具有代数极限环的二次微分系统族。因此，我们提供了一个新的家庭的二次系统具有代数极限环的程度为5。此外，我们展示了如何已知的家庭的二次微分系统的代数极限环的程度大于四个得到使用这些变换。我们还提供了所有具有代数极限环的二次微分系统族在Poincaré圆盘上的相图。
Plane Cremona maps: saturation and regularity of the base ideal
研究平面Cremona映射的方法是关注它的齐次基理想（“不定轨迹”）的理想理论和同调性质。驱动大量功的{ \em主旨}是基理想与其饱和度之间的关系。作为初步的研究，本文讨论了域上三元多项式环中由三种同次形式生成的任意余维2的齐次理想的同调特征。当饱和度不是以低程度产生时，结果变得尖锐，这是一个需要给出精确含义的条件。一个隐含的目标，说明在低程度上，是一个同调分类的平面克雷莫纳地图根据各自的homaloidal类型。这项工作的另一部分涉及的基本理想的理性地图的一些额外的同质“同伴”的理想，如整闭包，$\boldsymbolμ$脂肪理想和一个看似新颖的理想定义的估值。
Length in the Cremona group
Cremona群是平面的双有理变换群。一个双有理变换，如果存在一个线束，它被送到另一个线束上，则称为容基埃变换。根据著名的Noether-Castelnuovo定理，每个双有理变换$f$都是Jonquières变换的乘积。在这样的乘积中因子的最小数目将被称为长度，并被写作$\mathrm{lgth}(f)$。即使这个长度是相当不可预测的，我们提供了一个明确的算法来计算它，这只取决于$f$的线性系的重数。作为该计算的一个应用，我们给出了定义为序列$n \mapsto \mathrm{lgth} (f^n) / n$极限的$f$的动力学长度的一些性质.例如，克雷莫纳群的一个元素是扭曲的当且仅当它是代数的。长度的计算也可以应用于与克雷莫纳群相关的所谓赖特复合体：这是最近由Lonjou完成的。此外，我们证明了长度对仿射平面的自同构群的限制是后一个群的经典长度（来自其合并结构的长度）。在另一个方向上，我们计算所有单项式变换和一些Huberen变换的长度和动力学长度。最后，我们证明了长度是Cremona群上的一个下连续映射，并赋予它的Zebraki拓扑。
Elements generating a proper normal subgroup of the Cremona group
考虑一个代数闭域k和k上的射影平面的所有双有理变换的Cremona群。我们刻画了这个群的无限阶元有一个非零幂生成Cremona群的一个真正规子群。
Plane polar Cremona maps of arbitrarily large degree in positive characteristic
I.V.Dolgachev的一个结果指出三元复齐次多项式，即极映射为双有理的复齐次多项式，最多为三次。本文描述了三元任意大次的正特征的齐次多项式。利用组合论的方法，我们还对极映射具有正特征的直线排列进行了分类。
A Pascal-type construction of the Segre cubic and the Cremona--Richmond configuration
本文提出P^4中的Pascal型剩余构造，从两对超平面出发，证明十二个剩余平面位于一个三次三维流形上，一般情况为Segre三次曲面，并恢复其十五个平面和关联的Cremona–Richmond构型，同时给出该构型的点线实现。
Fundamental Groups of a Class of Rational Cuspidal Plane Curves
本文计算了Flenner，Zauberberg，Fenske和Saito所划分的一类有理尖点射影平面曲线的补曲线的基本群的表示.我们使用的Zagliki-Van Kampen算法，并利用克雷莫纳变换用于这些曲线的建设。我们简化和研究这些组介绍，从而获得和确定，如果他们是阿贝尔，有限或大，即如果他们包含自由的非阿贝尔子群。我们还在一定程度上研究了这类群的代数。
Combinatorics of Cremona monomial maps
一种是用组合方法研究Cremona单项映射。其中一个结果是一个简单的整数矩阵理论证明，Cremona单项式映射的逆也是由固定次数的单项式定义的，而且，定义逆的单项式的集合可以显式地根据初始数据获得。给出了平面Cremona单项式群的一个简洁的结论，特别是已知的平面Cremona（单项式）映射与其逆映射具有相同的次数.包括是一个讨论的计算方面和/或实施的组合不变量源于这些问题。
Subgroups of elliptic elements of the Cremona group
Cremona群是复射影平面的双有理变换群。本文利用初等模型论对它的仅由椭圆元组成的子群进行了分类。这产生特别是一个描述的结构扭转小组。作为应用，我们证明了Cremona群的任意子群的Tits择一性，推广了Cantat的一个结果.我们还描述了可解子群的克雷莫纳群和他们的衍生长度，精炼结果从Déserti。
Birational classification of curves on rational surfaces
本文研究了（S，L）对的双有理分类，其中S是有理曲面，L是S上的线性系。我们给出了一个分类定理，这样的对，我们确定，对于每个不可约的平面曲线B，它的“克雷莫纳最小”模型，即那些平面曲线是等价的B通过克雷莫纳变换，并在此条件下具有最小的程度。
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