A congruence involving products of $q$-binomial coefficients
本文建立了一个关于二项式系数模素数平方乘积的Sun同余的$q$ -模拟。
2005-08-27 math.CO math.NT
Congruence properties for the trinomial coefficients
本文给出并证明了三项式系数的一些同余性质，其中一个性质类似于Wolstenholme定理。
2019-07-31 math.CO math.NT
Congruences concerning generalized central trinomial coefficients via the constant term method
Nanjing Forestry University（南京林业大学）
研究广义中心三项式系数，利用常数项方法和生成函数证明参数同余式，证实了孙志伟的几个猜想。
2026-07-21 math.CO math.NT
Lucas-type congruences for cyclotomic $ψ$-coefficients
设p是任意素数，a是正整数。对于非负整数l、n和整数r，已知归一化分圆$ψ$系数$${n,r}_{l,p^a}:=p^{-[(n-p^{a-1}-lp^a)/(p^{a-1}(p-1))]} \sum_{k=r(mod p^a)}(-1)^k{n \choose k}{{(k-r)/p^a} \choose l}$$是整数.在本文中，我们表明，这个系数的行为类似于二项式系数，并满足一些卢卡斯型同余。这意味着Wan的一个同余往往是最优的，Sun和Davis的两个同余是真的。
2008-04-17 math.CO math.NT
A generalization of the Gaussian formula and a q-analog of Fleck's congruence
q-二项式系数是传统二项式系数的多项式表兄弟，并且二项式系数的许多恒等式可以被转换成该多项式设置。例如，帕斯卡三角形的第n行的交替和的熟悉的消失被所谓的高斯公式捕获。在本文中，我们找到了一个q-二项式同余，它综合了这个结果和Fleck的二项式系数的同余。
2012-02-01 math.CO math.NT
Congruences involving binomial coefficients and Lucas sequences
本文得到了中心二项式系数与Lucas序列的一些同余关系。例如，我们证明了如果p>5是素数，则当p= 1，4（mod 5），p= 13，17（mod 30）和p= 7，23（mod 30）时，$\sum_{k=0}^{p-1}F_k*binom(2k,k)/12^k$分别与0，1，-1模p全等，其中{F_n}是Fibonacci序列.我们还提出了几点建议。
2009-12-14 math.CO math.NT
On Euler numbers modulo powers of two
确定欧拉数模2的幂似乎是一个困难的任务。在本文中，我们实现了这一点，并应用显式同余给出了M. A.胸骨切开术组
2004-12-07 math.CO math.NT
Congruences concerning generalized central trinomial coefficients
对于任何$n\in\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$和$b,c\in\mathbb{Z}$，广义中心三项式系数$T_n(b,c)$表示在$(x^2+bx+c)^n$的展开中$x^n$的系数。设$p$为奇素数。本文确定了整数$m$在一定限制条件下的模$p^2$和$\sum_{k=0}^{p-1}T_k(b,c)^2/m^k$.作为应用，我们确认了Sun [Sci.中国数学57（2014），1375- 1400].
2020-12-08 math.CO math.NT
Congruences involving binomial coefficients and Apéry-like numbers
对于$n=0,1,2,\ldots$，记为$W_n=\sum_{k=0}^{[n/3]}\binom{2k}k \binom{3k}k\binom n{3k}(-3)^{n-3k}$，其中$[x]$是不超过$x$的最大整数。则$\{W_n\}$是类Apéry序列。本文导出了许多涉及$\{W_n\}$的同余式，特别是利用二元二次型确定了$m=-640332,-5292,-972,-108,-44,-27,-12,8,54,243$的$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}k\frac{W_k}{m^k}\pmod p$，其中$p>3$是素数.我们还证明了广义Apéry-like数的几个同余式，并对涉及二项式系数和Apéry-like数的同余式给出了29个挑战性的证明.
2020-05-10 math.CO math.NT
A new series for $π^3$ and related congruences
令$H_n^{(2)}$表示$n=0,1,2,\ldots$的二阶谐波数$\sum_{0<k\le n}1/k^2$。在本文中，我们得到以下身份：$$\sum_{k=1}^\infty\frac{2^kH_{k-1}^{(2)}}{k\binom{2k}k}=\frac{π^3}{48}.$$我们解释了我们如何发现的系列和发展相关的同余涉及伯努利或欧拉数，例如，它表明，$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{\binom{2k}k}{2^k}H_k^{(2)}\equiv-E_{p-3}\pmod{p}$$的任何总理$p>3$，其中$E_0,E_1,E_2,\ldots$是欧拉数。受Amdeberhan-Zeilberger恒等式$\sum_{k=1}^\infty(21k-8)/(k^3\binom{2k}k^3)=π^2/6$的启发，我们还建立了每个素数$p>3$的同余式$$\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\frac{21k-8}{k^3\binom{2k}k^3}\equiv(-1)^{(p+1)/2}4E_{p-3}\pmod p$$.
2015-10-20 math.CO math.NT
Some congruences involving binomial coefficients
二项式系数和中心三项式系数在组合数学中起着重要的作用。设$p>3$为素数。我们证明了$$T_{p-1}\equiv\left(\frac p3\right)3^{p-1}\ \pmod{p^2},$$，其中中心三项式系数$T_n$是$(1+x+x^{-1})^n$展开式中的常数项。证明了Sun提出的三个模$p^3$同余，其中之一是$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{p-1}k\binom{2k}k((-1)^k-(-3)^{-k})\equiv \left(\frac p3\right)(3^{p-1}-1)\ \pmod{p^3}.$$.此外，我们还得到了一些新的组合恒等式.
2015-04-27 math.CO math.NT
Some parametric congruences involving generalized central trinomial coefficients
对于$n\in\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$和$b,c\in\mathbb{Z}$，$n$第广义中心三项式系数$T_n(b,c)$是$x^n$在$(x^2+bx+c)^n$展开式中的系数。特别地，$T_n=T_n(1,1)$是中心三项式系数。本文主要建立了几类含广义中心三项式系数的参数同余。作为结果，我们证明了对于任何素数$p>3$ $$ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}{k}}{12^k}T_k\equiv\left(\frac{p}{3}\right)\frac{3^{p-1}+3}{4}\pmod{p^2} $$和$$ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{T_kH_k}{3^k}\equiv\frac{3+\left(\frac{p}{3}\right)}{2}-p\left(1+\left(\frac{p}{3}\right)\right)\pmod{p^2}, $$，其中$(-)$表示Legendre符号和$H_k:=\sum_{j=1}^k1/j$表示$k$次谐波数。这证实了第二作者的两个理论一致性。
2022-08-18 math.CO math.NT
Three pairs of congruences concerning sums of central binomial coefficients
最近，第一作者证明了Adamchuk在2006年提出的一个同余：$\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{2p}{3}\rfloor}\binom{2k}{k}\equiv 0\pmod{p^2}$对任何素数$p=1 \pmod{3}$。本文给出了同类同余式$$\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{ap}{r}\rfloor}\binom{2k}{k}x^k \pmod{p^2}$$的更多例子（并给出了证明），其中$p$是素数，使得$p\equiv 1 \pmod{r}$，$a/r$是$(1/2,1)$中的分数，$x$是$p$ -adic整数.关键成分是$p$ -adic Gamma函数$Γ_p$和一类特殊的计算机发现的超几何恒等式。
2020-07-20 math.CO math.NT
Congruences for sums of binomial coefficients
设q>1和m>0是互素整数。我们找到一个显式周期$ν_m(q)$，使得对于任何整数n>0和r，只要a是具有$\gcd(1-(-a)^m,q)=1$的整数，或a=-1（mod q），或a=1（mod q）和2，我们就有$[n+ν_m(q),r]_m(a)=[n,r]_m(a) (mod q)$| m，其中$[n,r]_m(a)=\sum_{k=r(mod m)}\binom{n}{k}a^k$ .这是一个Glasgow同余式的进一步推广。
2007-08-05 math.CO math.NT
Some congruences related to a congruence of Van Hamme
我们建立了一些与Van Hamme的超同余相关的超同余，如\begin{align*} \sum_{k=0}^{(p+1)/2} (-1)^k (4k-1)\frac{(-\frac{1}{2})_k^3}{k!^3} &\equiv p(-1)^{(p+1)/2}+p^3(2-E_{p-3})\pmod{p^{4}},\\ \sum_{k=0}^{(p+1)/2} (4k-1)^5 \frac{(-\frac{1}{2})_k^4}{k!^4} &\equiv 16p\pmod{p^{4}}, \end{align*}，其中$p$是奇素数，$E_{p-3}$是$(p-3)$ -第欧拉数.我们的证明使用了Z的一些同余式。W. Sun的方法、Wilf-Zeilberger方法、Whipple的$_7F_6$变换和Schneider开发的软件包{ \tt Sigma}。并提出了两个相关的建议。
2019-03-09 math.CO math.NT
Congruences for sums involving products of three binomial coefficients
设$p>3$是素数，$a$是有理$p$整数，利用WZ方法建立了$$\sum_{k=0}^{p-1} \binom ak\binom{-1-a}k\binom{2k}k\frac {w(k)}{4^k},$$的模$p^3$同余式，其中$$w(k)=1,\frac 1{k+1},\frac 1{(k+1)^2},\frac 1{(k+1)^3},\frac 1{2k-1},\frac 1{k+2}, \frac 1{k+3}, k,k^2,k^3,\frac 1{a+k},\frac 1{a+k-1}.$$作为推论，利用$a=-\frac 12,-\frac 13,-\frac 14,-\frac 16$导出了许多模$p^3$的同余式，从而解决了作者以前提出的一些问题.
2022-02-14 math.CO math.NT
Harer-Zagier generating functions, the Redfield-Polya cycle index and Cohen semilinear congruences
曲线模空间欧拉示性数的Harer-Zagier生成函数包含$n$ -项链多项式。这些多项式的泰勒展开式依赖于Cohen半线性同余的解的个数。
2018-12-16 math.CO
On the divisibility of $q$-trinomial coefficients
建立了中心$q$ -二项式系数和的一个同余式.从这个$q$ -同余，我们得到了由Andrews和Baxter引入的$q$ -三项式系数的整除性.
2021-09-16 math.CO math.NT
On some new congruences for binomial coefficients
本文建立了中心二项式系数和Catalan数的新同余式。设$p$是素数，$a$是任意正整数。我们确定了$d=0,...,p^a$的$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+d}$ mod $p^2$和$δ=0,1$的$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+δ}$ mod $p^3$。我们还表明，$$C_n^{-1}\sum_{k=0}^{p^a-1}C_{p^an+k}=1-3(n+1)((p^a-1)/3) (mod p^2)$$对每个n= 0，1，2，.，其中$C_m$是加泰罗尼亚数字$\binom{2m}{m}/(m+1)$，（-）是勒让德符号。
2011-06-02 math.CO math.NT
Some new results about $q$-trinomial coefficients
本文给出了Andrews和Baxter引入的$q$ -三项式系数的几个新的同余式.建立了中心$q$ -二项式系数和的一个新的同余式.
2022-03-04 math.CO math.NT
Higher-Order Cyclotomic Congruences for $q$-Secant and Generalized $q$-Euler Numbers
College of Mathematics and Physics, Wenzhou University（温州大学数学与物理学院）
本研究借助$q$-正割数互反生成函数、高斯系数展开等工具，推导$q$-正割数的四阶$(1+q)$模同余式，并将局部展开法推广到广义$q$-欧拉数，得到素数模下的高阶分圆同余，构建了通用高阶分圆方法的首个实例。
2026-08-07 math.CO math.NT
Some $q$-analogs of congruences for central binomial sums
我们建立了四个包含中心二项式系数的同余式的$q$ -模拟。通过$q$ -WZ方法显示了为此目的所需的$q$ -恒等式。
2012-01-30 math.CO math.NT
Congruences for the coefficients of the Gordon and McIntosh mock theta function $ξ(q)$
本文研究了 Gordon 和 McIntosh 引入的三阶 mock theta 函数 $ξ(q)$ 系数的算术性质，提出了包括数族 Ramanujan 式同余在内的若干同余性质。
2020-07-19 math.CO math.NT
A parametric Catalan-type congruence for generalized central trinomial coefficients
Capital Normal University（首都师范大学）
本文针对广义中心三项式系数，给出一个参数化 Catalan 型同余式，解决 Wang 和 Cui 的求和问题，并覆盖 $p$ 整除 $b$ 或 $b-2c$ 的情形。
2026-10-01 math.CO math.NT
Congruences for $q$-binomial coefficients
我们讨论了经典同余式$\binom{ap}{bp}\equiv\binom{a}{b}\pmod{p^3}$的$q$ -类似物，对素数$p>3$有效，以及它的推广。特别是，我们证明了相关的同余（$q$ -类似物）整阶乘比。
2019-04-01 math.CA math.CO math.NT
Congruences involving generalized central trinomial coefficients
对于整数$b$和$c$，广义中心三项式系数$T_n(b,c)$表示$(x^2+bx+c)^n$展开式中$x^n$的系数。这些$T_n=T_n(1,1)\ (n=0,1,2,\ldots)$是通常的中心三项式系数，$T_n(3,2)$与组合学中的Delannoy数$D_n=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{n+k}k$一致。本文系统地研究了含广义中心三项式系数的同余。以下是一些典型的结果：对于每个$n=1,2,3,\ldots$，我们有$$\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)T_k(b,c)^2(b^2-4c)^{n-1-k}\equiv0\pmod{n^2}$$，特别是$n^2\mid\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)D_k^2$ ;如果$p$是奇素数，则有$$\sum_{k=0}^{p-1}T_k^2\equiv\left(\frac{-1}p\right)\ \pmod{p}\ \ \ {\rm and}\ \ \ \sum_{k=0}^{p-1}D_k^2\equiv\left(\frac 2p\right)\ \pmod{p},$$，其中$(-)$表示Legendre符号。我们还提出了几个approachures其中一些涉及参数表示素数的某些二元二次型。
2014-06-17 math.CO math.NT
Congruences concerning binomial coefficients and binary quadratic forms
设$p>3$为素数。本文得到了$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\binom{2k}k^3}{(-8)^k},\ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\binom{2k}k^2\binom{3k}k}{(-192)^k},\ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\binom{2k}k^2\binom{4k}{2k}}{(-144)^k}\ \text{and} \ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{w(k)\binom{2k}k^2\binom{4k}{2k}}{648^k}$$模$p^2$的同余式，以及$\sum_{k=0}^{(p-1)/2} \binom{2k}k^3\frac{w(k)}{m^k}$模$p^2$的部分结果，其中$m\in\{1,16,-64,256,-512,4096\}$和$w(k)\in\{k^2,k^3,\frac 1{k+1},\frac 1{(k+1)^2},\frac 1{(k+1)^3}, \frac 1{2k-1},\frac 1{k+2}\}$ .
2022-11-24 math.CO math.NT
$6$-regular partitions: new combinatorial properties, congruences, and linear inequalities
我们考虑$n$的$6$ -正则分拆的个数，即$b_6(n)$，并给出了$b_6(n)$的模$3$（在等差数列中）同余的无限族.我们还考虑了$n$的分区到不同的部分不全等的$\pm 2$模$6$，$Q_2(n)$，并调查之间的连接$b_6(n)$和$Q_2(n)$这些分区功能提供新的组合解释。在此背景下，我们发现了新的无限族的线性不等式涉及欧拉的配分函数$p(n)$。作为公开问题，提出了包含$6$ -正则配分函数$b_6(n)$和不同配分函数$Q_2(n)$的无限族线性不等式.
2023-02-02 math.CO math.NT
Recurrence and congruences for the smallest parts function
Shaoxing University（绍兴大学）
本文基于Hecke迹研究最小部分函数的递归公式，并推导出同余表达式，同时证明了该函数的非同余性质。
2026-04-15 math.CO math.NT
Proof of Sun's conjectures on super congruences and the divisibility of certain binomial sums
本文证明了Z.- W. Sun：$$2n\binom{2n}n\big|\sum_{k=0}^{n-1}(3k+1)\binom{2k}k^3{16}^{n-1-k}\ \mbox{for}\ \mbox{all}\ n=2,3,\cdots,$$和$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{3k+1}{16^k}\binom{2k}{k}^3\equiv p+2\left(\frac{-1}{p}\right)p^3E_{p-3}\pmod{p^4},$$，其中$p>3$是素数，$E_0,E_1,E_2,\cdots$是欧拉数。
2019-10-29 math.CO math.NT
Jacobi-Type Continued Fractions and Congruences for Binomial Coefficients Modulo Integers $h \geq 2$
证明了在所有$n \geq 0$上生成二项式系数的两种新形式的Jacobi型J-分式展开式$\binom{x+n}{n}$和$\binom{x}{n}$.在文章中，我们建立了新的形式的整数同余这些二项式系数变化模任何（素数或复合）$h \geq 2$和比较我们的结果与现有的已知的同余二项式系数模素数$p$和素数权力$p^k$。我们还证明了新的精确公式，这些二项式系数的情况下，从扩展的$h^{th}$收敛函数的无限J-分数系列生成这些系数的所有$n$。
2017-02-05 math.CO
Supercongruences satisfied by coefficients of 2F1 hypergeometric series
最近，Chan，Cooper和Sica证明了经典2F1超几何级数系数的两个同余式，它们也是由模形式的幂级数展开式用模函数表示的.我们证明这两个同余使用组合性质的系数。
2009-12-03 math.CO math.NT
Some congruences involving central q-binomial coefficients
受Sun和Tauraso最近工作的启发，我们证明了一些涉及中心q-二项式系数的Green-Krammer恒等式的变体，如$$ \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^kq^{-{k+1\choose 2}}{2k\brack k}_q \equiv (\frac{n}{5}) q^{-\lfloor n^4/5\rfloor} \pmod{Φ_n(q)}, $$，其中$\big(\frac{n}{p}\big)$是Legendre符号，$Φ_n(q)$是$n$ th分圆多项式.作为结果，我们推导出，$$ \sum_{k=0}^{3^a m-1} q^{k}{2k\brack k}_q &\equiv 0 \pmod{(1-q^{3^a})/(1-q)}, \sum_{k=0}^{5^a m-1}(-1)^kq^{-{k+1\choose 2}}{2k\brack k}_q &\equiv 0 \pmod{(1-q^{5^a})/(1-q)}, $$为$a,m\geq 1$，第一个是一个部分q模拟的Strauss-Shallit-Zagier同余模幂为3。提出了几种相关的解决方案。
2010-01-31 math.CO math.NT
On congruences related to central binomial coefficients
已知$\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}/((2k+1)4^k)=π/2$和$\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}/((2k+1)16^k)=π/3$ .本文得到了它们的p-adic类似物，如$$\sum_{p/2<k<p}\binom{2k}{k}/((2k+1)4^k)=3\sum_{p/2<k<p}\binom{2k}{k}/((2k+1)16^k)= pE_{p-3} (mod p^2),$$，其中p>3是素数，E_0，E_1，E_2，.是欧拉数。除此之外，我们还推导出了与中心二项式系数有关的其它一些同余式。此外，我们还提出了一些推论，其中一个推论指出，对于任何奇素数p，如果（p/7）=1且p=x^2+7y^2且x，y为整数，则我们有$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}{k}^3=4x^2-2p (mod p^2)$$，如果（p/7）=-1则有$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}{k}^3=0 (mod p^2)$$，即，p= 3，5，6（mod 7）。
2011-08-02 math.CO math.NT
Algebraic independence of $G$-functions and congruences "à la Lucas"
给出了一种证明$G$ -函数代数独立性的新方法。我们的方法依赖于以下观察：$G$ -功能并不总是一个单一的线性微分方程，但有时也与一个无限的家庭的线性差分方程与Frobenius是通过减少模素理想。当这些线性差分方程具有一阶时，$G$ -函数的系数满足令人想起卢卡斯关于二项式系数的经典定理的同余。我们用它来推导一个类似Kolkin的代数独立性准则。我们证明了这一标准的相关性，使用p-adic工具，许多经典的家庭的$G$ -功能变成满足同余“LA卢卡斯”。
2016-03-14 math.CO math.NT
Polynomial analogues of Ramanujan congruences for Han's hooklength formula
本文考虑eta幂$\prod {(1-q^k)}^{b-1}$。证明了当$n=5j+4$满足一定条件时，该表达式中的$\frac{q^n}{n!}$的系数作为$b$中的多项式，在模5的非零剩余类中呈等分布.其他对称性，以及对称性的其他素数和素数的权力，证明，并提出了一些开放的问题。
2012-10-15 math.CO math.NT
Asymptotics of crank generating functions and Ramanujan congruences
本文给出了曲柄母函数无限族的傅里叶系数的渐近公式。此外，我们还利用这个结果证明了曲柄服从一定的不等式。这意味着曲柄不能解释任何分区同余在通常的方式旁边的三个拉马努金推断。
2013-11-18 math.CO math.NT
New congruences for central binomial coefficients
设p是素数，a是正整数。在本文中，我们确定了$\sum_{k=0}^{p^a-1}\binom{2k}{k+d}/m^k$和$\sum_{k=1}^{p-1}\binom{2k}{k+d}/(km^{k-1})$模$p$，对于所有d=0，.，例如，我们证明了如果$p\not=2,5$，则$$\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^k\frac{\binom{2k}k}k=-5\frac{F_{p-(\frac p5)}}p (mod p),$$，其中F_n是第n个Fibonacci数，（-）是Jacobi符号。我们还证明了当p>3时，有$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{\binom{2k}k}k={8/9} p^2B_{p-3} (mod p^3),$$，其中B_n表示n阶Bernoulli数.
2010-04-01 math.CO math.NT
Proof of a congruence on sums of powers of $q$-binomial coefficients
我们证明了，如果$m,n\geqslant 1$和$a_1,\ldots,a_m$是非负整数，那么\begin{align*} \frac{[a_1+\cdots+a_m+1]!}{[a_1]!\ldots[a_m]!}\sum^{n-1}_{h=0}q^h\prod_{i=1}^m{h\brack a_i} \equiv 0\pmod{[n]}, \end{align*}，其中$[n]=\frac{1-q^n}{1-q}$，$[n]!=[n][n-1]\cdots[1]$，和${a\brack b}=\prod_{k=1}^b\frac{1-q^{a-k+1}}{1-q^k}$。$a_1=\cdots=a_m$的案例证实了Z. W.太阳我们还证明了，如果$p>\max\{a,b\}$是素数，则\begin{align*} \frac{[a+b+1]!}{[a]![b]!}\sum_{h=0}^{p-1}q^h{h\brack a}{h\brack b} \equiv (-1)^{a-b} q^{ab-{a\choose 2}-{b\choose 2}}[p]\pmod{[p]^2}. \end{align*}
2015-04-20 math.CO math.NT
Dyson's crank and unimodal compositions
曲柄是一个分区统计要求戴森在1944年为了combinatorially证明拉马努金同余欧拉的分拆函数$p(n)$。在本文中，我们提供戴森曲柄和单峰组成之间的连接。不相关的，我们给出了一个新的截断欧拉五边形数定理由于夏和赵的组合证明。
2022-03-03 math.CO math.NT
Congruences via modular forms
证明了模形式的幂级数展开式系数在t中的两个同余式，其中t是模函数。因此，我们解决了陈，库珀和西卡最近的两个问题。此外，我们提供了一个表的同余出现在类似的幂级数展开式和在研究的积分解决方案的类微分方程的数字。
2010-09-02 math.CO math.NT
An extension of Lucas Theorem
本文给出计算模素数二项式系数的同余判据的初等证明，并据此推广Lucas定理，应用于推导二项式系数和的恒等式与同余式。
2023-08-31 math.CO math.NT
Ramanujan Congruences for Fractional Partition Functions
对于有理$α$，分数分拆函数$p_α(n)$由生成函数$(q;q)^α_\infty$的系数给出。当$α=-1$时，得到通常的配分函数。Ramanujan研究了素数$\ell$和整数$c$的形式为$p(\ell n + c)\equiv 0 \pmod{\ell}$的同余。Chan和Wang [4]最近研究了分数分拆函数的同余，并利用Dedekind η-函数的恒等式给出了几个无穷族的同余。在他们的工作之后，我们使用非普通素数的理论来找到一个一般的框架，该框架描述了模任意整数的同余。这使我们能够证明新的同余，如$p_\frac{57}{61}(17^2n-3)\equiv 0 \pmod{17^2}$。
2019-07-15 math.CO math.NT
On sums related to central binomial and trinomial coefficients
广义中心三项式系数$T_n(b,c)$是$(x^2+bx+c)^n$用$b,c\in\mathbb Z$展开时$x^n$的系数。本文研究了与中心二项式系数和广义中心三项系数相关的项和的同余式和级数。本文包含了许多关于与某些二元二次型表示素数有关的同余式的说明，以及62个由同余式和相关对偶激发的$1/π$的新系列。
2014-10-22 math.CA math.CO math.NT
Congruences for Catalan and Motzkin numbers and related sequences
我们证明了Catalan和Motzkin数以及相关序列的各种同余。共同的线索是所有这些序列都可以用二项式系数表示。我们的技术是组合的和代数的：群作用，归纳法，和卢卡斯的二项式系数同余开始发挥作用。我们的一些结果解决了Benoit Cloitre和Reinhard Zumkeller的问题。Thue-Morse序列出现在几个上下文中。
2004-07-19 math.CO
Congruences of shifted Jack Littlewood-Richardson coefficients
Singulariti Research
本文证明了关于平移Jack Littlewood-Richardson系数的同余猜想，该猜想涉及两个三元组（其中一个分区通过单框移动变化）的系数模移动框的α-钩长同余。
2026-09-30 math.CO math.RT
Some Elementary Congruences for the Number of Weighted Integer Compositions
一个非负整数$n$的整数复合是一个非负整数的元组$(π_1,\ldots,π_k)$，其和是$n$ ; $π_i$被称为复合的部分。对于固定数量的$k$部件，$f$加权整数组合（在文献中也称为$f$着色整数组合）的数量由扩展二项式系数$\binom{k}{n}_{f}$给出，其中每个部件尺寸$s$可能出现在$f(s)$不同的颜色中.我们推导出了$\binom{k}{n}_{f}$的几个同余性质，其中大部分类似于普通二项式系数。其中有奇偶性的$\binom{k}{n}_{f}$，巴贝奇的同余，卢卡斯定理等，我们还给出了同余$c_{f}(n)$，数的$f$加权整数组成的任意多个部分，并为扩大二项式系数和。我们关闭我们的结果的应用程序，以总理的标准加权整数组成。
2015-03-22 math.CO
Congruences for generalized Fishburn numbers at roots of unity
最近人们对$F(1-q)$和$\mathscr{F}_t(1-q)$的系数的算术性质产生了很大的兴趣，其中$F(q)$是Kontsevich-Zagier奇异级数，$\mathscr{F}_t(q)$是与一个环面结家族相关的奇异级数，如Bijaoui、Boden、Myers、Osburn、Rushworth、Tronsgard和Zhou所研究的那样。本文证明了两类广义Fishburn数，即$(ζ_N - q)^s F((ζ_N - q)^r)$和$(ζ_N - q)^s \mathscr{F}_t((ζ_N - q)^r)$的系数的素幂同余，其中$ζ_N$是$N$的单位根，$r$，$s$是确定的整数.
2020-11-09 math.CO math.GT math.NT
Automated Discovery and Proof of Congruence Theorems for Partial Sums of Combinatorial Sequences
许多组合序列（例如，卡塔兰数和莫茨金数）可以表示为$P(x)^k Q(x)$的常数项，对于具有整数系数的变量$x$中的某些劳伦多项式$P(x)$和$Q(x)$。用$a_k$表示这样的序列，我们得到一个通用公式，该公式确定不定和$\sum_{k=0}^{rp -1} a_k$的同余类，模$p$，对于{ \it any}素数$p$和任何正整数$r$，作为满足常系数线性递归（别名差）方程的序列的线性组合。这使我们（或者更确切地说，我们的计算机）能够自动发现和证明这样的部分和的同余定理。此外，我们表明，在许多情况下，剩余的集合是有限的，无论总理$p$。
2015-09-30 math.CO
Some Arithmetic Properties of the q-Euler Numbers and q-Salié Numbers
对m> nPDMATHABMM 0和1 \leq d \leq m，证明了q-欧拉数E_{2m}（q）与q^{m-n} E_{2n}（q）mod（1+q^d）全等当且仅当m \equiv n mod d.对于任意r个\geq 0，q-萨利数S_{2n}（q）可被（1+q^{2 r +1}）^{ \left \lfloor \frac{n}{2r+1} \right \rfloor }整除。此外，还得到了广义q-欧拉数的类似同余式，并给出了相应的公式.
2006-08-11 math.CO
