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Γ函数的一个精确逼近公式

An accurate approximation formula for gamma function

Zhen-Hang Yang, Jing-Feng Tian

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9 pages
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摘要：

本文给出了Γ函数的一个非常精确的逼近：\begin{equation*} Γ\left( x+1\right) \thicksim \sqrt{2πx}\left( \dfrac{x}{e}\right) ^{x}\left( x\sinh \frac{1}{x}\right) ^{x/2}\exp \left( \frac{7}{324}\frac{1}{ x^{3}\left( 35x^{2}+33\right) }\right) =W_{2}\left( x\right) \end{equation*} as $x\rightarrow \infty $，并证明了函数$x\mapsto \ln Γ\left( x+1\right) -\ln W_{2}\left( x\right) $是从$\left( 1,\infty \right) $到$\left( 0,β\right) $的严格递减凸函数，其中\begin{equation*} β=\frac{22\,025}{22\,032}-\ln \sqrt{2π\sinh 1}\approx 0.00002407. \end{equation*}

英文摘要：

In this paper, we present a very accurate approximation for gamma function: \begin{equation*} Γ\left( x+1\right) \thicksim \sqrt{2πx}\left( \dfrac{x}{e}\right) ^{x}\left( x\sinh \frac{1}{x}\right) ^{x/2}\exp \left( \frac{7}{324}\frac{1}{ x^{3}\left( 35x^{2}+33\right) }\right) =W_{2}\left( x\right) \end{equation*} as $x\rightarrow \infty $, and prove that the function $x\mapsto \ln Γ\left( x+1\right) -\ln W_{2}\left( x\right) $ is strictly decreasing and convex from $\left( 1,\infty \right) $ onto $\left( 0,β\right) $, where \begin{equation*} β=\frac{22\,025}{22\,032}-\ln \sqrt{2π\sinh 1}\approx 0.00002407. \end{equation*}

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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