首页/论文/1003.6020

arXiv 1003.60202010-03math.CA

Γ函数的更精确近似

More accurate approximations for the Gamma function

Gergő Nemes

备注：: 7 pages
发表信息：: Thai J. Math., Volume 9, Issue 1, 2011, 21-28

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

摘要英文摘要相关论文

摘要：

一个由R. W.高斯分布和中心二项式系数的一些渐近展开式使我们得到了Γ函数的新的精确近似。

英文摘要：

A series transformation idea inspired by a formula of R. W. Gosper and some asymptotic expansions for the central binomial coefficients leads us to new accurate approximations for the Gamma function.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

阅读原文

阅读 PDF ↗

arXiv 页面 ↗HTML 原文 ↗

本文内容

摘要英文摘要相关论文

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

继续探索

相关论文

Γ函数的一个精确逼近公式

An accurate approximation formula for gamma function

本文给出了Γ函数的一个非常精确的逼近：\begin{equation*} Γ\left( x+1\right) \thicksim \sqrt{2πx}\left( \dfrac{x}{e}\right) ^{x}\left( x\sinh \frac{1}{x}\right) ^{x/2}\exp \left( \frac{7}{324}\frac{1}{ x^{3}\left( 35x^{2}+33\right) }\right) =W_{2}\left( x\right) \end{equation*} as $x\rightarrow \infty $，并证明了函数$x\mapsto \ln Γ\left( x+1\right) -\ln W_{2}\left( x\right) $是从$\left( 1,\infty \right) $到$\left( 0,β\right) $的严格递减凸函数，其中\begin{equation*} β=\frac{22\,025}{22\,032}-\ln \sqrt{2π\sinh 1}\approx 0.00002407. \end{equation*}

2017-12-21math.CA

Gamma函数和多Γ函数的Chebychev插值及其分析性质

Chebychev interpolations of the Gamma and Polygamma Functions and their analytical properties

本文给出了Gamma函数和多Γ函数在一个连续区间内的Chebychev近似[1]。inf]具有可定义的最大相对误差。近似值需要每个小数大约三个系数，直到检查精度为100个十进制数字。

2016-05-02math.CA

对“Γ函数对数的Stirling近似的精确化“一文的评论

Comments on "Exactification of Stirling's approximation for the logarithm of the gamma function"

我们重新检查指数改进的扩展$\log\,\g(z)$，首先考虑在巴黎和伍德在1991年，指出最近的治疗Kowalenko [精确化斯特林近似的对数的Γ函数，arXiv：1404.2705]使用他的程序的正规化产生了一个等效的结果。此外，我们指出了他的定义的斯托克斯乘数，导致他作出不正确的声明，斯托克斯现象是一个跳跃的不连续性，而不是一个平滑过渡的错误。我们提供了一个数值例子，清楚地表明了领先的次显性指数$e^{2πiz}$跨斯托克斯线$\arg\,z=\fsπ$的平滑过渡。

2014-06-06math.CA

由Windschitl公式导出的Γ函数的两个渐近展开

Two asymptotic expansions for gamma function developed by Windschitl's formula

本文利用一个鲜为人知的幂级数，将Γ函数的Windschitl逼近公式推广到两个渐近展开.特别地，对于具有$n\geq 4$的$n\in \mathbb{N}$，我们具有对于所有$x>0$的具有\begin{equation*} \left| R_{n}\left( x\right) \right| \leq \frac{\left| B_{2n}\right| }{2n\left( 2n-1\right) }\frac{1}{x^{2n-1}} \end{equation*}的\begin{equation*} Γ\left( x+1\right) =\sqrt{2πx}\left( \tfrac{x}{e}\right) ^{x}\left( x\sinh \tfrac{1}{x}\right) ^{x/2}\exp \left( \sum_{k=3}^{n-1}\tfrac{\left( 2k\left( 2k-2\right) !-2^{2k-1}\right) B_{2k}}{2k\left( 2k\right) !x^{2k-1}} +R_{n}\left( x\right) \right) \end{equation*}，其中$B_{2n}$是伯努利数。此外，我们给出了与Windschitl近似公式相关的Γ函数的一些近似公式，它们具有更高的精度。

2017-12-21math.CA

Γ函数对数的Stirling逼近的精确化

Exactification of Stirling's Approximation for the Logarithm of the Gamma Function

精确化是从函数的完全渐近展开中获得函数的精确值的过程。在这里斯特林近似的对数的Γ函数或$\ln Γ(z)$是完全推导出来的，从而它是由标准的首项和一个渐近级数，一般是截断。然而，为了获得$\ln Γ(z)$的值，余数必须经过正则化。然后应用两种正则化技术：博雷尔求和和Mellin-Barnes（MB）正则化。Borel求和余项具有跨Stokes扇区和线的指数积分和不连续对数项的无限收敛和，而MB正则化余项具有一个MB积分和类似的对数项. MB积分在重叠收敛域上是有效的。因此，两个MB-正则化渐近形式可以用来评估$\ln Γ(z)$。尽管必须截断Borel求和的余数，但发现所有的截断器与（1）截断的渐近级数，（2）Stirling近似的首项和（3）它们的对数项相结合产生相同的$\ln Γ(z)$值。在精度下降的少数情况下，这主要是由于截断参数的值非常高，这导致冗余小数位的消除。在可能的情况下，所有的渐近形式都产生与Mathematica中的LogGamma例程相同的值。

2021-02-13math.CA

加权γ-K-泛函与半轴上的γ-光滑模

Weighted gamma-K-functional and gamma-Modulus of Smoothness on the Semiaxis

本文以修正某些函数在半轴上的加权多项式逼近的阶为动机，研究了伽玛相对微分。在此基础上给出了广义索伯列夫空间、K-泛函和光滑模的定义。我们证明定理估计这些东西与对方，在一阶的情况下，我们证明等价。我们也注意到一些可能的应用和其他推广。

2013-08-26math.CA

更多相关论文收起更多论文

对Paris关于Γ函数对数的Stirling逼近精确化的评论的答复

Reply to Paris's Comments on Exactification of Stirling's Approximation for the Logarithm of the Gamma Function

在最近的一份文件[arXiv：1406.1320]巴黎提出了一些意见，作者最近的工作exactification斯特林近似的对数的Γ函数，$\ln Γ(z)$。尽管他承认参考文献2中的计算基本上是正确的，但他声称，在从渐近展开中确定$\ln Γ(z)$的值时，不需要正则化的概念。这里表明，他在参考文献1的分析开始时就已经应用了这个概念。接下来，他声称，在参考文献2中，在完全展开的次优势部分中斯托克斯乘数的定义是不正确的，该定义负责证明斯托克斯现象是不连续的，而不是平滑的过渡。结果表明，文献[2]中所用的斯托克斯乘子与Berry在其著名著作[15]中对斯托克斯现象的传统观点的描述完全一致。此外，指出Paris没有通过至少复制或改进参考文献2的表7中的结果来证实平滑观点，该结果不仅证实了斯托克斯现象的跳跃不连续性质，而且提供了$\ln Γ(z)$到30位数的精确值，而不管变量的大小或截断是否是最佳的。最后，MB-正则值的计算方便性的问题进行了讨论，因为巴黎是关键的Borel求和的形式被用于计算。

2018-08-09math.CA

再论黎曼ζ函数的渐近逼近

An asymptotic approximation for the Riemann zeta function revisited

本文重新讨论了作者和S. Cang in Methods Appl. Anal. { \bf 4}（1997）449- 470.使用不完全Γ函数的一致渐近性，在临界线$s=1/2+it$上产生$ζ(s)$的类似渐近展开式为$t\to+\infty$。主项包括由适当幅角的互补误差函数平滑的原始Dirichlet级数以及一系列校正项。这里的目的是通过以$ω$的逆幂表示来以更用户友好的格式呈现这些校正项，其中$ω^2=πs/(2i)$乘以涉及自变量为$ω$的三角函数的系数。

2022-05-06math.CA

不完全Γ函数比值的高效精确计算与反演

Efficient and accurate algorithms for the computation and inversion of the incomplete gamma function ratios

对于$a$和$x$的正值，描述了不完全Γ函数比$P(a,x)=γ(a,x)/Γ(a)$和$Q(a,x)=Γ(a,x)/Γ(a)$的数值计算算法。给出了用$0<p,q<1$求解方程组$P(a,x)=p$、$Q(a,x)=q$的反演方法。不完全Γ函数比的直接计算和求逆在统计和应用概率中有着广泛的应用。从早期文献的分析方法进行了总结，并得出新的初始估计开始的反演算法。我们的算法（Fortran 90模块{ \bf IncgamFI}）的相关软件的性能进行了分析，并与早期公布的算法进行了比较。

2013-06-07math.CAmath.PRmath.ST