TAP和2-边连通性的快速分布式逼近

柔性图连通性：1-连通性和2-连通性之间的近似网络设计问题

Flexible Graph Connectivity: Approximating Network Design Problems Between 1- and 2-connectivity

图的连通性和网络设计问题是组合优化中最基本的问题之一。最小生成树问题，两个边连接的生成子图问题（2-ECSS）和树增强问题（TAP）都是基本的网络设计任务的例子，假设不同的初始状态的网络和不同的假设网络组件的可靠性。在本文中，我们激励和研究\emph{Flexible Graph Connectivity}（FGC），一个问题，混合在一起的建模能力和所有上述问题的复杂性和更多。简而言之，FGC要求设计一个连接的网络，同时允许为各个边缘指定不同的可靠性级别。虽然这个问题的非均匀性使得它从建模的角度来看很有吸引力，但它也使得大多数现有的用于处理网络设计问题的算法工具不适合近似FGC。在本文中，我们开发了一个通用的算法方法近似FGC，产生近似算法的比率是非常接近的最佳已知的界限，许多特殊情况下，如2-ECSS和TAP。我们的算法和分析结合了各种技术，包括一个权重缩放算法，收费参数，使用一个变量的交换双射之间的生成树和一个因素，揭示最小-最大-最小优化问题。

2020-01-13cs.DMcs.DS

树扩充问题的$1.75$ LP近似

A $1.75$ LP approximation for the Tree Augmentation Problem

在树扩充问题（TAP）中，目标是通过来自给定边集$E$的最小尺寸边集$F$来扩充树$T$，使得$T \cup F$是$2$边连通的。已知TAP的最佳近似比是$1.5$。在更一般的加权TAP问题中，$F$应该具有最小权重。加权TAP允许几个$2$ -近似算法w.r.t.标准切割LP松弛，但对于所有这些性能比的$2$是紧的，即使对于TAP。这个问题等价于覆盖一个层集族的问题。在连通网络设计问题的近似算法设计中，层状集族起着重要的作用。事实上，加权TAP是最简单的连接网络设计问题，其比$2$更好的比率是未知的。提高这个“自然”比率是一个主要的开放问题，这可能对许多其他网络设计问题产生影响。似乎实现这一目标需要找到具有比$2$更好的完整性间隙的LP松弛，这即使对于TAP也是一个长期开放的问题。在本文中，我们引入了这样的LP松弛，并给出了一种算法，该算法计算大小最多为$1.75$乘以最佳LP值的TAP的可行解。这为打破加权情况下的比率$2$带来了一些希望。我们的算法计算一些初始的边集，通过解决一个部分系统的约束，形成完整的边覆盖多面体，然后应用本地搜索$3$ -叶子子树交换的一些边缘，并添加额外的边缘。因此，我们不需要求解LP，并且该算法的运行时间大致上是在一般图中找到最小权重边覆盖所需的时间。

2015-07-10cs.DS

突破2-近似障碍的连通性扩充：Steiner树的一种简化

Breaching the 2-Approximation Barrier for Connectivity Augmentation: a Reduction to Steiner Tree

可生存网络设计的基本目标是建立一个廉价的网络，即使一些边缘/节点发生故障，也能保持给定节点集之间的连通性。连通性增强问题（CAP）可以说是这一领域中最基本的问题之一：给定一个$k$（-edge）-连通图$G$和一组额外的边（链路），选择链路的最小基数子集$A$，使得将$A$添加到$G$将其边连通性增加到$k+1$。直觉上，人们希望通过增加额外的边缘来使现有网络更加可靠。这个NP难题的最著名的近似因子是$2$，这可以通过多种方法来实现（第一个这样的结果是在[Frederickson和Jájá'81]中）。已知[Dinitz et al. 76] CAP可以简化为$k=1$的情况，也称为树扩充问题（TAP），对于奇数$k$，以及对于情况$k=2$，a.k.a.仙人掌扩增问题（CacAP），甚至$k$。已知有几种比$2$更好的近似算法用于TAP，最后是最近的$1.458$近似[Grandoni et al. '18]。然而，对于CacAP，最知名的近似是$2$。在本文中，我们突破了$2$近似障碍CacAP，因此CAP，提出了多项式时间$2\ln(4)-\frac{967}{1120}+ε<1.91$近似。以前的方法利用TAP的属性，这些属性似乎不能推广到CacAP。相反，我们使用减少施泰纳树的问题，这是以前使用的参数化算法[Basavaraju等人。'14]。这种减少不是近似保持，并且使…

2019-11-07cs.DS

确定性下界：分布式草图模型中k边连通性的下界

Deterministic Lower Bounds for $k$-Edge Connectivity in the Distributed Sketching Model

Augusta University（奥古斯塔大学）

本文提出了分布式草图模型中k边连通性问题的第一个确定性下界，证明了最坏情况下的消息长度为Ω(k)位。

2026-02-09cs.DCcs.DS

大型图的连通度和MST的快速分布式算法

Fast Distributed Algorithms for Connectivity and MST in Large Graphs

出于对分布式大规模图计算的算法基础的日益增长的需求，我们研究了一些基本的图形问题，在分布式计算的消息传递模型中，$k \geq 2$机器与$n$节点（通常是$n \gg k$）共同执行图上的计算。假设输入图最初在$k$机器之间随机划分，这是许多现实世界系统中的常见实现。通信是点对点的，目标是最小化计算的通信轮数。我们的主要结果是一个（几乎）最佳的分布随机算法图的连通性。我们的算法在$\tilde{O}(n/k^2)$轮中运行（$\tilde{O}$符号隐藏了一个$\poly\log(n)$因子和一个加性$\poly\log(n)$项）。这改进了$\tilde{O}(n/k)$的最佳先前已知的界限[Klauck等人，SODA 2015]，并且鉴于$\tildeΩ(n/k^2)$的现有下限是最佳的（直到多对数因子）。我们的改进算法使用了一堆技术，包括线性图素描，证明有效的分布式图算法的设计有用。使用的连通性算法作为一个积木，然后，我们提出了快速的随机算法计算最小生成树，（近似）最小切割，并为许多图形验证问题。所有这些算法都需要$\tilde{O}(n/k^2)$轮，并且在多对数因子下是最优的。我们还显示了一个几乎匹配的下界$\tildeΩ(n/k^2)$轮许多图验证问题，利用随机分区通信复杂性的下限。

2016-07-06cs.DCcs.DS

次线性时间上的分布边连通性

Distributed Edge Connectivity in Sublinear Time

我们提出了第一个子线性时间算法的分布式消息传递网络sto计算其边缘连通$λ$完全在CONGEST模型，只要没有平行的边缘。我们的算法花费$\tilde O(n^{1-1/353}D^{1/353}+n^{1-1/706})$时间来计算$λ$和基数$λ$的高概率切割，其中$n$和$D$分别是网络的节点数和直径，并且$\tilde O$隐藏了多对数因子。当$D$为时，该运行时间在$n$（即$\tilde O(n^{1-ε})$）中为次线性。以前的次线性时间分布算法可以解决这个问题，或者（i）只有当$λ=O(n^{1/8-ε})$ [Thurimella PODC'95; Pritchard，Thurimella，ACM Trans. Algorithms'11; Nanongkai，Su，DISC'14]或（ii）近似[Ghaffari，Kuhn，DISC'13; Nanongkai，Su，DISC'14]。为了实现这一目标，我们开发并结合了几种新技术。首先，我们设计了第一个分布式算法，可以计算一个$k$边缘连接证书的任何$k=O(n^{1-ε})$在时间$\tilde O(\sqrt{nk}+D)$。其次，我们表明，通过结合最近的分布式扩展器分解技术[Chang，Pettie，Zhang，SODA'19]与[Kawarabayashi，Thorup，STOC'15]的顺序确定性边缘连…

2019-04-08cs.DCcs.DS

小切口和连通性证书：一种容错方法

Small Cuts and Connectivity Certificates: A Fault Tolerant Approach

我们重温经典的连接性问题，在分布式计算的CONGEST模型。通过使用容错网络设计的技术，我们展示了改进的结构，其中一些甚至是“本地的”（即，具有$\widetilde{O}(1)$轮）用于与硬全局问题密切相关的问题（即，具有$Ω(Diam+\sqrt{n})$轮的下限）。我们的主要结果是：（1）对于具有常边连通度的$D$ -直径无权图，我们给出了$poly(D)$圈中最小割的精确分布确定性计算。这解决了最近在Daga，Henzinger，Nanongkai和Saranurak，STOC'19中提出的开放问题之一。(2)对于$D$ -直径无权图，我们提出了一个确定性算法，在$poly(D)\cdot 2^{O(\sqrt{\log n\log\log n})}$轮中计算所有的边连通度直到常数。(3)在$\widetilde{O}(λ)$轮中计算稀疏$λ$连通性证书。先前的构造仅已知用于$λ\leq 3$并且需要$O(D)$轮。这解决了Dori PODC'18提出的问题。

2020-08-03cs.DCcs.DS

最小费用2-结点连通生成子图的划分LP松弛

On a Partition LP Relaxation for Min-Cost 2-Node Connected Spanning Subgraphs

我们的动机是改善已知的最佳近似保证问题的最小成本2-节点连接生成子图的给定无向图的非负边成本。提出了一种基于划分约束的线性规划松弛算法。输入包含零成本生成树的特殊情况称为2NC-TAP。我们提出了一个贪心算法的2NC-TAP，我们分析它通过双重拟合我们的分区LP松弛。关键词：2-节点连通图，近似算法，连通性增强，贪心算法，网络设计，分区松弛

2021-11-15cs.DS

图的边连通度从1扩充到2的简化1.5-近似算法

A simplified 1.5-approximation algorithm for augmenting edge-connectivity of a graph from 1 to 2

树扩充问题（TAP）是：给定连通图$G=(V,{\cal E})$和$V$上的边集$E$，求$F \subseteq E$的最小边子集，使得$(V,{\cal E} \cup F)$是$2$ -边连通的.在会议版本\cite{EFKN-APPROX}中，概述了该问题的$1.5$ -近似算法。由于一个完整的证明是非常复杂和漫长的，期刊版本被切成两部分。在第一部分中，仅证明了\cite{EFKN-TALG}为比率$1.8$。试图简化第二部分在\cite{EKN-IPL}中产生了错误。在这里，我们给出了一个正确的，不同的，和自包含的比率$1.5$的证明，这也是大大简单，比以前的证明短。

2015-07-10cs.DS

基于随机$2$ -Out收缩的边连通性快速算法

Faster Algorithms for Edge Connectivity via Random $2$-Out Contractions

我们提供了一个简单的新的随机收缩的方法来解决简单无向图的全局最小割问题。收缩利用来自每个顶点的2-out边缘采样，而不是标准的均匀边缘采样。我们展示了我们的新方法的力量，通过获得更好的算法的顺序，分布式和并行计算模型。我们的最终结果包括以下随机算法计算边缘连接的高概率：-两个顺序算法的复杂性$O(m \log n)$和$O(m+n \log^3 n)$。这些改进了一长串的发展，包括Karger的著名$O(m \log^3 n)$算法[STOC'96]和Henzinger等人的最新$O(m \log^2 n (\log\log n)^2)$算法[SODA'17]。此外，我们的$O(m+n \log^3 n)$算法是最佳的，只要$m = Ω(n \log^3 n)$。在我们新的时间界限whp内，我们还可以构造所有最小割的仙人掌表示。--$Õ(n^{0.8} D^{0.2} + n^{0.9})$轮分布式算法，其中D表示图直径。这大大改进了Daga等人[STOC'19]的最近突破，其实现了$Õ(n^{1-1/353}D^{1/353} + n^{1-1/706})$的轮复杂度，因此提供了用于精确计算边缘连通性的第一个次线性分布式算法。--第一个$O(1)$轮算法，用于大规模并行计算设置，每台机器具有线性内存。

2019-09-02cs.DCcs.DS

测试网络的连通性

Testing the Connectivity of Networks

在这篇文章中，我们讨论了一般的策略和计算机算法来测试的非结构化网络，其中包括一些段通过随机分布的节点连接的连通性。

2011-11-10cs.DS

分布式图草图中微小误差的多项式下界：连通性与生成树构造

Polynomial Lower Bounds for Distributed Graph Sketching with Tiny Error: Connectivity and Spanning Tree Construction

Augusta University（奥古斯塔大学）

针对分布式图草图模型，我们证明了在微小误差下解决连通性和生成树构造问题需要多项式长度的消息，显著缩小了现有下界与上界之间的差距，并扩展至k边连通性。

2026-09-09cs.DCcs.DS

分数连通支配集填充的分布式计算

On the Distributed Computation of Fractional Connected Dominating Set Packings

无线网络中最基本的问题之一是实现高吞吐量。分数连通支配集（FCDS）封装可以为具有节点连通性$k$的网络实现$Θ(k/\log n)$消息的吞吐量，这对于基于路由的消息传输是最优的。FCDS由Censor-Hillel \emph{et al.} [SODA'14，PODC'14]提出，是对连通支配集（CDS）的自然推广，允许每个节点以其权重的一小部分参与多个FCDS。因此，建立了$Ω(k)$共存的传输骨干网，充分利用了网络连接性。我们提出了一种改进的分布式算法，改进了以前的算法$kΔ\in o(\min\{\frac{n \log n}{k} ,D,\sqrt{n \log n} \log^* n\}\log n)$，其中$Δ$是最大节点度，$D$的直径和$n$的网络中的节点数。我们通过显式计算试探支配集之间的连接来实现这一点。

2015-08-18cs.DCcs.DS

无线网络的分布式连接

Distributed Connectivity of Wireless Networks

我们认为，从头开始构建一个通信基础设施的问题，相同的无线节点的集合。组合地，这意味着a）找到在平面中的一组$n$点上形成强连接生成图的一组链路，以及b）在干扰的SINR模型中有效地调度它。节点必须以分布式方式收敛于解决方案，除了唯一的无线信道之外没有任何通信手段。我们给分布式连接算法，运行在时间$O(poly(\log Δ, \log n))$，其中$Δ$是最长和最短的节点之间的距离之比。假设没有实例的先验知识的算法基本上限于使用均匀功率，这接近于最佳可能。然而，我们的主要目标是找到有效的结构，衡量在最终的时间表中使用的插槽数的链接。我们的主要结果是算法，匹配集中式解决方案的效率。具体地，可以使用（任意）功率控制在$O(\log n)$时隙中调度网络，并且使用简单的不经意功率方案在$O(\log n (\log\log Δ+ \log n))$时隙中调度网络。此外，网络具有期望的属性，即收敛广播和任何节点到节点通信的延迟是最佳的$O(\log n)$时间。

2012-10-16cs.DScs.NI

最坏情况下的时间递减连通性和k边见证

Worst-case time decremental connectivity and k-edge witness

我们给出了一个简单的算法递减图连接，处理边缘删除在最坏情况下的时间$O(k \log n)$和连接查询在$O(\log k)$，其中$k$是删除的边缘的数量到目前为止，并使用最坏情况下的空间$O(m^2)$。我们用这个给一个算法$k$边证人（``删除一组给定的$k$边断开两个顶点$u,v$？“）与最差情况时间$O(k^2 \log n)$和空间$O(k^2 n^2)$。对于$k = o(\sqrt{n})$，这些改进的最坏情况$O(\sqrt{n})$界删除由于Eppstein等人。我们还给出了一个递减的连接算法使用$O(n^2 \log n / \log \log n)$空间，其时间复杂度取决于韧性和输入图的独立数。最后，我们展示了如何构建一个分布式数据结构的\kvw通过给一个标签计划。这是\kvw的第一个数据结构，它可以有效地分布，而不只是给每个顶点一个整个结构的副本。其复杂性取决于能否构造具有良好性质的线性布局。

2008-10-30cs.DS

森林扩充问题的2-近似障碍突破

Breaching the 2-Approximation Barrier for the Forest Augmentation Problem

可生存网络设计的基本目标是构建廉价的网络，即使一些边缘或节点发生故障，也能保证某些节点对的连通性。一个著名的结果由Jain [Combinatorica'01]提供了一个2-近似的一类广泛的这些问题。然而，即使对于非常基本的特殊情况，也没有更好的方法，这就提出了一个自然的问题，即是否有可能改进近似因子。在本文中，我们解决了这个家庭中最基本的问题之一，其中2仍然是最著名的近似因子，森林扩增问题（FAP）：给定一个无向无权图（w.l.o.g.是一个森林）和一个额外的边缘（链接）的集合，计算链接的最小基数子集，其添加到图中使其2-边连通。已知几种优于2的近似算法用于输入图是树的特殊情况，也称为树扩充问题（TAP）最近，这也实现了加权版本的TAP，并为k-边连通性推广的TAP。这些结果充分利用了输入图是连通的这一事实，而这一条件在FAP中并不成立。在本文中，我们突破了FAP的2-近似障碍。我们的结果基于两个主要因素。首先，我们描述了一个减少的路径扩增问题（PAP），FAP的特殊情况下，输入图是一个不相交的路径的集合。我们的减少不是近似保持，但它是足够准确的，以提高因子2近似。其次，我们提出了一个优于2的近似算法PAP，一个开放的问题本身。在这里，我们利用一个新的概念，隐含的信用，这可能会在未来的相关工作是有帮助的。

2022-04-20cs.DSmath.COmath.OC