Solving Polynomial Systems in the Cloud with Polynomial Homotopy Continuation
多项式系统出现在科学和工程的许多领域。多项式同伦延拓方法应用符号-数值算法来求解多项式系统。我们描述了我们的Web界面的设计和实现，并反映了多项式同伦延拓方法在云中解决多项式系统的应用。通过图同构问题，我们组织和分类的多项式系统，我们解决。图的标准形式的分类将新提交的系统与已经解决的系统识别出来。
2015-06-08 cs.MS cs.NA cs.SC
Accurate solution of near-colliding Prony systems via decimation and homotopy continuation
Technion - Israel Institute of Technology（以色列理工学院）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文提出一种结合消去技术与同伦持续方法的算法，用于高精度求解近碰撞的普朗尼系统，解决传统方法在数据扰动下的精度问题。
2016-10-21 cs.NA cs.SC math.NA
Quality Up in Polynomial Homotopy Continuation by Multithreaded Path Tracking
加速比衡量我们使用多个内核解决同一问题的速度。如果我们能够保持执行时间固定，那么质量提升衡量的是使用多个核心计算的解决方案会有多好。在本文中，我们描述了我们的多线程实现跟踪一个解决方案的路径定义的多项式同伦。将质量限制在准确性上，并将准确性与精度混淆，我们努力抵消在多个核心上运行多线程代码的多精度算法的成本。
2011-09-02 cs.DC cs.NA cs.SC
Gaussian quadrature for splines via homotopy continuation: rules for $C^2$ cubic splines
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）
本文提出通过同伦持续法生成样条最优求积规则的新方法，通过构建源空间和目标空间，保持求积点数量和最优性，验证了算法的鲁棒性。
2015-05-17 cs.NA math.NA
A Special Homotopy Continuation Method For A Class of Polynomial Systems
LMAM & School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）；Chongqing Inst. of Green and Intelligent Techn. Chinese Academy of Sciences（中国科学院重庆绿色智能技术研究院）
本文提出一种结合多面体同调与线性乘积同调的特殊同调持续方法，用于计算特定多项式系统的孤立解，其根数界介于总次数界与混合体积界之间，且易于计算。
2017-04-25 cs.NA cs.SC math.AG
Iterative Soft/Hard Thresholding with Homotopy Continuation for Sparse Recovery
Zhongnan University of Economics and Law（中南财经政法大学）；University College London（伦敦大学学院）；Wuhan University（武汉大学）
本文提出一种结合同伦连续性的迭代软/硬阈值算法，用于在噪声下恢复稀疏信号，通过合适条件实现高精度重构，具有较低的迭代复杂度。
2017-04-11 cs.NA math.NA math.OC
Efficient design of continuation methods for hyperbolic transport problems in porous media
University of Bergen（卑尔根大学）；NORCE（NORCE研究中心）
本文提出了一种基于熵解的同伦持续方法，用于高效求解多孔介质中复杂多相流问题。
2026-03-11 cs.NA math.NA
Accelerating Polynomial Homotopy Continuation on a Graphics Processing Unit with Double Double and Quad Double Arithmetic
数值延拓方法跟踪由同伦定义的解路径。我们考虑的系统是由多个变量的复系数多项式定义的。对于更大的维度和次数，数值条件运算和硬件双精度的往往不足以到达解路径的终点。通过双倍和四倍双算法，我们可以解决硬件双算法无法解决的更大问题，但计算成本更高。这种成本开销可以通过图形处理单元（GPU）上的加速来补偿。我们描述了我们的实施和基准多项式系统的计算结果报告。
2015-06-12 cs.DC cs.MS cs.NA
Galois groups of Schubert problems via homotopy computation
Institute for Mathematics；its Applications University of Minnesota Minneapolis MN \ 55455 USA；Department of Mathematics Texas A\&M University College Station Texas \ 77843 USA
利用数值同伦延拓方法，研究舒伯特演算中伽罗瓦群的确定问题，并通过直接计算证明了一个特定舒伯特问题的伽罗瓦群是完全对称群。
2008-06-12 cs.NA math.AG math.NA
Continuation Newton methods with the residual trust-region time-stepping scheme for nonlinear equations
对于非线性方程组，同伦方法（延拓方法）因其收敛域大、求解可靠而在工程领域中得到广泛应用。经典同伦方法的缺点是在中间延拓过程中需要求解许多辅助非线性系统，计算量大。为了克服这一缺点，我们考虑了带剩余置信域时间步格式的显式连续牛顿法。数值实验表明，该方法比传统的最优化方法（MATLAB环境中内置的子程序fsolve.m）和同伦延拓方法（HOMPACK90和NAClab）具有更强的鲁棒性，能更快地找到实际问题的所需解.进一步分析了新方法的整体收敛和局部超线性收敛性。
2021-03-26 cs.NA math.DS math.NA
Tensor decomposition and homotopy continuation
Dipartimento di Matematica, Università di Trento（特伦托大学数学系）；Worcester State University（伍斯特州立大学）；Department of Applied and Computational Mathematics and Statistics, University of Notre Dame（圣母大学应用与计算数学及统计学系）；Inria Sophia Antipolis Méditerranée（索菲亚-安提波利斯地中海国家信息与自动化研究所）
本文提出通过数值消元理论计算张量秩和边秩的方法，结合实例展示数值代数几何的应用。
2016-07-06 cs.NA math.AG math.NA
A short proof for the parameter continuation theorem
本文利用Gröbner基给出参数延拓定理的简短证明，并据此提出计算判别式的方法。
2024-07-17 cs.NA math.AG math.NA
Khovanskii-Rolle continuation for real solutions
Colorado State University（科罗拉多州立大学）；Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
提出一种新的延拓算法，用于求解多项式方程组的所有非退化实解，通过追踪连接不同方程组解之间的实曲线，避免计算复解，并利用fewnomial界控制追踪曲线数量。
2009-08-31 cs.NA math.AG math.NA
A Homotopy Framework for Constrained Multiobjective Optimization
Clarkson University（克拉克森大学）
本文提出一种基于同伦的框架，用于计算多目标优化问题的KKT点，通过连续变形易解系统至KKT条件，保证全局收敛性，并在数值实验中展示出鲁棒性与高效性。
2026-10-16 cs.NA math.NA math.OC
Numerical Schubert Calculus via the Littlewood-Richardson Homotopy Algorithm
我们开发的Littlewood-Richardson同伦算法，它使用数值延拓计算解决方案的Schubert问题的格拉斯曼和几何Littlewood-Richardson规则的基础上。该算法的一个关键组成部分是我们的新的最佳制定舒伯特问题在当地Stiefel坐标方程组。我们的实现可以解决具有数万个解决方案的问题实例。
2020-07-03 cs.NA math.AG math.NA
Homotopy continuation of viscoelastic waveguide dispersion curves: from intra-manifold tracking to inter-manifold transport
Imperial College London（帝国理工学院）
针对非厄米特征值流形上传统模式追踪在异常点附近失效的问题，提出通过同伦延拓将无耗散锚流形上的全局唯一分支标识传输到有耗散目标流形，实现可靠模式识别。
2026-05-28 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Bayesian inverse problems using homotopy
在求解贝叶斯逆问题时，通常需要使用一个共同的密度参数化来表示先验和后验。通常，我们从与先验相似的族中寻找一个密度，它非常接近真实的后验。指数族作为统计学中最重要的一类分布，被认为是参数化的。通过最小化参数化密度和将先验密度变形为后验密度的同伦之间的偏差来实现用于表示近似后验的最佳参数值。而不是试图解决原来的问题，它是完全转换成一个显式的普通一阶微分方程相应的系统。在有限的时间间隔内求解该系统，得到所需的最优密度参数。数值算例表明了该方法的有效性。
2022-03-28 cs.NA math.NA
Solving the unique continuation problem for Schrödinger equations with low regularity solutions using a stabilized finite element method
本文针对薛定谔方程的唯一延拓问题，提出参数化稳定化有限元方法，证明Hölder型条件稳定性估计，实现内部区域误差估计与收敛性分析，并通过数值实验验证理论。
2025-04-25 cs.NA math.NA
HomPINNs: homotopy physics-informed neural networks for solving the inverse problems of nonlinear differential equations with multiple solutions
Purdue University（普渡大学）；University of Michigan（密歇根大学）；Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）
本文提出同伦物理信息神经网络（HomPINNs），将同伦延拓与神经网络结合，通过同时逼近多解观测数据并追踪识别多个解，有效求解具有多解和未知参数的非线性微分方程反问题，并在一维和二维Gray-Scott模拟中验证了其可扩展性与适应性。
2024-01-17 cs.AI cs.LG cs.NA
Polynomial Homotopies for Dense, Sparse and Determinantal Systems
本文提出针对稠密、稀疏和行列式多项式系统的数值同伦延拓方法，确保通用实例每条路径收敛且同伦最优，并讨论软件与应用。
1999-07-12 cs.NA math.AG math.NA
A Polyhedral Homotopy Algorithm For Real Zeros
我们设计了一个同伦延拓算法，这是基于数值跟踪Viro的修补方法，寻找稀疏多项式系统的实零点。该算法的目标是多项式系统的系数满足一定的条件。它完全在实数上运行，并跟踪最优解路径数。用更专业的术语;我们设计了一种算法，该算法正确地计数并找到位于底层A-判别变形虫的补的无界分量中的多项式系统的实零点。
2022-07-31 cs.CG cs.NA math.AG
HANN: Homotopy auxiliary neural network for solving nonlinear algebraic equations
针对非线性代数方程求解中初值敏感、精度与收敛不足等问题，提出融合同伦延拓和物理信息神经网络的HANN，通过HANN-1快速求解、HANN-2提升精度，并在多类基准问题上验证其优于Fsolve。
2025-10-05 cs.NA math.NA
Certified homotopy tracking using the Krawczyk method
本文提出了一种基于 Krawczyk 方法参数变体的认证同伦跟踪方法，适用于求解多项式方程组的一般参数同伦设定，并具有竞争力和理论保证。
2024-05-29 cs.NA cs.SC math.AG
Solving Schubert Problems with Littlewood-Richardson Homotopies
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；Stanford University（斯坦福大学）；University of Illinois at Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）
提出一种基于Vakil的Littlewood-Richardson规则几何证明的数值同伦延拓算法，用于求解Grassmannian上的Schubert问题的所有解。
2010-01-23 cs.NA math.AG math.NA
Complexity of sparse polynomial solving: homotopy on toric varieties and the condition metric
Universidade Federal do Rio de Janeiro（里约热内卢联邦大学）
本文研究了通过同调持续法求解稀疏多项式方程组的成本。首先，通过n个单项基确定n元多项式方程组的空间。这些系统的根的自然定位是某种托里奇流形。该流形是依赖于单项基的$(\mathbb C\setminus\{0\})^n$的紧致化。在该托里奇流形上定义了托里奇牛顿算子。Smale的alpha理论被推广以提供二次收敛的标准。定义了两个条件数并在此设定中获得了高阶导数估计。牛顿算子和相关的条件数在与动量映射相关的群作用下保持不变。给出了一个同调算法，并证明其在提升的同调路径的条件长度上线性终止。这扩展了Shub（2009）的结果。
2017-11-02 cs.NA math.AG math.NA
A Sequential Homotopy Method for Mathematical Programming Problems
该研究提出一种求解抽象希尔伯特空间中Guignard约束规范下数学规划问题的序列同伦方法，等价于增广拉格朗日投影梯度/反梯度流的投影向后欧拉步进，可全局化局部收敛优化方法，经带控制约束的椭圆最优控制问题验证有效。
2024-08-14 cs.NA math.NA math.OC
Solving Polynomial Systems Equation by Equation
提出使用对角同伦方法逐方程求解多项式系统，通过数值延拓计算解集交集，并利用单方程特例提高路径跟踪算法性能。
2005-03-29 cs.NA math.AG math.NA
Some real and unreal enumerative geometry for flag manifolds
本文提出一种构造计数几何实解的方法，给出实解数量下界，应用于旗流形证明两类问题可全实解、一类无实解，源于数值同伦延拓算法。
2000-07-19 cs.NA math.AG math.NA
Complexity of Sparse Polynomial Solving 2: Renormalization
本文在环簇上引入重整化同伦延拓求解稀疏多项式系统，通过重整化条件长度控制成本，提出随机化算法跟踪两个一般系统间的所有解，并引入混合面积、面间隙等支撑不变量，最终给出依赖重整化环条件数和系数失衡的非均匀多项式复杂度界。
2022-06-16 cs.NA math.NA
Numerical method for real root isolation of semi-algebraic system and its applications
University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）；Chinese Academy of Science（中国科学院）
基于同伦连续法和区间牛顿法，提出一种高效算法用于隔离半代数系统的实根，相比传统符号方法大幅降低计算成本。
2013-03-22 cs.NA cs.SC math.NA
Homotopy based algorithms for $\ell_0$-regularized least-squares
CNRS（法国国家科学研究中心）；Centre de Recherche en Automatique de Nancy（南锡自动化研究中心）；Ecole Centrale Nantes（南特中央理工学院）；Xi’an Jiaotong University（西安交通大学）
本文提出两种启发式搜索算法用于 $\ell_0$-同伦问题，通过改进的同伦路径方法解决稀疏信号恢复中的正则化问题，并展示了其在逆问题中的应用。
2015-03-18 cs.LG cs.NA math.NA
