Shifted Chebyshev polynomials for Solving Three-Dimensional Volterra Integral Equations of the second kind
Mathematics Department, Faculty of Science, Zagazig University（扎加济格大学理学院）
本文提出了一种高效方法，利用移位切比雪夫多项式近似求解具有连续核的三维Volterra积分方程，将积分方程转化为代数方程，并通过Maple 17计算数值结果和误差估计。
2016-09-27 cs.NA math.NA
An iterative approximate method of solving boundary value problems using dual Bernstein polynomials
Institute of Computer Science, University of Wrocław（弗罗茨瓦夫大学计算机科学研究所）
本文提出一种新的迭代近似方法，通过最小二乘法结合双伯恩斯坦多项式性质求解线性和非线性微分方程，验证了方法的高效性和广泛适用性。
2017-09-07 cs.NA math.NA
Novel Approach to Real Polynomial Root-finding and Matrix Eigen-solving
一元多项式求根是现代计算中的经典问题，也是一个重要的问题。人们常常只求实系数多项式的实根。如果多项式没有非实根，它们可以以低计算成本近似，但通常非实根比实根多得多。在这种情况下，我们显着加速已知的算法，利用矩阵和多项式的计算之间的相关性，扩展的矩阵符号迭代的技术，并利用输入多项式的友矩阵的结构。我们提出的一些技术，一个真正的非对称矩阵的实特征值的近似。
2014-06-30 cs.NA math.NA
The complexity and geometry of numerically solving polynomial systems
Universidad de Cantabria（坎塔布里亚大学）；CONICET, IMAS, Universidad de Buenos Aires（阿根廷国家科学研究委员会，IMAS，布宜诺斯艾利斯大学）；CUNY Graduate School（纽约市立大学研究生院）
本文综述了高效数值分析方法求解多元多项式方程组的最新进展，重点介绍Steve Smale的开创性工作以及Smale与Shub的合作，并涵盖Beltran、Pardo、Buergisser和Cucker等人的近期成果。
2012-11-07 cs.NA math.NA
Improved Polynomial Bounds and Acceleration of GMRES by Solving a min-max Problem on Rectangles, and by Deflating
该研究将GMRES的多项式收敛界推广至多种预条件及消元、加权情形，通过复平面矩形极小极大问题求解并结合特定消元空间与预条件子优化界、加速收敛，用数值算例验证了结果。
2025-10-02 cs.NA math.NA
Solving p-adic polynomial systems via iterative eigenvector algorithms
在这篇文章中，我们描述了一个多项式系统求解器的实现计算的近似解的0维多项式系统与有限精度p-adic算法。我们还描述了一个改进的算法的Caruso，Roe和Vaccon计算特征值和特征向量的p-adic矩阵。
2019-07-08 cs.NA cs.SC math.NA
Computational complexity of solving polynomial differential equations over unbounded domains with non-rational coefficients
本文在无界域上扩展了Pouly G16关于求解多项式微分方程复杂性的结果，适用于非有理输入，并在可计算分析框架下得到运算符的统一复杂性结果。
2016-07-30 cs.CC cs.NA math.NA
Numerical approach for solving problems arising from polynomial analysis
Université de Carthage（迦太基大学）；Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学）
本文提出了一种基于随机根采样的数值方法，用于解决多项式分析中出现的理论问题，该方法在传统方法无法有效解决的情况下表现出色。
2025-04-14 cs.NA math.CA math.NA
New Schemes for Solving the Principal Eigenvalue Problems of Perron-like Matrices via Polynomial Approximations of Matrix Exponentials
一个实方阵是类佩龙矩阵，如果它有一个实特征值$s$，称为矩阵的主特征值，和$\mbox{Re}\,μ<s$的任何其他特征值$μ$。非负矩阵和对称矩阵是这类矩阵的典型例子。本文的主要目的是利用矩阵指数的多项式逼近，发展一套计算Perron-like矩阵的主特征值和相应的广义本征空间的新方案.数值算例表明，这些格式在实际中是有效的。
2020-08-16 cs.NA math.NA
Complexity of sparse polynomial solving: homotopy on toric varieties and the condition metric
Universidade Federal do Rio de Janeiro（里约热内卢联邦大学）
本文研究了通过同调持续法求解稀疏多项式方程组的成本。首先，通过n个单项基确定n元多项式方程组的空间。这些系统的根的自然定位是某种托里奇流形。该流形是依赖于单项基的$(\mathbb C\setminus\{0\})^n$的紧致化。在该托里奇流形上定义了托里奇牛顿算子。Smale的alpha理论被推广以提供二次收敛的标准。定义了两个条件数并在此设定中获得了高阶导数估计。牛顿算子和相关的条件数在与动量映射相关的群作用下保持不变。给出了一个同调算法，并证明其在提升的同调路径的条件长度上线性终止。这扩展了Shub（2009）的结果。
2017-11-02 cs.NA math.AG math.NA
A new operational matrix based on Boubaker polynomials for solving fractional Emden-Fowler problem
本文介绍了分数阶奇异Emden-Fowler方程，并给出了其数值解的计算方法。对于近似的解决方案，我们已经使用Boubaker多项式，并定义其分数阶导数运算矩阵的制定。这个工具还没有被使用，然而，这一领域还没有找到很多实际应用，这里是第一次介绍。Caputo分数导数工具的运算矩阵将这些问题转换为一组代数方程，其解简单且易于计算。数值算例验证了该方法的有效性，并证明了该方法的有效性。
2022-02-25 cs.NA math.NA
Solving Degenerate Sparse Polynomial Systems Faster
考虑在任意特征的代数闭域上的n个多项式方程组F。本文给出了一种在F的零集Z的每一个不可约分支中寻找点的快速方法。我们的技术使我们能够充分考虑单项期限结构，提高和降低这个问题的先验复杂性界限。作为推论，我们还得到了F的孤立根的确切个数和Z的正维部分的交重数的新的显式公式。最后，我们提出了一个非退化多项式系统的组合结构，指定的单项项结构和最大许多孤立根，这可能是独立的利益。
1998-09-15 cs.CC cs.NA math.AG
Solving Decomposable Sparse Systems
Amendola等人提出了一种用于求解位于一个族中的多项式方程的系统的方法，该方法利用递归分解成更小的系统。一族系统允许这样的分解当且仅当相应的伽罗瓦群是非本原的。当伽罗瓦群是非本原群时，我们考虑计算一个显式分解的问题. Esterov对具有非本原伽罗瓦群的稀疏多项式系统的分类的一个结果是，这种分解是通过检查得到的。这导致了一个递归算法来解决可分解的稀疏系统，我们提出并证明其效率。
2020-11-27 cs.NA math.AG math.NA
Why Polyhedra Matter in Non-Linear Equation Solving
本文以初等方式介绍多面体技术在多元多项式方程组求解中的应用，给出Bernstein定理的推广证明及混合面积计算的近最优复杂度界。
2002-12-22 cs.NA math.AG math.NA
Efficiently Solving High-Order and Nonlinear ODEs with Rational Fraction Polynomial: the Ratio Net
Dali University（大理大学）；Nancahng University（南长大学）
针对复杂高阶非线性常微分方程求解效率与效果不足的问题，提出受帕德逼近启发的新型神经网络架构ratio net用于构建试函数，实验证明其效率优于多项式及MLP类方法，为微分方程求解提供新方案。
2024-01-31 cs.LG cs.NA math.NA
Comparison of two efficient numerical techniques based on Chelyshkov polynomial for solving stochastic Itô-Volterra integral equation
本文比较了基于正交Chelyshkov多项式的谱配点法和谱Galerkin法求解非线性随机Itô-Volterra积分方程，通过Newton法求解转化后的非线性代数方程组，并验证了收敛性与有效性。
2025-02-04 cs.NA math.NA
Parallel computation of real solving bivariate polynomial systems by zero-matching method
University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学）；Chengdu Institute of Computer Applications, CAS（中国科学院成都计算机应用研究所）；Graduate University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）
提出一种基于零点匹配方法的新算法，通过非零下界和邻域重数信息，并行计算有限解二元多项式系统的实根。
2010-01-18 cs.NA cs.SC math.NA
Polynomial Equations: Theory and Practice
本文介绍多项式方程组及其主要求解方法，涵盖临界点方程、代数簇与解的数量，并借助多种软件包示例说明理论的实际应用。
2023-04-21 cs.NA math.AG math.NA
An efficient spectral method for solving third-kind Volterra integral equations with non-smooth solutions
本文利用谱Tau方法的递推方法，研究了具有非光滑解的第三类Volterra积分方程的数值解.为此，引入了一组新的分数形式的规范基多项式（称为FC-多项式）。近似多项式解（称为Tau解）用FC多项式表示。Tau-溶液的分数结构允许即使在非光滑溶液的情况下恢复谱方法的标准准确度。研究了该方法的收敛性。数值结果表明，与现有的其他方法相比，该方法的精度和效率。
2022-07-15 cs.NA math.NA
Analysis of Normal-Form Algorithms for Solving Systems of Polynomial Equations
本文分析 Telen、Mourrain 与 Van Barel 的多元多项式范式求根算法及其变体，通过复杂度评估和数值实验揭示其在根高度接近时的失效问题，并剖析“毁灭性示例”。
2021-04-08 cs.NA math.NA
Solving Multivariate Polynomial Systems and Rectangular Multiparameter Eigenvalue Problems with MacaulayLab
KU Leuven（荷语鲁汶大学）
本文介绍了MacaulayLab工具箱，该工具箱实现了求解多元多项式系统和矩形多参数特征值问题的数值线性代数算法，通过对比其他软件包如PNLA、PHCpack和MultiParEig，展示了其核心功能和性能。
2026-05-20 cs.MS cs.NA math.NA
Solving the 3D High-Frequency Helmholtz Equation using Contour Integration and Polynomial Preconditioning
Rice University（莱斯大学）；Emory University（埃默里大学）；University of Minnesota（明尼苏达大学）
本文提出了一种求解三维高频亥姆霍兹方程的迭代方法，利用谱投影的轮廓积分公式，在特定不变子空间中通过求解复移位线性系统近似解，从而加速GMRES迭代。通过多项式固定点迭代求解移位系统，即使移位幅度小也能保持鲁棒性，数值测试表明高精度求解高频问题需要O(n^{1/3})次矩阵-向量乘积，该方法存储需求小，适用于稠密和稀疏线性系统，并具有高度并行化能力。
2018-11-29 cs.NA math.NA
Complexity of Sparse Polynomial Solving 2: Renormalization
本文在环簇上引入重整化同伦延拓求解稀疏多项式系统，通过重整化条件长度控制成本，提出随机化算法跟踪两个一般系统间的所有解，并引入混合面积、面间隙等支撑不变量，最终给出依赖重整化环条件数和系数失衡的非均匀多项式复杂度界。
2022-06-16 cs.NA math.NA
Shifted Monic Ultraspherical Approximation for solving some of Fractional Orders Differential Equations
本文的目的是显示和解释一个新的公式，表示与最终的衍生物的移位Monic超非球面多项式（SMUPs）的任何次数和任何分数阶使用移位Monic超非球面多项式本身。我们还创建了一个直接法解决的线性或非线性多阶分数阶微分方程（FDES）的常系数涉及谱Galerkin方法。空间近似及其分数阶导数（在Caputo意义上描述）是使用移位的Monic Ultraspherical多项式建立的。
2021-03-18 cs.NA math.NA
Solving polynomial eigenvalue problems by means of the Ehrlich-Aberth method
University of Pisa（比萨大学）
本文采用Ehrlich-Aberth迭代，将多项式特征值问题视为标量多项式det P(x)的求根问题，讨论了起始近似选择、牛顿修正计算、停机准则及无穷远特征值处理，实现了比基于QZ算法更精确的特征值近似，并针对特殊结构多项式（如回文、Hamiltonian、辛等）提出了适应Ehrlich-Aberth迭代的通用方法。
2012-07-26 cs.NA math.NA
Truncated Normal Forms for Solving Polynomial Systems: Generalized and Efficient Algorithms
AROMATH, INRIA（INRIA）；KU Leuven（荷语鲁汶大学）
本文提出了一种通用且高效的算法，利用截断正则形式来求解多项式系统的孤立公共根，并通过实验展示了该方法的潜力和新结果的实用性。
2018-12-07 cs.NA cs.SC math.AG
A condition number analysis of an algorithm for solving a system of polynomial equations with one degree of freedom
Sirindhorn International Institute of Technology, Thammasat University（诗琳通国际理工学院，兰实大学）；Department of Combinatorics and Optimization, University of Waterloo（滑铁卢大学组合优化系）
提出一种基于牛顿法和细分的算法，用于求解n+1个变量的n个实多项式方程组，定义条件数衡量与退化问题的距离，并证明运行时间受条件数、n和多项式次数限制。
2009-12-21 cs.CG cs.NA math.NA
Determining the Rolle function in Hermite interpolatory approximation by solving an appropriate differential equation
Mathsophical Ltd.（Mathsophical有限公司）
本文通过求解适当的微分方程确定Hermite插值的误差项，利用多项式近似误差项来提高插值精度，并通过实例展示精度提升的效果。
2023-03-08 cs.NA math.NA
Optimal polynomial based quantum eigenstate filtering with application to solving quantum linear systems
提出了一种基于量子信号处理（QSP）和极大极小多项式的量子本征态滤波算法。该算法允许我们有效地准备一个给定的哈密顿量的目标本征态，如果我们有机会获得一个初始状态与非平凡的重叠与目标本征态，并有一个合理的下限的谱隙。将该算法应用于量子线性系统问题（QLSP），分别提出了基于量子绝热计算（AQC）和基于量子Zeno效应的两种算法。这两种算法准备的最终解决方案作为一个纯粹的状态，并实现了接近最佳的$\mathcal{\widetilde{O}}(dκ\log(1/ε))$查询复杂度为$d$稀疏矩阵，其中$κ$是条件数，和$ε$是所需的精度。这两种算法都不使用相位估计或幅度放大。
2020-11-08 cs.NA math.NA quant-ph
Application of Bernoulli Polynomials for Solving Variable-Order Fractional Optimal Control-Affine Problems
提出了两种求解变阶分数阶最优控制-仿射问题的有效数值方法。变阶分数阶导数被认为是在Caputo意义下，它与Riemann-Liouville积分算子一起被用于我们的新技术。介绍了伯努利多项式变阶分数次积分的一种精确运算矩阵。我们的方法如下进行。首先，一个特定的近似的微分阶的状态函数被认为是，在伯努利多项式。这样的逼近，连同初始条件，帮助我们获得动力学控制仿射系统的其他现有功能的一些近似。使用这些近似，和高斯-勒让德积分公式，该问题是减少到一个系统的非线性代数方程。然后给出了近似最优状态和控制函数的误差界，从而得到了性能指标的近似值的误差界。最后，我们解决了一些测试问题，这表明我们的结果的高精度。
2020-10-06 cs.NA math.NA math.OC
Eigenvalue embedding problem for quadratic regular matrix polynomials with symmetry structures
本文提出了一种求解具有对称结构的二次正则矩阵多项式的保结构特征值嵌入问题的统一方法。首先，我们确定扰动的二次矩阵多项式，非结构化或结构化，使扰动多项式重现所需的不变对，同时保持不变的另一个不变对的未扰动多项式的不变性。如果后者是未知的，它被称为无溢出扰动。然后，我们使用这些结果来解决结构化的二次矩阵多项式，包括：对称，埃尔米特，$\star$ -偶数和$\star$ -奇数的二次矩阵多项式的SEEP。最后，我们表明，所获得的解析表达式的扰动可以实现现有的结果，在现实世界中出现的应用程序，作为特殊情况下的结构多项式。所得结果与数值例子的支持。
2021-04-22 cs.NA math.NA
Polynomial spline collocation method for solving weakly regular Volterra integral equations of the first kind
提出了求解具有特殊分段连续核的第一类Volterra积分方程的多项式样条配置法。高斯型的求积公式被用来近似积分期间的离散化建议的投影方法。得到了近似解的精度估计。随机算法也可以基于计算和估计随机Arrondis de Calculs（CESTAC）方法和数值应用的精度和精度控制（CADNA）库来使用。应用这种方法，可以找到投影方法的最佳参数。数值算例验证了新的配置法的有效性。
2021-11-23 cs.MS cs.NA math.DS
A new numerical technique based on Chelyshkov polynomials for solving two-dimensional stochastic Itô-Volterra Fredholm integral equation
本文提出基于 Chelyshkov 多项式的二维算子矩阵方法，通过推导新随机算子矩阵并利用 Newton cotes 节点配置，将二维随机 Itô-Volterra Fredholm 积分方程转化为线性方程组求解，并证明了其收敛性与误差界。
2025-02-04 cs.NA math.NA
Rigid continuation paths I. Quasilinear average complexity for solving polynomial systems
该研究针对随机高斯多项式系统近似根的求解复杂度问题，提出基于刚性延拓路径的数值延拓算法，将平均复杂度界改进至输入规模的拟线性阶，延拓步数较此前结果实现决定性提升。
2019-09-10 cs.CC cs.NA math.NA
On the asymptotic and practical complexity of solving bivariate systems over the reals
本文研究了约束良好的二元多项式方程组的精确实解。主要问题是隔离有理矩形中的所有公共实根，并确定它们的交集重数。我们提出了三种算法，并分析其渐近位复杂度，得到一个界的$\sOB(N^{14})$的纯粹的基于投影的方法，和$\sOB(N^{12})$的两个subresultant为基础的方法：这种符号忽略多对数因子，其中$N$界的程度和多项式的位大小。以前的记录绑定为$\sOB(N^{14})$。我们的主要工具是有符号子结果序列。我们利用最近的进展单变量根隔离的复杂性，并将其扩展到两个代数数上的二元多项式的符号评估，以及扩展域上的多项式的实根计数。我们的算法适用于问题的同时不等式，他们也计算拓扑的真正的平面代数曲线$\sOB(N^{12})$，而以前的界限是$\sOB(N^{14})$。所有的算法都已经在MAPLE中实现，并结合数值滤波。我们将它们与FGB/RS、SYNAPS的系统求解器以及计算曲线拓扑的MAPLE库INSULATE和TOP进行比较。我们的软件是最健壮的软件之一，它的运行时间与C/C++库相当，或者在一个小的常数因子内。关键词：实解，多项式系统，复杂性，MAPLE软件
2012-03-05 cs.DS cs.MS cs.NA
Solving Polynomial Systems by Penetrating Gradient Algorithm Applying Deepest Descent Strategy
University of Zagreb, Faculty of Electrical Engineering and Computing（萨格勒布大学电气工程和计算学院）；VERN, University of Applied Sciences（VERN应用科学大学）
本文提出一种在优化框架中求解多项式系统的算法和策略，通过渗透梯度算法和最深下降策略实现全局最优解的快速求解，实验验证其有效性并揭示与高斯-塞德尔方法的关联。
2015-01-14 cs.MS cs.NA math.NA
Solving Minimal Problems Without Matrix Inversion Using FFT-Based Interpolation
Center for Machine Vision and Signal Analysis（机器视觉与信号分析中心）；University of Oulu（奥卢大学）
本文提出一种基于采样且无需矩阵求逆的方法，利用稀疏隐变量结果ants构建求解器，通过逆快速傅里叶变换插值高效重建行列式多项式，从而在数值稳定性和运行时间上提供传统Gröbner基和结果ants方法的实用替代方案。
2026-05-07 cs.CV cs.NA math.NA
