Solving Decomposable Sparse Systems

Decomposable sparse polynomial systems

The Macaulay2 package DecomposableSparseSystems implements methods for studying and numerically solving decomposable sparse polynomial systems. We describe the structure of decomposable sparse systems and explain how the methods in this package may be used to exploit this structure, with examples.

Solving Parameterized Polynomial Systems with Decomposable Projections

The Galois group of a parameterized polynomial system of equations encodes the structure of the solutions. This monodromy group acts on the set of solutions for a general set of parameters, that is, on the fiber of a projection from the incidence variety of parameters and solutions onto the space of parameters. When this projection is decomposable, the Galois group is imprimitive, and we show that the structure can be exploited for computational improvements. Furthermore, we develop a new algorithm for solving these systems based on a suitable trace test. We illustrate our method on examples i…

稀疏多项式求解的复杂性 3：无穷远

Complexity of sparse polynomial solving 3: Infinity

本文提出在环面簇坐标卡上局部定义同伦算法，以求解稀疏多项式系统，避免虚假根，其复杂度由条件长度线性界定，并支持在环面无穷远附近稳定计算。

稀疏多项式求解的复杂性：在紧致化托里奇流形上的同调及条件度量

Complexity of sparse polynomial solving: homotopy on toric varieties and the condition metric

本文研究了通过同调持续法求解稀疏多项式方程组的成本。首先，通过n个单项基确定n元多项式方程组的空间。这些系统的根的自然定位是某种托里奇流形。该流形是依赖于单项基的$(\mathbb C\setminus\{0\})^n$的紧致化。在该托里奇流形上定义了托里奇牛顿算子。Smale的alpha理论被推广以提供二次收敛的标准。定义了两个条件数并在此设定中获得了高阶导数估计。牛顿算子和相关的条件数在与动量映射相关的群作用下保持不变。给出了一个同调算法，并证明其在提升的同调路径的条件长度上线性终止。这扩展了Shub（2009）的结果。

用线性代数求解一类稀疏方程组

Solving a sparse systems using linear algebra

我们给出了一个新的理论工具来解决稀疏系统的多个解决方案。它是基于复曲面品种和基本线性代数;特征值，特征向量和系数矩阵。我们适应特征值定理和特征向量定理的工作与一个典型的矩形矩阵（第一Koszul映射），并证明这些新的定理服务于解决超定稀疏系统和计数的预期数量的解决方案。

快速求解退化稀疏多项式系统

Solving Degenerate Sparse Polynomial Systems Faster

考虑在任意特征的代数闭域上的n个多项式方程组F。本文给出了一种在F的零集Z的每一个不可约分支中寻找点的快速方法。我们的技术使我们能够充分考虑单项期限结构，提高和降低这个问题的先验复杂性界限。作为推论，我们还得到了F的孤立根的确切个数和Z的正维部分的交重数的新的显式公式。最后，我们提出了一个非退化多项式系统的组合结构，指定的单项项结构和最大许多孤立根，这可能是独立的利益。