A parametrized compactness theorem under bounded Ricci curvature
Xiang Li, Shicheng Xu
证明了具有有界里奇曲率、上界直径和下界内射半径的流形上的参数化紧性定理。
We prove a parametrized compactness theorem on manifolds of bounded Ricci curvature, upper bounded diameter and lower bounded injectivity radius.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Remarks of weak-compactness along Kahler Ricci flow
给出了Fano流形上Kähler里奇流上时间片弱紧性的一个直接证明.
Asymptotic estimates and compactness of expanding gradient Ricci solitons
我们首先研究了锥扩展梯度Ricci孤子的渐近性，证明了在一般和渐近Ricci平坦情形下，孤子的衰减率都很陡，到达渐近锥面。然后，我们建立了一个关于非负曲扩张梯度Ricci孤子的紧性定理。
Compactness and Rigidity of Complete Kähler Ricci Shrinkers
本文借助极化法诺纤维化结构，探究完备凯勒里奇收缩子的紧性、刚性及相关几何性质。
Compactness theorems of gradient Ricci solitons
本文证明了梯度里奇孤立子的紧性定理。设$(M_α, g_α)$是一个维数为$n\geq 4$的紧致梯度Ricci孤子序列，其曲率具有一致有界的$L^{\frac{n}{2}}$范数，其里奇曲率具有一致下有界的体积和一致上有界的直径，则存在一个收敛到具有有限多个孤立奇点的紧致轨道$(M_{\infty}, g_{\infty})$的子序列$(M_α, g_α)$，其中$g_{\infty}$是轨道意义下的梯度Ricci孤子度量。
Myers-type compactness theorem with the Bakry-Emery Ricci tensor
本文首先证明了在光滑度量测度空间中，当Bakry-Emery Ricci张量下界且$|f|$有界时，$f$ -中曲率比较.在此基础上，我们定义了一个Myers型紧性定理，推广了Cheeger，Gromov，Taylor和Wan关于Bakry-Emery Ricci张量的结果。此外，我们利用对导数$f'(t)$的一个较弱的条件改进了Soylu的一个结果.
Compactness of Constant Mean Curvature Surfaces in Three Manifold with Positive Ricci Curvature
本文证明了三个正里奇曲率流形中面积和亏格有界的常中曲率曲面的一个紧性定理。作为应用，我们给出了三流形中具有正里奇曲率的常中曲率曲面第一特征值的一个下界。
Compactness results for the Kähler-Ricci flow
本文研究复维数为$k$的紧致Kähler流形$M$上的Kähler-里奇流$\frac{\partial}{\partial t}g_{i\bar{j}} = g_{i\bar{j}} - R_{i\bar{j}}$，其中$\frac{\partial}{\partial t}g_{i\bar{j}} = g_{i\bar{j}} - R_{i\bar{j}}$具有$c_1(M) > 0$.基于Moser迭代，我们证明了Kähler-里奇流的$ε$ -正则引理.假设Ricci曲率和$\int_M |\rem|^k dV_t$沿流一致有界。利用$ε$ -正则引理，我们得到了Kähler-里奇流的紧性结果.在我们的假设下，如果$k \ge 3$此外，使用紧性的结果，我们表明，$|\rem| \le C$保持一致沿流。这意味着流动在无穷远处不会产生任何奇点。我们利用田从\cite{Ti}的一些想法来证明在这种情况下的光滑性。
The compactness result for Kähler Ricci solitons
本文证明了紧致Kähler Ricci梯度收缩孤子的紧致性结果。若$(M_i,g_i)$是实维Kähler-Ricci孤子序列，其曲率具有一致有界的$n \ge 4$范数，其里奇曲率自下而上一致有界，且$μ(g_i,1/2) \ge A$（其中$μ$是Perelman泛函），有一个子序列$(M_i,g_i)$收敛到一个紧凑的orbifold $(M_{\infty},g_{\infty})$，其中有许多孤立的奇点，其中$g_{\infty}$是轨道折叠意义下的Kähler-Ricci孤子度量（满足远离奇点的孤子方程，并在某些规范下光滑地延拓到满足Kähler-Ricci孤子方程的度量）.
A note on the compactness theorem for 4d Ricci shrinkers
在arXiv：1005.3255中，我们证明了完备四维Ricci收缩的轨道折叠Cheeger-Gromov紧性定理，该定理具有熵的下界、Euler特征的上界和大距离势的梯度的下界.在本文中，我们证明了最后两个假设实际上是可以去除的。关键因素是Cheeger-Naber arXiv最近的估计：1406.6534。
Compactness of Kahler-Ricci solitons on Fano manifolds
本文通过去掉关于Futaki不变量一致界的假设，改进了Phong-Song-Sturm关于Fano Kähler-Ricci孤子退化的结果.设$\mathcal{KR}(n)$是$n$维Fano流形上的Kähler-Ricci孤子空间.我们证明了在传递到一个子序列后，任何序列在$\mathcal{KR}(n)$中在Gromov-Hausdorff拓扑中收敛到一个具有对数终端奇点的$n$维$\mathbb{Q}$ -Fano簇上的Kähler-Ricci孤子.
A compactness theorem for complete Ricci shrinkers
证明了完备梯度Ricci收缩算子在Cheeger-Gromov轨道意义下的预紧性，并给出了其熵的下界和局部积分Riemann界.我们不需要任何逐点曲率假设，体积或直径界限。在四维中，在一个技术假设下，我们可以用欧拉示性数的上界来代替局部积分黎曼界。证明依赖于一个具有截断变元的Gauss-Bonnet。
Compactness of the space of embedded minimal surfaces with free boundary in three-manifolds with nonnegative Ricci curvature and convex boundary
证明了具有非负里奇曲率和严格凸边界的紧致$n$维流形中具有自由边界的嵌入极小超曲面的第一Steklov特征值的一个下界.当$n=3$，这意味着先验面积和曲率估计这些极小曲面的几何形状的环境流形和拓扑结构的极小曲面。当极小曲面的拓扑型固定时，该估计的一个重要结果是具有自由边界的嵌入极小曲面的光滑紧性结果。
A compactness theorem for four-dimensional shrinking gradient Ricci solitons
Haslhofer和Müller证明了四维收缩梯度Ricci孤子的一个紧性定理，唯一的假设是熵从下面一致有界。然而，他们的结果的极限可能是一个轨道的Ricci收缩。本文在拓扑约束和非坍缩假设下证明了非紧四维收缩梯度Ricci孤子的一个紧性定理，即考虑Ricci收缩孤子可以嵌入在每个域上第二同调群为零的闭四维流形中，并且关于泛$κ$是强$κ$ -非坍缩的.特别地，我们不需要任何曲率假设，极限仍然是一个光滑的非平坦收缩梯度Ricci孤子。
Remarks on Hamilton's Compactness Theorem for Ricci flow
分析里奇流的一个基本工具是Hamilton在Cheeger、Gromov和其他人的工作精神下的紧致性结果。粗略地说，它允许一个序列的里奇流一致有界的曲率和一致控制的内射半径，并提取一个子序列，收敛到一个完整的限制里奇流。这个结果的一个广泛引用的扩展允许曲率仅在局部意义上一致有界。然而，在本文中，我们给出了一个反例。
A compactness result for Fano manifolds and Kähler Ricci flows
我们得到了Fano流形和Kähler里奇流的一个紧性结果.与Anderson和Hamilton的更一般的黎曼形式相比，在这种Fano情形下，曲率假设要弱得多，并且被Kähler里奇流所保持。一个假设是Ricci势的有界性，另一个假设是Perelman熵的小性。作为应用，我们得到了Kähler里奇流的一个新的局部正则性准则和结构结果.证明是基于对调和函数的梯度的Hölder估计，这可能是独立的兴趣。
Nonnegative Ricci Curvature and Uniformly Convex Boundary Forces Compactness
研究具有非负Ricci曲率和一致凸边界的完备黎曼流形的紧致性，通过构造Neumann条件下正调和函数的单调量证明其紧致且基本群有限。
A compactness theorem for a fully nonlinear Yamabe problem under a lower Ricci curvature bound
证明了当流形不共形同胚于标准球面时，满足里奇曲率下界的完全非线性Yamabe问题解的紧性。这使我们能够证明当相关锥$Γ$满足$μ^+_Γ\le 1$，其中包括$σ_k-$ Yamabe问题的$k$不小于小于一半的维数的流形的解决方案的存在性。
Manifolds with Pointwise Ricci Pinched Curvature
本文证明了具有任意点态压缩里奇曲率张量的黎曼流形的一个紧性结果。
Non-compactness of the space of minimal hypersurfaces
证明了当流形具有正里奇曲率和维数$3\leq n+1\leq 7$的解析度量时，极大极小超曲面空间是非紧的.进一步证明了具有正里奇曲率的凹凸度量允许具有无界指数+面积的极小超曲面.结合F.C. Marques和A. Neves，然后我们推导出关于他们发现的无穷多个极小超曲面的一些新性质。
Compactness of Kähler metrics with bounds on Ricci curvature and I functional
本文证明了在 Ricci 曲率和 $\mathcal I$ 泛函有界条件下 Kähler 度量的紧致性定理，并探讨了其在连续性方法和 Calabi 流中的应用。
Compactness properties of Ricci flows with bounded scalar curvature
本文证明了具有有界数量曲率和熵的里奇流的一个紧性结果。它指出，给定任何序列的这种里奇流，我们可以通过一个子序列，收敛到一个度量空间，这是光滑的一组余维$\geq 4$。这个结果有两个主要的结果：第一，它意味着有界数量曲率的里奇流中的奇点有余维$\geq 4$;第二，它建立了一个一般形式的哈密尔顿-田猜想，这在黎曼情形下甚至是正确的。在证明过程中，我们还将建立以下结果：$L^{p < 4}$曲率界，曲率半径的积分界，时间片的Gromov-Hausdorff封闭性，里奇流的$\varepsilon$正则性定理和一个改进的向后伪局部性定理.
Eigenvalue estimate and compactness for closed $f$-minimal surfaces
设$Ω$是完备非紧黎曼流形中具有凸边界的有界区域，其Bakry-Émery里奇曲率的下界为一个正常数.证明了包含在$Ω$中的闭嵌入$f$ -极小超曲面的加权Laplacian的第一特征值的一个下界。利用这一估计，我们证明了完备$3$ -流形中闭嵌入$f$ -极小曲面空间的紧性定理，其中完备$3$ -流形的亏格和直径的上界是一致的，且Bakry-Émery里奇曲率的下界是一个正的常数，且允许有凸边界的有界域的穷竭.
Integral Curvature Bounds and Bounded Diameter with Bakry--Emery Ricci Tensor
对于具有光滑测度$(M, g, e^{-f}dv_{g})$的黎曼流形，当Bakry-Emery Ricci张量有界且$f$有界时，证明了一个推广的Myers紧性定理.
Space of Ricci flows (I)
本文研究具有有界能量和数量曲率的非坍缩里奇流解的模空间。我们证明了这种模空间的一个弱紧定理，并应用它研究了等周常数控制、Kähler里奇流和梯度收缩孤子的模空间.
Compactness and rigidity of Kähler surfaces with constant scalar curvature
证明了一类具有常数数量曲率、体积有界、直径有界、里奇曲率有界、签名有界的Kähler曲面族的紧性定理.进一步证明了Einstein-Maxwell系统的分裂定理和刚性定理。
Ricci flow of discrete surfaces of revolution, and relation to constant Gaussian curvature
该研究通过可积系统方法给出离散常高斯曲率旋转曲面的显式参数化，探究离散旋转曲面的Ricci流几何实现与该类常高斯曲率曲面的趋近关系。
A note on generalized Myers-type theorems for h-almost Ricci tensors and generalized quasi-Einstein tensors
本文在$h$ -几乎Ricci张量和广义拟Einstein张量的概念下，证明了Myers，Ambrose和Galloway关于完备黎曼流形的几个紧性定理.当$h$的距离函数至多为线性增长时，我们推广了前面的定理.
Compactness theory of the space of Super Ricci flows
本文建立 super Ricci 流的紧性理论，证明适当带点序列子列收敛于 metric flow，并在局部曲率界下将极限分解为正则与奇异部分，为部分正则性理论奠定基础。
Extensions of the Bonnet-Myers Theorem
该研究推广了经典Bonnet-Myers定理，给出非负Ricci曲率黎曼流形的紧致性判定与直径估计方法，并应用于Ricci曲率多项式或指数衰减流形的紧致性定理证明。
Small curvature concentration and Ricci flow smoothing
我们证明了一个完全的有界曲率里奇流，它从一个具有里奇下界、局部熵界和小的局部尺度不变积分曲率控制的流形开始，在正时刻具有全局逐点曲率控制。作为应用，在类似的假设下，我们得到了具有非负里奇曲率的完备非紧流形的一个紧性结果和一个间隙定理。
Orbifold compactness for spaces of Riemannian metrics and applications
这项工作证明了某些一般orbifold紧性的结果空间的黎曼度量，推广早期的结果沿着这些路线爱因斯坦度量或度量有界里奇曲率。然后应用这一结果证明了4-流形上Bach-平坦（例如半共形平坦）度量空间的紧性，以及度量空间上其他自然黎曼泛函的临界点度量的相关结果.
Space of Ricci flows (II)
基于具有温和奇点的非塌陷Calabi-Yau空间的模的紧性，建立了具有适当几何边界的极化Kähler里奇流的结构理论.我们的理论是非坍缩Kähler Einstein流形结构理论的推广。作为应用，我们证明了Hamilton-Tian猜想和Tian的部分- $C^0$ -猜想.
Stability of weighted minimal hypersurfaces under a lower $1$-weighted Ricci curvature bound
本文研究了在下界1加权里奇曲率限制下加权极小超曲面的稳定性，推导了相关几何结论，并得出三维加权流形的结构定理及非存在性结果。
A compactness theorem in Finsler geometry
设（M.F）是完备Finsler流形，P是M的极小紧致子流形. Ric_k（x），M中的x是插值于旗曲率和里奇曲率之间的微分不变式。我们证明了：如果在任意正交于P的测地线c（t）上有\int_{0}^{\infty} \mathbf{Ric}_{k}（t）>0，则M是紧的.
The local entropy along Ricci flow---Part B: the pseudo-locality theorems
我们将G的熵泛函局部化。Perelman推广了他的非局部坍缩定理和伪局部性定理。我们的推广在技术上受到进一步发展的李-丘估计沿里奇流。它有许多应用，包括证明了在里奇曲率有界的Gromov-Hausdorff拓扑中里奇流对初始度量的连续依赖性，以及证明了具有有界数量曲率和粗糙的局部几乎欧氏条件的Kähler流形的模的紧性。
The Curvature of Gradient Ricci Solitons
研究了梯度收缩Ricci孤子曲率的积分和点态界。作为应用，我们讨论梯度收缩的间隙和紧性结果。
Finite Time Singularities of the Kähler Ricci Flow on Compact Kähler Surfaces are of Type I
本文证明紧致Kähler曲面上有限时间体积坍缩的Kähler–Ricci流满足Type I曲率界，无需对称性或有理类假设，方法结合辛拓扑与孤子分类，并利用Bamler紧致性理论。
Analysis of Type I Singularities in the Harmonic Ricci Flow
在2011年，Enders，Müller和Topping证明了I型里奇流在奇点附近的任何爆破序列都收敛于非平凡梯度里奇孤子，这使得他们得出结论，对于这样的流，所有合理的奇点定义都是一致的。我们证明了调和里奇流的类似结果，推广了郭，黄，冯和施的具体结果。为了得到我们的结果，我们发展了调和里奇流的精化紧性定理，一个新的伪局部性定理，以及基于奇异时刻的约化长度和约化体积的概念.
Lower bounds for the scalar curvatures of Ricci flow singularity models
在一系列文件中，Bamler [Bam 20 a，Bam 20 b，Bam 20 c]进一步发展了高维理论的汉密尔顿的里奇流，包括新的单调性公式，一个完全一般的紧性定理，以及长期寻求部分正则性理论类似于Cheeger-冷理论。在本文中，我们给他的理论的应用，里奇流的奇异模型的数量曲率的下界。在$4$维非Ricci平坦稳定孤子奇异性模型的情况下，我们得到了数量曲率的二次衰减下界。
Ancient solution to Kahler-Ricci flow
本文证明了具有有界非负对分曲率的Kähler-里奇流的任何非平坦古解的渐近体积比为零.我们还证明了任何具有正对分曲率的梯度收缩孤子必是紧的。这两个结果推广了Perelman在\cite{P1}和\cite{P2}中的相应结果.所得结果可应用于通过Kähler-里奇流研究具有非负对分曲率的完备Kähler流形的几何和函数理论.它还包含了一个关于Kähler-里奇流古解的紧性定理。
Stability and compactness for complete $f$-minimal surfaces
设$(M,\bar{g}, e^{-f}dμ)$是一个完备度量测度空间，其Bakry-Émery里奇曲率下有界.证明了在$M$中不存在完全的双侧$L_f$ -稳定的浸入$f$ -极小超曲面.进一步，当$M$是3-流形时，我们证明了$M$中完备嵌入$f$ -极小曲面空间的光滑紧性定理，该定理具有亏格和加权体积的一致上界，推广了Colding-Minicozzi关于$\mathbb{R}^3$中完备自收缩曲面的紧性定理.
Convergence of Ricci flows with bounded scalar curvature
本文证明了具有有界数量曲率和熵的里奇流的收敛性和紧性结果。更具体地说，我们表明，里奇流有界数量曲率收敛顺利远离一个奇异的余维集$\geq 4$。我们还建立了Hamilton-Tian猜想的一般形式，这在黎曼情形下也是成立的。这些结果是基于有界数量曲率的Ricci流的紧性定理，该定理指出任何这样的里奇流序列在传递到子序列之后收敛到一个度量空间，该度量空间是远离余维集$\geq 4$的光滑度量空间。在证明的过程中，我们也将建立$L^{p < 2}$ -曲率界的时间片，这样的流。
Shi-type estimates of the Ricci flow based on Ricci curvature
利用所有$n$维Ricci流的里奇曲率和内射半径的局部界，构造了曲率算子的一致局部界.从而导出了里奇流和里奇孤子的新的紧性定理。特别地，我们证明了每一个具有$|Ric|\leq K$的里奇流对所有的$t\in (0,T]$都必须满足$|Rm|\leq Ct^{-1}$，其中$C$只依赖于维数$n$，$T$依赖于$K$和注入半径$inj_{g(t)}$ .本文的第二部分讨论了当内射半径完全未知时，里奇曲率及其导数的性质。特别地，当里奇曲率的导数受标量曲率的导数控制时，得到了里奇曲率的另一种Shi型估计.
Ricci flow on Orbifold
本文研究了具有有限奇点的紧致轨道上的里奇流的行为。我们证明了Perelman伪局部性定理在Orbifold里奇流上也成立.利用这一性质，在某些自然的技术条件下，我们得到了轨道上里奇流的一个弱紧定理.这推广了流形上的相应定理。作为应用，我们可以利用Kähler里奇流在某些轨道Fano曲面上寻找新的Kähler Einstein度量.例如，如果$Y$是一个只有一个普通的二重点的三次曲面，或者$Y$是一个1次的Orbifold Fano曲面，其上的每个奇点都是$\A_k (1 \leq k \leq 6)$型的有理二重点，那么我们可以通过运行Kähler里奇流来找到$Y$的KE度量。
Bubble-Tree Convergence and Local Diffeomorphism Finiteness for Gradient Ricci Shrinkers
研究梯度瑞奇收缩体序列在熵和局部能量界限制下的气泡树收敛，推导局部能量恒等式及欧拉特征恒等式，证明局部微分同胚有限性。
Generalized Ricci flow I: Higher derivatives estimates for compact manifolds
考虑了具有给定（不一定是闭的）三形式的广义里奇流，建立了紧致流形的高阶导数估计.作为应用，我们证明了这种广义里奇流的紧性定理.对于更广义的里奇流，类似的结果仍然成立.
On Finsler metric measure manifolds with integral weighted Ricci curvature bounds
本文研究具有积分加权Ricci曲率界的Finsler度量测度流形，建立多个比较定理，得到体积增长估计、Gromov预紧性及Dirichlet等周常数估计，并应用于特征值与调和函数梯度估计。
Steady soliton with $\mathcal{L}^{1}$ decay curvature
本文基于梯度黎曼度量溶iton的标量曲率界和调和坐标下界，建立紧致性定理，并证明非塌陷极限的正则部分光滑，以及稳态梯度黎曼度量溶iton在Ricci曲率$\mathcal{L}^{1}$衰减下的渐近柱状性。
$f$-minimal surface and manifold with positive $m$-Bakry-Émery Ricci curvature
本文首先证明了具有正Bakry-Émery里奇曲率的闭三流形中固定拓扑的闭嵌入$f$ -极小曲面空间的一个紧性定理。然后给出了具有正$m$-Bakry-Émery里奇曲率的紧致流形上$f$-Laplacian的第一特征值的Lichnerowicz型下界，并证明了该下界仅当流形等距于$n$ -球面或$n$ -维半球时才能达到.最后，对于具有正$m$ -Bakry-Émery里奇曲率和$f$ -平均凸边界的紧致流形，证明了到边界的距离函数的一个上界，并且当流形等距于一个欧氏球时，这个上界是可达到的.
Boundary estimates for the Ricci flow
本文考虑了具有边界流形上的里奇流，并对其中曲率和共形类进行了适当的控制。我们得到了高阶估计的曲率和第二基本型附近的边界，类似于施的局部导数估计。作为应用，我们证明了Hamilton紧性定理的一个版本，其中极限有界。最后，我们表明，在三维的第二基本型的边界及其衍生物的先验控制的环境曲率和一些非崩溃的假设。特别地，只要曲率保持有界，流动就存在，这与还需要对第二基本型进行控制的一般情况相反。
Rigidity of the first Betti number via Ricci flow smoothing
本文证明了Colding-Gromov间隙定理的参数化版本：当Ricci曲率下有界的闭流形在Gromov-Hausdorff意义下接近低维有界几何流形且第一Betti数之差等于维数之差时，该流形微分同胚于环面丛，并提出了极小测地线扩散控制和Ricci流光滑化两个新技术工具。
Isometry theorem of Cartan-Hadamard manifold
Cartan-Hadamard流形是具有非正截面曲率的单连通黎曼流形。本文证明了满足定常梯度Ricci孤子且具有势函数积分条件的Cartan-Hadamard流形与欧几里得空间等距。其次，我们证明了满足一定数量曲率条件的梯度收缩Ricci孤子的紧性定理。最后，我们证明了具有线性体积增长和正势函数的梯度展开Ricci孤子是一个Einstein流形。
Removing scalar curvature assumption for Ricci flow smoothing
本文去除了Chan-Huang-Lee Ricci流短时存在性定理中的标量曲率假设，并应用于度量空间极限的光滑化、紧性及刚性结果。
Kähler-Ricci flow, Kähler-Einstein metric, and K-stability
利用Kahler-里奇流上最近的紧性结果，证明了K-稳定Fano流形上Kahler-Einstein度量的存在性.关键成分是代数几何描述的渐近行为的Kahler-里奇流的Fano流形。这反过来又是基于一个一般的有限维的讨论，这是有趣的，在其本身，并可能适用于其他问题。作为一个应用，我们涉及的Calabi流的渐近性的极化Kahler流形的K-稳定性假设的几何界限。
Some recent developments on isometric immersions via compensated compactness and gauge transforms
本文通过补偿紧致性和规范变换技术，探讨了低正则性下等距浸入问题的分析发展，包括高斯-科达齐-里希方程的弱连续性和子流形理论基本定理。
Positive Bakry-Émery Ricci Curvature on Homotopy Spheres
该研究针对Wei和Wylie的问题，在维度8k+1和8k+2中构造出反例，证明同伦球虽存在满足Ric_g + Hess_g f > 0的加权核度量，但因α-不变量非零而无Ric≥0的黎曼度量。
The space of Constant Mean Curvature surfaces in compact Riemannian Manifolds
本文的主要观点是，在适当的中曲率和Ricci曲率的条件下，我们可以将Choi-Schoen紧性定理推广到具有正里奇曲率（中曲率小，取决于里奇曲率）的黎曼流形中的紧嵌入极小曲面到简单浸入紧H-曲面。证明了单连通1/4-pinched流形中的凸嵌入（固定）常中曲率超曲面空间是紧的。
The projected homogeneous Ricci flow and three-isotropy-summands flag manifolds
里奇流是由汉密尔顿提出的，多年来一直很重要。特别重要的是流动的极限行为及其对称性。考虑到这一点，我们提出了一个新的规范化的齐次里奇流的自然紧性。另外，我们给出了齐性空间的Gromov-Hausdorff极限的一个刻画.因此，我们提出了一个详细的图片齐次里奇流的三各向同性和旗流形：相图，吸引盆，共轭类和崩溃现象。此外，我们实现了一个完整的分类可能的Gromov-Hausdorff限制上述线的流动。
Curvature bounds by isoperimetric comparison for normalized Ricci flow on the two-sphere
证明了双球上规范化里奇流解的等周轮廓的一个比较定理：如果初始度量的等周轮廓大于某个正曲轴对称度量的等周轮廓，则该不等式对于演化度量的等周轮廓仍然成立.我们应用这个使用Rosenau解决方案作为模型度量推导出尖锐的时间依赖的曲率边界的任意解决方案的规范化里奇流的两个球。这给出了一个简单而直接的证明收敛到一个常曲率度量，而不使用任何爆破或紧参数，Harnack估计，或任何分类的行为附近的奇点。
Smooth compactness of $f$-minimal hypersurfaces with bounded $f$-index
设$(M^{n+1},g,e^{-f}dμ)$是完备光滑度量测度空间，其$2\leq n\leq 6$和Bakry-Émery里奇曲率下有界.本文证明了$M$中完备嵌入$f$ -极小超曲面空间的光滑紧性定理，其中$f$ -指数和加权体积具有一致上界.作为推论，我们利用$2\leq n\leq 6$得到了$\mathbb{R}^{n+1}$中嵌入自收缩空间的光滑紧性定理.证明了$f$ -极小超曲面的$f$ -指标的一些估计，并给出了三维光滑度量测度空间中具有有限$f$ -指标的$f$ -极小曲面的共形结构.
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