Conjectures on three-dimensional stable matching
我们认为稳定的三维匹配的三个类别的代理，如妇女，男子和狗。很久以前，Knuth（1976）就提出了这一点，但关于这个问题的文章似乎很少。在计算机实验的基础上，我们提出了几个算法，以及一些反例，以其他自然的，但被丢弃的算法。特别是，圆形3D匹配是女人只关心男人，男人只关心狗，狗只关心与它们匹配的女人。我们猜想，一个稳定的结果总是存在于任何圆形的3D匹配市场，我们证明了它的市场，每个类别最多有四个代理。
2004-11-01 math.CO
Bipartite graphs with uniquely restricted maximum matchings and their corresponding greedoids
图G中的极大独立集是具有极大尺寸的独立集。S是一个局部极大值独立集，如果它是由S和N（S）的并所张成的G的子图的一个极大独立集，其中N（S）是S的邻域.一个匹配图M是唯一受限的，如果它的饱和顶点导出一个子图，该子图具有唯一完美匹配，即M本身。Nemhauser和Trotter Jr.的一个定理，作为加权最大稳定集问题的一个有用的局部最优性条件，保证了G的任何局部极大值独立集都可以扩大为G的一个极大独立集.在我们以前的一篇论文中，我们证明了森林的所有局部极大值稳定集的族在其顶点集上形成一个广义拟阵。本文推广了这一论断，证明了二部图G的所有局部极大值稳定集的族是一个广义拟阵当且仅当G的所有极大匹配是唯一限制的.
2000-11-21 math.CO
Stable matchings, choice functions, and linear orders
本文提出在二分图中，企业偏好由选择函数、工人偏好由线性序给出的稳定匹配模型，给出旋转结构描述及 $O(|E|^2)$ 算法，并实现紧凑仿射表示。
2025-01-27 math.CO
On constrained matchings, stable under random preferences
本文研究随机允许边约束下的双边稳定婚姻匹配，确定完全稳定匹配期望数量的log^2 n/n阈值，并证明完全匹配存在性及未匹配人数的高概率行为。
2024-06-14 math.CO
Minimal instances with no weakly stable matching for three-sided problem with cyclic incomplete preferences
给定$n$男性、$n$女性和$n$狗，每个男性都有一个不完整的女性偏好列表，每个女性都有一个不完整的狗偏好列表，每个狗都有一个不完整的男性偏好列表。我们将家庭理解为由一个男人、一个女人和一条狗组成的三人组，这样他们中的每一个都进入了相应代理人的偏好列表。我们将匹配作为不相交的家族的集合（一些代理可能保持单身）。如果一个人能找到一个男人、一个女人和一只狗，他们目前并不住在一起，但如果他们住在一起，他们每个人都会变得“更幸福”，那么这种匹配就被称为不稳定匹配。否则称匹配是稳定的（3-DSMI-CYC问题中的弱稳定匹配）。我们给出了一个例子，这个问题的$n=3$没有稳定的匹配存在。此外，我们证明了$n<3$没有这样的例子。这样的例子在早期仅为$n=6$所知（Biro，McDermid，2010）。构造的示例还允许减少（两倍）最近构造的完整偏好列表的类似示例的大小（Lam，Plaxton，2019）。
2021-07-21 math.CO
Short survey on stable polynomials, orientations and matchings
这是一个关于稳定多项式理论及其应用的简短综述。它给出了Schrijver的两个定理的完备证明。其中一个定理证明了对于$d$ --正则二部图$G$在$2n$顶点上的完美匹配数，记作$\mathrm{pm}(G)$，满足$$\mathrm{pm}(G)\geq \bigg( \frac{(d-1)^{d-1}}{d^{d-2}} \bigg)^{n}.$$;另一个定理证明了对于偶数$d$ --正则图$G$在$n$顶点上的欧拉方向数，记作$\varepsilon(G)$，满足$$\varepsilon(G)\geq \bigg(\frac{\binom{d}{d/2}}{2^{d/2}}\bigg)^n.$$。并给出了这两个定理的一个共同推广。
2021-03-12 math.CO
Saturating stable matchings
我把二部图匹配与稳定匹配联系起来。我证明了饱和稳定匹配的存在的一个充分必要条件，其中每一个代理的一方是匹配的，所有可能的偏好。我将我的分析扩展到完美稳定匹配，其中双方的每个代理都匹配。
2021-03-28 cs.GT econ.TH math.CO
A new approach to bipartite stable matching optimization
针对二分稳定匹配优化问题，提出基于强多项式网络流的算法计算ℓ个不相交且总成本最小的稳定匹配，通过将其表示为有向图割或偏序集反链，结合相关定理，还得到覆盖所有稳定边的极小-极大公式。
2025-11-13 cs.DS cs.GT math.CO
An Elementary Integrality Proof of Rothblum's Stable Matching Formulation
本文给出了二部图中稳定匹配的关联向量凸包的Rothblum线性描述的完整性的一个简短的新证明。在迭代舍入证明的精神，我们的证明的主要特点是表明，极值点的制定必须有一个0，1-组件。
2016-09-23 cs.DM math.CO
At most $3.55^n$ stable matchings
我们将$n$工作和$n$申请者之间的最大可能稳定匹配数的上界从$131072^n+O(1)$提高到$3.55^n+O(1)$。为了建立这个界限，我们提出了一种新的熵界限公式，这种熵界限易于应用，并且可能在计算其他组合对象时具有独立的兴趣
2021-06-03 cs.DM math.CO
Bridging the Gap Between Stable Marriage and Stable Roommates: A Parameterized Algorithm for Optimal Stable Matchings
University of Wisconsin, Milwaukee（密尔沃基威斯康星大学）；University of Liverpool（利物浦大学）
本文研究了稳定房间配对问题中最优稳定匹配的计算，定义了结构距离概念，证明该问题在结构距离k下属于固定参数 tractable。
2026-09-02 cs.DS cs.GT math.CO
Antimatroids Induced by Matchings
我们探讨了新的连接之间的antimartoids和匹配的二部图。特别地，我们证明了由稳定匹配或最大权匹配引起的组合结构是反拟阵。此外，我们证明了每一个反拟阵承认这样一个表示的稳定匹配和最大重量匹配。
2018-09-11 cs.DM math.CO
The random stable roommates problem typically has no solution
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Northwestern University（西北大学）
本文证明了在随机偏好下，稳定室友问题通常不存在稳定匹配，且概率随n增长而迅速减小。
2026-01-12 math.CO math.PR
Affinely representable lattices, stable matchings, and choice functions
伯克霍夫表示定理（Birkhoff，1937）定义了一个分配格的元素和一个相关偏序集的上集族之间的双射。虽然没有明确使用，但这个结果是Irving等人（1987）的组合算法的基础，用于在Gale和Shapley的稳定婚姻模型（Gale和Shapley，1962）中的稳定匹配集上最大化线性函数。本文引入了分配格的一个性质，称之为仿射可表示性，并证明了它在有效求解分配格元素上的线性优化问题以及描述格元素特征向量的凸包中的作用。我们将这一概念应用到具有路径无关的配额填充选择函数的稳定匹配模型中，从而给出了该模型的有效算法和一个紧凑的多面体描述。据我们所知，这个模型概括了所有的模型，从文献中，类似的结果是已知的，我们的论文是第一个提出有效的算法，稳定匹配的选择函数，超越经典的延期接受算法的扩展。
2021-05-31 cs.DM math.CO
Internal Closedness and von Neumann-Morgenstern Stability in Matching Theory: Structures and Complexity
设$G$是一个图，并假设我们对每个$v \in V(G)$给出了$v$的邻居的严格排序。如果不存在匹配$M,M' \in {\cal M}$使得$M$的边缘阻塞$M'$，则$G$的匹配${\cal M}$的集合被称为内部稳定的。稳定匹配集和冯·诺伊曼-摩根斯坦稳定匹配集是内部稳定匹配集的例子。在本文中，我们研究，在婚姻和室友的情况下，包括明智的最大内部稳定匹配集。我们称之为内部封闭的集合。通过建立在已知的和新开发的代数结构相关联的匹配集，我们调查的复杂性，决定一组匹配是内部封闭的或冯诺依曼-摩根斯坦稳定，并找到这些属性集。
2023-01-05 cs.CC cs.DM cs.DS
Polynomial-time Stable Matching in Network Hypergraphs
Grainger College of Engineering, University of Illinois, Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校格莱纳工程学院）
本研究提出一种多项式时间算法，用于在网络超图偏好系统中查找稳定匹配，其关键关联由ChatGPT-5.6 Sol Max发现，经独立验证后呈现相关细节。
2026-08-26 cs.DM cs.DS math.CO
Finding Stable Matchings in PhD Markets with Consistent Preferences and Cooperative Partners
本文提出了一种在多边匹配市场中寻找稳定匹配的新算法。我们的设置是由学生，顾问和共同顾问博士市场的动机，并可以推广到供应链网络视为$n$侧市场。在三方博士市场中，学生主要关心顾问，然后是共同顾问（一致的偏好），而顾问和共同顾问只对学生有偏好（因此他们是合作的）。一个学生必须匹配一个顾问和一个共同顾问，或者根本没有。与以前的工作相比，教师-学生和学生-共同顾问对可能不是相互可接受的（例如，学生可能不想与顾问或共同顾问一起工作，反之亦然）。我们表明，三边稳定匹配总是存在的，并提出了一种算法，在时间上的二次市场规模（对数因子），发现一个三边稳定匹配使用任何双边稳定匹配算法作为匹配引擎。我们说明了出现的挑战时，不是所有的顾问合作顾问对兼容。然后，我们将我们的算法推广到$n$边市场的配额，并展示他们如何可以模拟供应链网络。最后，我们展示了我们的算法如何在合成数据集上产生稳定的匹配和大量的匹配方面优于[Danilov，2003]给出的基线。
2021-07-06 cs.GT econ.TH math.CO
Stable Matchings with Restricted Preferences: Structure and Complexity
众所周知，每个稳定匹配实例$I$都有一个旋转偏序集$R(I)$，该偏序集可以被有效地计算，并且$R(I)$的下集与$I$的稳定匹配一一对应.此外，对于每个偏序集$P$，可以有效地构造实例$I(P)$，使得$I(P)$的旋转偏序集同构于$P$。在这种情况下，我们说$I(P)$实现了$P$。许多研究人员利用实例的旋转偏序集来开发快速算法或建立稳定匹配问题的难度。为了获得对采样稳定匹配的复杂性的参数化理解，Bhatnagar等人[SODA 2008]引入了稳定匹配实例，其偏好列表受到限制，但仍然是实践中出现的模型情况。在本文中，我们研究了四个这样的参数化的限制，我们的目标是从这些模型产生的旋转偏序集：$k$ -有界，$k$ -属性，$(k_1, k_2)$ -列表，$k$ -范围的特征。我们证明了存在一个常数$k$，使得对于某个固定常数$k$，每个旋转偏序集都可以由前三个模型中的某个实例实现.我们描述了有效的算法，用于构建这样的实例给出的Hasse图的偏序集。因此，即使对于这些受限制的实例，计数稳定匹配的基本问题仍然是$\#$ BIS完全的。对于$k$ -范围偏好，我们证明了偏序集$P$是可实现的当且仅当$P$的Hasse图具有由$k$的函数限定的路径宽度。使用这个特征，我们表明，以下问题是固定参数听话的实例的范围参数化时：精确计数和均匀采样稳定匹配，找到中位数，性别平等，平衡稳定匹配。
2021-01-28 cs.CC cs.DM cs.GT
Stable Menus of Public Goods: A Matching Problem
针对无货币转移、无容量约束且成本需由足够使用者支撑的公共品提供问题，本文刻画稳定菜单存在的充分与必要条件，并给出防策略稳定匹配的正反结果。
2025-06-06 cs.GT econ.TH math.CO
A Simply Exponential Upper Bound on the Maximum Number of Stable Matchings
稳定匹配是一个经典的组合问题，自1962年Gale和Shapley在一篇开创性的论文中引入以来，一直是激烈的理论和实证研究的主题。在本文中，我们提供了一个新的上限$f(n)$，稳定匹配的最大数量，一个稳定的匹配实例与$n$男性和$n$女性可以有。将$f(n)$的渐近行为理解为$n\to\infty$一直是一个长期存在的开放问题，它首先由Donald Knuth在20世纪70年代提出。到目前为止，最佳下限近似为$2.28^n$，最佳上限为$2^{n\log n- O(n)}$。本文证明了对所有的$n$，对某些普适常数$c$，有$f(n) \leq c^n$.这将下限匹配到指数的底。我们的证明是基于减少到一个家庭的偏序集，我们称之为“混合”的downsets的数量。后者可能是独立的利益。
2017-11-08 cs.DM cs.DS math.CO
Preference Swaps for the Stable Matching Problem
稳定匹配问题（SMP）的一个实例$I$是一个二分图，每个顶点的邻居的偏好列表。$I$中的交换是首选项列表中两个连续顶点的交换。交换可以看作是$I$的最小扰动。Boehmer等人（2021）设计了一种多项式时间算法，以找到将给定的最大匹配转换为稳定匹配所需的最小交换次数。我们将这一结果推广到多对多的SMP版本。我们这样做首先通过引入一个新的表示SMP作为一个扩展的二分图，随后通过减少子模块化的最小化的问题。确定最多$k$交换是否足以将$I$转换为最大匹配之一稳定的实例的计算复杂性是一个自然的问题。使用Gupta等人的硬度结果。（2020），我们证明了这个问题是NP困难的，而且，这个由$k$参数化的问题是W[1]困难的。我们还得到了一个下界的运行时间为解决问题，使用指数时间假设。
2022-11-15 cs.DM cs.DS math.CO
