On the diameter of the polytope of the stable marriage with ties
带纽带的稳定婚姻问题是博弈论中一个研究得很好的有趣问题。我们有一组男人和一组女人。每个人都有一个相对群体的偏好排序，其中可能包含关系。一个稳定的婚姻是由男人和女人之间的匹配，没有阻止对，即，一个男人和一个女人，他们在配对中严格地喜欢对方而不是他们现在的伴侣。本文研究了稳定婚姻的特征向量的凸包所给出的多胞形在有结的情况下的直径。我们证明了直径上的$\lfloor \frac{n}{3}\rfloor$的上界，其中$n$是男性和女性的总数，并给出了一个家庭的情况下，该界持有紧。我们的结果推广了标准稳定婚姻多面体直径的界限（即，众所周知的多面体，描述了没有关系的设置），以前在文献中开发的。
2020-03-23 cs.DM math.CO math.OC
Bridging the Gap Between Stable Marriage and Stable Roommates: A Parameterized Algorithm for Optimal Stable Matchings
University of Wisconsin, Milwaukee（密尔沃基威斯康星大学）；University of Liverpool（利物浦大学）
本文研究了稳定房间配对问题中最优稳定匹配的计算，定义了结构距离概念，证明该问题在结构距离k下属于固定参数 tractable。
2026-09-02 cs.DS cs.GT math.CO
On the set of stable matchings of a bipartite graph
二部图中的稳定匹配（婚姻）的话题已经变得非常流行，从Gale和Shapley的经典作品开始。我们给出了一个详细的调查，在这一领域，证明结构，多面体和算法的性质，这样的匹配和他们的集合，提供我们的描述与相对较短的证明。
2023-01-10 math.CO
On random exchange-stable matchings
考虑一组$n$男性和$n$女性，每个人都有自己的潜在婚姻伴侣偏好列表。稳定的婚姻是一种双方匹配，这样没有不匹配的一对（男人，女人）在匹配中更喜欢对方。它的非二部版本，具有偶数个$n$成员，被称为稳定室友问题。何塞·阿尔卡尔德（Jose Alcalde）提出了另一种交换稳定的单边匹配概念：在匹配中，没有两个成员会喜欢对方的伴侣而不是自己的伴侣。Katarina Cechlárová和David Manlove证明了e-稳定匹配判定问题对于两种匹配都是$NP$ -完全的。证明了e-稳定匹配的期望数在双边情形下渐近于$\left(\frac{πn}{2}\right)^{1/2}$，在单边情形下渐近于$e^{1/2}$.然而，该数值的标准差超过了$1.13^n$，（分别为$1.06^n$）。作为一个明显的副产品，存在至少具有$1.13^n$（分别为$1.06^n$）的偏好列表的实例。稳定匹配不存在稳定和e稳定匹配的概率至少为$1-e^{-n^{1/6+o(1)}}$，（分别为$1-O(2^{-n/2})$）。
2017-07-23 math.CO
The Popular Dimension of Matchings
McGill University（麦吉尔大学）
本文在房屋分配、婚姻、室友问题中研究流行匹配的松弛形式，确定不同场景下流行获胜集的最小基数（流行维度），补充了无权重严格偏好下室友问题的流行维度结论。
2026-09-07 cs.DM cs.DS cs.GT
A generalization of Hungarian method and Hall's theorem with applications in wireless sensor networks
本文研究了二部图中的拟匹配和半匹配问题，推广了经典的判定二部图中完美匹配的问题。我们证明了霍尔婚姻定理的一个广泛推广，并提出了一个算法，解决了确定字典最小$g$ -准匹配的问题（即二分图中的边的集合$F$，使得在二分图的一个集合中每个顶点$v$具有来自$F$的至少$g(v)$关联边，其中$g$是所谓的需要映射，而在二分区的另一侧，相对于$F$的度的分布在字典上是最小的）。我们还提出了一个应用程序在设计一个最佳的基于CDMA的无线传感器网络。
2009-11-06 math.CO
A Non-Degenerate Perturbation of the Assignment Polytope and its Application to Graph Matching
我们考虑在分配多面体上极大化一个连续凸函数。这些问题出现在图匹配（图同构的优化版本）和二次指派问题中。在最大化多面体上的凸函数的典型情况下，该问题可以通过使用诸如Tuy方法或Falk-Hoffman方法的单纯算法来解决，但是这些算法要求基础多面体是非退化的，这不是分配多面体的情况。在本说明中，我们将展示如何使用一个简单的扰动方案来创建一个“代理问题”，这是非退化和组合等价的原始问题。我们进一步提供了一个明确的代理问题，是非退化和组合等价的图匹配问题，当后者是作为一个凸最大化问题的建设。通过构建一个代理问题，已知先验的非退化和组合等价的图匹配，我们解决了一个“开放的问题”解决图匹配通过凸最大化首先提出的Maciel。
2014-12-08 math.CO math.OC
The Complexity of Approximately Counting Stable Roommate Assignments
我们调查的复杂性近似计数稳定室友分配两个模型：（i）的$k$属性模型，其中的偏好列表是由点积的“偏好向量”与“属性向量”和（ii）的$k$ -欧几里德模型，其中的偏好列表是由“位置”的人的“偏好位置”的接近程度。精确计算分配的数量是#P-完全的，因为欧文和莱瑟证明了稳定婚姻问题的特殊情况下的#P-完全性。我们发现，在$k$ -属性模型（$k \geq 4$）和3-欧几里德模型（$k \geq 3$）中，计算稳定室友分配的数量是可互约的，在近似保持的意义上，计算图中的独立集（所有大小）（#IS），或计算布尔公式（#SAT）的满意分配的数量。这意味着，除非NP=RP，否则这些问题中的任何一个都不可能有FPRAS。因此，我们推断，除非NP=RP，否则不存在用于计算稳定室友分配（#SR）的FPRAS。利用作者以前的结果，我们给出了一个近似保持减少从计数的独立集的数量在二分图（#BIS），以计数的稳定室友分配的数量在3属性模型和2-欧几里德模型。#BIS对于逻辑定义复杂度类$#RHΠ_1$中的近似保持约简是完备的。因此，我们的结果表明，在3属性模型中，计算稳定室友分配的FPRAS将给出所有$#RHΠ_1$的FPRAS。我们还证明了1-属性稳定室友问题总是有一个或两个稳定室友分配，因此分配的数量可以在多项式时间内精确确定。
2012-02-06 cs.CC math.CO
Vertex-Facet Assignments For Polytopes
出于减少多面体的搜索，我们考虑以下问题：对于多面体存在的顶点小平面分配，即，顶点和非入射面之间的匹配，使匹配覆盖所有顶点，或所有的方面？我们提供了存在这样的分配的一般条件。我们的结论是，存在所有简单和单纯多面体，以及所有多面体的尺寸$d\le 6$。我们构造了全维$d\ge 7$的反例。
2020-02-11 cs.DM math.CO
The random stable roommates problem typically has no solution
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Northwestern University（西北大学）
本文证明了在随机偏好下，稳定室友问题通常不存在稳定匹配，且概率随n增长而迅速减小。
2026-01-12 math.CO math.PR
Internal Closedness and von Neumann-Morgenstern Stability in Matching Theory: Structures and Complexity
设$G$是一个图，并假设我们对每个$v \in V(G)$给出了$v$的邻居的严格排序。如果不存在匹配$M,M' \in {\cal M}$使得$M$的边缘阻塞$M'$，则$G$的匹配${\cal M}$的集合被称为内部稳定的。稳定匹配集和冯·诺伊曼-摩根斯坦稳定匹配集是内部稳定匹配集的例子。在本文中，我们研究，在婚姻和室友的情况下，包括明智的最大内部稳定匹配集。我们称之为内部封闭的集合。通过建立在已知的和新开发的代数结构相关联的匹配集，我们调查的复杂性，决定一组匹配是内部封闭的或冯诺依曼-摩根斯坦稳定，并找到这些属性集。
2023-01-05 cs.CC cs.DM cs.DS
Affinely representable lattices, stable matchings, and choice functions
伯克霍夫表示定理（Birkhoff，1937）定义了一个分配格的元素和一个相关偏序集的上集族之间的双射。虽然没有明确使用，但这个结果是Irving等人（1987）的组合算法的基础，用于在Gale和Shapley的稳定婚姻模型（Gale和Shapley，1962）中的稳定匹配集上最大化线性函数。本文引入了分配格的一个性质，称之为仿射可表示性，并证明了它在有效求解分配格元素上的线性优化问题以及描述格元素特征向量的凸包中的作用。我们将这一概念应用到具有路径无关的配额填充选择函数的稳定匹配模型中，从而给出了该模型的有效算法和一个紧凑的多面体描述。据我们所知，这个模型概括了所有的模型，从文献中，类似的结果是已知的，我们的论文是第一个提出有效的算法，稳定匹配的选择函数，超越经典的延期接受算法的扩展。
2021-05-31 cs.DM math.CO
Perfect Fractional Matchings in Bipartite Graphs Via Proportional Allocations
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
研究证明二分图存在完美比例分配当且仅当它是匹配覆盖的，并扩展了这一结果以提供非匹配覆盖二分图的简单分配策略。
2026-04-30 cs.DS math.CO
The number of optimal matchings for Euclidean Assignment on the line
本文研究了具有线性代价函数的$d=1$维随机欧氏指派问题。在这个版本的问题中，一般来说，存在基态的大简并，即存在许多不同的最佳匹配（例如，大小为$N$的$\sim \exp(S_N)$）。我们描述了所有可能的最佳匹配的问题的一个给定的实例，我们给出了一个简单的产品的数量公式。然后，我们研究了在均匀随机系综中，模型的零温熵$S_N$的概率分布。我们发现，对于大的$N$，$S_N \sim \frac{1}{2} N \log N + N s + \mathcal{O}\left( \log N \right)$，其中$s$是一个随机变量，其分布$p(s)$不依赖于$N$。我们给出了表达式的渐近的时刻$p(s)$，无论是从一个制定作为布朗过程，并通过奇异性分析的生成函数与$S_N$。后一种方法提供了一个组合框架，该框架允许在$1/N$中计算以下参数的均值和方差的任意阶的渐近展开：
2021-01-13 cond-mat.dis-nn math.CO math.PR
Graph Matching via Optimal Transport
Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）
图匹配问题寻求找到两个图的节点之间的对齐，使相邻不一致的数量最小化。由于图匹配在运筹学、计算机视觉、神经科学等领域的应用，解决图匹配问题变得越来越重要。然而，目前的国家的最先进的算法是低效的匹配非常大的图，虽然他们产生良好的准确性。这些算法的主要计算瓶颈是线性分配问题，必须在每次迭代中解决。在本文中，我们利用最佳运输领域的最新进展，以取代公认的使用线性分配算法。我们提出了GOAT，这是对最先进的图匹配近似算法“FAQ”（Vogelstein，2015）的修改，用Cuturi（2013）的“光速最优传输”方法代替其线性和分配步骤。该修改提供了速度和经验匹配精度的改进。该方法的有效性证明在匹配图在模拟和真实数据的例子。
2021-11-09 cs.LG math.CO stat.ML
Revisiting the Auction Algorithm for Weighted Bipartite Perfect Matchings
我们研究经典的二分图的加权完美匹配问题，有时也称为分配问题，即，给定具有权重$w : E \rightarrow \mathcal{R}$的加权二分图$G = (U\cup V,E)$，我们感兴趣的是找到具有最小/最大权重的$G$中的最大匹配。在这项工作中，我们提出了一个新的，可以说是更简单的分析最早的技术之一，解决分配问题，即拍卖算法。使用我们的分析技术，我们提出了更严格的和改进的运行时复杂性的界限上找到一个近似的最小重量完美匹配$k$ -左定期稀疏二分图。
2021-01-18 cs.DM cs.DS math.CO
