Analysis of Dirichlet forms on graphs
Sebastian Haeseler
在这篇论文中，我们从Dirichlet空间的角度来研究度量图和组合图之间的联系。
In this thesis, we study connections between metric and combinatorial graphs from a Dirichlet space point of view.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Cheeger estimates of Dirichlet-to-Neumann operators on infinite subgraphs of graphs
本文研究图的无限子图上的Dirichlet-to-Neumann算子。对于无限图，我们证明了Dirichlet-to-Neumann算子的底谱的Cheeger型估计和Dirichlet-to-Neumann算子的高阶特征值的高阶Cheeger估计.
Dirichlet forms and stochastic completeness of graphs and subgraphs
我们通过正则狄利克雷形式研究图和网络上的拉普拉斯算子。我们给出了本质自伴的一个充分几何条件，并明确地确定了在这种情况下所有$\ell^p$，$1\leq p < \infty$上的相关半群的生成元.我们刻画了随机完备性，从而推广了所有早期相应的结果图拉普拉斯算子。最后，我们研究了子图的随机完备性与整个图的随机完备性之间的关系。
Effective Schroedinger dynamics on $ ε$-thin Dirichlet waveguides via Quantum Graphs I: star-shaped graphs
我们描述的边界条件的顶点，必须选择获得一个动力学系统，最好地描述了低能量部分的量子系统的演化局限于一个非常小的邻域的星形度规图。
Laplacians on infinite graphs: Dirichlet and Neumann boundary conditions
我们研究拉普拉斯算子与一个图，并挑选出一类这样的运营商具有特殊的正则性。在局部有限图的情况下，这个类由标准形式拉普拉斯算子的所有自伴、非负限制组成，我们可以将狄利克雷和诺依曼拉普拉斯算子刻画为标准形式拉普拉斯算子的最大和最小马尔可夫限制。在一般图的情况下，这个类包含狄利克雷和诺依曼拉普拉斯算子，我们描述这些可能彼此不同，当他们同意的特点，并研究连接到基本自伴性和随机完备性。最后，我们研究了与图相关的所有拉普拉斯算子的基本共同特征。特别地，我们刻画了相关半群何时是正改进的，并给出了其长期行为的一些基本估计。我们还讨论了一些情况下，与一个图的拉普拉斯算子是唯一的，在这种情况下，它的有界性的特征。
Analyticity of the spectrum and Dirichlet-to-Neumann operator technique for quantum graphs
在以前的一些工作中，建立了量子图算子的谱的解析结构作为图的顶点条件和其他参数的函数。然而，在所有可能的顶点条件的格拉斯曼上使用了一个特定的局部坐标图，从而造成了一种错误的印象，即在图表的边界处可能发生“错误”。在这里，我们表明，解析的相应的“色散关系”持有整个格拉斯曼，以及其他参数空间。我们还讨论了Dirichlet到Neumann（DtN）技术，将量子和离散图算子联系起来，这使得人们可以将一些结果从离散转移到量子图的情况下，但在Dirichlet谱上存在问题。我们的结论是，这种困难，在第一部分的文件，源于使用特定的坐标在格拉斯曼，并显示如何避免它扩展到一般情况下的一些随之而来的结果。
Dirichlet p-Laplacian eigenvalues and Cheeger constants on symmetric graphs
本文研究了图上具有Dirichlet边界条件的$p$ -Laplacian算子的特征值和特征函数。通过符号条件刻画了二部图的第一特征函数和最大特征函数。利用$p$的第一特征函数的唯一性，作为$p\to 1,$，我们把对称图的Cheeger常数与商图的Cheeger常数等同起来.利用这种方法，我们计算了球对称图的各种Cheeger常数。
The effective impedances of infinite ladder networks and Dirichlet problem on graphs
本文通过新方法计算无限LC和CL阶梯网络的有效阻抗，解决有限网络近似中的Dirichlet问题，引入与加权图经典微分算子相关的数学概念。
Boundary representation of Dirichlet forms on discrete spaces
我们描述了一个给定的无限图在其罗伊登边界上的Dirichlet形式的所有Dirichlet形式的集合。我们的方法是纯粹的分析和使用形式的方法。
Global properties of Dirichlet forms in terms of Green's formula
我们研究了Dirichlet型的全局性质，如Dirichlet扩张的唯一性、随机完备性和常返性。我们的特点是通过消失的边界项在格林公式的功能，从合适的函数空间和合适的运营商所产生的基础形式的扩展。我们首先在$σ$ -有限测度空间上的一般Dirichlet形式的框架下给出结果。对于正则Dirichlet形式，我们的结果可以得到加强，因为前面考虑的所有算子都是单个算子的限制。最后，结果被应用到图，加权流形和度量图，在调查中的运营商可以确定，而明确。
Graph-like asymptotics for the Dirichlet Laplacian in connected tubular domains
我们考虑的Dirichlet拉普拉斯算子在均匀宽度和无限长的波导理想分为三个部分：一个“顶点区域”，紧支撑和非零曲率，和两个“边缘区域”，这是半无限直条。通过将波导的边缘区域压缩为半直线，将波导的顶点区域压缩为一点，使波导坍缩到一个图上。在一个设置中，波导的宽度和顶点区域的纵向延伸之间的比率为零，我们证明了收敛的操作程序的自伴实现的拉普拉斯算子的两个边缘图。在极限算子中，顶点的边界条件依赖于与顶点区域相关联的有效一维哈密顿量的谱性质。
Branched quantum wave guides with Dirichlet boundary conditions: the decoupling case
我们考虑一族开集$M_ε$，它相对于一个适当的参数$ε$收缩到一个图。在顶点邻域很小的附加假设下，证明了$M_ε$的适当移位的Dirichlet谱收敛于顶点处具有Dirichlet边界条件的图上的（微分）Laplacian的谱，即，一种不同边之间没有耦合的图算子。的小表示的混合特征值问题的顶点邻域上的第一个特征值的下界。下界由边缘邻域的第一横模给出。我们还允许弯曲的边缘，并表明，所有有界特征值收敛到一个拉普拉斯算子的频谱上的边缘与一个额外的潜在的来自曲率。
Always detectable eigenfunctions on metric graphs
文[18]证明了度量树上标准点连续的Laplacian算子和任意度量图上的标准条件和Dirichlet条件的Laplacian算子都有一个无穷序列，其特征函数在任意非Dirichlet点上都不为零.
Closability, regularity, and approximation by graphs for separable bilinear forms
本文考虑一个由有界函数构成的可数生成的一致闭代数。我们假设有一个较低的连续，关于上确界范数，二次型和正常的收缩在一定意义上运作。证明了局部紧可分度量空间上的二次型的有效域的子空间与正则Dirichlet型的核自然同构。证明了可数生成测度空间上的任意Dirichlet型在Mosco收敛（即强预解式收敛）的意义下都可以用本质离散的Dirichlet型（即有限权图上的能量型）来逼近.
Discovery of Probabilistic Dirichlet-to-Neumann Maps on Graphs
本文提出了一种基于高斯过程和离散外算术的方法，用于在图上学习满足守恒约束的狄利克雷-内维叶映射，并在有限数据下实现高精度和可靠不确定性量化。
Passage times, exit times and Dirichlet problems for open quantum walks
我们考虑图上的开放量子行走，并考虑随机变量定义为图的给定点的通过时间和访问次数。我们特别研究的概率，通过时间是有限的，期望的通过时间，和期望的访问次数，并讨论的概念复发开放量子漫步。我们还研究退出时间和退出概率从一个有限的区域，并用它们来解决狄利克雷问题，并确定调和措施。我们特别考虑不可约开量子行走的情况。所得结果推广了经典马氏链的结果。
$m$-sectorial discrete Laplacians and recurrence of complex-weighted graphs
研究复加权图的Dirichlet拉普拉斯算子的m-扇形性质，将其扩展为电网络，并定义复加权图的重现性，通过收敛结果给出其多种刻画。
Cantor and band spectra for periodic quantum graphs with magnetic fields
我们提供了一个详尽的频谱分析的二维周期正方形图格子与磁场。我们表明，频谱由Dirichlet特征值的边缘和一个特定的离散算子下的判别式（李雅普诺夫函数）的一个合适的Kronig-Penney哈密顿谱的原像。特别地，在任意两个狄利克雷本征值之间的谱对于无理通量是康托集，并且对于有理通量是绝对连续的并且具有能带结构。狄利克雷特征值可以是孤立的或嵌入的，取决于参数的选择。两种可能性的条件。我们表明，一般有无限多的差距，在这种情况下，贝特-索末菲猜想失败。
Unbounded Laplacians on Graphs: Basic Spectral Properties and the Heat Equation
我们讨论的拉普拉斯算子的图的框架内定期狄利克雷形式。我们专注于与拉普拉斯算子无界性相关的现象。这包括本质自伴性（失效）、本质谱的缺失和随机不完备性。
Erratum: Dirichlet Forms and Dirichlet Operators for Infinite Particle Systems: Essential Self-adjointness
我们重新证明了具有超稳定和次指数递减相互作用的无穷粒子系统的Dirichlet型Dirichlet算子的本质自伴性。
The first eigenvalue of the $p-$Laplacian on quantum graphs
本文研究了量子图上具有Dirichlet或Kirchoff边界条件的$p-$ Laplacian算子（带$1<p<\infty$）的第一特征值.我们发现这个特征值的下限和上限时，我们规定的总和的边缘的长度和Dirichlet节点的图形。此外，我们发现一个公式的形状导数的第一特征值（假设它是简单的），当我们通过改变边的长度扰动图。最后，我们详细研究了极限情形$p\to \infty$和$p\to 1$。
A Calderón type inverse problem for tree graphs
我们研究的逆问题恢复树图连同其边缘的权重（相当于一个度量树）的知识与拉普拉斯算子的狄利克雷到诺依曼矩阵。我们证明了一个明确的公式，涉及到这个矩阵的成对加权距离的树叶的树，因此，允许恢复加权树。这个结果可以看作是在偏微分方程分析中的Calderón问题的一个对应。与度量图的反问题的早期结果相反，我们只假设知识的Dirichlet-诺依曼矩阵为一个固定的能量，而不是一个完整的矩阵值函数。
Edge-localized states on quantum graphs in the limit of large mass
本文在量子图上构造了聚焦非线性薛定谔方程的各种边定域定态，并在大质量极限下对它们进行了渐近量化.该方法适用于一般的有界图和无界图。该解决方案是通过匹配一个本地化的大振幅椭圆函数上的一个单一的边缘与一个指数较小的其余部分的图形。这是通过研究对应于图的两个部分的Dirichlet-to-Neumann流形（Dirichlet-to-Neumann映射的非线性类似物）的交叉来完成的。对于一组给定的悬垂，循环，和内部边缘的量子图，我们找到的边缘上的最小能量的状态在固定质量的本地化。几个例子的数值研究被用来说明分析结果。
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