Generalizations of Capparelli's identity
Jehanne Dousse, Jeremy Lovejoy
使用锯齿状overpartitions，我们给出了三个概括的一个加权字版本的Capparelli的身份，由于安德鲁斯，Alladi和戈登，并提出了几个推论。
Using jagged overpartitions, we give three generalizations of a weighted word version of Capparelli's identity due to Andrews, Alladi, and Gordon and present several corollaries.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On partition identities of Capparelli and Primc
我们表明，乘以一个因素$\frac{1}{(cq;q)_{\infty}}$，加权的话版本的Capparelli的身份是一个特殊的情况下，加权的话版本的Primc的身份。我们先用递归证明，然后用双射证明。我们也给出了这两个身份的有限版本。
Some $q$-hypergeometric identities associated with partition theorems of Lebesgue, Schur and Capparelli
本文构造含参数 $L,M$ 的三变量多项式恒等式，统一推广并在极限下导出 Schur 与 Lebesgue 关键恒等式，还给出 Alladi–Schur 精细化及连通 Euler、Lebesgue、Capparelli 定理的新无限层级。
Generalisations of Capparelli's and Primc's identities, I: coloured Frobenius partitions and combinatorial proofs
在这两个同伴文件中，我们给无限家庭的分区身份推广Primc的和Capparelli的身份，并研究其后果的理论上的晶体基地的仿射李代数$A_{n-1}^{(1)}.$在这第一篇论文中，我们专注于组合方面。通过构造一个$n^2 \times n^2$矩阵的差分条件，我们给出了Primc恒等式的$n^2$ -着色推广，Primc的原恒等式对应于$n=2$和$n=3$ .虽然在文献中大多数有色分区身份连接分区与不同的条件，以分区与同余条件，在我们的情况下，自然的方式来推广这些身份是分区与不同的条件，以有色弗罗贝纽斯分区。这给出了生成函数的一个非常简单的表达式。随着一个特殊的专业化的颜色变量，我们的推广也产生了一个分区身份与同余条件。然后，使用双射从我们的新概括Primc的身份，我们推导出一个多参数的家庭身份的$(n^2-1)$ -彩色分区概括Capparelli的身份，也在有色Frobenius分区。特殊情况$n=2$是Capparelli的恒等式，而情况$n=3$恢复了Meurman和Primc的恒等式。在第二篇论文中，我们将集中在晶体理论方面。我们将表明，我们在我们的$n^2$ -彩色概括Primc的身份，实际上是某些$A_{n-1}^{(1)}$晶体的能量函数定义的差异条件。然后，我们将使用这个结果来检索Kac-Peterson特征标公式，并导出一个新的特征标公式作为所有不可约的最高…
The method of weighted words revisited
阿拉迪和戈登介绍了方法的加权词在1993年证明了一个完善和推广舒尔的分区身份。后来，他们和安德鲁斯一起用它来完善卡帕雷利和格尔尼茨的身份。在本文中，我们提出了一个新的变种，这种方法，它可以用来研究更复杂的划分身份，并应用它来证明三个划分身份的细化和推广。第一个是Siladić定理（2002），来自于顶点算子代数。第二个是Primc（1999）的结构恒等式，它来自于晶体基础理论.最后一个是一个非常普遍的身份有色overpartitions概括和统一的几个概括舒尔定理由于阿拉迪，戈登，安德鲁斯，Corteel-Lovejoy，Lovejoy和作者。
A generalization of Franklin's partition identity and a Beck-type companion identity
本文提出欧拉分拆恒等式的新推广，使其涵盖Franklin的已有推广作为特例，并进一步证明了一个Beck型伴随恒等式。
On Touchard's Identity: Generalizations and Related Results
本文推导了关于Catalan数的Touchard恒等式的两个推广，并建立了新的组合恒等式。
Several generalizations and variations of Chu-Vandermonde identity
本文证明了几个组合恒等式，它们可以看作是显着的Chu-Vandermonde恒等式的推广和变化。本文用初等组合概率方法证明了最近研究的离散随机变量的某些特殊情形的$k$阶矩（$k=1,2,3$）的表达式。利用其中一个Chu-Vandermonde型恒等式，建立了两个组合同余式。
Generalizations of Menon's arithmetic identity
本文针对Menon算术恒等式，利用初等方法给出了其若干推广形式及证明。
Generalization of an Identity of Andrews
我们考虑一个由G. G发现的将斐波那契数与帕斯卡三角形联系起来的恒等式。E.安德鲁斯几位作者提供了证明这一身份，他们都相当参与或依赖于复杂的数论参数。不仅给出了一个简单初等的证明，而且证明了该恒等式推广到了Pascal三角形以外的数组。作为应用，我们得到的身份三项式系数和加泰罗尼亚的三角形斐波那契数。
A bijective proof of a generalization of the non-negative crank--odd mex identity
Andrews-Newman和Hopkins-Sellers最近的工作揭示了两个划分统计量，曲柄和mex之间的有趣关系。他们指出，对于正整数$n$，具有非负曲柄的$n$的分区与具有奇数mex的$n$的分区一样多。在本文中，我们给出了一个双射证明的推广，这个身份提供的霍普金斯，塞勒斯和斯坦顿。我们的方法使用了另一种定义的Durfee分解，其组合链接到曲柄最近研究了霍普金斯，塞勒斯和Yee。
A new generalization of the minimal excludant arising from an analogue of Franklin's identity
欧拉的经典恒等式指出，一个整数分成奇数部分和不同部分的个数是相等的。富兰克林通过考虑具有恰好$j$的不同倍数的$r$的分区给出了一个推广，其中$r$是正整数$r$。我们证明了一个类似的富兰克林的身份，通过研究分区的数量与$j$倍数的$r$在总的过程中，发现一个自然的推广的最小互斥（MEX），我们称之为$r$链MEX。此外，我们推导出生成函数为$σ_{rc} \textup{mex}(n)$，$r$链的总和mex采取所有分区的$n$，从而推导出一个组合的身份为$σ_{rc} \textup{mex}(n)$，这整齐地推广了安德鲁斯和纽曼的结果为$σ\textup{mex}(n)$，总和mex在所有分区的$n$。
Generalization of five q-series identities of Ramanujan and unexplored weighted partition identities
拉马努金在他的第二本笔记本的一个章节中记录了五个有趣的q-级数恒等式，这个章节并不像其他章节那样有系统地排列。这五种身份似乎没有得到足够的重视。最近，Diarrant和第三作者发现了上述五个恒等式之一的单变量推广。从他们的广义恒等式中，他们能够推导出这些q-级数恒等式中的后三个，但没有建立前两个。在本文中，我们得到一个单变量推广的主要身份的Dianjiang和第三作者，我们成功地推出了所有五个q系列的身份Ramanujan。除此之外，我们还从我们的广义恒等式中建立了一些有趣的加权划分恒等式。在20世纪80年代中期，Bressoud和Subbarao发现了一个有趣的恒等式，将广义除数函数与加权分拆函数联系起来，他们通过纯粹的组合论证证明了这一点。令人惊讶的是，我们发现了一个分析证明的推广身份的Bressoud和Subbarao，从第四身份的上述五个q系列身份的拉马努金。
Generalizations of a terminating summation formula of basic hypergeometric series and their applications
利用解析函数的一个性质，将终止求和公式推广到单边非终止求和公式，并进一步推广到双边求和公式。证明了单侧公式是$_4F_3$ -求和公式的$q$ -模拟.作为双边恒等式的特例，得到了Jacobi三重积恒等式与五重积恒等式的统一。
Two generalizations of Jacobi's derivative formula
本文将著名的Jacobi三重积恒等式推广到更高亏格/维数的情形，其中Jacobi三重积恒等式被认为是θ函数及其导数的特征恒等式.通过应用我们在前一篇论文math.AG/0310085中所发展的结果和方法，得到了Siegel模形式的几个推广。这些推广是特征为零的θ函数及其导数所满足的恒等式。将这些关系的傅里叶展开的系数等于零，得到非平凡的组合恒等式。
On Schultz's generalization of Borweins' cubic identity
本文重新审视Schultz的恒等式，通过两种不同方法推导并给出新证明，同时获得多个新的Schultz型恒等式。
Short proof and generalization of a Menon-type identity by Li, Hu and Kim
我们提出了一个简单的证明和推广的Menon型恒等式由李，胡和金，涉及狄利克雷字符和添加剂字符。
A generalization of Tóth identity in $\mathbb{F}_q[T]$ involving a Dirichlet Character
设$\mathbb{A}=\mathbb{F}_q[T]$是有限域$\mathbb{F}_q$上的多项式环.本文证明了$\mathbb{A}$上Tóth恒等式的一个推广，它涉及算术函数、乘法和加法特征标.
Partition implications of a new three parameter $q$-series identity
一个美丽的推广$q$系列身份发现在拉马努金的第二和第三笔记本的无组织部分获得。因此，我们得到一个新的三参数身份，这是一个丰富的来源划分理论的信息。特别地，我们利用这个恒等式得到了Andrews，Garvan和Liang最近的一个结果的推广，这个结果本身推广了Fokkink，Fokkink和Wang的著名结果.这三个参数的身份也导致了几个新的加权划分身份，以及一个自然的证明Garvan最近的结果。这个自然的证明提供了有趣的数论信息。我们还得到了一个新的结果，它是由一个包含Fine函数$F(a,b;t)$的特殊情形，即$F(0,q^n;cq^n)$的无穷级数组成的.对于$c=1$，这给出了安德鲁斯著名的$\mathrm{spt}(n)$恒等式，而对于$c=-1, 0$和$q$，它揭示了除数函数$d(n)$与其他划分理论函数（如最大部分函数$\mathrm{lpt}(n)$）之间的新关系。
A Menon-type Identity concerning Dirichlet characters and a generalization of the gcd function
Menon恒等式是一个涉及gcd和和欧拉函数$ϕ$的经典恒等式。在最近的一篇论文中，Zhao和Cao导出了Menon型恒等式$\sum\limits_{\substack{k=1}}^{n}(k-1,n)χ(k) = ϕ(n)τ(\frac{n}{d})$，其中$χ$是Dirichlet特征标mod $n$与导体$d$。我们推导出一个类似于此的恒等式，用它的推广来代替gcd。我们还表明，如果使用我们在这里采用的方法，在推导赵曹恒等式时使用的一些参数可以得到改进。
A cubic generalization of Brahmagupta's identity
本文给出了三次多项式的一个代数的恒等式，它推广了Brahmagupta的恒等式，便于三次域上的算术运算.我们还提出了一个关于固定迹和固定模的三次域的元素与椭圆曲线的有理点之间关系的问题。
Generalization of a Ramanujan identity
欧拉产品的朗道-拉马努金常数可能激发了一个奇怪的身份拉马努金出现在他的笔记本电脑两次。这一观察涉及平方根和$4n+3$形式的前四个素数，即，$3, 7, 11, 19$。伯恩特问是否拉马努金的身份是一个孤立的结果，或者如果有其他身份的这种类型。有了这项工作，我们想给一个可能的答案伯恩特的问题。
On a generalization of Menon-Sury identity to number fields involving a Dirichlet Character
对于每一个正整数$n$，Sita Ramaiah的恒等式指出\medskip \begin{equation*} \sum_{a_1, a_2, a_1+a_2 \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*} \gcd(a_1+a_2-1,n) = ϕ_2(n)σ_0(n) \; \text{ where } \; ϕ_2(n)= \sum_{a_1, a_2, a_1+a_2 \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*} 1, \end{equation*} \medskip其中$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$是环$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$和$σ_s(n) = \displaystyle\sum_{d\mid n}d^s$的乘法群。\smallskip这个恒等式也可以看作是梅农恒等式的推广。在这篇文章中，我们推广这个身份，一个代数数域$K$涉及的Dirichlet字符$χ$。我们的结果是最近在\cite{wj}和\cite{sury}的结果的进一步推广。
Proofs, generalizations and analogs of Menon's identity: a survey
本文为梅农恒等式的综述，通过不同方法给出该恒等式的自洽证明，梳理其推广、类似形式及原始论文的结果与证明，补充历史评述与最新参考文献。
A generalization of an identity due to Kimura and Ruehr
一个身份所述的木村和证明鲁尔，木村和其他规定，任何功能$f$连续$[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$一个有$$ \int_{-1/2}^{3/2} f(3x^2 - 2x^3) dx = 2 \int_0^1 f(3x^2 - 2x^3) dx. $$我们证明，这种平等不是一个孤立的例子，提供一个家庭的多项式，有关的切比雪夫多项式和其中$(3x^2 - 2x^3)$是一个特殊的情况下，产生类似的身份。
Another generalization of Euler's arithmetic function and Menon's identity
定义$k$维广义欧拉函数$φ_k(n)$为有序$k$元组$(a_1,\ldots,a_k)\in {\Bbb N}^k$的个数，使得$1\le a_1,\ldots,a_k\le n$和乘积$a_1\cdots a_k$与和$a_1+\cdots +a_k$都与$n$互素.研究了函数$φ_k(n)$的一些性质，得到了相应的Menon型恒等式.
A four parameter generalization of Gollnitz's (BIG) partition theorem
我们宣布了一个新的四参数分割定理，其中的（大）定理戈尔尼茨如下设置任何一个参数等于0。这解决了一个问题的安德鲁斯谁问是否存在一个结果，超出了分割定理的戈尔尼茨。我们陈述了一个四参数q-级数恒等式（密钥恒等式），它是这个定理的生成函数形式。在随后的论文中，将给出新的四参数密钥恒等式的证明。
A Menon-type identity using Klee's function
Menon恒等式是一个涉及gcd和和欧拉函数$ϕ$的经典恒等式。$ϕ$的自然推广是Klee函数$Φ_s$。在本文中，我们推导出一个Menon型恒等式使用克利的功能和推广的gcd功能。这个恒等式推广了Lee和Kim在[ \textit{J. Number Theory 175, 42--50(2017)} ]中给出的恒等式。
Toward resolving Kang and Park's generalization of the Alder-Andrews Theorem
本文通过推广 Alfes 等人的渐近方法与高性能计算技术，解决了 Kang 和 Park 提出的与第二个 Rogers-Ramanujan 恒等式相关的“2 级”Alder-Andrews 型分拆不等式猜想中几乎所有剩余情况。
A Balanced Three-term Generalization of Nicomachus' Identity
本文提出前n个立方数和的经典尼科马库斯恒等式的三项平衡推广，分析其渐近特性与相关连分数性质，发现对应非线性递推存在仅输出整数的Somos型现象。
A generalization of Tóth identity in the ring of algebraic integers involving a Dirichlet Character
$k$维广义欧拉函数$φ_k(n)$被定义为有序$k$元组$(a_1,a_2,\ldots, a_k) \in \mathbb{N}^k$与$1\leq a_1,a_2,\ldots, a_k \leq n$的数量，使得乘积$a_1a_2\cdots a_k$和$a_1+a_2+\cdots+a_k$都与$n$互质. Tóth证明了恒等式\begin{equation*} \sum_{\substack{a_1,a_2,\ldots, a_k=1 \\ \gcd(a_1a_2\cdots a_k,n)=1\\ \gcd(a_1+a_2+\cdots+a_k,n)=1}}^n \gcd(a_1+a_2+\cdots+a_k-1,n) =φ_k(n)σ_0(n), \;\; \text{ where } σ_s(n) = \sum_{d\mid n}d^s \;\; \text{ holds. } \end{equation*}这个恒等式也可以看作是梅农恒等式的推广。本文将这个恒等式推广到含算术函数和Dirichlet特征标的代数整数环。
Symmetric identities on Bernoulli polynomials
本文得到了Carlitz关于伯努利多项式的一个恒等式的推广。然后我们利用这个推广公式导出了两个对称恒等式，这两个恒等式可归结为关于伯努利多项式和伯努利数的一些已知恒等式，包括Miki恒等式.
A divisor generating q-series identity and its applications to probability theory and random graphs
本文系统研究Uchimura除数生成q-级数恒等式的各类推广，建立统一理论，并将其应用于概率论中堆和随机无环有向图的分析。
Identity for generalized Bernoulli polynomials
本文建立了广义伯努利多项式的一个恒等式。我们推导出许多关系，涉及经典的伯努利数或多项式的推广。特别是，我们推广了最近的Gessel恒等式。
A Generalized Newton-Girard Identity
我们提出了一个推广的Newton-Girard恒等式，以及一些应用。作为补充，我们收集了许多评价对称多项式，这些身份适用。
A generalization of Menon's identity with Dirichlet characters
经典的梅农恒等式[7]指出，\begin{equation*}\label{oldbegin1} \sum_{\substack{a\in\Bbb Z_n^\ast }}\gcd(a -1,n)=φ(n) σ_{0} (n), \end{equation*}其中对于正整数$n$，$\Bbb Z_n^\ast$是环$\Bbb Z_n=\Bbb Z/n\Bbb Z$的单位群，$\gcd(\ ,\ )$表示最大公约数，$φ(n)$是欧拉函数，$σ_{k} (n) =\sum_{d|n } d^{k}$是除数函数。本文将Menon恒等式推广到Dirichlet特征标：\begin{equation*} \sum_{\substack{a\in\Bbb Z_n^\ast b_1, ..., b_k\in\Bbb Z_n}} \gcd(a-1,b_1, ..., b_k, n)χ(a)=φ(n)σ_k\left(\frac{n}{d}\right), \end{equation*}其中$k$是非负整数，$χ$是模$n$的Dirichlet特征标，其导体是$d$ .我们的结果可以看作是Zhao和Cao的结果[16]到$k>0$的推广.它也可以被看作是Sury结果[12]对Dirichlet特征标的推广。
A Dilogarithm Series and a Generalization of a Theorem of Bridgeman
本文利用Abel五项关系推导Rogers双对数的双参数级数恒等式，特化后得到含Lucas序列的级数，推广了Bridgeman关于Pell方程解的级数结果。
A geometric proof of Jarnik's identity in the setting of weighted simultaneous approximation
Jarnik的身份起着重要作用，在经典的同时逼近两个实数。O. German [2]给出了一个推广，其中等式必须用两个不等式代替。他的方法属于经典的数的几何。本文的目的是提供一种替代方法的基础上仔细检查某些连续的极小函数，源于参数数的几何，一种方法，已经成功地用于推广Jarnik的身份，以更高的维度在经典的设置在[3]和[7]。
On an integral identity
本文给出了一个很好的定积分等式的三个初等证明，它源于二元超几何函数的理论，并与数论中的无理性证明有关.此外，我们提供了一个推广与一个同样基本的证明，并讨论了一些后果。
q-series and L-functions related to half-derivatives of the Andrews--Gordon identity
研究了Zagier的q-级数恒等式的推广。引入了一个非正整数的L函数的母函数，它被看作Andrews-Gordon q-级数的半微分.当q是单位单位根时，生成函数与环面结的量子不变量一致。
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