Reed-Muller codes polarize
Reed-Muller（RM）码和极化码由相同的矩阵$G_m= \bigl[\begin{smallmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{smallmatrix}\bigr]^{\otimes m}$生成，但是使用不同的行子集。RM码简单地选择具有最大权重的行。相反，极化码选择具有最大条件互信息的行，在$G_m$中从上到下进行;虽然这是更精细且依赖于信道的规则，但从上到下的排序具有使条件互信息更精细的优点，从而在任何二进制无记忆对称信道（BMSC）上直接给出容量实现码。RM码具有这样的性质还有待证明。在本文中，我们重新RM码极化理论。结果表明，在RM码排序，即，不是从上到下，而是从$G_m$中最轻的行到最重的行，条件互信息再次极化。我们进一步证明了它比极化码更快。这意味着$G_m$包含不同于极化码的另一个码，并且在这里被称为孪生码，其在任何BMSC上可证明是容量实现的。这证明了RM码在BMSC上实现容量的必要条件。它进一步给出了条件互信息最大的行对应于最重的行的充分条件，即，如果孪生码是RM码。我们在这里表明，这两个代码裸露彼此的相似性，并提供进一步的证据，他们可能是相同的。
2019-01-31 cs.IT math.IT
A General Construction and Encoder Implementation of Polar Codes
与现有码类似，打孔和缩短是获得极化码的任意码长和码率的两种一般方式。当一些编码比特被打孔或缩短时，这相当于极化码的底层信道不同的情况。因此，具有打孔或缩短的比特信道的质量不同于原始质量，这可以极大地影响极化码的构造。本文从两个方面研究了极化码的一般构造：1）构造极化码的理论基础; 2）极化码编码器的硬件实现。与原始相同且独立的二进制输入无记忆对称（BMS）通道相比，这些底层BMS通道可以是不同的。对于二进制擦除信道（BEC）信道，可以采用递归方程，假设独立的BMS信道。对于所有其他信道类型，所提出的极化码的一般构造基于现有的Tal-Vardy过程。的对称性和退化关系被证明是保存下的一般设置，呈现的可能性的修改Tal-Vardy的程序。仿真结果清楚地表明，改进的错误性能与重新排序使用所提出的新程序。在硬件方面，提出了一种新的修剪折叠编码器结构，节省了开始冻结位的计算。实验结果表明，经过剪枝的编码器吞吐量提高了28%。
2019-10-22 cs.IT math.IT
Spatially Coupled MacKay-Neal Codes on Symmetric Markov Noise: A Reduction to BMS Channels
Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
针对对称马尔可夫噪声下的固定度空间耦合MacKay-Neal码，证明容量准则，通过条件熵修正和两状态后验收缩，实现BMS信道归约，达到阈值饱和。
2026-10-02 cs.IT math.IT
Partial Orders in Rate-Matched Polar Codes
本文为速率匹配极化码在BEC和BMSC下建立偏序关系，证明其在分组速率匹配后的保持性，并利用该工具改进PW序列及母码可靠序列。
2024-11-06 cs.IT math.IT
Comparing the Bit-MAP and Block-MAP Decoding Thresholds of Reed-Muller Codes on BMS Channels
RM码是否实现容量的问题是编码理论中长期存在的开放问题，最近对于擦除信道上的传输给出了肯定的回答[1]，[2]。值得注意的是，这个证明并不依赖于RM码的特殊性质，除了它们的对称性。实际上，主要的技术结果在于示出具有双传递置换群的线性码的任何序列在比特MAP解码下在无记忆擦除信道上实现容量。因此，一个自然的问题是在块MAP解码下会发生什么。在[1]、[2]中，通过利用码的进一步对称性，位映射阈值被示出为足够尖锐，使得块擦除概率也收敛到0。然而，这种技术严重依赖于传输是在擦除信道上的事实。我们提出了一种替代方法，以加强关于位MAP阈值块MAP阈值的结果。这种方法是基于对RM码的重量分布的仔细分析。特别地，主要结果的味道如下：假设对于某些$δ>0$，比特映射错误概率衰减为$N^{-δ}$。然后，块MAP错误概率也收敛到0。这种技术适用于任何二进制无记忆对称信道上的传输。因此，它可以被认为是第一步，在扩展证明RM码是实现容量的一般情况下。
2016-07-09 cs.IT math.IT
Capacity-achieving Polar-based LDGM Codes
本文研究了具有稀疏生成矩阵的码。更具体地说，低密度生成矩阵（LDGM）码的生成矩阵中的列的重量有一定的约束。本文首先证明了当给定BMS信道W和常数s>0时，存在极化核，使得相应的极化码是容量实现的，并且生成矩阵（GM）的列权重由$N^s$从上限定。然后，给出了基于极性码和速率$1$码的级联的一般构造，以及保证更稀疏的GM的新的列分裂算法。更具体地，对于任何BMS信道和任何$ε> 2ε^*$，其中$ε^* \approx 0.085$，示出了具有由$(\log N)^{1+ε}$上界的所有GM列权重的实现容量的代码的序列的存在。此外，BEC和BMS信道的两个编码方案，基于第二列分裂算法，设计了低复杂度的解码，使用逐次抵消。第二分裂算法允许使用低复杂度的解码器，通过保持由源比特观察到的比特信道的可靠性，并通过增加码块长度。基于级联的构造也可以应用于随机线性码系综以产生容量实现码，其中所有GM列权重都是$O(\log N)$并且具有（大次数）多项式解码复杂度。
2022-06-27 cs.IT math.IT
Stochastic Chase Decoding for BMS Channels via Rate Distortion Theory
Samsung Semiconductor Research and Development Center（三星半导体研发中心）；School of Electrical Engineering, Tel Aviv University（特拉维夫大学电气工程学院）
本文提出了一种基于率失真理论的随机追击解码方法，用于二进制记忆less对称（BMS）信道上的代数码解码，通过信息论基础的翻转规则替代传统启发式方法确定翻转概率，重新解释随机追击解码为随机编码构造错误模式覆盖码，并基于Nguyen等人提出的框架，为BMS信道上的追击解码设计比特翻转概率，得到渐近最优的比特翻转规则和预期列表大小，确保发送码字以高概率出现在解码列表中，且在二进制和四进制对称信道中，最优比特翻转规则与信息论规则高度匹配。
2026-05-19 cs.IT math.IT
Performance Bounds of Concatenated Polar Coding Schemes
分析了一种基于极化变换和外子码的二进制无记忆对称（BMS）信道级联编码方案。推导出了可量化的误差指数和出错率的上界。第一个界限是使用外码，这是典型的线性码的奇偶检验矩阵的元素是独立地和均匀地选择的集合。作为该界限的副产品，它确定总速率与外码速率的所需速率分割。然后推导出对于具有给定容量的所有BMS信道保持的误差指数的下限。有限块长度码使用信道色散（正常近似），以及逆和近似逆的结果，也得到了改进的界限和近似。的界限进行比较，从文献中的实际模拟结果。对于所考虑的情况，当在二进制输入加性高斯白噪声信道上传输时，在级联BCH极化码的正态近似预测和实际出错率之间仅存在小的差距。
2017-10-23 cs.IT math.IT
Capacity-achieving Polar-based Codes with Sparsity Constraints on the Generator Matrices
在本文中，我们利用极化码和成熟的信道极化来设计容量实现码，对生成矩阵（GM）中所有列的权重具有一定的约束，同时具有低复杂度的解码算法。我们首先表明，给定一个二进制输入无记忆对称（BMS）信道$W$和一个常数$s \in (0, 1]$，存在一个极化核，使得相应的极化码是容量实现与\textit{rate of polarization} $s/2$，和GM列权重从上界由$N^s$。为了改善稀疏性与错误率的权衡，我们设计了一个列分裂算法和两个编码方案BEC，然后为一般BMS通道。由这两种方案生成的\textit{polar-based}码继承了具有原始$2 \times 2$内核的极化码的几个基本性质，包括错误概率的衰减、解码复杂度和容量实现性质。此外，它们还证明了一个额外的性质，即它们的GM列权重在$N$中从上到下是次线性有界的，而原始极化码在$N$中具有一些线性的列权重。特别地，对于任何BEC和$β<0.5$，示出了存在一系列容量实现的基于极性的码，其中所有GM列权重从上到下由$N^λ$与$λ\approx 0.585$界定，并且在具有复杂度$O(N\log N)$的解码器下具有由$O(2^{-N^β} )$界定的错误概率。对于任何BMS信道和具有$λ\approx 0.631$的$β<0.5$，示出了具有相同解码复杂度的类似容量实现的基于极性的码的存在。
2023-03-16 cs.IT eess.SP math.IT
On the Scaling Exponent of Polar Codes for Binary-Input Energy-Harvesting Channels
本文研究了无限容量电池下二进制输入能量收集（EH）信道极化码的标度指数。EH过程的特征在于i.i.d.具有有限方差的随机变量二进制输入无记忆信道（BMC）的极化码的缩放指数$μ$表征由极化码实现的容量与非渐近速率之间的最接近间隙，其中错误概率不大于某个非零$\varepsilon\in(0,1)$。已经示出，对于任何$\varepsilon\in(0,1)$，具有$I(q_{Y|X})\in(0,1)$的任何二进制输入无记忆对称信道（BMSC）的标度指数$μ$位于3.579和4.714之间，其中上限$4.714$由极化码的显式构造示出。我们的主要结果表明，对于任何二进制输入EH通道，$4.714$仍然是标度指数的有效上界，即，一个BMC受额外的EH约束。因此，我们的结果意味着，如果采用极化码，EH约束不会恶化收敛到容量的速度。利用以下三个现有结果证明了主要结果：BMSC的标度指数分析，为二进制输入无记忆非对称信道设计的极化码的构造，以及EH信道的保存和发送策略。
2016-11-14 cs.IT math.IT
An Information-Theoretic Perspective on Successive Cancellation List Decoding and Polar Code Design
这项工作确定了信息理论的数量，是密切相关的连续取消列表（SCL）解码实现最大似然解码一般二进制无记忆对称（BMS）信道的平均所需的列表大小。它还提供了这些量的上限和下限，可以有效地计算非常长的代码。对于二进制擦除信道（BEC），我们提供了一个简单的方法来估计平均值准确地通过密度演化。分析显示如何修改，例如，Reed-Muller码，以提高实际列表大小时的性能，例如，$L\in[8, 1024]$。具有块长度$N\in\{128,512\}$的示例性构造在二进制输入加性高斯白噪声信道上优于5G的极化码。进一步表明，对于足够大的块长度，在离散输出BMS通道上，所需列表大小的对数平均值附近存在集中度。我们提供了这个对数的概率质量函数（p.m.f.s），在BEC上，通过模拟，这说明了p.m.f.s集中在估计的平均值附近的一个序列的修改的RM码的块长度增加。
2022-04-01 cs.IT math.IT
On the Construction of Polar Codes
我们考虑在二进制无记忆对称（BMS）信道上有效构造极化码的问题。经由极化信道的精确评估来设计极化码以找出哪些极化信道是“好的”的复杂度在块长度上似乎是指数的。在\cite{TV11}中，Tal和Vardy表明，如果近似地执行评估，则构造只有线性复杂度。在本文中，我们遵循这种方法，并提出了一个框架，\cite{TV11}和新的相关算法的算法可以分析的复杂性和准确性。我们提供的数值和分析结果，这样的算法的效率，特别是我们可以找到所有的“好”的通道（除了消失的分数），几乎线性复杂的块长度（除了一个polylogarithmic因子）。
2012-09-20 cs.IT math.IT
Spatially Coupled LDPC Codes Affected by a Single Random Burst of Erasures
空间耦合LDPC（SC-LDPC）系综在置信传播（BP）译码下渐近地达到二进制无记忆信道（BMS）的容量。在本文中，我们研究了BP解码的BMS信道上，在存在一个单一的随机突发的擦除这些代码的合奏。我们表明，在代码长度的限制，码字可以成功地恢复，如果突发的长度小于某个最大可恢复的突发长度。我们观察到，最大可恢复的突发长度几乎是相同的，如果传输发生在二进制擦除信道或二进制加性白高斯信道具有相同的容量。通过对停止集的分析，我们还估计了当码长为有限时的译码失败概率（错误平层）。
2016-07-04 cs.IT math.IT
Arıkan meets Shannon: Polar codes with near-optimal convergence to channel capacity
令$W$是具有香农容量$I(W)$的二进制输入无记忆对称（BMS）信道，并且固定任何$α> 0$。我们构造，对于任何足够小的$δ> 0$，二进制线性码的块长度$O(1/δ^{2+α})$和速率$I(W)-δ$，使可靠的通信$W$与准线性时间编码和解码。香农的噪声编码定理建立了具有块长度$O(1/δ^2)$的这种码（没有有效的构造或解码）的\emph{existence}。已知间隙$δ$与容量的这种二次相关性是最可能的。因此，我们的结果产生一个建设性的版本香农定理与近最佳收敛能力作为块长度的函数。这解决了与香农容量的实现相关的中心理论挑战。以前，这样的结果仅为擦除信道所知。我们的代码是Arıkan极化码的变体，基于多个精心构造的局部内核，每个内核用于解码中出现的每个中间通道。在分析中的一个关键因素是一个强有力的逆噪声编码定理时，使用随机线性码在任意BMS信道通信。我们的逆定理表明，在略高于容量的速率下，即使是单个消息比特的随机编码也具有极端的不可预测性。
2022-01-24 cs.CC cs.DS cs.IT
Erasure Schemes Using Generalized Polar Codes: Zero-Undetected-Error Capacity and Performance Trade-offs
我们研究了广义极化（GP）码的性能时，他们被用于编码方案涉及擦除。GP码是包含Arıkan和Reed-Muller码的标准极化码等的码族。在低复杂度的带擦除的连续消除译码器下，推导了GP码在给定的二进制无记忆对称信道$W$下的零未检出差错容量$I_0^{GP}(W)$的封闭公式.我们发现，对于每个$R<I_0^{GP}(W)$，存在一个广义极化码的块长度$N$和速率至少$R$的未检测到的错误概率为零，擦除概率小于$2^{-N^{\frac{1}{2}-ε}}$。另一方面，对于速率$I_0^{GP}(W)<R<I(W)$和块长度$N$的任何GP码，除非擦除概率接近于$1$，否则不能使未检测到的错误概率小于$2^{-N^{\frac{1}{2}+ε}}$。
2016-04-04 cs.IT math.IT
From Bit to Block: Capacity Achievement via Code Concatenation
Dept. of Computer Science Xiangtan University（湘潭大学计算机系）
研究通过乘积编码将比特级可靠性转换为块级可靠性，编码结合特定行码与列码，解码分两步，证明在一定条件下乘积码块误码概率趋近于零，还构建了能实现任意固定BMS信道容量的乘积码族。
2026-07-21 cs.IT math.IT
Capacity-achieving Polar-based LDGM Codes with Crowdsourcing Applications
本文研究了具有稀疏生成矩阵的码。更具体地说，考虑了对生成矩阵中所有列的权重具有一定约束的代码。最终结果如下。对于任何二进制输入无记忆对称（BMS）信道和任何n> 2 n *，其中n ^* = \frac{1}{6} - \frac{5}{3} \log{\frac{4}{3}} \approx 0.085，我们显示了一个显式的实现容量的代码序列，其生成矩阵的所有列权重上界为（\log N）^{1+ n}，其中N是代码块长度。构造基于极化码。还展示了众包的应用。
2020-01-31 cs.DC cs.IT eess.SP
Reed-Muller Codes on CQ Channels via a New Correlation Bound for Quantum Observables
Duke University（杜克大学）；Department of Electrical and Computer Engineering, Duke University（杜克大学电气与计算机工程系）；Duke Quantum Center, Duke University（杜克大学量子中心）；Department of Mathematics, Duke University（杜克大学数学系）
研究二元输入对称经典-量子（BSCQ）信道上Reed-Muller码与Holevo容量，通过对最小均方误差（MSE）可观测量的正交分解推导码元外在MMSE递归式，使速率低于Holevo容量固定值的码序列中规定比特集可顺序解码且错误概率趋于零。
2026-07-28 cs.IT math.IT quant-ph
On the scaling of Polar codes: I. The behavior of polarized channels
我们考虑了极化码的极化过程的渐近行为时，块长度趋于无穷大。特别地，我们研究了累积分布$\mathbb{P}(Z_n \leq z)$的渐近分析问题，其中$Z_n=Z(W_n)$是Bhattacharyya过程，以及它对传输率R的依赖性。我们表明，对于BMS通道$W$，对于$R < I(W)$，我们有$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P} (Z_n \leq 2^{-2^{\frac{n}{2}+\sqrt{n} \frac{Q^{-1}(\frac{R}{I(W)})}{2} +o(\sqrt{n})}}) = R$，对于$R<1- I(W)$，我们有$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P} (Z_n \geq 1-2^{-2^{\frac{n}{2}+ \sqrt{n} \frac{Q^{-1}(\frac{R}{1-I(W)})}{2} +o(\sqrt{n})}}) = R$，其中$Q(x)$是一个标准的正态随机变量将获得大于$x$的值的概率。结果，如果我们用$\mathbb{P}_e ^{\text{SC}}(n,R)$表示在连续消除解码下使用块长度$N=2^n$和速率$R<I(W)$的极化码的错误概率，则$\log(-\log(\mathbb{P}_e ^{\text{SC}}(n,R)))$缩放为$\frac{n}{2}+\…
2010-01-28 cs.IT math.IT
Performance and Construction of Polar Codes: The Perspective of Bit Error Probability
现有的极化码研究主要集中在误块概率的分析上。然而，在许多情况下，比特错误概率对于评估信道码的性能也是重要的。在本文中，我们建立了一个新的框架来分析极化码的误比特概率。具体而言，通过重新审视比特信道的错误事件，我们首先引入条件比特错误概率作为度量来评估系统和非系统极化码的比特信道的可靠性。在极化子码概念的指导下，我们推导出每个比特信道的条件误比特概率的上界，从而推导出极化码的误比特概率的上界。在此基础上，提出了两类以最小化极化码误比特概率为目标的构造度量，分别具有线性计算复杂性和显式形式。仿真结果表明，该方法构造的极化码性能优于传统方法构造的极化码。
2022-04-15 cs.IT math.IT
Capacity-Achieving BBT Polar Codes with Interleaver-Assisted BP Decoding
本文提出基于BBT极码的交织辅助BP解码方法，证明其可实现BMS信道容量，并通过权重谱估计和子正常图解码降低解码延迟，提升收敛性与性能。
2026-10-19 cs.IT math.IT
Polar Complexity: A New Descriptive Complexity with Applications to Source and Joint Source-Channel Coding
本文提出了一种新的极性复杂度度量，用于评估有限长度二进制序列的描述复杂度，并展示了其在源编码和联合源-信道编码中的应用，通过双阶段编码方案和动态规划优化实现高效压缩与传输。
2026-10-19 cs.IT math.IT
Binary Polar Codes Based on Bit Error Probability
本文介绍了基于逐次抵消译码的误比特率构造二进制极化信源/信道码的技术。基于误码率重构了极化引理，并介绍了计算误码率的技术。这些技术可以应用于极化码的构造和块解码错误概率的上下界的计算。
2022-05-13 cs.IT math.IT
Cluster Pairwise Error Probability and Construction of Parity-Check-Concatenated Polar Codes
由于路径消除引起的复杂的解码错误，具有用于极化码的有限列表大小的连续消除列表（SCL）解码器不能被分析为连续消除（SC）解码器，也不能被分析为最大似然（ML）解码器。为了解决这个问题，一个分析工具，命名为集群成对错误概率（CPEP），本文提出了衡量竞争的正确路径对错误路径的SCL解码器。结果表明，错误路径上的CPEP之和可以用作从解码器列表中消除正确路径的概率的指示符。然后，利用CPEP解释了奇偶检验-级联（PCC）极化码的误码性能增益，并将CPEP作为PCC极化码构造的优化准则，旨在降低SCL解码器在有限列表大小下正确路径的消除概率。仿真结果表明，在不同的码字长度、码率和打孔模式下，所构造的CRC-PCC极化码性能优于CRC级联极化码。
2019-03-22 cs.IT math.IT
On the Error Probability of Short Concatenated Polar and Cyclic Codes with Interleaving
本文从距离谱的角度分析了短极化码与外二进制线性分组码级联的性能。分析的目标是外循环码与内系统极化码一起使用的情况。在极化编码器的输入端放置交织器，引入级联码集合。所引入的合奏允许推导出的最大似然解码下的可实现的出错率的界限，通过应用联合界（删减）的平均权重枚举。分析表明，需要仔细优化的外码，以达到低错误地板。
2017-01-25 cs.IT math.IT
New Constructions of Polar Code Based on Refined Error Probability Analysis
本文提出基于SC和SCL解码的极码构造方法，通过改进BLER分析提升性能，实验显示在AWGN信道中相比现有方案有0.2dB增益，SCL优化方案在不同列表大小下表现优异。
2026-03-20 cs.IT math.IT
From Symmetry to Capacity: Nested Codes on Binary Memoryless Symmetric Channels
Duke University（杜克大学）
本文针对二元无记忆对称信道，基于嵌套结构扩展过往方法，利用布尔函数分析推导递归界，结合相关技术实现接近容量的误码性能，为结构化码研究提供理论与实践参考。
2026-09-04 cs.IT math.IT
Undetected Error Probability in the Short Blocklength Regime: Approaching Finite-Blocklength Bounds with Polar Codes
本文研究短块长下未检测错误与总错误概率的权衡，提出两种有限块长可达界，并基于 CA polar 码评估 CRC 与阈值两种方案，发现无噪信道下阈值法更优，而不匹配译码下 CRC 法更鲁棒。
2025-03-04 cs.IT math.IT
Polar Codes with exponentially small error at finite block length
我们表明，整个极化码类（直到自然必要条件）在容量间隙中以块长度多项式收敛到容量，同时实现块长度呈指数小的故障概率（即，对于长度为$N$的码，解码失败的概率为$\exp(-N^{Ω(1)})$）。以前，这种组合仅针对极化码类中的一个特定家族已知，而我们只要极化码表现出任何极化所必需的条件就建立这种组合。我们的结果适应并加强了Nakkiran和Rudra [Proc. STOC 2018]作者对极化码的局部分析。他们的分析将鞅的时间局部行为与其全局收敛性联系起来，这使他们能够证明广泛的极化码在多项式块长度下收敛到容量。他们的分析很容易适应，以显示指数小的故障概率，提供相关的鞅，“阿里坎鞅”，表现出相应的强局部效应。这项工作的主要贡献是一个更强大的本地分析的Arikan鞅。这导致了上面所声称的一般结果。除了我们的一般结果之外，我们还首次示出了极化码，其对于任何$β< 1$实现故障概率$\exp(-N^β)$，同时在容量间隙中以块长度多项式收敛到容量。最后，我们还表明，“本地”的方法可以与任意极化码的故障概率的任何分析相结合，以获得基本上相同的故障概率，同时实现块长度多项式的间隙容量。
2018-10-09 cs.IT math.IT
Design of Polar Code Lattices of Small Dimension
使用构造D从二进制极化码形成极化码格。在本文中，我们提出了一种有限维极化码格的设计技术。维数$n$和解码错误的目标概率是用于该设计的参数。为了选择构造D分量码的速率，而不是像过去的工作那样使用容量，我们使用极化码的显式有限长度特性。在连续抵消解码下，密度演化允许选择满足等错误概率规则的码率。在$10^{-4}$的错误率下，维度$n=128$极化码网格实现2.5 dB的VNR，在最佳已知BCH码网格的0.2 dB内，但是具有显著更低的解码复杂度。
2021-02-08 cs.IT math.IT
Refined rate of channel polarization
推导了极化码连续抵消译码的最佳误块概率与速率相关的上界。
2010-01-13 cs.IT math.IT
Polar-like Codes and Asymptotic Tradeoff among Block Length, Code Rate, and Error Probability
提出了一个通用框架，包括极化码在任意信道上的任意内核。分析了块长度$N$、码率$R$和错误概率$P$之间的渐近折衷。给定$N,P$之间的折衷和$N,R$之间的折衷，我们返回$N,R,P$之间的插值折衷（定理5）。$\def\Capacity{\text{Capacity}}$对于一些$β^*$是可能的，并且如果$R=\Capacity-N^{1/μ^*}$对于一些$1/μ^*$是可能的，则$(P,R)=(\exp(-N^{β'}),\Capacity-N^{-1/μ'})$对于由$β^*$、$1/μ^*$和辅助信息确定的一些对$(β',1/μ')$是可能的。换句话说，误差指数机制权衡加上标度指数机制权衡意味着适度偏差机制权衡。目前的世界纪录是：[arXiv：1304.4321][arXiv：1501.02444][arXiv：1806.02405]分析BEC上的Arıkan代码; [arXiv：1706.02458]分析AWGN上的Arıkan代码;[arXiv：1802.02718][arXiv：1810.04298]分析一般信道上的一般代码。试图一次概括所有（第九节）。作为推论，极性编码的嫁接变体几乎赶上了复杂度略大于BEC上的$N\log N$的随机码的码率和错误概率。特别地，$(P,R)=(\exp(-N^{.33}),\Capacity-N^{-.33})$是可能的（推论…
2018-12-19 cs.IT math.IT
On the Construction and Decoding of Concatenated Polar Codes
考虑了用于将最近发明的极化码与交织块码级联的方案。通过将二进制极化码与交织Reed-Solomon码级联，我们证明了所提出的级联方案捕获了极化码的容量实现特性，同时具有更好的错误衰减率。我们表明，对于任何$ε> 0$，和总帧长度$N$，该计划的参数可以设置，使帧错误概率小于$2^{-N^{1-ε}}$，而该计划仍然是实现容量。这改进了$2^{-N^{0.5-\eps}}$，Arikan极化码的帧错误概率。我们还提出了级联极化码的解码算法，该算法显着提高了有限块长度下的错误率性能，同时保持了较低的解码复杂度。
2013-01-31 cs.IT math.IT
Concatenated Polar Codes
极化码作为第一种具有低计算复杂性的码引起了最近的广泛关注，该低计算复杂性可证明地实现了大类信息论问题的最优速率区域。然而，一个显著的缺点是，对于当前的构造，错误的概率在块长度中以次指数方式衰减（更详细的设计以显著增加的计算复杂性度\cite{KorUS09}为代价来提高错误的概率）。在这项工作中，我们展示了代码级联的经典思想-使用“短”极化码作为内码和“高速率”里德-所罗门码作为外码-如何大幅提高性能。特别地，具有仔细选择的参数的码级联将错误概率的衰减速率提高到块长度的几乎指数级，而基本上没有计算复杂性的损失。我们证明了三组信息理论问题-一个经典的点对点信道编码问题，一类多输入多输出信道编码问题，和一些网络信源编码问题的性能改善。
2010-01-14 cs.IT math.IT
Space-Time Signal Design for Multilevel Polar Coding in Slow Fading Broadcast Channels
慢衰落广播信道在无线网络中有着广泛的应用。由于延迟要求和信道状态信息在发射机（CSIT）处的不可用性，这些信道对于许多应用是非遍历的。在非遍历信道中设计信号的适当度量是中断概率。在本文中，我们提供了一种方法来优化空时分组码的基础上中断概率在中等信噪比。多电平极化编码调制是一种新型的编码调制技术，它具有低复杂度的解码器和简单的速率匹配。在本文中，我们推导出中断最优性条件的多级解码，并提出了一个规则，用于确定分量码速率。我们还推导出了一个上界的中断概率的空时分组码设计的集合划分为基础的标签。最后，由于最小化长码空时分组码的最优性，我们介绍了一种新的方法，用于联合优化的短到中等长度的极化码和空时分组码。
2019-07-22 cs.IT math.IT
Universal polar coding and sparse recovery
本文研究了通用的极化编码方案。特别地，在概率分布之间引入了排序的概念（称为卷积路径），以确定为一个分布设计的极性压缩（或通信）方案何时也可以成功用于另一个分布。原始极化解码算法也被推广到允许使用检查器的思想来学习关于源分布的信息的算法。这些工具被用来构建一个通用的压缩算法的二进制源，操作在最低的可实现的速率（熵），具有低复杂性和保证小的错误概率。在本文的第二部分中，通过极化技术来处理稀疏的高维离散信号的绘制问题。结果表明，完美恢复所需的测量数与$O(k \log (n/k))$界（二进制信号的最佳常数）是有竞争力的，同时提供了一个确定性的低复杂度的测量矩阵。
2010-12-02 cs.IT math.IT
Polar Coding for the Binary Erasure Channel with Deletions
通过分析二进制擦除信道（BEC）和删除信道的级联，研究了极化码在删除信道中的应用。我们展示了如何极化码可以有效地使用一个单一的删除BEC，并提出了一个列表解码算法与循环冗余校验这种情况下。解码复杂度为$O(N^2\log N)$，其中$N$是代码的块长度。一个重要的贡献是增加冗余量的优化，以最大限度地减少整体错误概率。我们的理论结果证实了数值模拟表明，列表的大小可以减少到一个和原始的消息可以恢复高概率的代码长度的增长。
2017-01-08 cs.IT math.IT
Secure Polar Coding for Adversarial Wiretap Channel
对抗窃听信道（AWTC）模型是一种安全的通信模型，在该模型中，对手可以直接读写合法通信中传输的比特，并具有固定的分数。在本文中，我们提出了一个安全的极化编码方案，以提供安全和可靠的AWTC模型的通信。针对对抗性读写行为，提出了一种$ρ$等效信道块，并研究了其在信道极化操作下的变换。我们发现产生的信道是极化的，在这个意义上，他们的一部分是全噪声信道的概率几乎为$1$，其余部分是无噪声信道的概率几乎为$1$。在此基础上，我们对对抗读写的等效信道块进行了编码，并通过在极化等效块上应用多块链接结构，构造了一种安全的极化编码方案。从理论上证明了当块长$N$趋于无穷大时，该方案在可靠性和强安全性准则下均达到了AWTC模型的保密能力.仿真结果表明，该方案能够在AWTC模型下提供安全可靠的通信。
2020-12-31 cs.IT math.IT
Universal Bounds on the Scaling Behavior of Polar Codes
我们考虑的问题，确定之间的权衡的速率和块长度的极化码对于一个给定的块错误概率时，我们使用的连续消除解码器。我们采取的Bhattacharyya参数作为一个代理的块错误概率的总和，并表明，存在一个通用的参数$μ$，使任何二进制无记忆对称信道$W$与容量$I(W)$，可靠的通信需要的速率，满足$R< I(W)-αN^{-\frac{1}μ}$，其中$α$是一个正常数和$N$是块长度。我们提供的$μ$，即$μ\geq 3.553$的下限，我们推测，确实$μ=3.627$，参数的二进制擦除通道。
2012-05-13 cs.IT math.IT
Rate-Dependent Analysis of the Asymptotic Behavior of Channel Polarization
对于二进制输入的无记忆对称信道$W$，我们考虑了传输发生在$W$上时，在大块长度区域中极化过程的渐近行为。特别是，我们研究的累积分布$\mathbb{P}(Z_n \leq z)$，其中$\{Z_n\}$是从$W$定义的Bhattacharyya过程的渐近性，以及它对传输速率的依赖性。在此基础上，我们描述了渐进行为，以及它的依赖于速率，极化码的块错误概率使用连续消除解码器。这改进了Arıkan和Telatar的原始边界。我们的结果适用于一般极性码的基础上$\ell \times \ell$内核矩阵。我们还提供了使用MAP解码器的极化码的块错误概率的下限。当$\ell=2$时，MAP下限和连续抵消上限一致，但对于$\ell>2$存在间隙。
2011-10-05 cs.IT math.IT
Channel Coding at Low Capacity
低容量场景在物联网（IoT）和下一代无线网络技术中变得越来越重要。这样的场景需要在具有极小容量的信道上进行高效且可靠的传输。在这些约束内，现有技术的编码技术可能不能直接应用。此外，在有限长度分析的最佳信道编码的现有工作提供了不准确的预测，在低容量制度的限制。本文从有限长度的基本极限和码的构造两个方面研究了低容量下的信道编码。我们首先说明低能力制度意味着什么。然后，我们的特点有限长度的基本限制的信道编码在低容量制度的各种类型的信道，包括二进制擦除信道（BEC），二进制对称信道（BSC），和加性高斯白噪声（AWGN）信道。从代码建设的角度来看，我们的特点是最佳的重复次数的传输在二进制无记忆对称（BMS）信道，在代码块长度和底层的信道容量，这样的容量损失由于重复是可以忽略不计的。此外，示出了实现容量的极化码自然地采用上述最佳重复次数。
2023-02-04 cs.IT math.IT
On the Rate of Channel Polarization
结果表明，对于任意二进制输入离散无记忆信道$W$，当容量$I(W)$和速率$R <I(W)$对称时，当块长度$N$足够大时，对于任意$β<\frac12$，极化码在连续抵消译码下的块译码错误概率满足$P_e \le 2^{-N^β}$.
2009-04-06 cs.IT math.IT
Achieving the Fundamental Limit of Lossless Analog Compression via Polarization
针对独立同分布非奇异信号，提出部分 Hadamard 压缩与模拟 SC 解码器，利用 MAP 错误概率极化达到无损模拟压缩的信息论基本极限。
2024-01-19 cs.IT math.IT
Performance Limits and Practical Decoding of Interleaved Reed-Solomon Polar Concatenated Codes
考虑了将最近发明的极化码与非二进制MDS码（如Reed-Solomon码）级联的方案。通过将二进制极化码与交织Reed-Solomon码级联，我们证明了所提出的级联方案捕获了极化码的容量实现特性，同时具有更好的错误衰减率。我们表明，对于任何$ε> 0$，和总帧长度$N$，该计划的参数可以设置，使帧错误概率小于$2^{-N^{1-ε}}$，而该计划仍然是实现容量。这改进了$2^{-N^{0.5-ε}}$，Arikan极化码的帧错误概率。还比较了所提出的级联极化码和Arikan极化码在具有擦除突发的信道上的传输。我们提供了一个充分条件，保证极性解码器的擦除突发的长度失败。另一方面，它示出的级联极化码的参数可以设置在这样的方式，极化码的容量实现属性被保存。我们还提出了级联极化码的解码算法，该算法显着提高了有限块长度下的错误率性能，同时保持了较低的解码复杂度。
2013-08-06 cs.IT math.IT
Convolutional Polar Codes
Arikan的Polar码作为第一个可有效解码和实现容量的码引起了广泛的关注。此外，极化码表现出指数下降的块错误概率，渐近错误指数上限为1/2。自从它们被发现以来，已经进行了许多尝试来改善错误指数和有限块长度性能，同时保持块结构的内核。最近，我们中的两个人介绍了一个新的家庭的有效解码纠错码的基础上，最近发现的有效收缩张量网络家庭在量子多体物理，称为分支MERA。这些代码被称为分支MERA代码，包括Polar代码，并且还通过用卷积结构替换块结构内核来以非平凡的方式扩展它们。在这里，我们对一个特定的例子进行了深入的研究，这个例子可以被认为是Arikan极化码的直接扩展，因此我们将其命名为卷积极化码。我们证明了这些码以指数方式抑制信道的错误概率，并且具有渐进错误指数log_2（3）/2，其可证明优于连续抵消解码下的Polar码。我们还进行了有限块大小的数值模拟，显示改进的纠错能力，只有轻微的影响解码复杂性。
2017-04-03 cs.IT math.IT
Polar Coded Diversity on Block Fading Channels via Polar Spectrum
由于极化码在容量实现上的优势，极化码已经被扩展到块衰落信道中，而大多数构造涉及复杂的迭代计算。在本文中，我们建立了一个系统的框架来分析极化码的错误性能的情况下，块映射和随机映射。对于这两种映射，通过引入分裂极化谱的概念，得到了极化信道的误码率上界，揭示了分集阶数L与码字块加权分布之间的关系。对于分块映射中L=2的特殊情况，我们基于广义MacWilliams恒等式设计了计算精确分裂极谱的枚举算法.对于随机映射中的任意分集阶数，借助于均匀交织，将极化谱与衰落模式概率结合，得到了近似的分裂极化谱。此外，我们提出了在块衰落信道下构造极化码的设计准则。全分集准则是实现分集增益的主要目标，而乘积距离准则要求最大化逐块汉明距离的乘积，从而获得编码增益。在这些准则的指导下，提出了极化分集权值（PDW）的构造度量来设计两种映射下的极化码。在块衰落信道中，这种简单的度量可以构造性能与基于传统方法的极化码相似或更好的极化码。
2020-03-30 cs.IT math.IT
From Polar to Reed-Muller Codes: a Technique to Improve the Finite-Length Performance
我们探讨了极化码和RM码之间的关系，并描述了一种编码方案，该方案在实际块长度上提高了标准极化码的性能。我们的出发点是实验观察到RM码在MAP解码下具有比极化码更小的错误概率。这促使我们引入在RM和极化码之间“内插”的码族，将该码族称为${\mathcal C}_{\rm inter} = \{C_α : α\in [0, 1]\}$，其中$C_α \big |_{α= 1}$是原始极化码，而$C_α \big |_{α= 0}$是RM码。基于数值观测，我们注意到MAP解码下的错误概率是$α$的增函数。MAP解码通常具有指数复杂度，但是经验上，即使在诸如置信传播或连续消除列表解码器之类的低复杂度解码方案下，也通过沿着家族${\mathcal C}_{\rm inter}$移动来提高有限块长度的极化码的性能。我们通过数值模拟证明了在擦除信道和高斯信道上传输的性能增益。
2014-09-03 cs.IT math.IT
Successive-Cancellation Decoding of Binary Polar Codes Based on Symmetric Parametrization
本文介绍了二进制极化信源/信道码的逐次消去译码和逐次消去列表译码算法。通过使用条件概率的对称参数化，我们降低了空间和时间复杂度相比，由Tal和Vardy介绍的原始算法。
2021-01-21 cs.IT math.IT
Scaling Exponent and Moderate Deviations Asymptotics of Polar Codes for the AWGN Channel
本文研究了加性高斯白噪声（AWGN）信道下的极化码。对于固定的$\varepsilon \in (0, 1)$，容量$q_{Y|X}$与由具有平均错误概率$\varepsilon$的长度- $n$极化码实现的最大非渐近速率$R_n^*$之间的间隙缩放为$n^{-1/μ}$，即，$I(q_{Y|X})-R_n^* = Θ(n^{-1/μ})$。众所周知，具有$I(q_{Y|X})\in(0,1)$的任何二进制输入无记忆信道（BMC）的标度指数$μ$由$4.714$上界，这由极化码的显式构造示出。我们的主要结果表明，$4.714$仍然是一个有效的上界的AWGN信道的标度指数。我们的证明技术包括以下两个思想：（i）通过使用由$n$星座组成的输入字母表并限制输入分布均匀，AWGN信道的容量可以在$O(n^{-1/μ}\sqrt{\log n})$的间隙内实现;（ii）多址接入信道的容量通过使用$\log n$二进制输入极化码的叠加，可以在$O(n^{-1/μ}\log n)$的间隙内实现由$n$星座组成的输入字母表。此外，我们研究了极化码的性能在中等偏差制度的差距，容量和错误概率消失的$n$增长。提出了一种明确的极化码构造，以服从AWGN信道的容量间隙和错误概率衰减率之间的某种折衷。
2017-06-08 cs.IT math.IT
Unified Scaling of Polar Codes: Error Exponent, Scaling Exponent, Moderate Deviations, and Error Floors
考虑在二进制无记忆对称信道PDMATHABM0上传输块长度$N$和速率$R$的极化码，并且令$P_e$为连续消除解码下的块错误概率。在本文中，我们开发了新的界限，表征的参数$R$，$N$，$P_e$，和质量的通道$W$量化的容量$I(W)$和Bhattacharyya参数$Z(W)$的关系。在以前的工作中，研究了两个主要制度。在误差指数范围内，信道$W$和速率$R<I(W)$是固定的，并且证明了误差概率$P_e$大致为$2^{-\sqrt{N}}$。在标度指数方法中，信道$W$和错误概率$P_e$是固定的，并且证明了容量间隙$I(W)-R$标度为$N^{-1/μ}$。这里，$μ$被称为标度指数，并且该标度指数取决于信道$W$。一个启发式计算的二进制擦除通道（BEC）给出$μ=3.627$，它表明，对于任何通道$W$，$3.579 \le μ\le 5.702$。我们的贡献如下。首先，我们提供了更严格的上限$μ\le 4.714$有效的任何$W$。用同样的技术，我们获得$μ\le 3.639$的情况下，BEC，非常接近其推导值。其次，我们开发了作为块长度$N$的函数的容量间隙$I(W)-R$和错误概率$P_e$之间的折衷。换句话说，我们考虑一个适度的偏差制度，我们研究如何快速两个数量，作为块长度$N$的函数，同时去$0$。第三，我们证明了极化码不受错误地板的影响。为此，我们固定块长度…
2016-08-04 cs.IT math.IT
Depth versus Breadth in Convolutional Polar Codes
极化码是Arikan在2009年提出的第一个高效的编码和解码方案，它是对称二进制输入无记忆信道的容量实现。最近，通过用卷积结构替换极化码的块结构极化步骤来扩展该码族。本文对这种所谓的卷积极化码家族进行了数值探索，以找到极化码在解码速度和解码错误概率方面的有效推广。从我们的研究中得出的主要结论是，增加卷积深度比增加之前探索的极化核宽度更有效。
2018-05-23 cs.IT math.IT
Performance Analysis for Polar Codes under Successive Cancellation List Decoding with Fixed List Size
本文分析极化码SCL译码的路径丢失与路径选择错误事件，推导性能下界，并提出贪心比特交换算法优化码构造以降低下界、改善BLER性能。
2023-07-06 cs.IT math.IT
Near-Optimal Generalized Decoding of Polar-like Codes
本文提出一种基于码本概率近似的广义译码框架，兼容所有SC类译码方法，在SCL译码下优于现有Forney广义译码近似，并使动态RM码在BLER和UER上超越CRC级联极化码。
2024-05-02 cs.IT math.IT
On Distance Properties of Convolutional Polar Codes
提供了卷积极化码的最小距离的下界。由极化矩阵的底行生成的码的广义陪集的最小权得到界。此外，提出了一种卷积极化子码的构造，其在连续消除列表解码下提供改进的性能。对于足够大的列表大小，与具有相同性能的Arikan极化子码相比，卷积极化子码的解码复杂度似乎更低。卷积极化子码的逐次消去列表译码的错误概率低于具有相同列表大小的Arikan极化子码。
2019-01-18 cs.IT math.IT
