The Local-Global Conjecture is False for Generalized Circle Packings
本文扩展了Haag等人对Apollonian圆排列中局部-整体猜想的反驳，针对四种积分圆排列类型发现二次不变量，揭示了二次互反律对猜想的阻碍，同时展示了曲率的可预测互反结构。
2026-03-25 math.NT
On probability measures arising from lattice points on circles
以原点为中心并选择半径以使其与整数格$\mathbb{Z}^{2}$具有非空相交的圆以自然的方式在单位圆上产生概率测度。这样的措施，以及他们的弱限制，据说是可达到的，从格点上的圆圈。我们调查的可达到的措施，并表明，它包含所有的极值点，在凸几何的意义下，所有的概率测度的集合是不变的一些自然对称。此外，可达到的测量的集合在卷积下是封闭的，然而存在不可达到的对称概率测度。为了证明这一点，我们研究了几何投影到有限数量的傅里叶系数，并发现可达到的措施集有许多奇异性的“分形”结构。这种复杂的结构在某种意义上源于素数幂--如果$n$是无平方的，那么半径为$\sqrt{n}$的圆就不会出现奇点。
2015-01-08 math.NT
Revisiting the hexagonal lattice: on optimal lattice circle packing
本文给出了$R^2$中六角格圈填充密度最高的经典事实的一个简单证明。与事后的好处，我们表明，这个问题可以被限制到一个重要的类的良好的圆形格，密度函数采取特别简单的形式。我们的证明强调了离散最优化问题的全面格的作用。
2009-11-20 math.CO math.MG math.NT
An extension of the Erdős-Turán additive base conjecture via generalized circles of partition
本研究推广了分圆概念，并以此为工具证明了Erdős-Turán加法基猜想，推进了数论中相关猜想的证明进展。
2024-03-08 math.NT
Lattice Points on Circles and Discrete Velocity Models for the Boltzmann Equation
玻尔兹曼方程的离散速度模型或数值方法的构造可能导致将碰撞算子计算为格点上的和的必要性。碰撞算子涉及球面上的积分，这对应于能量和动量守恒。在第二个维度有困难，甚至在证明这种近似的收敛性，因为许多圆包含很少的格点，有些圆包含许多不良分布的格点。然而，通过显示大多数圆上的格点是均匀分布的，我们发现碰撞算子确实可以近似为二维情况下格点的和。对于更高的维数，这个结果已经由A. Bobylev et.（SIAM J.数值分析34第5期第1865-1883页（1997））
2004-05-10 math.AP math.NT
Generalized Hardy's identity for the astroid-type p-circle lattice point problem
针对星形p-圆格点问题的误差估计下确界研究空白，本文利用广义Bessel函数推导了广义Hardy恒等式，并发现相关微分公式与Erdélyi-Kober算子密切相关，为后续研究提供了工具。
2025-06-18 math.NT
Second Moments in the Generalized Gauss Circle Problem
广义高斯圆问题涉及大球体的格点不一致性。我们研究了与$P_k(n)^2$相关的狄利克雷级数，其中$P_k(n)$是半径为$\sqrt{n}$的$k$维球面的体积与该球面所含整数格点的数目之间的差异.我们证明了渐近性与改进的节能误差项平滑的总和，包括$\sum P_k(n)^2 e^{-n/X}$和拉普拉斯变换$\int_0^\infty P_k(t)^2 e^{-t/X}dt$，在尺寸$k \geq 3$。我们还获得了主要条款和节能误差项的尖锐和$\sum_{n \leq X} P_k(n)^2$，以及类似的结果，尖锐的积分$\int_0^X P_3(t)^2 dt$。这包括为三维高斯圆问题产生均方的第一节能误差项。
2018-12-06 math.NT
Hexagonal Lattice Points on Circles
我们研究了六方晶格$\mathbb{Z}[ω]$，其中$ω^6=1$。更具体地说，我们研究了具有固定半径的圆上的六边形晶格点的角分布。我们证明，平均的角度是均匀分布的，并建议的可能性，构建一个一致的离散速度模型（DVM）的玻尔兹曼方程，使用一个六角形晶格。平均等分布用指数和的消去表示。我们引入Hecke L-函数并研究其解析性质，从而得到Hecke特征标和的估计。使用Halberstam-Richert不等式的一个版本，这些估计然后产生期望的结果的指数和。作为均匀分布的进一步度量，我们给出了差异的界。
2005-08-11 math.AP math.NT
Lattice points on circles, squares in arithmetic progressions and sumsets of squares
鲁丁指出，在长度为N的等差数列中，平方数永远不会超过c N^（1/2）。出于这一令人惊讶的困难问题，我们制定了20多个apturtures在调和分析，解析数论，算术几何，离散几何和添加剂组合（一些旧的和一些新的），其中每一个，如果真的，将阐明鲁丁的猜想。
2006-08-03 math.CA math.NT
Series expansions by generalized Bessel functions for functions related to the lattice point problems for the $p$-circle
针对 0<p<2 时传统广义 Bessel 级数方法失效的 p-圆格点问题，本文基于 p-径向性质构造新的广义 Bessel 函数级数展开，为 0<p≤1 情形提供新的求解途径。
2026-10-26 math.NT
On Some Variants of the Gauss Circle Problem
高斯圆问题是关于求圆内格点个数关于圆半径的渐近性。点的数量非常接近圆的面积的启发式是令人惊讶的准确。在这项工作中，我们描述了两个变种的高斯圆问题，表现出类似的特点。第一种变体涉及$\text{GL}(2)$尖点形式的傅里叶系数的和。这些和的行为非常类似于高斯圆问题中的误差项。引入了一类系数为尖点形式的傅里叶系数的部分和的平方的狄利克雷级数.我们研究了这些狄利克雷级数的亚纯性质，并利用这些级数对这些傅里叶系数的和的大小的均方给出了新的观点。第二个变量涉及的有界尺寸的单单双曲面上的格点的数量。这个问题非常类似于计算各种维度的球体内的格点数量，除了位于双曲面上的额外约束。事实证明，这个问题等价于估计形状$\sum r_d(n^2 + h)$的和，其中$r_d(m)$是$m$表示为$d$平方和的数量。我们证明了改进的平滑和尖锐的估计，这些款项的二阶矩，产生改进的估计的格点的数量。
2017-05-02 math.NT
Some Problems in Number Theory I: The Circle Problem
本文研究圆上格点的个数。
2014-09-17 math.NT
Asymptotic evaluations of generalized Bessel function of order zero related to the p-circle lattice point problem
本文针对 p 圆格点问题，研究零阶广义 Bessel 函数，给出不同 p 范围下紧集及全平面上的一致渐近估计。
2025-05-14 math.CA math.NT
Omega results for the divisor and circle problems
我们获得了两个经典格点问题中误差项的新的Ω结果。这些结果可能是最好的。
2003-02-01 math.NT
The Residual Set Dimension of a Generalized Apollonian Packing
该研究将空间填充圆填充视为双曲空间边界上满足对称条件的子集，应用计数方法对广义阿波罗尼圆填充剩余集的豪斯多夫维数给出严格上下界，并证明该维数严格大于阿波罗尼填充的维数。
2023-10-16 math.MG math.NT
$h^*$-Polynomials With Roots on the Unit Circle
对于$n$维格单形$Δ_{(1,\mathbf{q})}$，其顶点由标准基向量和$-\mathbf{q}$给出，其中$\mathbf{q}$具有正元素，我们研究了当$Δ_{(1,\mathbf{q})}$因子的$h^*$ -多项式为等比级数的$z$的幂的乘积时.我们的动机是Rodriguez-Villegas的定理，当格多面体$P$的$h^*$ -多项式的所有根都在单位圆上时，则$P$的Ehrhart多项式有正系数.我们专注于那些$Δ_{(1,\mathbf{q})}$，其中$\mathbf{q}$只有两个或三个不同的条目，提供理论结果和实验证据的动机/问题。
2018-07-19 math.CO math.NT
$Ω$-results for the hyperbolic lattice point problem
对于上紧或上有限Fuchsian群$Γ$，我们研究了Riemann曲面$Γ\backslash\mathbb{H}$上的格点问题。在以$z$为中心的半径为$r$的圆内，轨道$Γz$的计数的主渐近像$c e^r$那样增长。Phillips和Rudnick研究了误差项的$Ω$ -结果和归一化误差项的$r$中的平均结果。我们调查的归一化误差项的自然参数$X=2 \cosh r$和证明$Ω_{\pm}$ -结果的轨道$Γw$和圆中心在$z$，甚至$z \neq w$。
2016-10-10 math.NT
Area correlations related to lattice points in discs
Università degli Studi di Milano（米兰大学）；KTH（皇家理工学院）
受莱斯特 - 维格曼猜想启发，研究环面上圆流动力学，证明类似消失相关性猜想成立，有面积可观测量的混合，还确定了全局及局部区域中面积的概率密度函数。
2026-07-16 math.NT
Numerical experiments on the Hardy conjecture for the Gauss circle problem
本文针对经典高斯圆问题，通过大规模数值计算，为约一个世纪前哈代提出的相关猜想提供数值证据支持。
2026-09-07 cs.NA math.NA math.NT
Hyperbolic angles from Heegner points
研究了以类数为1的Heegner点为中心的双曲圆上的格点。我们的主要结果是，在一个趋于无穷大的半径子集的密度上，这些点的角度在单位圆上均匀分布。为了证明这一点，我们建立了格点和相关域中的代数整数之间的联系，该域具有特殊形式的范数并满足同余条件。作为一个副产品，这一点，我们得到了一个明确的制定经典的双曲圆问题作为一个移位卷积和的功能，计数的数量与给定的范数的代数整数。在此过程中，我们还证明了移动B-数的下界，这是由筛法。
2022-06-16 math.NT
CM-points and Lattice counting on arithmetic compact Riemann surfaces
令$X(D,1) =Γ(D,1) \backslash \mathbb{H}$表示由固定判别式$D$的不定四元数代数产生的水平$N=1$的Shimura曲线。研究了判别式$d <0$在$X(D,1)$上的Heegner点上的双曲圆问题中误差项的离散平均为$d \to -\infty$ .我们证明，如果$|d|$是足够大的半径$r \approx \log X$的圆相比，我们可以改进的经典$O(X^{2/3})$ -界的Selberg。我们的结果将Petridis和Risager关于模曲面的结果推广到算术紧Riemann曲面。
2020-01-14 math.NT
On Berndt-Straub conjectures about zeros of generalized Ramanujan polynomials
Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）
该研究解决了Berndt-Straub关于广义拉马努金多项式零点的两个猜想，证明$R_k$的非零零点均在单位圆上，$S_{2n}$最多有四个纯虚例外零点，还引入超越不变量并关联Fekete多项式，否定了第二个猜想。
2026-10-14 math.NT
A generalised Gauss circle problem and integrated density of states
欧几里得空间中大半径球内格点的计数问题是解析数论中的经典问题，可以追溯到高斯。我们提出了一个变化的这个问题：研究一个整数格的仿射平面内的球的措施的渐近性。首项是球的体积;我们研究余项的大小。虽然经典的问题是等同于计算的拉普拉斯算子的本征值的环面，我们的变化对应的积分态密度的拉普拉斯算子的产品的环面与欧几里得空间。我们得到的渐近然后被用来计算磁薛定谔算子的态密度。
2016-02-29 math-ph math.MP math.NT
