Minimal partitions with a given $s$-core and $t$-core
假设$s$和$t$是互质正整数，并且令$σ$是$s$ -核心分区，并且$τ$是$t$ -核心分区。在本文中，我们考虑的集合$\mathcal P_{σ,τ}(n)$的$n$与$s$ -核心$σ$和$t$ -核心$τ$的分区。我们找到最小的$n$，这套是非空的，并表明，对于这个值的$n$的分区在$\mathcal P_{σ,τ}(n)$（我们称之为$(σ,τ)$ -最小分区）是在双射与某一类的$(0,1)$ -矩阵与$s$行和$t$列。然后，我们使用这些结果在考虑共轭分区：我们确定确切的集合$\mathcal P_{σ,τ}(n)$由一个共轭对分区，当$\mathcal P_{σ,τ}(n)$包含一个独特的自共轭分区。
2021-12-08 math.CO
Core partitions with distinct parts
自从Anderson研究了$(t_1,t_2)$ -core分区的数量之后，同时内核分区就引起了人们的广泛关注。在本文中，我们专注于同时核心分区不同的部分。得到了具有不同部分的$t$ -核划分的生成函数。我们还证明了关于$(t, t + 1)$ -核划分的个数、最大大小和平均大小的结果。这就完全回答了Amdeberhan的一个猜想，这个猜想最近被Straub、Nath和Sellers以及Zaleski部分地独立地证明了。
2017-03-19 math.CO
The $(s,s+d,\dots,s+pd)$-core partitions and the rational Motzkin paths
在本文中，我们提出了一个关于$(s,s+d,\dots,s+pd)$ -核心划分的$(s+d,d)$ -算盘，并建立了$(s,s+d,\dots,s+pd)$ -核心划分与$(s+d,-d)$型有理Motzkin路之间的双射.这一结果不仅给出了$(s,s+d,\dots,s+pd)$ -核心分区的格点路径解释，而且用闭公式计算了它们。此外，我们列举了具有$k$角的$(s,s+1,\dots,s+p)$ -核心分区和自共轭$(s,s+1,\dots,s+p)$ -核心分区。
2020-02-04 math.CO
On self-conjugate $(s, s+1,\ldots, s+k)$-core partitions
同时核心分区已经被广泛研究，因为安德森的工作枚举的$(s,t)$核心分区。Amdeberhan和Leven证明了$(s,s+1, \ldots, s+k)$ -核心分区的数目等于$(s, k)$ -Dyck路径的数目。本文证明了自共轭$(s,s+1, \ldots, s+k)$ -核划分与对称$(s, k)$ -Dyck路的个数相等，从而证实了Cho，Huh和Sohn的一个猜想.
2019-05-02 math.CO
A Self-Conjugate Partition Analog of $(t,t+1)$-Core Partitions with Distinct Parts
本文引入了具有不同部分的$(t,t+1)$-核分拆的自共轭分拆类似物，并推导了此类核分拆的数量、平均大小和最大大小。
2025-03-02 math.CO
On the largest size of $(t,t+1,..., t+p)$-core partitions
本文证明了Amdeberhan关于$(t, t+1, t+2)$ -核划分的最大尺寸的猜想是正确的。我们还表明，具有最大大小的$(t, t + 1, t + 2)$ -核心分区的数量是基于$t$的奇偶性的$1$或$2$。更一般地，确定$(t,t+1,..., t+p)$核心分区的最大大小和具有最大大小的这种分区的数量。
2015-01-07 math.CO
Numerical Sets, Core Partitions, and Integer Points in Polytopes
我们研究了数值集和整数分区之间的对应关系，从而导致同时核心分区和某个多面体的整数点之间的双射。我们使用这种对应证明组合结果的核心分区。对于小的a值，我们给出了相应于数值半群的（a，b）-核划分数的计算公式。我们还研究了给定钩子集的划分数。
2015-09-21 math.CO
Bijections between t-Core Partitions and t-Tuples
本文介绍了一些与核划分和整数元组有关的双射。我们应用这些双射来计算核的数量与各种类型的限制，包括固定数量的部分，有限大小的部分，部分整除的一些整数，和不同的部分。例如，我们证明了分成$l$偶数部分的$2t$ -核心分区的数目等于分成$l$部分的$t$ -核心分区的数目.我们还推广了Baek，Nam和Yu最近给出的同时核的一个表达式。随后，我们使用该表达式来获得$s\geq1$的$(s,s+1,\cdots,s+r)-$核心分区数所满足的递归。
2019-11-19 math.CO
On the largest sizes of certain simultaneous core partitions with distinct parts
受Amdeberhan关于$(t,t+1)$ -不同部分核划分猜想的启发，近年来许多数学家得到了关于不同部分核同时划分的个数、最大规模和平均规模的各种结果.在本文中，我们得到了具有不同部分的$(t,mt\pm 1)$ -核心划分的最大尺寸，这验证了Amdeberhan猜想的推广。我们还证明了具有最大尺寸的这种分区的数目至多为$2$。
2017-09-02 math.CO
Self-conjugate $(s,s+d,\dots,s+pd)$-core partitions and free rational Motzkin paths
如果一个分区同时是所有$i=1,2,\dots,p$的$s_i$-核心，则该分区称为$(s_1,s_2,\dots,s_p)$ -核心分区.同时核心分区已积极研究在各个方向。特别是，研究人员关心的性质，这样的分区时，序列的$s_i$是一个算术级数。本文对$p\geq 2$和相对素正整数$s$和$d$，提出了自共轭分拆的$(s+d,d;a)$ -算盘，并在适当的条件下建立了自共轭$(s,s+d,\dots,s+pd)$ -核分拆集与自由有理Motzkin路集之间的一个双射.对于$p=2,3$，我们给出了自共轭$(s,s+d,\dots,s+pd)$ -核划分的个数和具有$m$角的自共轭$(s,s+1,\dots,s+p)$ -核划分的个数的计算公式.
2020-04-11 math.CO
A generalisation of core partitions
假设$s$和$t$是互质的自然数。Olsson的一个定理说，一个$s$ -core分区的$t$ -core也是一个$s$ -core。我们推广了这个定理，证明了一个划分$λ$的$t$ -核的$s$ -权至多是$λ$的$s$ -权.然后，我们考虑一组$\mathcal C_{s:t}$的分区的平等持有，我们称之为$[s{:}t]$ -核心，这组有有趣的结构，我们希望它将是未来研究的主题。我们表明，一组$[s{:}t]$ -核心是一个联盟的许多轨道的行动的Coxeter群的类型$\tilde A_{s-1}\times\tilde A_{t-1}$上的分区。我们还考虑了用指定的$s$ -core和$t$ -core构造$[s{:}t]$-core的问题。
2014-05-12 math.CO
Johnson's bijections and their application to counting simultaneous core partitions
Johnson最近证明了Armstrong的猜想，该猜想指出$(a,b)$ -核心分区的平均大小是$(a+b+1)(a-1)(b-1)/24$。他使用了各种坐标变化和一对一的对应关系，这对计算有关同时进行的核心分区的问题很有用。我们给出了一个表达式的数目$(b_1,b_2,\cdots, b_n)$核心分区，其中$\{b_1,b_2,\cdots,b_n\}$包含至少一对互素数。我们还评估了自共轭$(s,s+1,s+2)$ -核心分区的最大大小。
2017-11-04 math.CO
On $(2k+1, 2k+3)$-core partitions with distinct parts
在本文中，我们主要关注具有不同部分的$(2k+1, 2k+3)$核心分区的枚举。我们推导出的数量和最大的大小，这样的分区，确认两个astrutures所造成的斯特劳布。
2016-04-13 math.CO
Results and conjectures on simultaneous core partitions
一个n-核心划分是一个整数划分，其杨氏图不包含等于n的钩子长度。我们考虑两个互素整数a和b同时是a-核和b-核的划分。这些都与算盘图和仿射对称群（A型）的组合学有关。我们观察到，自共轭同时核心分区对应于C型组合数学，并使用算盘图来统一这两组对象的讨论。特别地，我们证明了（2n）-和（2 mn +1）-核分区自然地对应于C_n型m-Shi排列中的优势凹室，推广了Fishel-Vazirani关于A型的一个结果。我们还介绍了一个主要的统计同时n-和（n+1）-核心分区和自共轭同时（2n）-和（2n+1）-核心分区，产生q-类似的Coxeter-Catalan数的类型A和类型C。我们提出了相关的apturtures和开放的问题上的平均大小的同时核心分区，q-类似物的广义Catalan数，并推广到其他Coxeter群。我们还讨论了与循环筛分现象和q，t-Catalan数的连接。
2014-04-22 math.CO
Containment in (s,t)-core Partitions
引入了（s，t）-闭包和δ-集的概念，证明了（s，t）-闭δ-集中的集合形式包含的（s，t）-闭β-集也是分块形式包含的.这意味着Olsson和Stanton的极大（s，t）-核划分定理。一路上，我们重新证明（s，s+1）-核心的情况下，最初证明的奥尔森和斯坦顿，使用新的技术，以及几个引理和命题的包含分区。最后，我们研究这些如何适用于分区的T-核心。
2008-09-12 math.CO
The number of simultaneous core partitions
Amdeberhan解释说，$(t,t+1, t+2)$核心分区的数量是$\sum_{0\leq k\leq [\frac{t}{2}]}\frac{1}{k+1}\binom{t}{2k}\binom{2k}{k}$。本文给出了$(t, t + 1, ..., t + p)$ -核划分的数$f_t$的生成函数.特别是，这验证了Amdeberhan的猜想是正确的。我们还证明了$(t_1,t_2,..., t_m)$ -核划分的个数是有限的当且仅当gcd $(t_1,t_2,..., t_m)=1,$，它推广了Anderson关于互质正整数$t_1$和$t_2$的$(t_1,t_2)$ -核划分的个数是有限的结果，从而用不同的证明重新发现了Keith和Nath的一个结果.
2014-10-12 math.CO
A bijective proof of Amdeberhan's conjecture on the number of $(s, s+2)$-core partitions with distinct parts
Amdeberhan解释说，对于奇数$s$，具有不同部分的$(s,s+2)$ -核心分区的数量是$2^{s-1}$。这个猜想首先由严、秦、金、周证明，随后由扎列斯基和蔡尔伯格证明。由于这种核心分区的数量的公式是如此简单，人们可以希望一个双射证明。我们给出了这一事实的第一个直接双射证明，通过建立一个双射之间的一组$(s, s+2)$核心分区与不同的部分和一组格路径。
2017-05-09 math.CO
$λ$-Core Distance Partitions
图的$λ$ -核顶点对应于图的泛邻接矩阵$\mathbf{U}$的$λ$的某个特征向量的非零项。我们定义了一个分区的顶点集$V$的基础上的$λ$ -核心顶点集和它的邻居在一个距离$r$，并给出了一些结果有关的图的结构，这个分区。对于这样的划分，我们还定义了一个熵测度的信息内容的图，相关的每一个不同的特征值$λ$的$\mathbf{U}$，并讨论其性质和潜在的应用。
2020-12-22 math.CO
A Chinese Remainder Theorem for Partitions
令$s,t$为自然数，并固定$s$ -核心分区$σ$和$t$ -核心分区$τ$。输入$d=\gcd(s,t)$和$m= lcm(s,t)$，并输入$N_{σ, τ}(k)$，表示长度不大于$k$的$m$ -core分区数，其$s$ -core为$σ$，$t$ -core为$τ$。我们证明了对于$k$大，$N_{σ, τ}(k)$是周期$m$和次数$\frac{1}{d}(s-d)(t-d)$的拟多项式.
2022-01-29 math.CO
A bijection between dominant Shi regions and core partitions
众所周知，卡塔兰数$C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n}$计算$A$类型的Shi排列中的优势区域的数量，并且它们还计算既是$n$ -核又是$(n+1)$ -核的分区。这些概念有自然扩张，我们在这里称之为$m$ -Catalan数和$m$ -Shi排列。在本文中，我们构造了$m$ -Shi排列的支配区域与既是$n$ -核又是$(mn+1)$ -核的分区之间的一个双射.双射是自然的，因为它与仿射对称群的作用可交换。
2009-04-20 math.CO
Sizes of Simultaneous Core Partitions
Jaclyn Anderson在避免长度为s或t的钩子的划分和某些长度为s+t的二进制字符串之间有一个很好的对应关系。利用这个映射，我们证明了这类随机划分的总大小按规律收敛于沃森的U^2分布，正如多伦·蔡尔伯格所证明的那样。
2021-09-12 math.CO
On the number of simultaneous core partitions with $d$-distinct parts
研究了具有$d$ -不同部分的$(s, s+r)$ -核整数划分的个数$N_{d,r}(s)$.我们的第一个主要结果是Sahin在2018年提出的递归关系的证明。当$r$在$s$的倍数的$d$范围内时，我们还导出了生成函数、渐近性和$N_{d,r}(s)$的精确公式。最后，我们展示了一个令人惊讶的连接到$A$限制的组合物。
2019-08-15 math.CO
Explicit expressions for the moments of the size of an (s,s+1)-core partition with distinct parts
对于固定的s，具有不同部分的（s，s+1）核分区的大小可以被视为随机变量X_s。利用计算机辅助方法，我们推导出了X_s的期望、方差和高阶矩的计算公式。我们的结果很好地证明了X_s是渐近正态的。
2016-11-23 math.CO
Proof of a Conjecture of Nath and Sellers on Simultaneous Core Partitions
本文证明Nath和Sellers提出的关于${(s,ms-1,ms+1)}$-核心分拆确切最大尺寸的猜想，关键方法是引入并研究广义$β$-集，并将已有三元连续核心分拆的最大尺寸结果加以推广。
2024-03-05 math.CO
The Raney Numbers and $(s,s+1)$-Core Partitions
Raney数$R_{p,r}(k)$是Catalan数的两参数推广。本文得到了Raney数的一个递推关系，它是Catalan数的递推关系的推广。使用这种递归关系，我们证实了一个猜想Amdeberhan提出的关于枚举的$(s,s+1)$核心分区$λ$的部分是倍数的$p$。然后，我们给出了一个新的组合解释的Raney数$R_{p+1,r+1}(k)$与$0\leq r<p$的$(kp+r,kp+r+1)$核心分区$λ$的部分是$p$的倍数。
2015-12-26 math.CO
Explicit expressions for the moments of the size of an (n, dn-1)-core partition with distinct parts
在以前的论文（arXiv：1608.02262）中，我们使用计算机辅助方法找到了具有不同部分的均匀随机（n，n+1）-核心分区大小的矩的显式表达式。特别地，我们证明了分布是渐近正态的。然而，我们的分析取决于斯特劳布，这是不容易推广到其他家庭的同时核心分区的（n，n+1）-核心分区的表征。在Doron Zeilberger的另一篇论文（arXiv：1611.05775）中，我们利用偏序集的特征来分析具有不同部分的（2n+1，2n+3）-核心划分;这里，发现分布不是渐近正态的。我们的方法包括在偏序集的相关序列中寻找递归结构。我们注意到，这种方法适用于其他家庭的核心划分，提供了一个可以理解相应的偏序集。在这里，我们使用偏序集方法（和以前一样，使用计算机）来分析具有不同部分的（n，dn-1）核划分，其中d是自然数。(This这个问题是由Straub在arXiv：1601.07161中引入的。）我们展示的大小的时刻的公式，作为d与n固定的函数，反之亦然。我们猜想当n趋于无穷大时，分布是渐近正态的。最后，我们找到前几个时刻的公式，作为n和d的函数。
2017-10-15 math.CO
Explicit (Polynomial!) Expressions for the Expectation, Variance and Higher Moments of the Size of a (2n + 1, 2n + 3)-core partition with Distinct Parts
灵感Armin Straub的猜想（arXiv：1601.07161）的数量和最大尺寸的（2n +1，2n +3）-核心分区与不同的部分，我们开发相对有效的，符号计算算法，基于非线性泛函递归，生成的生成函数，根据大小，这样的分区集。通过计算这些多项式n = 1，. 21，我们能够严格地推导出具有不同部分的（2n +1，2n +3）-核划分的随机变量大小的期望、方差和第三至第七阶矩的显式表达式。"特别是，我们发现这个随机变量在n趋于无穷大时不是渐近正态的。
2016-12-09 math.CO
When Does the Set of $(a, b, c)$-Core Partitions Have a Unique Maximal Element?
在2007年，Olsson和Stanton给出了最大的$(a, b)$ -核心划分的显式形式，对于任何互素的正整数$a$和$b$，并询问是否存在一个包含所有其他$(a, b)$-核心作为子划分的$(a, b)$ -核心;这个问题首先由Vandehey回答是肯定的，后来由Fayers独立回答。在本文中，我们调查了这个问题，这是最初提出的Fayers：对于什么三元组的正整数$(a, b, c)$是否存在一个$(a, b, c)$核心，包含所有其他$(a, b, c)$核心的子分区？当$a$、$b$和$c$是两两互素时，我们完全回答了这个问题;然后我们用这个结果推广了Olsson和Stanton的结果。
2014-11-25 math.CO
Nullspace Vertex Partition in Graphs
图的核点集是图的不变量。它由与$\{0,1\}$ -邻接矩阵的零空间向量的非零项相关联的那些顶点组成。图的其余顶点形成核心-禁止顶点集。对于具有独立核顶点的图，如二部极小构型和树，零空间诱导出一个定义良好的三部顶点划分。这个划分的部分是核心顶点集，它们的邻居和远程核心-禁止顶点。远核禁止顶点的集合是那些不与任何核顶点相邻的顶点。我们表明，这一套可以删除，保持零不变。我们证明了对于具有独立核点的图，定义与核点关联的边的邻接矩阵的子矩阵决定了邻接矩阵的零性。为了最大化具有指定零度的最优网络图的边数，我们确定哪些扰动构成图的邻接矩阵的核心顶点集在添加边时保持不变的充分条件。
2020-05-09 math.CO
Symmetry in maximal $(s-1,s+1)$ cores
我们解释了一个“奇怪的对称性”的最大$(s-1,s+1)$核心分区首先观察到T。Amdeberhan和E.莱文具体地说，使用$s$ -算盘，我们表明这样的分区有空的$s$ -核心，他们的$s$ -商是由2-核心。这对分划结构施加了强的条件，并且暗示了Amdeberhan-Leven结果和额外的对称性。我们还发现了一个更一般的家庭，展览这些对称性。
2014-11-03 math.CO
Counting self-conjugate (s,s+1,s+2)-core partitions
我们关心的是计数自共轭$(s,s+1,s+2)$ -核心分区。长度为$n$的Motzkin路径是从$(0,0)$到$(n,0)$的路径，其保持在$x$轴上方，并且由上$U=(1,1)$、下$D=(1,-1)$和平坦$F=(1,0)$台阶组成。我们说一条长度为$n$的Motzkin路是对称的，如果它关于线$x=n/2$的反射是它自己。本文证明了自共轭$(s,s+1,s+2)$ -核的个数等于长度为$s$的对称Motzkin路的个数，并给出了这个个数的一个封闭公式.
2019-04-04 math.CO
Rank complement of rational Dyck paths and conjugation of $(m,n)$-core partitions
给定一对互质的正整数$(m,n)$，有理卡塔兰数$\frac{1}{m+n} \binom{m+n}{m,n}$计数两个组合对象：有理$(m,n)$ -Dyck路径是$m\times n$矩形中的格路径，从不低于对角线; $(m,n)$ -核心是没有钩子长度等于$m$或$n$的分区。安德森建立了$(m,n)$ -Dyck路径和$(m,n)$ -核心之间的双射。我们定义了一个新的转换，称为秩补，合理的Dyck路径。我们表明，秩补对应于共轭的$(m,n)$ -核心下安德森的双射。这导致：i）一种新的方法来表征$n$ -核心; ii）一个简单的方法来计算的自共轭$(m,n)$ -核心的数量; iii）证明的两个组合和公式的等价性，一个在理性$(m,n)$ -Dyck路径和其他$(m,n)$ -核心，合理的加泰罗尼亚多项式。
2015-04-21 math.CO
Multi-cores, posets, and lattice paths
钩在（对称群的）表示论中很突出，它们在数论中也发挥了作用（通过与拉马努金同余相关的曲柄）。正整数$n$的划分具有杨氏图表示。对于图中的每个单元，有一个称为钩长度的相关统计，如果图中没有数字$t$，则分区称为$t$ -核心。如果分区既是$s$-核心又是$t$ -核心，则该分区是$(s,t)$-核心。自从Anderson在$(s,t)$核上的工作以来，这个话题受到了越来越多的关注。本文将讨论扩展到多核。更准确地说，我们探索$(s,s+1,\dots,s+k)$ -核心分区的精神，最近由斯坦利和Zanello。事实上，我们的结果利用三个组合对象之间的连接：多核，偏序集和格路径（与一个新的一般化的戴克路径）。其他结果和图表分散在整个文件。例如，其中一个陈述暗示了双素数$(s,s+2)$ -核心分区的奇怪对称性。
2015-07-13 math.CO
On simultaneous $(s, s+t, s+2t, \dots)$-core partitions
Michigan Technological University（密歇根理工大学）；York College, CUNY（纽约市立大学约克学院）；University of Minnesota Duluth（明尼苏达大学德卢斯分校）
本文研究了同时$(s, s+t, s+2t, \dots)$-核心划分的生成函数和同余性质，并验证了Fayers关于此类划分大小多项式行为的猜想。
2025-12-17 math.CO
Lattice points and simultaneous core partitions
我们观察到，对于a和b互素，“算盘结构”确定了一组同时（a，b）-核心分区的格点在一个合理的单纯形。此外，（a，b）-核上的许多统计量是该单形上的分段多项式函数.我们将这些结果应用到理性加泰罗尼亚组合。本文利用Ehrhart理论，重新证明了Anderson定理：存在（a+b-1）！一个！b！同时（a，b）-核，并利用Euler-Maclaurin理论证明了Armstrong猜想：（a，b）-核的平均大小为（a+b+1）（a-1）（b-1）/24.我们的方法也给出了新的推导类似的公式的数量和平均大小的自共轭（a，b）-核心。我们猜想了q有理Catalan数的一个单峰性结果，并对这些方法应用于（q，t）-对称性和特化结构作了初步的探讨.我们证明了这些代数的低程度的条款，当a=3，连接到加泰罗尼亚超平面安排和二次置换统计。
2015-06-23 math.CO
The Littlewood decomposition via colored Frobenius partitions
本文利用Frobenius分拆给出Littlewood分解的另一种描述，并应用于自共轭分拆和双倍不同分拆，得到其$t$-核和$t$-商的新刻画。
2025-06-21 math.CO
On the Intriguing Problem of Counting (n+1,n+2)-Core Partitions into Odd Parts
Tewodros Amdeberhan和Armin Straub开始了对（s，t）-核心划分集合的子族进行计数的研究。虽然将（n+1，n+2）核划分为不同部分的枚举相对容易（实际上它等于斐波那契数F_{n+2}），但将（n+1，n+2）核划分为奇数部分的枚举仍然难以实现。斯特劳布计算了该序列的前11项，并要求一个“公式”，或至少是一种快速的方法来计算许多项。虽然我们无法找到一个“快速”算法，但我们确实找到了一个“更快”的算法，它使我们能够计算这个有趣的序列的23项。我们坚信这个序列有一个代数生成函数，因为“姐妹序列”（见文章）是OEIS序列A047749，它确实有一个代数生成函数。我们中的一个（DZ）承诺向OEIS捐赠100美元，以纪念第一个产生足够多的项来猜想（并非严格地证明）这个序列的生成函数的代数方程的人，另外100美元用于严格证明这个猜想。最后，我们还开发了算法，找到明确的生成函数的其他，更听话，家庭（n+1，n+2）-核心分区。
2018-03-02 math.CO
A bijection on core partitions and a parabolic quotient of the affine symmetric group
设$\ell,k$为固定的正整数。在早期的工作中，第一和第三作者建立了$\ell$ -第一部分等于$k$的核和$(\ell-1)$ -第一部分小于或等于$k$的核之间的双射。本文给出了这种双射的几种新的解释。$\ell$ -核心索引表示$\widetilde{S_{\ell}} / S_{\ell}$的最小长度陪集，其中$\widetilde{S_{\ell}}$表示仿射对称群，$S_{\ell}$表示有限对称群.在这种情况下，双射在$A_{\ell-1}$类型的根格上有一个漂亮的几何解释。我们还表明，双射有一个自然的描述，由于Lapointe和莫尔斯的另一个对应。
2008-04-08 math.CO
On the polynomiality and asymptotics of moments of sizes for random $(n, dn\pm 1)$-core partitions with distinct parts
Amdeberhan关于枚举、平均大小和$(n,n+1)$ -核心分区的最大大小的论述激发了许多关于这个主题的研究。最近，Straub和Nath-Sellers分别得到了具有不同部分的$(n, dn-1)$和$(n, dn+1)$ -核心分区的数目的公式。令$X_{s,t}$为当$s$和$t$彼此互质时具有不同部分的均匀随机$(s,t)$核心分区的大小。Zaleski和Zeilberger在$k$很小时给出了$k$阶矩$\mathbb{E} [X_{n,n+1}^k]$和$\mathbb{E} [X_{2n+1,2n+3}^k]$的显式表达式. Zaleski还研究了$X_{n,dn-1}$的期望和高阶矩，并在arXiv：1702.05634中证明了有关它们的一些多项式性质。受上述工作的启发，本文通过研究核划分的beta集，得到了$X_{n,dn+1}$和$X_{n,dn-1}$的$k$阶矩的多项式结果和渐近公式.特别是，我们表明，这些$k$ -次矩是渐近的一些多项式的n度最多$2k$，当$d$给定和$n$趋于无穷大。此外，当$d=1$趋于无穷大时，我们导出了$X_{n,n+1}$的$k$阶矩$\mathbb{E} [X_{n,n+1}^k]$渐近等于$\left(n^2/10\right)^k$.给出了期望值$\mathbb{E} [X_{n,dn+1}]$和$\mathbb{E…
2019-03-02 math.CO
On core and bar-core partitions
如果$s$和$t$是互素那么J. Olsson在2008年证明了一个$t$ -core分区的$s$-core也是一个$t$ -core分区，而一个$t$-bar-core分区的$s$ -bar-core也是一个$t$ -bar-core分区。本文在去掉$s$和$t$是互素的限制后，证明了关于分拆和条分拆的推广结果.
2010-11-15 math.CO math.RT
On the diagonal hooks of a symmetric partition
仅利用对称p-核划分和p-商，我们给出了相应对称划分的对角钩长集的一个显式公式。
2009-03-13 math.CO
The maximum hook length of $d$-distinct simultaneous core partitions
我们精确地确定了当有很多这样的分区时，具有$d$ -不同部分的$(s,t)$ -核心分区的最大可能钩长度。此外，我们提供了一个算法来构建一个$d$ -不同的$(s,t)$ -核心分区与此最大可能的钩长度。
2022-09-20 math.CO math.NT
BG-ranks and 2-cores
我们找到了$n$的BG-秩为$j$的分区的个数，根据$pp(n)$，总细胞数为$n$的分区对的个数，给出了双射和生成函数的证明。接下来，我们发现模5的同余$pp(n)$，然后我们使用这些给一个新的证明，一个精致的系统的同余$p(n)$，发现由Berkovich和Garvan。
2006-05-17 math.CO
Core Partitions With d-Distinct Parts
在本文中，我们研究了$(s,s+1)$ -核心分区与$d$ -不同部分。我们得到的结果的数量和最大的大小，这样的分区，因此，我们推广熊的文件中获得的结果有关$(s,s+1)$ -核心分区与不同的部分。此外，我们提出了一个猜想$(s,s+r)$ -核心分区与$d$ -不同的部分$1 \le r \le d$。
2018-03-05 math.CO math.NT
On the Enumeration of $(s,s+1,s+2)$-Core Partitions
Anderson通过将一个划分映射到它的$β$ -集，建立了核划分和某些偏序集的阶理想之间的联系。本文给出了阶理想对应于$(s,s+1,s+2)$ -核划分的偏序集$P_{(s,s+1,s+2)}$的一个刻划.利用这个特性，我们得到了$(s,s+1,s+2)$ -核心分区的数量，最大尺寸和平均尺寸的$(s,s+1,s+2)$ -核心分区，确认Amdeberhan提出的三个假设。
2014-07-09 math.CO math.NT
Multiplicity-Isolated Cores and Chromatic Symmetric Reconstruction of Trees
UCSI University（优斯丁大学）
该研究针对Stanley树同构猜想，提出允许重复叶分量阶的树重构准则，证明一类无限直径6树的色对称函数可重构，还给出相关划分模型与实现。
2026-08-20 math.CO
On $t$-core towers and $t$-defects of partitions
我们研究生成函数计数的大小$t$核心分区，更一般地说，更高的行在$t$核心塔的大小。然后，我们使用这些结果来获得的平均大小的$t$缺陷的分区，以及一些好奇的同余式的渐近。
2015-09-22 math.CO math.NT
Explicit Expressions for the Variance and Higher Moments of the Size of a Simultaneous Core Partition and its Limiting Distribution
Jaclyn Anderson证明了如果s和t是互素正整数，那么正好有（s+t-1）！/（s！t！）[001 pdf 1st-31 files]分割，其钩长集合与集合{s，t}不相交。德鲁·阿姆斯特朗（Drew Armstrong）证明了（保罗·约翰逊，以及稍后的维克多·王（Victor Wang）证明了）平均大小的一个美丽的表达式，即（s-1）（t-1）（s+t+1）/24。在本文中，我们远远超出了平均值，并陈述了方差的绝对某些表达式（但“官方”仍然是绝对的）（特别是显示它相当大，并且没有“关于平均值的浓度”），以及第三到第六时刻。对于（s，s+1）-核心分区的特殊情况，我们一直到第9时刻。我们提出了两个挑战，并将很高兴地捐赠100美元，以纪念OEIS基金会的第一个证明者，关于“软”和“全球”，但严格的，我们的经验方法的理由，并证明了一个有趣的猜想有关的限制分布。这个版本报告（感谢Marko Thiel和Nathan Williams）上面提到的第二个挑战已经由Paul Johnson完成（但不是两页）。向OEIS捐款。第一个挑战仍然是开放的。
2015-09-01 math.CO
A bijection between self-conjugate and ordinary partitions and counting simultaneous cores as its application
给出了自共轭分拆集与普通分拆集之间的一个双射。利用双射给出了自共轭划分与相应划分的钩长之间的关系。作为一个推论，我们给出了新的组合的Catalan数和Motzkin数的自共轭同时核心分区的解释。
2018-11-26 math.CO math.NT
Large $p$-core $p'$-partitions and walks on the additive residue graph
本文研究了既没有可被$p$整除的部分也没有可被$p$整除的钩长度的划分，称为$p$ -核心$p'$ -划分.我们发现，最大的$p$ -核心$p'$ -分区对应于最长的步行与顶点$\{0, 1, \ldots, p-1\}$和标记的边定义通过添加模$p$的图。我们还展示了一个明确的家庭大$p$ -核心$p'$ -分区，给出了一个下界的大小最大的这样的分区是相同程度的上界发现的McSpirit和小野。
2022-11-29 math.CO math.NT
Even $(\bar{s}, \bar{t})$-core partitions and self-associate characters of $\tilde{S}_n$
如果分区是从分区中删除所有$s$ -bar的结果，则该分区是$\bar{s}$ -core。我们扩展了Olsson和Bessenrodt的方法来确定同时是$\bar{s}$ -core和$\bar{t}$ -core的偶数分区的数目。当$p$和$q$是不同的素数时，这也确定了$\tilde{S}_n$的自相关字符的数量，这些字符对于$p$和$q$来说是错误的缺陷0。
2016-09-04 math.CO math.RT
Average Size of a Self-conjugate (s, t)-Core Partition
Armstrong，Hanusa和Jones证明了如果$s,t$是互质整数，那么一个$(s,t)$ -核心分区的平均大小和一个自共轭$(s,t)$ -核心分区的平均大小都等于$\frac{(s+t+1)(s-1)(t-1)}{24}$ . Stanley和Zanello证明了$(s,s+1)$核心分区的平均大小等于$\binom{s+1}{3}/2$。基于$\lfloor \frac{s}{2} \rfloor\times \lfloor \frac{t}{2}\rfloor$矩形上的自共轭$(s,t)$ -核划分与格路之间的Ford，Mai和Sze的双射，我们得到了Armstrong，Hanusa和Jones提出的自共轭$(s,t)$ -核划分的平均尺寸.
2014-05-09 math.CO math.NT
Combinatorics on bounded free Motzkin paths and its applications
在本文中，我们构造了一个双射从一组有界自由Motzkin路到一组有界Motzkin前缀，诱导双射从一组有界自由Dyck路到一组有界Dyck前缀。我们还给出了一组有界无角Motzkin路与一组$t$ -核划分之间的双射，以及一组有界无角对称Motzkin路与一组自共轭$t$ -核划分之间的双射.作为应用，我们得到了具有固定角点数的普通和自共轭$t$ -核划分数的显式公式。
2022-05-31 math.CO
Simultaneous cores with restrictions and a question of Zaleski and Zeilberger
重要提示：这篇论文比我通常提交的要粗糙得多，也不完全完整，尽管主要的定理和证明应该不难理解。考虑到英国大学正在进行的罢工，我可能需要一段时间才能完成我满意的工作，同时，我分享过初稿的人希望能够参考它。因此，我以目前的形式上传它，稍后会更新它。本文的主要新结果是计算了具有奇数部分的（n，n+1）-核划分的个数，回答了Zaleski和Zeilberger的一个问题，并对OEIS做出了慈善性的贡献。在此过程中，我们证明了一个一般定理，给出了（n，n+1）-核心部分的递归，其最小部分和连续部分的差异被限制在任意集合M中。这个定理统一了许多已知的关于（n，n+1）-核划分的限制性结果。最后，我们讨论的一般定理，跟踪最大的一部分，部分的数量和大小的分区，以及一些情况下，相同的方法工作在更一般的同步核的扩展。
2018-02-26 math.CO
