arXiv 1506.061862015-06-20math.CO

极大 $(2k-1,2k+1)$ 与 $(2k-1,2k,2k+1)$-核之间关系的一个组合证明

A combinatorial proof of a relationship between maximal $(2k-1,2k+1)$ and $(2k-1,2k,2k+1)$-cores

Rishi Nath, James A. Sellers

备注：: 10 pages, 6+ figures
发表信息：: Electronic Journal of Combinatorics 23, no. 1 (2016), Article P1.13

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AI总结：

本文利用算盘理论、分拆剖析及三角数与平方数的关系，给出了极大 $(2k-1,2k+1)$-核与极大 $(2k-1,2k,2k+1)$-核大小之间比例关系等式的组合证明。

摘要：

对于不同的 $t$ 值同时为 $t$-核的整数分拆近年来引起了广泛关注。当 $s$ 和 $t$ 互素时，Olsson 和 Stanton 确定了极大 $(s,t)$-核 $κ_{s,t}$ 的大小。当 $k\geq 2$ 时，Amdeberhan 关于极大 $(2k-1,2k,2k+1)$-核 $κ_{2k-1,2k,2k+1}$ 的猜想最近也得到了多位作者的验证。在本工作中，我们分析了极大 $(2k-1,2k+1)$-核与极大 $(2k-1,2k,2k+1)$-核之间的关系。在先前的工作中，第一作者注意到，对于所有 $k\geq 1,$ $$ \vert \\, κ_{2k-1,2k+1}\\, \vert = 4\vert \\, κ_{2k-1,2k,2k+1}\\, \vert $$ 并请求对这个意外等式给出组合解释。在此，利用算盘理论、分拆剖析以及联系三角形数与平方数的基本结论，我们给出了这样的组合证明。

英文摘要：

Integer partitions which are simultaneously $t$--cores for distinct values of $t$ have attracted significant interest in recent years. When $s$ and $t$ are relatively prime, Olsson and Stanton have determined the size of the maximal $(s,t)$-core $κ_{s,t}$. When $k\geq 2$, a conjecture of Amdeberhan on the maximal $(2k-1,2k,2k+1)$-core $κ_{2k-1,2k,2k+1}$ has also recently been verified by numerous authors. In this work, we analyze the relationship between maximal $(2k-1,2k+1)$-cores and maximal $(2k-1,2k,2k+1)$-cores. In previous work, the first author noted that, for all $k\geq 1,$ $$ \vert \, κ_{2k-1,2k+1}\, \vert = 4\vert \, κ_{2k-1,2k,2k+1}\, \vert $$ and requested a combinatorial interpretation of this unexpected identity. Here, using the theory of abaci, partition dissection, and elementary results relating triangular numbers and squares, we provide such a combinatorial proof.

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AI总结：

摘要：

英文摘要：

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