On the Doubly Refined Enumeration of Alternating Sign Matrices and Totally Symmetric Self-Complementary Plane Partitions
我们证明了平等的双重细化枚举交替符号矩阵和全对称自互补平面分割使用积分公式源自量子Knizhnik-Zamolodchikov方程的某些解决方案。
2008-03-11 math-ph math.CO math.MP
On refined enumerations of totally symmetric self-complementary plane partitions I
本文给出了Mills，Robbins和Rumsey（"Self-complementary totally symmetric plane partitions '“J. Combin.理论系列A，42，277- 292），涉及全对称自互补平面分区（TSSCPP）。我们还提出了一些新的结构，并给出了它们的Pfweenan表达式。
2006-06-12 math.CO math.RT
Enumeration of plane partitions by descents
本文研究了平面分拆与$\mathbb{N}$ -矩阵之间的某些双射。作为应用，我们证明了广义对偶Grothendieck多项式的一个Cauchy型恒等式。我们介绍了两个统计的平面分区，其生成函数类似于经典的MacMahon的公式，这些统计是均匀分布的通常的体积。我们还显示了自然的连接与最长的不断增加的连续性的话。
2020-11-19 math.CO
Enumeration of Cylindric Plane Partitions - part I
平行平面划分可以被认为是反向平面划分的自然推广。Borodin最近给出了圆柱平面分拆计数的生成级数。本文的第一个结果是一个$(q,t)$ -模拟Borodin的身份，扩展了以前的工作冈田在反平面分区的情况下。我们的证明使用交换关系的$(q,t)$ -顶点运营商的麦克唐纳多项式的Garsia，海曼和特斯拉。本文的第二个结果是一个明确的组合解释的$(q,t)$ -麦克唐纳重量的不相交的晶格路径模型的圆柱。
2012-04-20 math.CO
(-1)-enumeration of plane partitions with complementation symmetry
我们计算加权枚举的平面分区包含在一个给定的盒子与互补对称，其中增加一半的轨道的立方体和删除另一半的轨道改变的重量由-1所提出的Kuperberg。我们使用不相交的晶格路径家庭来完成这一转置互补，循环对称转置互补和完全对称的自互补平面分区。对于对称的转置补和自补平面分拆，我们得到了部分结果。我们还描述了Kuperberg的循环对称自互补平面分区的情况下的证明。
2002-12-11 math.CO
Truncated determinants and the refined enumeration of Alternating Sign Matrices and Descending Plane Partitions
讲座笔记为研讨会的议事录“代数组合学相关的杨图和统计物理”，2012年8月6日至10日，I.I.A.S.，日本奈良。
2012-12-12 math-ph math.CO math.MP
Enumeration of weighted plane trees by a permutation model
本文通过排列模型解决加权双色平面树的计数问题，证明了Kochetkov的公式，并揭示了计数问题与斯特林数之间的代数关系。
2026-01-12 math.CO
On refined enumerations of plane partitions of a given shape with bounded entries
本文针对给定形状且项值有界的平面分拆，证明包含0的行数与包含m的行数这两个统计量具有相同分布，并给出双射证明。
2025-03-11 math.CO
Open boundary Quantum Knizhnik-Zamolodchikov equation and the weighted enumeration of Plane Partitions with symmetries
我们提出了新的计算公式，涉及的多项式解的qKZ方程与开放（反射）边界作为量子参数$q$和$τ$ -枚举特定对称性的平面分区的函数的总和规则，与$τ=-(q+q^{-1})$。我们还发现了qKZ解的$τ\to 0$极限与全对称自补平面剖分的精化数之间的关系。
2007-01-15 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
Enumeration of multi-rooted plane trees
本文给出了多根平面树计数的闭式表达式、递推关系及生成函数显式形式，并附带新二项式恒等式和超几何函数猜想。
2024-02-05 math.CO
Bitangents to plane quartics via tropical geometry: rationality, $\mathbb{A}^1$-enumeration, and real signed count
本文利用热带几何研究平面四次曲线双切线的算术枚举问题，给出有理性障碍和GW重数的热带刻画，并证明多数热带双切线类对$\mathbb{A}^1$-枚举贡献$2\mathbb{H}$。
2023-04-03 math.AG math.CO
Refined enumeration of $k$-plane trees and $k$-noncrossing trees
$k$ -平面树是一种平面树，其顶点被分配了$1$和$k$之间的标签，使得沿着任何边的标签之和不大于$k+1$。这些树是已知的有关$(k+1)$ -ary树，他们是计数的广义版本的加泰罗尼亚数字。我们证明了一个令人惊讶的简单精致的计数公式，在这里我们计数树与规定数量的标签的每一种。几个推论来自这个公式，并证明了一个类似的定理为$k$ -noncrossing树，一个类似定义的家庭标记noncrossing树的$(2k+1)$ -ary树。
2022-07-10 math.CO
Enumeration of one class of plane weighted trees
通过加权树我们理解这样的连通树：a）它的每个顶点和每条边都有一个正整数权; b）每个顶点的权等于出边的权之和。每棵树都有一个二进制结构-我们可以用两种颜色，黑色和白色来给它的顶点着色，这样，相邻的邻顶点就有不同的颜色。类型是一组成对的非同位素平面加权树，具有给定的白色顶点的权重列表和给定的黑色顶点的权重列表。在这项工作中，我们提出了一种方法来计算一个给定类型的基数。
2013-10-23 math.CO
The enumeration of plane (3,6)-triangulations and the form of odd perfect numbers
Wroclaw University of Science and Technology（弗罗茨瓦夫科技大学）
该研究计数了顶点度数为3或6的3-连通平面三角剖分族中特定度数的非同构剖分数目，并借助奇数参数下的计数公式强化了关于奇完全数形式的欧拉定理。
2026-09-01 math.CO
Enumeration of interval-closed sets via Motzkin paths and quarter-plane walks
Dartmouth College（达特茅斯学院）；Concordia University（康考迪亚大学）；The George Washington University（乔治华盛顿大学）；Willamette University（威拉米特大学）；North Dakota State University（北达科他州立大学）；Eastern Illinois University（东伊利诺伊大学）
本文通过构造双射分别将两条链之积偏序集的区间闭集映射到双色Motzkin路径，将截断矩形偏序集的区间闭集映射到四分仪游走，从而求得了对应的生成函数与函数方程。
2024-12-20 math.CO
On refined enumerations of totally symmetric self-complementary plane partitions II
本文解决了Mills，Robbins和Rumsey在“Self-complementary totally symmetric plane partitions”（J. Combin. Theory Ser. A 42，277-292）。换句话说，我们证明了在对合下不变的移位平面划分的数目等于在垂直翻转下不变的交替符号矩阵的数目。对于一般猜想（猜想6），我们也给出了一个行列式公式，但这个行列式仍然很难计算。本文引入了两类新的多米诺平面分拆，一类与半圈对称交替符号矩阵集具有相同的基数，另一类与垂直对称交替符号矩阵集具有相同的基数.
2006-06-06 math.CO math.RT
A Fourfold Refined Enumeration of Alternating Sign Trapezoids
交替符号三角形最近被引入作为交替符号三角形的推广。Fischer建立了一个三重细化枚举交替符号群，并提供了三个统计列严格移位平面分区具有相同的联合分布。在本文中，我们能够向这些结果添加一对新的统计数据。更确切地说，我们考虑交替符号群上的$-1$的数量，并引入一个相应的统计列严格移位平面分区，具有相同的分布。更一般地说，我们表明，交替的符号hapidids和列严格移位平面分区的两个四重统计的联合分布，分别是一致的。此外，我们提供了一个封闭形式的表达式的$2$ -枚举交替符号的类。
2022-09-09 math.CO
Enumeration of lozenge tilings of hexagons with cut off corners
出于对Proctor研究的一类平面划分的枚举和对平面划分的对称类的考虑，我们考虑了从六边形的一些顶点移除“最大楼梯”的菱形拼接的枚举问题。一个顶点的情况对应于Proctor问题。对于两个顶点，有几种情况需要考虑，其中大多数导致很好的枚举公式。对于三个或更多的顶点，似乎不存在一般的好的产品公式，但在一个特殊的情况下，发生了很多的因式分解，我们提出的问题，找到一个公式的数量在这种情况下的平铺。
2001-04-04 math.CO
The enumeration of independent sets on some lattices
本文首先证明了某些平面格点上独立集个数的熵常数与相应的圆柱格点和圆环格点的熵常数相同。其次，我们考虑了三种更复杂的格，它们不能像平面二次格那样用一个传递矩阵来处理。通过引入转移重数的概念，我们得到了交叉二次格、广义Aztec钻石格和8-8-4格的熵常数的上下界上界。
2012-09-16 math-ph math.CO math.MP
Desargues theorem, its configurations, and the solution to a long-standing enumeration problem
我们解决了一个长期存在的问题，通过列举非简并Desargues配置的数量。我们将结果推广到第8节中涉及Desargues块线结构的更困难的情况。作为我们方法的一个副产品，我们给出了Desargues定理在平面和空间中的一个透明证明。
2020-07-17 math.CO
Enumeration of lozenge tilings of halved hexagons with a boundary defect
我们推广了Proctor定理的一个特殊情况下的菱形平铺的六边形与最大的楼梯删除计数，使用郭的图形凝聚方法。此外，我们证明了一个公式的加权版本的给定区域。这一结果也扩展了Ciucu和Fischer的工作。通过应用Ciucu的分解定理，我们还能够推广MacMahon的装箱平面划分公式的一个特例。
2015-10-15 math.CO
Random increasing plane trees: asymptotic enumeration of vertices by distance from leaves
我们证明了，对于任何固定的$k$，概率随机增加平面树的随机顶点是秩$k$，即概率，随机顶点是在距离$k$的叶子，收敛到一个常数$c_k$的大小$n$的树走向无穷大。{ \color{blue}我们证明了$1-\sum_{j\le k} c_k<\tfrac{3^{k+1}}{(2k+1)!}$，使得极限秩分布的尾部是超指数窄的。我们证明了后一性质对所有有限$n$也一致成立。更一般地，我们证明了一个有限的一致随机顶点集的秩是渐近独立的，每个分布$\{c_k\}$。我们计算了$0\leq k\leq 3$的$c_k$的精确值，证明了秩为$\le 3$的顶点的极限期望分数是$0.9997\dots$。我们证明了树中顶点的最高秩以概率$1-n^{-0.99\eps}$夹在$(1-\eps)\log n /\log\log n$和$(1.5+\eps)\log n/\log\log n$之间，{ \color{blue}且此秩以概率$1-o(1)$渐近于$\log n/\log\log n$。}
2022-08-05 math.CO
A $q$-enumeration of lozenge tilings of a hexagon with four adjacent triangles removed from the boundary
MacMahon证明了一个简单的产品公式的生成函数的平面分区适合在一个给定的盒子。该定理蕴涵了三角格上半正六边形菱形镶嵌的$q$ -计数。本文用$q$ -枚举一类新的六边形族的菱形镶嵌推广了MacMahon的经典定理，其中菱形镶嵌的四个相邻三角形从它们的边界移去.
2017-04-10 math.CO
On the weighted enumeration of alternating sign matrices and descending plane partitions
我们证明了一个猜想米尔斯，罗宾斯和拉姆齐[交替符号矩阵和下降平面分区，J。Theory Ser.A34（1983），340-359]，对于任何n、k、m和p，n × n交替符号矩阵（ASM）的数目等于降序平面划分（DPPs）的数目，其中第一行的1在列k+1中，并且恰好有m-1和m+p个逆其中每个部分至多为n，并且恰好有k个部分等于n，m个特殊部分和p个非特殊部分。证明涉及到表达相关的生成函数的ASM和DPP与固定的n作为nxn矩阵的行列式，并使用初等变换，以显示这些行列式是相等的。行列式本身是通过标准方法获得的：对于ASM，这涉及到使用Izergin-Korepin公式计算具有畴壁边界条件的六顶点模型的分拆函数，以及ASM和该模型的构型之间的双射;对于DPP，它涉及到使用Lindstrom-Gessel-Viennot定理，以及DPP和某些不相交的晶格路径之间的双射。
2011-11-28 math-ph math.CO math.MP
On the $q$-Enumeration of Barely Set-Valued Tableaux and Plane Partitions
该研究针对 barely set-valued 表列与平面分拆的计数问题，引入主指标版本给出相关乘积公式的$q$-模拟，以$P$-分拆一般形式表述结果并特化得到简洁公式，所用偏序集序理想上的概率分布也具独立价值。
2023-06-05 math.CO
On the enumeration of plane bipolar posets and transversal structures
本文借助 Kenyon–Miller–Sheffield–Wilson 双射将平面双极偏序集和横截结构对应到加权象限游走，证明其与平面排列的计数等式，并给出横截结构的递推、渐近式及非 D-有限性结论。
2023-09-30 cs.DM math.CO
Enumeration of plane hypermaps with a mixed boundary I
Sorbonne Université（索邦大学）；Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS, IMJ-PRG（法国国家科学研究中心，IMJ-PRG）；Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）；CEA, Institut de physique théorique（法国原子能和替代能源委员会，理论物理研究所）
本文针对k=1、k=2情形，利用切片分解与可达性概念，以纯组合方式研究带混合边界的平面超图枚举问题，复现了此前代数方法得到的相关公式。
2026-08-21 math-ph math.CO math.MP
Spin correlation functions, Ramus-like identities, and enumeration of constrained lattice walks and plane partitions
本文讨论了周期海森堡XX链上翻转自旋分布的平均值与计数组合学某些方面的关系。Bethe向量是模型的状态向量，被认为是在壳和离壳的。正是这种方法，使人们有可能表示和研究的关联函数的形式不相交的嵌套的晶格行走和相关的平面分区。我们区分两种类型的步行者，即锁步模型和随机转弯。特别感兴趣的是随机转弯行走和循环矩阵的连接。得到了对角部分高度固定的平面分区的范迹母函数的行列式表示，作为离壳N粒子Bethe态的母指数的期望.在双标度极限下，计算了演化参数较大时生成指数动态均值的渐近性。结果表明，领先的渐近的振幅依赖于对角约束的平面分区的数量。
2022-11-29 cond-mat.stat-mech hep-th math-ph
Recursive formulas for Welschinger invariants of the projective plane
实射影平面的Welschinger不变量可以通过枚举丰富的图来计算，称为标记楼层图。通过一个纯粹的组合研究这些对象，我们证明了Caporaso-Harris型公式，它允许一个计算Welschinger不变量的配置点与任何数量的复杂的共轭点。
2010-04-28 math.AG math.CO
A bijective proof of the ASM theorem, Part II: ASM enumeration and ASM-DPP relation
本文是第二次在一系列计划的文件，提供第一双射证明交替符号矩阵的结果。本文在第一篇文章的主要结果的基础上，构造了交替符号矩阵计数公式的双射证明，证明了交替符号矩阵是降平面分拆的等数矩阵。我们还能够通过在矩阵的顶行中包括唯一的$1$的位置来细化这些双射。我们的构造依赖于符号集和相关概念。这些构造的出发点是已知的“计算”证明，但组合的观点导致了几个剧烈的修改。我们还提供了计算机代码，其中我们所有的构造都已实现。
2019-12-03 math.CO
Plane partitions II: 5 1/2 symmetry classes
我们提出了新的，简单的证明枚举的10个对称类的平面分区包含在一个给定的盒子。其中四个是来自一个简单的行列式评估，使用组合参数。这四个案例的前期证明相当复杂。对于另一个对称类，我们给出了一个初等证明的情况下，两个边的盒子是平等的。我们的结果包括简单的评估的决定因素$\det(δ_{ij}+{x+i+j\choose i})_{0\leq i,j\leq n-1}$和$\det({x+i+j\choose 2j-i})_{0\leq i,j\leq n-1}$，臭名昭著的平面分区枚举，其以前的评估是相当复杂的。
1998-08-04 math.CO
Enumeration of three quadrant walks with small steps and walks on other M-quadrant cones
该研究将四分之一平面小步游走计数的相关结果推广到任意M象限锥情形，推导了刻画生成函数的解析泛函方程，明确了不同M值下生成函数的代数、D有限或D代数性质。
2023-12-19 math.CO math.PR
Enumeration of connected Catalan objects by type
非交叉集合划分、非嵌套集合划分、戴克路径和有根平面树是四类带有类型概念的加泰罗尼亚对象。存在一个乘积公式，它根据类型枚举这些对象。我们定义了一个概念，这些对象的“连通性”，并证明了一个类似的产品公式，计数连接对象的类型。这个乘积公式的证明是组合的和双射的。我们扩展到一个产品的公式，计算对象与一个固定的类型和数量的连接组件。我们把我们的乘积公式与由停车函数产生的对称函数联系起来。最后，我们提出了另一种证明我们的产品公式传达给我们的基督教Krattenthaler使用生成函数和拉格朗日反演。
2010-05-14 math.CO
A doubly-refined enumeration of alternating sign matrices and descending plane partitions
作者最近证明，对于任何n，在nxn交替符号矩阵（ASM）和下降平面划分（DPP）上的某些统计三元组的分布之间是相等的，其中每个部分至多为n。ASM A的统计量是A中广义逆的数量、A中-1的数量和A第一行中1左边的0的数量，DPP D的相应统计量是D中非特殊部分的数量、D中特殊部分的数量和D中n的数量。在这里，结果被概括为包括每种类型的对象的第四统计量，其中这是ASM的最后一行中1右边的0的数量，以及DPP中的（n-1）的数量加上长度为n-1的行数。这种推广证明了使用已知的三个统计量的生成函数的等式，以及表示每个四个统计量的生成函数在其三个统计量对应的关系。这些关系是通过应用Desnanot-雅可比恒等式的生成函数，其中的行列式产生的标准方法，涉及六顶点模型与域壁边界条件的ASM，和不相交的晶格路径的DPP行列式表达式。
2012-10-15 math-ph math.CO math.MP
Analytic Combinatorics of Planar Lattice Paths
格点路径有效地模拟了化学、物理和概率论中的现象。晶格路径的渐近计数与被建模的物理系统中的熵相关联。晶格路径限制在不同区域的平面非常适合于一个函数方程的方法，精确和渐近枚举。本文综述了各种约束条件下的格路的研究结果，重点研究了四分之一平面上的格路。对于这些路径，我们开发了一个原始的系统的组合方法提供直接访问的指数增长性因素的渐近表达式。
2013-04-23 math.CO
Graphical Enumeration and Stained Glass Windows, 1: Rectangular Grids
对研究多边形的边用等间距的点作标记而每对点由一条线连接时所形成的图所产生的计数问题的综述。Poonen和Rubinstein在1998年分析了一个正则n边形的所有顶点对都由弦连接而成的图K_n，这是一个经典的例子。然而，这些问题中的大多数都没有得到解决，这篇由两部分组成的文章提供了一些此类问题的数据以及彩色插图，这些插图通常会让人想起彩色玻璃窗。所考虑的多边形包括矩形、中空矩形（或框架）、三角形、五边形、五角形、十字形等，以及通过绘制连接线上等间距点的线段而形成的图形。本文最后简要讨论了如何为这些图设计美观的着色问题。第一部分讨论矩形网格。Legendre和Griffiths研究了1 × n网格，或者说图K_{n+1,n+1}，在这里我们研究了具有给定边数的单元数和具有给定度的节点数。我们只有部分结果的m × n矩形，包括上界的节点和细胞的数量。
2020-12-22 math.CO
A Shuffling Theorem for Centrally Symmetric Tilings
Rohatgi和作者最近证明了“双凹六边形”菱形镶嵌的洗牌定理（arXiv：1905.08311）。该定理可以看作是镶嵌计数中两个经典定理的混合：关于中心对称六边形的MacMahon定理和关于有凹点的半六边形的Cohn-Larsen-Prop定理。在本文中，我们考虑一个类似的洗牌定理的中心对称镶嵌的双凹六边形。我们的定理还暗示了作者在arXiv：1803.02792中提出的一个猜想，关于具有三个三角形孔阵列的六边形的中心对称平铺的计数。这种枚举，反过来，可以被认为是一个共同的推广（平铺等效版本）斯坦利的枚举自互补平面分区和Ciucu的工作对称性的三叶草结构。此外，我们的枚举也证实了Ciucu在arXiv：1906.02951中提出的一个猜想。
2019-07-06 math.CO
A Proof of George Andrews' and Dave Robbins' q-TSPP Conjecture (modulo a finite amount of routine calculations)
在历史性的会议Combinatoire枚举[LL]精彩举办的吉尔伯特拉贝尔和皮埃尔勒鲁有许多刺激的讲座，包括一个非常有趣的皮埃尔勒鲁本人，谁谈到了他的联合工作与泽维尔Viennot[LV]，解决微分方程combinatorially！在皮埃尔·勒鲁主持的同一次座谈会的问题会议上，理查德·斯坦利提出了一些关于平面划分枚举的有趣问题，后来他将这些问题扩展成了一篇引人入胜的文章。大多数这些问题涉及枚举的对称类的平面分区，这是更详细地讨论了另一篇文章斯坦利[Sta 2]。后一篇文章中的所有命题都已被证明（见Dave Bressoud的现代经典[B]），除了一个，到目前为止，抵制了枚举组合学中最伟大的头脑的努力。它涉及到全对称平面分拆的q-计数的一个显式公式的证明，由George Andrews和Dave Robbins独立证明（[Sta 2]，[Sta 1]（conj.7），[B]（conj.13））。在向皮埃尔·勒鲁致敬的这篇文章中，我们描述了如何证明这最后的堡垒。
2009-01-27 math.CO
The slopes determined by n points in the plane
令$m_{12}$，$m_{13}$，.，$m_{n-1,n}$是连接平面中一般位置的$n$点的$\binom{n}{2}$线的斜率。$m_{ij}$之间所有代数关系的理想$I_n$定义了一个称为{完全图的\em斜率簇}的位形空间。证明了$I_n$是约化的，给出了它的Cohen-Macaulay显式Gröbner基，并组合地计算了它的Hilbert级数.我们主要通过研究相关的Stanley Reisner单纯复形来进行，它具有复杂的递归结构。此外，我们能够回答许多问题的几何形状的斜率品种，将它们转化为纯粹的组合问题有关枚举的树木。
2006-01-24 math.AC math.AG math.CO
Enumerations of maximum partial triple systems on 16 and 17 points
对于$v\equiv 1$或3（mod 6），$v$点上的最大部分三元系是Steiner三元系，STS（$v$）s。这80个非同构的STS（15）在大约100年前首次被计算出来，但是下一个关于Steiner三元系的问题直到2004年才得到解决，当时确定了有11084874829个非同构的STS（19）。本文完成了$v\le 19$的非同构极大部分三元系的计数。结果表明，17个点上有35810097个系统，16个点上有47744568个系统。我们还建立了精确地有157151个非同构成对平衡设计PBD（$17,\{3,5\}$）s，具有大小为5的单个区组。确定了这些系统的结构性质，包括它们的自同构群，以及它们所包含的Pasch组态、斜接和Fano平面的数目。系统本身可从作者处获得。
2017-10-26 math.CO
The structure and labelled enumeration of K_{3,3}-subdivision-free projective-planar graphs
本文研究了一类2-连通非平面K_{3,3} -无子剖分图，它们可嵌入到射影平面中.我们证明了这些图允许唯一的分解为图K_5（核心），其中的边被由2-连通可平面图构造的两极网络所取代。本文描述了在标号情况下枚举这些图的一种方法。此外，我们还列举了F中的同胚不可约图和同胚不可约2-连通可平面图。特别使用的是两极定向串并联网络。我们还证明了当n ≥ 6时，F中n阶图的边数m满足m <= 3 n-6的界.
2006-06-20 cs.DM math.CO
A shuffling theorem for lozenge tilings of doubly-dented hexagons
MacMahon关于平面划分的定理给出了一个简单的六边形镶嵌数的乘积公式，Cohn，Larsen和Propp定理给出了凹半六边形通过半严格Gelfand-Tsetlin模式的镶嵌数的显式计数.本文证明了任意一组单位三角形沿水平轴移动的六边形的两个定理的自然混合。特别是，我们表明，“洗牌”删除单位三角形只改变一个简单的乘法因子的区域的平铺数。我们的主要结果推广了一些已知的计数和渐近计数的平铺。我们还揭示了主要结果的研究对称函数和$q$ -系列的连接。
2019-07-01 math.CO
Enumeration of intersection graphs of $x$-monotone curves
Stanford University（斯坦福大学）；Rényi Institute of Mathematics（雷尼数学研究所）；Department of Mathematics, University of California at San Diego（加利福尼亚大学圣地亚哥分校数学系）
研究x-单调伪段交集图的计数，证明其数量下界与上界均为2^{O(n^{4/3}log²n)}
2026-01-09 math.CO
Packing Lines, Planes, etc.: Packings in Grassmannian Space
本文讨论的问题：如何安排N n维子空间的m维欧几里得空间，使他们尽可能远离？广泛的计算结果的适度的N，n，m值的描述，以及重新制定的问题，建议这些计算。这种重新表述给出了一种方法，将m-空间的n维子空间描述为维度为（m-1）（m+2）/2的球面上的点，这提供了（通常）比Pluecker嵌入更低维的表示，并证明了许多新的填充是最优的。结果有应用程序的多维数据通过阿西莫夫的“大旅游”的方法的图形显示。
2002-08-01 math.CO
Enumeration of Sets of Mutually Orthogonal Latin Rectangles
本文枚举 k≤n≤7 时非同痕的 t 个相互正交 k×n 拉丁矩形集合，定义并追踪齐次、传递及逐步传递结构，并据此说明除 Hughes 平面外阶数至多 9 的射影平面均可由逐步传递 MOLR 构造。
2024-01-19 cs.DM math.CO
The $\mathbf{uvu}$-avoiding $(a,b,c)$-Generalized Motzkin paths with vertical steps: bijections and statistic enumerations
广义Motzkin路径，简称G-Motzkin路径，长度为$n$，是XOY平面第一象限中从$(0, 0)$到$(n, 0)$的格点路径，由上台阶$\mathbf{u}=(1, 1)$、下台阶$\mathbf{d}=(1, -1)$、水平台阶$\mathbf{h}=(1, 0)$和垂直台阶$\mathbf{v}=(0, -1)$组成. $(a,b,c)$-G-Motzkin路径是加权的G-Motzkin路径，使得$\mathbf{u}$ -步骤、$\mathbf{h}$ -步骤、$\mathbf{v}$ -步骤和$\mathbf{d}$ -步骤分别由$1, a, b$和$c$加权。本文首先给出了长度为$n$的$\mathbf{uvu}$ -回避$(a,b,b^2)$-G-Motzkin路集与$(a,b)$-Schröder路集、长度为$2n$的$(a+b,b)$-Dyck路集、长度为$n$的$\{\mathbf{uvu, uu}\}$ -回避$(a,b,b^2)$-G-Motzkin路集与长度为$n$的$(a+b,ab)$-Motzkin路集之间的双射，在以$a$加权的$\mathbf{h}$ -步开始的长度为$n+1$的$\{\mathbf{uvu,uu}\}$ -避免$(a,b,b^2)$-G-Motzkin路径的集合与长度为$2n+2$的$(a,b)$-Dyck路径的集合之间。…
2022-01-23 math.CO
A reflection principle for nonintersecting paths and lozenge tilings with free boundaries
本文提出一个补充 Okada–Stembridge Pfaffian 公式的新公式，建立非相交路径的反射原理，将自由边界菱形镶嵌计数归结为无自由边界情形，并给出乘积公式、分解定理及行列式公式等应用。
2025-08-16 math.CO
A subspace code of size $333$ in the setting of a binary $q$-analog of the Fano plane
我们证明了在环境维度7中存在一个常数维度3的二进制子空间码，具有最小距离4和基数333，即，$333 \le A_2(7,4;3)$，它改进了以前最好的已知下界329。此外，如果具有这些参数的码具有至少333个元素，则其自同构群在$31$共轭类中的一个中。这是通过一个更一般的技术，在一个有限群，不依赖于枚举的所有子群的穷举搜索。
2019-03-22 cs.IT math.CO math.IT
A factorization theorem for lozenge tilings of a hexagon with triangular holes
在本文中，我们提出了一个组合推广的事实，即适合在一个$2a\times b\times b$盒的平面分区的数量等于这样的平面分区的数量是对称的，乘以这样的平面分区的数量，其中的转置是相同的补充。我们使用等效的措辞这个身份的对称类菱形平铺的六边形的三角形格子。我们的推广包括允许六边形沿其水平对称轴具有某些对称放置的孔。没有洞的特殊情况可以看作是对称平面划分的枚举的一个新的、更简单的证明。
2016-08-26 math-ph math.CO math.MP
Congruences modulo powers of $7$ for $k$-elongated plane partitions
本文研究 k-伸长平面分拆钻石计数 d_k(n) 的同余性质，在 Banerjee 和 Smoot 关于 d_5(n) 模 5 的幂的无限同余式族工作基础上，发现了 d_3(n) 和 d_5(n) 模 7 的幂的无限同余式族。
2025-08-16 math.CO math.NT
