A Time scales Noether's theorem
Baptiste Anerot, Jacky Cresson, Frédéric Pierret
我们证明了一个时间尺度版本的诺特定理有关组的对称性和守恒律。我们的结果扩展了连续版本的Noether定理以及离散的一个，并纠正了以前的陈述Bartosiewicz和托雷斯在\cite{BT}。
We prove a time scales version of the Noether's theorem relating group of symmetries and conservation laws. Our result extends the continuous version of the Noether's theorem as well as the discrete one and corrects a previous statement of Bartosiewicz and Torres in \cite{BT}.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Transformations, symmetries and Noether theorems for differential-difference equations
本文的第一部分开发了一个几何设置的微分差分方程，解决了一个悬而未决的问题，在何种程度上连续的对称性可以依赖于离散的独立变量。对于一般映射，微分和差分不能交换。我们证明，有没有这样的失败的结构保持映射，并确定一类方程，允许更大的自由度比典型的。对于变分对称，上述结果导致了微分-差分形式的Noether定理的简单证明。我们的状态和证明微分差分版本的诺特第二定理，连同诺特型定理，跨越之间的差距类似物的诺特的两个定理。这些结果适用于各种物理方程。
Noether theorems and quantum anomalies
在这次交流中，我们证明了无限维版本的Noether定理和量子异常的解释可以使用类似的公式来获得函数的导数，其值是测度（Schlanov和von Weizsaecker，1995）或伪测度（Gough，Ratiu和Schlanov，2015）。特别地，我们改进了这些结果。
Extensions of Noether's Second Theorem: from continuous to discrete systems
给出Noether第二定理的一个简单局部证明。这一证明立即导致一个推广的定理，产生守恒律和/或明确的关系之间的欧拉-拉格朗日方程的任何变分问题，其对称性取决于一组自由或部分约束的功能。我们的方法进一步扩展到处理有限差分系统。结果是易于应用的;几个著名的连续和离散系统被用作例证。
Noether's theorem for the variational equations
我们引入一个广义作用泛函来描述任意拉格朗日系统的运动方程和变分方程。使用这种新的计划，我们能够推广Noether定理，以这样一种方式，任何$n$参数连续对称群的拉格朗日存在1）通常的$n$常数的运动和2）$n$额外的常数有效的变分方程。新的常数是有关的无穷小发电机的对称变换的关系类似的那些干从“非扩展”Noether定理。
Second Noether theorem for quasi-Noether systems
拟Noether微分系统比变分系统更一般，在数学物理中相当常见。它们几乎包括所有感兴趣的微分系统，至少包括那些具有守恒律的微分系统。在本文中，我们讨论具有无限维（无限）对称性的拟Noether系统，涉及任意函数的独立变量。对于允许无穷对称的拟Noether系统，我们陈述并证明了第二Noether定理的一个推广。此外，我们还证明了涉及所有自变量的任意函数的无穷多个守恒律是平凡的，并且相关的微分系统是欠定的。本文讨论了不可压Euler方程和涡量形式下的纳维-斯托克斯方程这两个重要的非变分拟Noether系统的无穷对称性和无穷守恒律，证明了包含所有自变量的任意函数的无穷守恒律是平凡的.我们还分析了无限的对称性，涉及到任意函数的不是所有的独立变量，证明了在这些情况下的守恒律通量的解决方案的总分歧，并证明了这种情况下的例子。
A formulation of Noether's theorem for fractional classical fields
本文给出了分数阶经典场Noether定理的一个公式。将分数阶离散系统的变分公式推广到分数阶场系统。将变分原理应用于分数阶作用量$S$，得到分数阶Euler-Lagrange运动方程。考虑离散系统的Noether变分问题，其作用在规范变换下是不变的，将扩展到经典场的分数变分问题。导出了分数阶经典场的守恒律。作为一个例子，我们给出了分数阶Dirac场的守恒律.
Noether's inverse second theorem in homology terms
利用格拉斯曼分次变分双复形研究了任意光滑流形上的一般奇、偶变量退化拉格朗日系统。它的Euler-Lagrange算子服从Noether恒等式，Noether恒等式不需要独立，但满足第一阶段Noether恒等式等，但非平凡的高阶Noether恒等式是不好定义的，除非满足一定的同调条件.证明了在此条件下，存在精确的Koszul-Tate链复形，其边界算子产生原拉格朗日系统的所有非平凡Noether恒等式和高阶Noether恒等式.我们证明的Noether逆第二定理与这个复杂的上链序列相关，该序列的上升算子提供了原始拉格朗日量的所有规范和更高阶段的规范超对称性。
Noether theorem for mu-symmetries
我们给出了一个版本的诺特定理适用于框架的μ-对称性，这延伸到这种情况下最近的工作由穆里尔，罗梅罗和奥尔弗的框架内的拉格朗日对称性，并连接μ-对称性的一个适当修改的守恒定律。在某些情况下，这个“μ-守恒定律”实际上简化为一个标准守恒律;我们还注意到μ-对称性和条件不变量之间的关系。我们还考虑的情况下，变分原理本身制定为需要消失的变化下μ-延长的变化领域，导致修改后的欧拉-拉格朗日方程。在这种情况下，拉格朗日量的μ对称性与标准诺特定理中的标准守恒律相对应。最后，我们提出了一些应用和例子。
Noether's second theorem for BRST symmetries
我们提出的Noether第二定理的梯度拉格朗日系统的偶数和奇数变量的任意体流形X在一般情况下的BRST对称性取决于衍生物的动态变量和鬼的任何有限阶。作为第一步，证明了X上具有规范对称性的纤维丛上的Lagrange系统的Noether第二定理，该系统依赖于动力变量和任意阶参数的导数.
Fractional Noether's theorem in the Riesz-Caputo sense
本文证明了一个含Riesz-Caputo导数的分数阶变分问题的Noether定理。拉格朗日和哈密顿公式。说明性的例子在分数的上下文中的变分法和最优控制。
Noether theorems and higher derivatives
诺特第一定理的一个简单的证明涉及到推广一个恒定的对称参数$ε$到一个任意的时间函数，诺特电荷$Q$则是$\dotε$在变化的行动的系数。在这里，我们研究的有效性证明拉格朗日力学与任意高的时间导数，在这种情况下，“高层次”类似物的诺特定理可以类似地证明，和“诺特收费”读出，例如系数的$\ddot ε$的变化的行动。虽然$Q=0$意味着限制规范不变性，但无限制规范不变性也需要零诺特电荷。一些说明性的例子被认为是和扩展到场论讨论。
Pseudotensor problem of gravitational energy-momentum and Noether's theorem revisited
基于一般的变分原理，重新讨论了Noether定理。指出引力能-动量的所谓伪张量问题是对Noether定理的误读，实际上Noether守恒量都是标量。并通过反例说明引力能动量的非定域性不能归因于等效原理。作为变分原理的直接结果，得到了Hamilton主泛函的广义Hamilton-Jacobi方程。
Non-conservative Noether's theorem for fractional action-like variational problems with intrinsic and observer times
我们将诺特对称性定理扩展到具有高阶导数的分数作用类变分问题。
A Noether Theorem for Markov Processes
诺特定理将量子系统的对称性与其守恒量联系起来，是量子力学的基石。在这里，我们证明了一个版本的诺特定理的马尔可夫过程。在量子力学中，一个可观测量与哈密顿量可交换，当且仅当它的期望值在时间上对每个状态保持不变。对于马尔可夫过程不再成立，但一个可观测量与哈密顿量交换当且仅当它的期望值和标准差在时间上对每个状态都是常数。
Lagrangian formalism and Noether-type theorems for second-order delay ODEs
该研究构建二阶延迟常微分方程变分问题的拉格朗日框架，提出相应 Noether 型算子恒等式与定理，并以示例说明如何利用对称性代数构造积分。
Comment on "Noether's-type theorems on time scales" [J. Math. Phys. 61, 113502 (2020)]
我们对Noether定理的有效性和[J. Math. Phys. 61（2020），no. 11，113502]的结论进行了评论。
A modern view of the classical Herglotz-Noether theorem
本文给出了经典的Herglotz-Noether定理的一个新的证明，该定理证明了Minkowski时空中所有的旋转无剪无膨胀流（旋转Born刚性流）都是由Killing矢量场（等距流）产生的。这是为了说明一个一般框架的工作问题，可以被描述为一个结构保持淹没，我们将在随后的论文中描述。
Local and Nonlocal Advected Invariants and Helicities in Magnetohydrodynamics and Gas Dynamics II: Noether's Theorems and Casimirs
利用Noether第一和第二定理导出了与流体重标对称性有关的理想气体动力学和磁流体动力学（MHD）中的守恒定律。Lie拖曳不变量的讨论中的MHD Casimirs。利用Noether定理，结合流体重标对称性和规范变换，导出了适用于包含Clebsch变量的非正压流体螺旋度的非局部守恒定律。用同样的方法导出了包含Clebsch势的非定域交叉螺旋度守恒定律和MHD能量守恒定律。欧拉庞加莱变分方法也被用来推导守恒律与流体重新标记对称性使用Noether的第二定理。
Noether theorems in a general setting
第一和第二Noether定理制定在一般情况下的可约退化Grassmann分次拉格朗日理论的奇偶变量的分次丛。这样的拉格朗日理论的特点是由一个非平凡的高阶Noether恒等式和相应的高阶规范对称性，这是在同调项描述的层次。在这些条件下，第二个诺特定理将高阶诺特恒等式的Koszul - Tate链复形与规范上链序列联系起来，该序列的上升算子提供了拉格朗日理论的高阶规范对称性。如果规范对称性是代数闭的，则将该算子推广到幂零BRST算子，使规范上链序列成为BRST复形。在这个框架下，第一诺特定理被制定为一个简单的推论的第一变分公式。它关联到任何变分拉格朗日对称性的守恒电流，其总微分消失的壳。在一般情况下，我们证明了一个规范对称性的守恒流被简化为壳层上的全微分。给出了主丛上的规范理论、自然丛上的规范引力理论、拓扑Chern-Simons场论和拓扑BF理论的物理相关例子。最后一种方法简化了一个可约拉格朗日系统。
Noether's Second Theorem on natural bundles
在我的工作之后。Anderson，本文给出了Noether第二定理的一个公式，它对任何自然丛都是有效的。
Non-local Lagrangian Mechanics: Noether theorem and Hamiltonian formalism
我们研究拉格朗日系统与有限数量的自由度是非本地的时间。我们得到了Noether定理和Noether恒等式对这类拉格朗日量的推广。一个哈密顿的形式主义，然后建立这个系统。$n$阶局部拉格朗日函数可以作为一个特殊的情况下，他们的标准结果恢复。然后，该方法适用于其他几种情况下，即两个例子的非本地振荡器和p-adic粒子。
Noether's second theorem in a general setting. Reducible gauge theories
在规范对称依赖于任意阶动力变量导数的情形下，证明了纤维丛上拉格朗日系统的Noether正、逆第二定理。给出了可约规范对称性和Noether恒等式的适当概念，并利用某种纠缠算符证明了它们的等价性。
Noether Theorems and Reality of Motion
我们将通过埃米·诺特的论文以及“适当”和“不适当”守恒定律这两个概念，来阅读希尔伯特提出的关于广义相对论中能量守恒定律的性质的问题。这两类守恒律所涉及的认识论问题将被阐明。
A geometric approach to the generalized Noether theorem
本文给出了\cite{zhang2020generalized}中关于标度对称性的广义Noether定理的一个几何推广。我们的广义Noether定理有几个积极的特点：它是在相空间的最自然的扩展中构造的，允许对称性是这样的流形上的向量场，允许相关的不变量是运动的第一积分;它有一个直接的几何证明，与标准相空间版本的Noether定理的证明平行;它自动产生逆Noether定理;它也适用于一大类耗散系统;最后，它允许更大的一类对称性，而不仅仅是形成李代数的缩放变换，因此可以进行代数处理。
Symmetries and Noether's theorem for multicontact field theories
本文利用多接触几何框架分析作用量依赖的Lagrangian和Hamiltonian场论中的对称性及耗散定律，定义了守恒量与耗散量，并推导出适用于该设定的Noether定理。
Symmetries of line bundles and Noether theorem for time-dependent nonholonomic systems
我们考虑由非退化1-形式的特征线丛的截面所定义的方程和相关的扰动系统的Noether对称性。看来，这个框架可以用于与时间相关的系统的约束和非保守力，允许一个相当简单和透明的制定的动量方程和诺特定理的一般形式。
Fractional Optimal Control in the Sense of Caputo and the Fractional Noether's Theorem
Caputo意义下的分数阶导数变分问题的研究是一个新的课题，主要结果是Agrawal关于Euler-Lagrange的最优性条件和相应的横截性条件。本文利用Agrawal的Euler-Lagrange方程和Lagrange乘子技巧，得到了Caputo意义下分数阶最优控制问题的一个Noether类定理.
On second Noether's theorem and gauge symmetries in Mechanics
我们回顾了含时力学中第二Noether定理的几何表述。研究了最终约束流形上的动力学与对称的无穷小生成元之间的对易关系。我们展示了一个算法，用于确定规范的对称性，这是密切相关的过程中的稳定的约束，无论是在拉格朗日和哈密顿形式主义。这两种形式主义之间的连接建立的时间演化算子。
Noether's Theorem Under the Legendre Transform
本文证明了勒让德变换是如何将哈密顿力学和拉格朗日力学中的诺特定理联系起来的。我们给出精确的定义的对称性和守恒量的哈密顿和拉格朗日框架，并讨论为什么这些概念在哈密顿框架是有点不那么严格。我们探索的条件，当把这些定义，允许勒让德变换建立一个一对一的对应关系。我们还讨论了当对称性和守恒量的定义限制较少时如何保持这种对应关系。
The Noether theorems in context
我将简要介绍诺特1918年的文章《不变变分问题》的内容，这篇文章是在爱因斯坦广义相对论引发的能量守恒问题的辩论背景下发表的。Noether的“Invariante Variationsprobleme”有多新颖？她对李群的使用和对广义向量场的引入有多现代？她的文章有多大影响力？我将勾勒出奇怪的传输她的结果从1918年至1970年，历史的后来发展，她的理论在数学和物理学，并最终承认广泛适用的“诺特定理”。
Noether's first theorem in Hamiltonian mechanics
非自治非相对论力学被表述为关于时间轴R上纤维丛的拉格朗日和哈密顿理论。因此，哈密顿力学可以重新表述为动量相空间上的特殊拉格朗日理论。这一事实使人们能够将诺特第一定理应用于拉格朗日力学和哈密顿力学。根据诺特第一定理，任何对称性都定义了一个对称流，它是拉格朗日和哈密顿力学中运动的积分。在拉格朗日力学中，运动积分不需要来自对称性，反之则不成立。证明了在哈密顿力学中，任何运动积分都是对称流。特别地，相对于参考系的能量函数是沿着作为该参考系的配置束上的连接的对称电流。最后给出了一个整体开普勒问题的例子。
A Proper Extension of Noether's Symmetry Theorem for Nonsmooth Extremals of the Calculus of Variations
对于非光滑的欧拉-拉格朗日极值，诺特守恒定律不再有效。我们表明，埃米诺特定理的变分法仍然是有效的，在更广泛的一类Lipschitz函数，只要一个限制欧拉-拉格朗日极值满足杜波依斯-雷蒙德必要条件。在光滑情形下，所有的Euler-Lagrange极值都是DuBois-Reymond极值，所得结果是经典Noether定理的适当推广。这是在对比与最近的事态发展Noether的对称性定理的最优控制设置，这会引起非适当的扩展时，指定的问题的变分法。
Noether's Theorem for Fractional Optimal Control Problems
我们首先报告作者（Frederico和Torres，2006）的一些最新结果，关于使用分数欧拉-拉格朗日概念来证明分数导数变分法问题的Noether定理。然后，我们得到，继拉格朗日乘子技术（Agrawal，2004），一个新版本的Noether定理的分数最优控制系统。
Matrix Gauge Fields and Noether's theorem
这些笔记是由物理学家对（1）物质场的“预量子化波动方程”，（2）守恒定律，（3）规范域扩张的考虑引发的。都是从变分原理开始的。这些笔记不包含泛函分析或微分几何。仅对矩阵值函数作了一些基本的考虑。作为一个动机，有一个很长的前言/总结。
Non-local Lagrangian fields: Noether's theorem and Hamiltonian formalism
本文旨在研究具有无限多个自由度的非局部拉格朗日函数。我们得到了推广的Noether定理和Noether的身份，这样的拉格朗日。然后，我们建立了一个汉密尔顿形式主义。此外，我们表明，$n$阶局部拉格朗日可以被视为一个特殊的情况下，标准的结果可以恢复。最后，将该方法应用于$p$ -adic开弦域的情形.
A generalized Noether theorem for scaling symmetry
本文推广Noether定理以处理尺度对称性，将经典作用量作为附加项构造守恒量，并用于自由粒子、齐次势、维里定理及平面引力波等情形。
Extension the Noether's theorem to Lagrangian formulation with nonlocality
本文研究了一个具有非局部性的拉格朗日方程。拉格朗日量的非局部性引入了一个新的非局部参数，定义为一个非局部残差满足零均值条件。非局部欧拉-拉格朗日方程是由Hamilton原理导出的。Noether定理推广到这个拉格朗日制定与非局部性。借助推广的Noether定理，确定了与力学本构模型相关的非局部弹性力学中能量、线动量、角动量和Eshelby张量的守恒律。结果表明，守恒律仅以物体所占区域的积分形式存在。详细讨论了守恒律的局部化问题。我们证明了不是每一个守恒定律都对应于一个局部平衡方程。只有当守恒流的非定域残量存在时，才能将一个守恒定律局部化为一个定域平衡方程。
The Cartan form for constrained Lagrangian systems and the nonholonomic Noether theorem
本文研究具有不完整约束的力学系统的守恒律。它使用拉格朗日制定的非完整系统和一个Cartan形式的方法。我们提出了我们认为是最一般的对称性和首次积分之间的关系。我们讨论了所谓的非完整Noether定理在我们的形式主义，我们给应用程序的黎曼子流形，拉格朗日力学型，并确定二次首次积分。
Noether's Theorem for a Fixed Region
给出了Noether第一定理的初等证明，同时强调了整体拟对称性只需要对一个固定的积分区域成立这一神奇事实。我们提供了充分的条件来衡量一个全球准对称。
Noether's Theorem for Dissipative Quantum Dynamical Semigroups
关于动力系统运动常数的Noether定理最近被Baez和Fong推广到经典耗散系统（马尔可夫半群）。我们展示了如何将这些结果扩展到量子马尔可夫动力学的全量子设置。对于有限维希尔伯特空间，我们构建了一个映射，从可观的CP映射，导致自然模拟的交换性与无穷小生成器的马尔可夫动力学的标准。利用量子动力学半群下状态松弛到平衡态的标准结果，在通常假设存在一个稳定的严格正密度矩阵的情况下，我们能够在无限维的背景下，计算量子马尔可夫演化下的运动常数.特别地，Noether常数与Heisenberg图像半群的不动点一致。
A Noether Theorem on Unimprovable Conservation Laws for Vector-Valued Optimization Problems in Control Theory
我们得到了代价泛函有限的最优控制问题的Noether不变性定理的一个版本。通过公式化E. Noether的结果推广到等周约束下的最优控制问题，然后利用不可改进的（Pareto）最优性概念。这类结果是由A.古古什维利
Nonlocal Lagrangian fields and the second Noether theorem. Non-commutative $U(1)$ gauge theory
本文系统梳理非局域拉格朗日形式体系，扩展适用于非局域情形的第二 Noether 定理，并将其用于非对易 $U(1)$ 规范理论的哈密顿量与量子化分析。
Nonconservative Noether's Theorem in Optimal Control
将Noether定理推广到非保守力作用下的动态最优控制系统。给出了一种计算非保守最优控制问题守恒律的系统方法。作为推论，导出了以前文献中关于非保守力学问题和变分法的守恒量。
Noether's theorem for fractional variational problems of variable order
证明了具有不可公度变阶导数的分数阶变分问题的一个Euler-Lagrange型最优性必要条件。这使我们能够陈述一个版本的诺特定理没有变换的独立（时间）变量。考虑变量阶导数定义在Caputo的意义。
Fractional Noether's Theorem with Classical and Caputo Derivatives: constants of motion for non-conservative systems
由于开创性的工作，埃米诺特是众所周知的，所有守恒定律在物理学，\textrm{e.g.}，守恒的能量或守恒的动量，是直接关系到不变性的行动下的家庭的转变。然而，经典的Noether定理不能给出关于非保守系统的运动常数的信息，因为经典的变分法不可能为这类系统制定物理上有意义的拉格朗日方程。另一方面，近年来，拉格朗日函数中的分数阶变分法（fractional calculus of variation）依赖于分数阶导数，已经成为研究非保守系统的一种优雅的选择。在目前的工作中，我们得到了一个推广的Noether定理的拉格朗日依赖于混合经典和Caputo衍生物，可用于获得耗散系统的运动常数。此外，我们还得到了分数阶最优控制问题的Noether条件.
Noether-Like Theorems for Causal Variational Principles
由诺特定理建立的对称性和守恒律之间的联系被推广到因果变分原理和因果费米子系统。介绍了连续对称性的不同概念。它被证明，这些对称性产生相应的守恒量，表示在所谓的表面层积分。在适当的极限情况下，因果费米子系统的类诺特定理再现了闵可夫斯基空间中的电荷守恒和能量守恒及动量守恒。因此，电荷守恒和能量动量守恒是因果费米子系统所固有的一般守恒律的特例。
Hight-order Noether's Theorem for Nonsmooth Extremals of Isoperimetric Variational Problems with Time Delay
本文得到了时滞变分等周问题Noether对称性定理的一个非光滑高阶推广。证明了该结果在Lipschitz函数类中是有效的，只要时滞高阶Euler-Lagrange极值仅限于满足时滞高阶DuBois-Reymond必要最优性条件的极值.延迟等周最优控制问题的重要情况也被认为是。
Noether's first theorem and the energy-momentum tensor ambiguity problem
诺特定理被广泛地誉为物理学中最美丽和最有用的结果之一。然而，如果一个人阅读了关于诺特第一定理在场论中应用的大多数标准文本和文献，他会立即发现，从庞加莱群的4参数平移中导出的“正则诺特能量-动量张量”并不对应于被广泛接受为电动力学等中心理论的“物理”能量-动量张量。这给人的印象是，诺特第一定理在某种意义上是行不通的。认识到这个问题，通常的做法是通过添加适当的ad-hoc“改进”项来"改进”正则Noether能量-动量张量，这些项将正则表达式转换为所需的结果。另一方面，贝塞尔-哈根开发的一种不太常见但独特的方法在应用诺特第一定理时考虑了规范对称性和坐标对称性;这使得人们可以唯一地导出可接受的物理能量-动量张量，而不需要在具有精确规范不变作用量的理论中进行任何特别的改进。$\dots$使用逆Noether的第一定理，我们表明，Bessel-Hagen型变换是唯一选择的电动力学的情况下，这有力地解决了方法的模糊性。然后，我们继续考虑这一论证如何适用于其他各种情况，特别是包括在线性引力中定义引力场的能量-动量张量的挑战。最后，我们把寻找适当的诺特能量动量张量的背景下，最近的索赔，诺特定理及其逆作出声明的等价类的对称性和守恒律$\dots$
Noether theorem for action-dependent Lagrangian functions: conservation laws for non-conservative systems
在目前的工作中，我们制定了一个推广的Noether定理的作用依赖拉格朗日函数。诺特定理是物理学中最重要的定理之一。众所周知，所有的守恒定律，\textrm{e.g.}，能量守恒和动量守恒定律，都与作用量在一族变换下的不变性直接相关。然而，经典的Noether定理不能应用于研究非保守系统，因为它是不可能制定的物理意义的拉格朗日函数为这类系统在经典的变分法。另一方面，最近的研究表明，一个作用量依赖于拉格朗日函数的作用量原理为各种各样的非保守系统（经典和量子）提供了物理上有意义的拉格朗日函数。因此，我们提出的广义Noether定理使我们能够研究非保守系统的守恒律。为了说明应用的潜力，我们考虑耗散系统的三个例子，我们分析了与时空变换和内部对称性有关的守恒定律。
Noether's Theorem for Nonsmooth Extremals of Variational Problems with Time Delay
我们得到了时滞变元变分问题Noether对称性定理的一个非光滑推广。只要时滞Euler-Lagrange极值仅限于满足DuBois-Reymond必要最优性条件的极值，则该结果在Lipschitz函数类中是有效的.考虑了含高阶导数的时滞变分问题的重要情形。
The unitary Master Ward Identity: Time slice axiom, Noether's Theorem and Anomalies
最近由Detlev Buchholz和作者之一（KF）提出的一般相互作用量子场论的C *-代数公式，被主沃德恒等式的幺正形式所丰富，主恒等式是由Franz Marc Boas、Ferdinand Brennecke和我们中的两位（MD、KF）在不久前提出的。结果表明，相应的公理隐含的时间片公理的有效性。此外，它为诺特定理的新方法开辟了道路，直接产生实现对称性的么正。它还揭示了异常在量子场论中的作用的有趣方面。
A generalization of Noether's theorem based on the virtual work functional
在作者以前的一系列文章中，人们可以有效地给出非保守力学系统的变分公式，以及那些受非完整约束的系统，从虚功泛函开始，而不是作用泛函。在这篇文章中，它表明，当一个开始与一个虚拟的功能，这是不准确的，所以它不承认一个行动的功能，而不是守恒定律的扩展Noether定理给平衡原则的非保守电流。这种广义诺特恒等式的例子在点、刚体和可变形体的力学中给出。
Covariant Hamiltonian representation of Noether's theorem and its application to SU(N) gauge theories
本文提出Noether定理的协变Hamiltonian表示，重新区分容许正则变换与Hamiltonian对称性，并基于无穷小生成函数导出U(1)、U(N)及SU(N)规范理论的Noether流与守恒关系。
Noether's Theorem on Time Scales
我们表明，对于任何变分对称的时间尺度上的变分法的问题存在着一个守恒量沿各自的欧拉-拉格朗日极值。
Noether's Theorem in Multisymplectic Geometry
通过证明多哈密顿系统上的守恒量与连续对称性之间的对应关系，将Noether定理推广到多辛几何中.我们表明，同伦的共同动量映射相互作用，这种对应的方式类似于在辛几何的矩映射。应用我们的结果，我们推广了经典的动量和位置函数的理论，从一个给定的物理系统的相空间到多辛相空间。我们也将我们的结果应用到具有无挠$G_2$结构的流形上。
Noether's Theorem with Momentum and Energy Terms for Cresson's Quantum Variational Problems
对Cresson的量子变分法证明了一个DuBois-Reymond最优性必要条件最优性条件和一个Noether对称性定理.这些结果对于泛函定义在不可微函数集上的变分问题是有效的。作为应用，我们得到了线性薛定谔方程的一个运动常数。
Lie Groupoids in Classical Field Theory I: Noether's Theorem
在本系列的两篇论文中，我们提出了一种新的方法来实现经典场论中的对称性概念，该方法的基础是用李群胚/代数胚代替李群/代数胚，李群胚/代数胚是描述规范变换与时空变换相结合时的局部对称性的适当数学工具。在这里，我们概述了该计划的基础，并作为第一步，显示如何（重新）制定诺特定理的对称性和守恒定律之间的连接，在这种方法。
A Formulation of Noether's Theorem for Fractional Problems of the Calculus of Variations
分数阶（或非整数阶）微分是一个重要的理论和应用概念。分数阶导数变分问题的研究是一个比较新的课题，主要成果是2002年得到的Euler-Lagrange分数阶最优性条件。在这里，我们使用欧拉-拉格朗日分数极值的概念来证明诺特型定理。为此，我们提出了一个推广的经典概念的守恒律，引入一个适当的分数算子。
Noether's theorem in non-local field theories
在具有高阶导数的场论和非局部场论中，我们构造了与连续内部对称性相关的局部守恒矢量流和与庞加莱群相关的能量动量和角动量密度张量的显式表达式。考虑了一类C对称性和CPT对称性破缺的非定域带电标量场方程。对于这种情况下，我们发现简单的解析表达式的守恒电流。
On the wonderfulness of Noether's theorems, 100 years later, and Routh reduction
本文是为了纪念埃米·阿梅莉·诺特的著名文章《不变变分问题》一百周年而写的。它首先旨在通过经典力学的视角，阐述我们认为是关于她的定理的最重要和最优雅的问题。尽管这一领域的局限性，我们试图说明她的工作的关键思想，在一个相当完整的教学方式，我们希望，提出一些原始的方面。对称性的概念自然与简化的想法，最后一部分是专门的相互作用之间的诺特点对称性和减少程序介绍了爱德华约翰劳斯在1877年。
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