A note on equitable colorings of forests
本文给出了一个关于森林是均匀k-可着色的简单证明。
2004-07-14 math.CO
An introduction to equitable DP coloring of graphs
Arizona State University（亚利桑那州立大学）；University of Illinois at Urbana--Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文介绍了一种更一般的公平DP着色概念，扩展了传统公平着色的定义，并研究了这一新参数的性质。
2026-05-18 math.CO
On $r$-Equitable Coloring of Complete Multipartite Graphs
令$r \geqslant 0$和$k \geqslant 1$为整数。我们说一个图$G$有$r$ -公平$k$ -染色，如果存在$G$的一个适当的$k$ -染色，使得任意两个色类的大小相差至多$r$ .使得图$G$具有$r$ -公平$k$ -着色的最小$k$由$χ_{r=} (G)$表示，并且使得图$G$对于所有$k \geqslant n$具有$r$ -公平$k$ -着色的最小$n$由$χ^*_{r=} (G)$表示。本文给出了完全多部图$G$具有$r$ -公平$k$ -染色的一个充要条件，并给出了$χ_{r=} (G)$和$χ^*_{r=} (G)$的精确值.
2013-08-07 math.CO
Equitable Dominator Coloring of Line Graphs of Some Graphs
Department of Mathematics CHRIST (Deemed to be University) Bangalore-560029, India（克里斯特（认定大学）数学系）
研究某些图类的线图的公平支配者着色，通过恰当顶点着色使各顶点支配至少一个颜色类且颜色类基数相差至多1，探讨其公平支配者色数等相关概念。
2026-07-24 math.CO
Sampling Colorings with Fixed Color Class Sizes
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
本文提出了一种多项式时间算法，用于近似均匀随机生成具有固定颜色类大小的公平着色，适用于q>2Δ的情况，并扩展到接近公平着色的证明。
2026-03-09 cs.DS math.CO
Equitable Coloring in 1-Planar Graphs
本文证明最大度不超过$r$的1-平面图在$r\ge13$时均可进行公平$r$-着色，推广了公平着色相关结论。
2023-11-25 math.CO
On List Equitable Total Colorings of the Generalized Theta Graph
2003年，Kostochka、Pelsmajer和West提出了一个类似于公平着色的列表，称为公平可选择性。图$G$的$k$分配$L$将$k$可用颜色的列表$L(v)$分配给每个$v \in V(G)$，并且$G$的公平$L$着色是$G$的适当着色$f$，使得每个$v \in V(G)$和$f$的每个颜色类的$f(v) \in L(v)$具有至多$\lceil |V(G)|/k \rceil$的大小.在2018年，Kaul、Mudrock和Pelsmajer随后引入了列表公平全着色猜想，该猜想指出如果$T$是某个简单图的全图，则$T$对于每个$k \geq \max \{χ_\ell(T), Δ(T)/2 + 2 \}$都是公平$k$ -可选择的，其中$Δ(T)$是$T$中顶点的最大度，$χ_\ell(T)$是$T$的列表色数。本文证明了恒星剖分的列表均匀全染色猜想和广义theta图。
2019-08-02 math.CO
Equitable Colorings of $K\_4$-minor-free Graphs
证明了对任意正整数$Δ$，任意最大度$Δ$的无K4-minor图都允许k个颜色的均匀染色，其中k $\ge$（$Δ$ +3）/2.这个界是紧的，证实了张和胡的一个猜想。我们不使用放电的方法，而是利用分解树的K 4-minor-free图。
2017-03-07 math.CO
Equitable coloring of k-uniform hypergraphs
设$H$是具有$n$顶点的$k$ -一致超图. { \em强$r$ -着色}是将顶点划分为$r$部分，使得$H$的每条边与每个部分相交。如果每个部分的大小是$\lceil n/r \rceil$或$\lfloor n/r \rfloor$，则强$r$着色称为{ \em公平}。证明了对所有的$a \geq 1$，若$H$的最大度满足$Δ(H) \leq k^a$，则$H$与$\frac{k}{a \ln k}(1-o_k(1))$部分均匀着色.特别地，每一个度为$O(k)$的$k$ -均匀超图都有$\frac{k}{\ln k}(1-o_k(1))$部分的均匀染色.结果是渐近紧的。证明使用了Lovász局部引理的非对称版本的双重应用。
2002-02-22 math.CO
Improving Lower Bounds for Equitable Chromatic Number
在许多实际应用中，底层图形必须尽可能均匀地着色。一个图的着色称为均匀着色，如果每种颜色所着色的顶点数相差至多1，并且一个图具有这种着色的最少颜色数称为它的均匀色数。我们引入了一个新的整数线性规划方法来研究图的公平染色数，并展示了如何使用它来提高这个数字的下界。两阶段方法的基础上找到或上界的最大基数的一个公平的颜色类在一个有效的公平着色，然后，依次提高公平着色数的下界。在DIMACS图和文献中的其他图上进行了计算实验。
2021-06-07 math.CO
Tight Bounds on the Complexity of Semi-Equitable Coloring of Cubic and Subcubic Graphs
一个图$G=(V,E)$的$k$ -着色称为半公平的，如果存在一个将其顶点集划分为独立子集$V_1,\ldots,V_k$的划分，使得每个$i,j=2,\ldots,k$的$k$-着色为$|V_1| \notin \{\lceil |V|/k\rceil, \lfloor |V|/k \rfloor\}$和$||V_i|-|V_j|| \leq 1$.颜色类$V_1$被称为不均匀。本文研究了三次或次三次图$G$的顶点的半均匀$k$ -着色（$k\geq 4$）的复杂性.特别地，我们证明了，给定一个$n$ -顶点次立方图$G$和常数$ε> 0$，$k \geq 4$，如果$s \geq n/3+εn$，则获得其非公平色类大小为$s$的$G$的半公平$k$ -着色是NP-完全的，并且如果$s \leq n/3$，则它是多项式可解的。
2017-11-02 math.CO
Equitable coloring of corona products of cubic graphs is harder than ordinary coloring
一个图是公平$k$ -可着色的，如果它的顶点可以被划分成$k$独立的集合，使得任意两个集合中的顶点数相差至多1。存在这种着色的最小$k$被称为$G$的\emph{equitable chromatic number}，并且它被表示为$χ_{=}(G)$。本文研究了三次图的冠的$χ_=$的确定问题。虽然三次图的冠的普通着色问题在多项式时间内是可解的，但对这类图的均匀着色问题则是NP-难的。我们提供了多项式可解的情况下，冠的三次图，并证明了在一般情况下的NP-硬度。作为一个副产品，我们得到了一个简单的线性时间算法的公平着色，使用$χ_=(G)$或$χ_=(G)+1$颜色的图。我们的算法是最好的，除非$P=NP$。因此，三次冠似乎是唯一已知的一类图的公平着色是困难的比普通着色。
2014-09-02 cs.DM math.CO
Equitable Colorings of Corona Multiproducts of Graphs
一个图是公平$k$ -可着色的，如果它的顶点可以被划分成$k$独立的集合，使得任意两个集合中的顶点数相差至多1。存在这种着色的最小$k$被称为$G$的均匀色数，记为$χ_{=}(G)$。我们知道这个问题在一般情况下是NP-难的，对于冠图也是如此。在“Equitable colorings of Cartesian products of graphs”（2012）中，Lin和Chang研究了图的Cartesian products的均匀着色。在本文中，我们考虑了相同的着色模型的情况下，图的冠积。特别地，我们得到了关于$l$ -冠积$G \circ ^l H$的均匀色数的一些结果，其中$G$是均匀3-或4-可着色图，$H$是$r$ -部图、路、圈或完全图.我们的证明是建设性的，因为它们导致多项式算法的公平着色的图形产品提供了一个公平着色的$G$。此外，我们还证实了这类图的晕积的均匀着色猜想。本文推广了\cite{hf}的结果.
2012-10-24 cs.DM math.CO
Equitable colorings of hypergraphs with few edges
研究了均匀超图的均匀染色的一个极值问题.回想一下，超图$H$的一个顶点着色称为真着色，如果在这个着色下没有单色边。一个超图被称为是公平$r$ -可着色的，如果存在一个适当的$r$颜色着色，使得任意两个颜色类的大小相差至多一个。本文证明了：如果边数为$|E(H)|\leq 0.01\left(\frac{n}{\ln n}\right)^{\frac {r-1}{r}}r^{n-1}$，则超图$H$在$r<\sqrt[5]{\ln n}$的条件下是$r$ -可着色的.
2019-09-01 math.CO
The strong equitable vertex 2-arboricity of complete bipartite and tripartite graphs
图$G$的$(q,r)$ \emph{-tree-coloring}是$G$的顶点的$q$ -着色使得由每个颜色类诱导的子图是最大度至多为$r.$的森林图$G$的\emph{equitable $(q, r)$-tree-coloring}是$(q,r)$ -树着色使得任何两个颜色类的大小至多相差1。设\emph{strong equitable vertex $r$-arboricity}是最小$p$，使得$G$对每个$q\geq p.$都有一个公平的$(q, r)$ -树着色。本文给出了每个$va^\equiv_2(K_{m,n})$和$va^\equiv_2(K_{l,m,n}).$的精确值
2015-06-12 math.CO
A DSATUR-based algorithm for the Equitable Coloring Problem
本文描述了一个新的精确算法的均匀着色问题，着色问题的两个任意颜色类的大小相差最多一个单位。在经典着色问题的DSatur算法的基础上，提出并分析了一种新的基于公平约束的剪枝准则。通过对随机和基准实例的计算实验，证明了该算法的良好性能。
2014-05-27 cs.DM math.CO
Block graphs - some general results and their equitable colorings
本文研究块图的一般性质与公平着色问题，建立了结构参数关系，刻画了参数$α_{\min}$的块图，证实了GLS块图子类中公平着色问题的难解性假设，并给出了公平$(n+2)$-算法及无间隙色度谱的证明。
2024-02-07 math.CO
Equitable coloring of Kronecker products of complete multipartite graphs and complete graphs
如果图的色类的大小相差不超过1，则图的正常点着色是公平的。图$G$的均匀色数记为$χ_=(G)$，是使$G$均匀$k$可染的最小$k$.图$G$的公平色阈值，记为$χ_=^*(G)$，是使$G$对$k \ge t$公平$k$可着色的最小$t$.本文给出了$\sum_{i = 1}^r m_i \leq n$的$χ_=(K_{m_1,..., m_r} \times K_n)$和$χ_=^*(K_{m_1,..., m_r} \times K_n)$的精确值。
2012-09-30 math.CO
On the equitable vertex arboricity of complete tripartite graphs
Meyer在1973年提出的均匀着色问题得到了广泛的关注和研究。最近，Wu等人引入了公平（t，k）-树染色的概念，它可以被看作是真公平t-染色的推广。2013年研究了完全二部均分图的强公平点k荫度。本文研究了完全均分三部图的强均匀点3荫度的精确值。
2015-06-11 math.CO
Embedding equitable (s,p)-edge-colorings of $K_n$
本文研究完全图公平$(s,p)$-边着色的嵌入问题，给出了将$K_{n_1}$的公平$(s_1,p_1)$-边着色嵌入$K_{n_2}$的公平$(s_2,p_2)$-边着色的充要条件。
2026-10-07 math.CO
Proportional Choosability: A New List Analogue of Equitable Coloring
在2003年，Kostochka、Pelsmajer和West引入了一个类似于公平着色的列表，称为公平可选择性。在本文中，我们激发和定义了一个新的列表模拟的公平着色称为比例可选性。用于图$G$的$k$分配$L$为$G$的每个顶点$v$指定$k$可用颜色的列表$L(v)$。$L$着色从其列表$L(v)$中为每个顶点$v$分配颜色。对于每个颜色$c$，令$η(c)$为顶点$v$的数量，其列表$L(v)$包含$c$。$G$的比例$L$ -着色是一种适当的$L$ -着色，其中每种颜色$c \in \bigcup_{v \in V(G)} L(v)$被使用$\lfloor η(c)/k \rfloor$或$\lceil η(c)/k \rceil$次.一个图$G$是按比例$k$ -可选的，如果当$L$是$G$的一个$k$ -赋值时，$G$的按比例$L$ -着色存在.我们表明，如果一个图$G$是按比例$k$ -可选的，那么每个子图的$G$也按比例$k$ -可选的，也$G$是按比例$(k+1)$ -可选的，不像公平的可选性，类似的索赔将是假的。我们还证明了任何图$G$是按比例$k$ -可选的，只要$k \geq Δ(G) + \lceil |V(G)|/2 \rceil$，我们使用匹配理论完全刻画成比例的选择性的明星和不相交的并团。
2018-06-18 math.CO
Equitable list coloring of sparse graphs
Arizona State University（亚利桑那州立大学）；University of Illinois Urbana–Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
研究证明稀疏图在特定条件下的公平3-和4-可选性，引入强公平列表着色概念并给出上界。
2025-12-27 math.CO
Equitable coloring of graphs beyond planarity
针对IC-平面图和NIC-平面图的均匀Δ-着色问题，本文将Zhang证明的IC-平面图阈值从Δ≥12降至Δ≥10、NIC-平面图阈值从Δ≥13降至Δ≥11，优化了两类图均匀着色的最大度条件。
2025-04-17 math.CO
Equitable tree-$O(d)$-coloring of $d$-degenerate graphs
图的均匀树- $k$ -着色是指图的$k$颜色上的顶点着色，使得每个颜色类都包含一个森林，并且任意两个颜色类的大小最多相差1。这种着色最早于2013年提出，可以用于在考虑安全性的情况下将通信网络的结构分解问题公式化。在2015年，Esperet，Lemoine和Maffray证明了每个$d$ -退化图允许每个$k\geq 3^{d-1}$的公平树- $k$ -染色。受此结果的启发，我们试图将它们的指数界降低到线性界。精确地说，我们证明了每个$d$ -退化图$G$对每个$k\geq αd$都有一个公平树- $k$ -着色，只要$|G|\geq βΔ(G)$，其中$(α,β)\in \{(8,56), (9,26), (10,18), (11,15), (12,13), (13,12), (14,11), (15,10), (17,9), (20,8), (27,7), (52,6)\}$ .
2019-08-14 cs.DM math.CO
Equitable Colorings of Planar Graphs without Short Cycles
图的\emph{equitable coloring}是图的一个正常顶点染色，使得每两个色类的大小相差至多1。Chen，Lih，and Wu证明了每个连通图$G$具有最大度$Δ\geq 2$都具有与$Δ$颜色相等的着色，除非$G$是完全图或奇圈或$Δ$是奇的，并且$G=K_{Δ,Δ}.$ Nakprasit证明了该猜想对最大度至少为9的可平面图成立。Zhu和Bu证明了对于每个最大度至少为8的无$C_3$的平面图和对于每个最大度至少为7的无$C_4$和$C_5$的平面图，该猜想成立.本文证明了该猜想对各种情况下的可平面图都成立，特别是对最大度至少为6的无$C_3$的平面图和最大度至少为7的无$C_4$的平面图都成立，改进或推广了朱和卜关于均匀着色的结果.此外，我们还证明了对于围长至少为6且最大度至少为5的平面图，该猜想成立。
2012-03-02 math.CO
Equitable total coloring of corona of cubic graphs
图$G=(V,E)$的$V \cup E$的全部独立划分集的最小数目称为$G$的\emph{total chromatic number}，记为$χ''(G)$。如果任意两个完全独立集的基数之差至多为1，则$V \cup E$的最小完全独立划分集的个数称为\emph{equitable total chromatic number}，记为$χ''_=(G)$。本文研究了三次图的晕的均匀全染色问题，即$G \circ H$ .结果表明，不依赖于因子$G$和$H$的合理全色数，日冕$G \circ H$的合理全色数等于$Δ(G \circ H) +1$ .从而证实了Behzad在1964年提出的关于三次图的晕的全染色猜想（TCC）和Wang在2002年提出的关于三次图的晕的均匀全染色猜想（ETCC）。作为一个直接结果，我们得到所有三次图的冠都是1型的。
2018-11-04 cs.DM math.CO
Enumeratively Chromatic-Choosable Theta Graphs
Alabama School of Math and Science（阿拉巴马数学与科学学校）；University of South Alabama（南阿拉巴马大学）
本文研究了可数染色-可选θ图的特性，通过DP着色理论方法，揭示了θ图在列表着色中的结构性质。
2026-06-27 math.CO
Equitable Colorings of Borel Graphs
Hajnal和Szemerédi证明了，如果$G$是一个有限图，其最大度为$Δ$，则对每一个整数$k \geqslant Δ+1$，$G$都有一个含有$k$颜色的正常染色，其中每两个颜色类的大小最多相差$1$ ;这样的染色称为均匀染色。我们得到一个类似的结果无限图中的Borel设置。具体地说，我们证明了，如果$G$是一个有限的最大程度$Δ$的非周期Borel图，那么对于每个$k \geqslant Δ+ 1$，$G$有一个Borel正确的$k$ -染色，其中每两个颜色类是由$G$的Borel全半群的元素。特别地，这样的着色对于每个$G$不变概率测度是公平的。我们还建立了一个可测量的版本的结果Kostochka和Nakprasit公平的$Δ$ -着色的小平均度的图。也就是说，如果$Δ\geqslant 3$，$G$在$Δ+ 1$顶点上不含团，且$μ$是无原子$G$ -不变概率测度，使得$G$关于$μ$的平均度至多为$Δ/5$，则$G$有$μ$ -公平$Δ$ -着色.作为对这一结果的证明步骤，我们建立可测和列表着色扩展的加强布鲁克斯定理由于Kostochka和Nakprasit。
2021-10-01 math.CO math.LO
Total Equitable List Coloring
图的均匀着色是指图的正常着色，使得图的色类的大小相差至多1。一个图$G$是$k$ -可均匀着色的，如果存在一个$G$的均匀着色，它使用$k$颜色，每个颜色出现在$G$的$\lfloor |V(G)|/k \rfloor$或$\lceil |V(G)|/k \rceil$顶点上. 1994年，Fu证明了对任何简单图$G$，只要有$k \geq \max\{χ(T(G)), Δ(G)+2\}$，$G$的全图$T(G)$是$k$ -可着色的，其中$χ(T(G))$是$G$的全图的色数，$Δ(G)$是$G$的最大度.我们研究列表着色模拟。列表着色要求从指定的颜色列表$L(v)$对每个顶点$v$着色。一个图是$k$ -可选的，如果它有一个适当的列表着色，只要顶点有大小为$k$的列表.一个图是公平$k$ -可选的，如果它有一个适当的列表着色，只要顶点有大小为$k$的列表，其中每种颜色最多用于$\lceil |V(G)|/k \rceil$顶点.在Fu猜想的基础上，我们猜想：对于任何简单图$G$，只要$k \geq \max\{χ_l(T(G)), Δ(G)+2\}$，$T(G)$是$k$ -可公平选择的，其中$χ_l(T(G))$是$T(G)$的列表色数.我们证明了这一猜想的所有图满足$Δ(G) \leq 2$，同时也研究了相关的问题的公平选择的权力的道路和循环。
2018-03-20 math.CO
On the Equitable Vertex Arboricity of Graphs
Meyer在1973年提出的均匀着色问题得到了广泛的关注和研究。最近，吴，张和李提出了均匀$(t,k)$ -树染色的概念，它可以看作是适当均匀$(t,k)$-染色的推广。$G$的\emph{strong equitable vertex $k$-arboricity}，用${va_k}^\equiv(G)$表示，是最小整数$t$，使得$G$对于每个$t'\geq t$都具有公平的$(t', k)$树着色。吴、张和李研究了完全均分二部图$K_{n,n}$的强均匀点$k$荫度的精确值。本文首先得到了完全二部图$K_{n,n+\ell} \ (1\leq \ell\leq n)$的强公平点荫度的一个精确上界，即${va_2}^\equiv(K_{n,n+\ell})\leq2\left\lfloor{\frac{n+\ell+1}{3}}\right\rfloor$。其次，我们得到了完全均分三部图的均匀$(q,\infty)$ -树着色的一个充要条件，并研究了森林的强均匀点荫度。对于阶为$n$的简单图$G$，我们证明了$1\leq {va_k}^\equiv(G)\leq \lceil n/2 \rceil$ .此外，还刻画了具有${va_k}^\equiv(G)=1,\lceil\frac{n}{2}\rceil,\lceil\frac{n}{2}\rceil-1$的图.最后，我们得到…
2016-02-15 math.CO
From semi-total to equitable total colorings, and their induced partitions into perfect and total perfect codes
University of Puerto Rico（波多黎各大学）
研究通过改进的Kempe算法获取对称立方图和笼图的公平总着色，探讨总着色猜想的可行性。
2026-11-01 math.CO
Equitable coloring of sparse planar graphs
如果图$G$的色类大小相差不超过1，则称图的正确点着色是公平的。$G$的公平色度阈值$χ_{eq}^*(G)$是最小整数$m$，使得$G$对于所有$n\ge m$都是公平地$n$可着色的。证明了对于最小度至少为2的可平面图$G$，如果$G$的围长至少为$10$，则为$χ_{eq}^*(G)\le 4$;如果$G$的围长至少为$14$，则为$χ_{eq}^*(G)\le 3$.
2016-11-18 math.CO
Order 14 is the largest order for which every 4-total coloring of every cubic graph is equitable
Universidade Federal do Rio de Janeiro（里约热内卢联邦大学）；Universidade do Estado do Rio de Janeiro（里约热内卢州立大学）
本文否定Stemock关于阶数小于20的立方图的4-全着色均为均匀着色的猜想，证明14是满足该性质的最大阶数，给出相关分解引理并构造反例。
2026-09-07 cs.DM math.CO
Graph theoretic and algorithmic aspect of the equitable coloring problem in block graphs
本文研究块图中的均衡着色问题，通过建立关联各参数的图论结果，探讨了该问题的固定参数可处理性等算法影响。
2022-11-04 cs.DM math.CO
Equitable Coloring of Graphs with Intermediate Maximum Degree
如果图$G$的顶点都用$k$颜色着色，使得没有邻顶点接收相同的颜色，并且任何两个颜色类的大小相差至多一个，则称$G$是公平$k$可着色的。令$|G|$表示$G$的顶点数，$Δ=Δ(G)$表示$G$中顶点的最大度。证明了阶数至少为6的图$G$是公平$Δ$ -可着色的，如果$G$满足$(|G|+1)/3 \leq Δ< |G|/2$且它的任何分支都不是$K_{Δ+1}$ .
2014-08-26 math.CO
Equitable vertex arboricity conjecture holds for graphs with low degeneracy
公平树着色可以将通信网络上的结构分解问题公式化，同时考虑到安全性。图的均匀树- $k$ -着色是指图的顶点使用$k$不同的颜色着色，使得每个颜色类都诱导出一个森林，并且任意两个颜色类的大小相差至多1.本文证明了图的公平树着色的一些理论结果，证明了对于任意整数$k\geq (Δ+1)/2$，最大度至多为$Δ$的$d$ -退化图都是公平树- $k$ -可着色的，只要$Δ\geq 9.818d$满足，从而证实了低退化度图的公平点荫度猜想.
2021-04-12 cs.DM math.CO
Equitable coloring of planar graphs with maximum degree at least eight
本文证明了Chen-Lih-Wu猜想对最大度至少为8的平面图及最大度至少为9的可嵌入非负欧拉示性数曲面的图成立，扩展了已知结果。
2023-11-10 math.CO
Equitable list coloring of planar graphs with given maximum degree
本文证明了对任意 $r\geq 9$，最大度至多为 $r$ 的平面图（及更广泛的图类 ${\mathcal{B}}$）是均匀 $r$-可选的，从而验证了 KPW 猜想对这些图成立。
2023-09-07 math.CO
Complexity of tree-coloring interval graphs equitably
图的均匀树- $k$ -染色是指图的顶点$k$ -染色使得每个色类诱导一个森林，且任意两个色类的大小相差至多1.本文证明了区间图$G$对任意整数$k\geq \lceil(Δ(G)+1)/2\rceil$都有一棵公平树$k$ -染色，解决了Wu，Zhang和Li（2013）关于区间图的一个猜想，并给出了一个线性时间算法来判定一个区间图对给定整数$k$是否有一棵公平树$k$ -染色.对于分裂图的不交并图，或具有$r\geq 4$的无$K_{1,r}$区间图，证明了当分别以颜色数、树宽、颜色数和最大度为参数时，是否存在公平树- $k$ -着色是$W[1]$ -难判定的.
2020-03-09 cs.DM math.CO
A Note on the Equitable Choosability of Complete Bipartite Graphs
2003年，Kostochka、Pelsmajer和West提出了一个类似于公平着色的列表，称为公平可选择性。图$G$的$k$分配$L$将$k$可用颜色的列表$L(v)$分配给每个$v \in V(G)$，并且$G$的公平$L$着色是$G$的适当着色$f$，使得每个$v \in V(G)$和$f$的每个颜色类的$f(v) \in L(v)$具有至多$\lceil |V(G)|/k \rceil$的大小.图$G$被称为是公平$k$ -可选择的，如果当$L$是$G$的$k$ -赋值时，存在$G$的公平$L$ -着色.本文研究完全二部图的公平可选性。Kostochka、Pelsmajer和West的结果表明，如果$k \geq \max \{n,m\}$提供了$K_{n,m} \neq K_{2l+1, 2l+1}$，则$K_{n,m}$是公平的$k$可选择的。我们证明了$K_{n,m}$是公平$k$ -可选择的，如果给出$K_{n,m}$的$m \leq \left\lceil (m+n)/k \right \rceil(k-n)$对于满足$k < \max \{n,m\}$的某些$k$是公平$k$ -可选择的.我们还给出了完全二部图的公平可选择性的一个完整的特征，有一个部集的大小至多为2。
2019-01-10 math.CO
The strong equitable vertex 1-arboricity of complete bipartite graphs and balanced complete k-partite graphs
图$G$的\emph{equitable $(q, r)$-tree-coloring}是$G$的$q$ -着色，使得由每个颜色类导出的子图是最大度至多为$r$的森林，并且任意两个颜色类的大小相差至多为$1.$。设图$G,$的\emph{strong equitable vertex $r$-arboricity}用$va^\equiv_r (G)$表示，是最小$p$，使得$G$具有公平的$(q, r)$树，Tao和Lin以及Wu，Zhang和Li研究了$q\geq p.$的值，其中在某些特殊情况下发现了$va^\equiv_1 (K_{n,n})$的精确值。在本文中，我们推广了他们的结果，给出了所有情况下的$va^\equiv_1 (K_{n,n})$的精确值。在这个过程中，我们引入了一个与均匀着色有关的新函数，并通过确定每个$va^\equiv_1 (K_{m,n})$和$va^\equiv_1 (G)$的精确值得到了一个更一般的结果，其中$G$是一个平衡的完全$k$ -部图$K_{n,\ldots,n}.$
2023-02-22 math.CO
An improved bound on the chromatic number of the Pancake graphs
本文给出了Pancake图$P_n, n\geqslant 2$的色数的一个改进的界。利用Pancake图的色数的次可加性性质得到了该界。我们还研究了$P_n$的均匀着色问题.给出了一个基于有效控制集的均匀$(n-1)$ -染色，并研究了小$n$的最优均匀$4$ -染色.证明了$P_n$的色数与它对任何$n\geqslant 2$的均匀色数是一致的.
2021-03-20 math.CO
A Simple Characterization of Proportionally 2-choosable Graphs
我们最近介绍了比例可选性，一个新的列表模拟公平着色。像是一种颜色，不像是一种颜色。公平的可选择性），比例的可选择性从上到下都限制了颜色类的大小。本文证明了一个图是比例2-可选的当且仅当它是一个线性森林，使得它的最大分支至多有5个顶点，并且它的所有其他分支都有两个或更少的顶点。我们还构造的例子表明，公平的2-可选图的特征仍然是开放的。
2018-06-29 math.CO
Equitable Coloring and Equitable Choosability of Planar Graphs without chordal 4- and 6-Cycles
本文证明无弦4-圈和6-圈的平面图在$k\geq\max\{\Delta(G),7\}$时是公平$k$-可着色且公平$k$-可选择的。
2019-11-01 math.CO
Counting equitable $k$-colorings in graphs of bounded clique-width
IT University of Copenhagen（哥本哈根信息技术大学）
研究有界团宽图中公平 $k$ 着色的计数问题，给出多项式时间算法并证明团宽依赖最优，同时改进线性团宽算法，并证明 $P_t$-free 图中公平列表 $3$ 着色可次指数时间计数。
2026-06-26 cs.DM math.CO
Perfect colorings of $Z^2$: Nine colors
我们列出了$Z^2$的所有完美着色，9种或更少的颜色。关键词：完美着色，公平分割
2008-12-30 math.CO
Equitable coloring of large bipartite graphs
IT University of Copenhagen（哥本哈根信息技术大学）
研究二部图均衡色数的上界，证明当最大度足够大且顶点数至少为41/2倍最大度时，均衡色数不超过⌈Δ/2⌉+1，并给出O(|V|^2)时间算法。
2026-06-29 cs.DM math.CO
Wild number for spanning trees in complete and complete bipartite graphs
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Villanova University（维拉诺瓦大学）；San Diego State University（圣地亚哥州立大学）；Lake Forest College（湖森林学院）
该文研究完全图与完全二部图的野生数，确定均衡2-着色、最小真着色下的野生数范围与精确值，推导结构条件并分析贪心算法，还将结果应用于图笛卡尔积以得到相关下界。
2026-10-16 math.CO
On Equitable List Arboricity of Graphs
Zhang在2016年引入的公平列表荫度，通过要求每个颜色类诱导的子图是非循环的（而不是无边的），以及每个颜色类大小的通常上界来推广公平列表着色的概念。如果对于与$G$中的每个顶点关联的$k$可用颜色列表的$G$的每个列表分配，存在$G$的公平的可分支列表着色，则图$G$是公平的$k$ -列表可分支。Zhang证明了对于满足$k \geq \lceil (1+Δ(G))/2 \rceil$的每个$k$，任何图$G$都是$k$ -列表可分的.我们验证了这个猜想的权力的循环应用一个新的引理，这是一个通用的工具，扩展部分公平，树列表着色。对于某些连通图，我们还提出了张氏猜想的一个更强的版本：对于满足$k \geq \lceil Δ(G)/2 \rceil$的每个$k$，只要$G$既不是圈，也不是奇阶的完全图，任何连通图$G$都是公平的$k$ -列表可分支的.我们验证了这个强版本的张猜想的权力的道路，2-退化图，和某些其他的图形。我们还表明，如果$G$是公平的$k$ -列表arborable，它不一定遵循$G$是公平的$(k+1)$ -列表arborable，这解决了Drgas-Burchardt，Furmanczyk和Sidorowicz（2018）的问题。
2021-06-02 math.CO
Cones of Theta Graphs are Enumeratively Chromatic-Choosable
School of Computing, University of South Alabama（南阿拉巴马大学计算机学院）；McGill-Toolen Catholic High School（麦吉尔-图伦天主教高中）；Department of Mathematics and Statistics, University of South Alabama（南阿拉巴马大学数学与统计系）；Department of Applied Mathematics, Illinois Institute of Technology（伊利诺伊理工学院应用数学系）；Alabama School of Math and Science（阿拉巴马数学与科学学校）；Department of Biomedical Sciences, University of South Alabama（南阿拉巴马大学生物医学科学系）
本文证明当G为θ图时，K₁∨G是枚举色可选的，其证明结合经典不等式、多项式方法与DP着色思想，回应了枚举色可选性的类似Ohba结论的猜想。
2026-10-14 math.CO
A step toward Chen-Lih-Wu conjecture
本文证明当k≥cn时Chen-Lih-Wu猜想及Kierstead-Kostochka的Ore型加强猜想成立，并给出判定公平k-染色的多项式时间算法。
2025-11-06 math.CO
On completely regular codes of covering radius 1 in the halved hypercubes
我们考虑的覆盖半径1完全正规码，或等价地，公平的2分区（定期2分区，完美的2着色），一半的n-立方体的建设。关键词：完全正则码，公平划分，正则划分，划分设计，完美着色，半超立方体。
2018-12-07 cs.DM math.CO
A square-root law for equitable coloring
Mutah University（穆塔赫大学）
本文证明图的均衡色数在顶点数足够大时由色数控制，仅通过 $\sqrt{\Delta/\ln\Delta}$ 依赖于最大度，并给出构造性上下界，确定增长阶为 $\Theta(\sqrt{\Delta/\ln\Delta})$。
2026-09-23 math.CO
Equitable vertex arboricity of graphs
图$G$的均匀$(t,k,d)$ -树着色是对图$G$的顶点的着色，使得任意两个颜色类的大小相差至多1，并且每个颜色类所诱导的子图是最大度至多为$k$且直径至多为$d$的森林。使$G$对每个$t'\geq t$都有一个公平$(t',k,d)$ -树着色的最小$t$称为强公平$(k,d)$ -顶点荫度，记为$va^{\equiv}_{k,d}(G)$ .在本文中，我们给出了尖锐的上界$va^{\equiv}_{1,1}(K_{n,n})$和$va^{\equiv}_{k,\infty}(K_{n,n})$通过显示$va^{\equiv}_{1,1}(K_{n,n})=O(n)$和$va^{\equiv}_{k,\infty}(K_{n,n})=O(n^{\1/2})$的每一个$k\geq 2$。证明了对围长至少为5的平面图$G$，有$va^{\equiv}_{\infty,\infty}(G)\leq 3$;对围长至少为6的平面图$G$，有$va^{\equiv}_{\infty,\infty}(G)\leq 2$;我们猜想对每个平面图都有$va^{\equiv}_{\infty,\infty}(G)=O(1)$，对每个图$G$都有$va^{\equiv}_{\infty,\infty}(G)\leq \lceil\frac{Δ(G)+1}{2}\rceil$.
2012-11-18 cs.DM math.CO
