Sums of algebraic dilates
针对代数数$λ_1,\ldots,λ_k$，证明复数域有限子集$A$的膨胀和$|A+λ_1A+\dots+λ_kA|$满足含最优常数$H$的下界，结合测度估计、Freiman定理变体及格密度分析，还给出两线性变换和的渐近最优下界。
2025-08-26 math.CO math.NT
Sums of dilates in $\mathbb{Z}_p$
我们考虑素数阶群的扩张和问题。我们表明，由于$A\subset \Z{p}$足够小的密度，然后$$\big| λ_{1}A+λ_{2}A+...+ λ_{k}A \big| \,\ge\,\bigg(\sum_{i}|λ_{i}|\bigg)|A|- o(|A|),$$，而另一方面，对于任何$ε>0$，我们构建子集的密度$1/2-ε$，使$|A+λA|\leq (1-δ)p$，表明有一个非常不同的行为子集的大密度。
2012-03-14 math.CO
Sums of transcendental dilates
本文证明了存在绝对常数 $c>0$，使得对实数任意有限子集 $A$ 和任意超越数 $λ$，其和集下界成立，且该结果在常数范围内是最佳的。
2023-04-09 math.CO
Sums, Differences and Dilates
本文研究和集、差集与膨胀集的基数关系，构造接近指数 2 的下界，并推广 Ruzsa 方法得到差集近平方而和集指数低于 1.7354 的集合。
2024-09-07 math.CO
Fourier transforms of polytopes, solid angle sums, and discrete volume
给定一个实封闭的多胞形$P$，首先利用Stokes定理的迭代方法描述其指示函数的傅里叶变换.然后，我们使用随后的傅里叶变换公式，连同泊松求和公式，给出一个新的算法来计算分数加权格点内的所有真正的$P$的膨胀的单参数家庭。$P$的面偏序集的组合学在描述$P$的傅里叶变换中起着核心作用。我们还获得了一个封闭的形式的余维-1系数，出现在一个扩展的这个总和的权力的真正的膨胀参数$t$。这种封闭形式推广了关于Macdonald立体角多项式的一些已知结果，Macdonald立体角多项式是传统上通过要求$t$仅假设整数值而获得的类似表达式。虽然大多数目前的方法适用于所有真正的多面体，一个特别好的应用程序是研究所有真正的扩张的整数（和理性）多面体。
2018-08-01 math.CO math.MG
Upper Bounds on the Cardinality of Higher Sumsets
设A和B是交换群中的有限集合。所束缚|A+hB|就|A|而言，|A+B|和h.我们提供了一个次乘法的上界，通过插入一个随h减小的因子来改进Imre Ruzsa的现有界。
2012-12-29 math.CO math.NT
The upper logarithmic density of monochromatic subset sums
我们表明，在任何两个着色的正整数有一种颜色，可以表示为不同的元素与这种颜色的总和的正整数的集合具有上对数密度至少$(2+\sqrt{3})/4$，这是最好的可能。这回答了一个40年前的Erdos问题。
2022-09-22 math.CO math.NT
Refinements of Gál's theorem and applications
我们给出了Gál的一个著名定理以及Aistleitner，Berkes和Seip [1]关于GCD和的大小的最近相关结果的一个简单证明.事实上，我们的方法获得了Gál定理中的渐近尖锐常数，这是新的。我们的方法也给出了一个透明的解释之间的关系的最大尺寸的黎曼ζ函数的垂直线和边界上的GCD总和，这一点是以前不清楚。进一步得到了GCD矩阵谱范数的精确界，解决了[2]中提出的一个问题。我们使用的谱范数的界限表明，一系列的有界变化的周期函数的膨胀形成的收敛几乎处处不在，如果该系列的系数是在$L^2 (\log\log 1/L)^γ$，与$γ> 2$。这是之前已知的$γ>4$，并且已知$γ<2$失败。本文还对有界变差函数建立了一个尖锐的Carleson-Hunt型定理，解决了文[1]中提出的另一个问题。最后，我们改进了文献[1]，得到了有界变差的周期函数伸缩部分和的几乎处处界。这意味着$\{n_k x\}$与$n_k$的任意增长的整数序列的差异几乎肯定的界限。
2014-08-11 math.CA math.CO math.NT
Product of simplices and sets of positive upper density in $\mathbb{R}^d$
我们建立了正上Banach密度的$\mathbb{R}^d$的任何子集必然包含$d\geq4$提供的任何固定的二维矩形的所有足够大的膨胀的等距副本。我们进一步提出了一个扩展的配置，是两个非退化单纯形的产品，具体地说，我们表明，如果$Δ_{k_1}$和$Δ_{k_2}$是两个固定的非退化单纯形的$k_1+1$和$k_2+1$点分别，那么任何子集的$\mathbb{R}^d$的正上Banach密度与$d\geq k_1+k_2+6$必然包含等距副本的所有足够大的膨胀的$Δ_{k_1}\timesΔ_{k_2}$。一个新的直接证明的事实，即任何子集的$\mathbb{R}^d$的正上Banach密度必然包含等距副本的所有足够大的膨胀的任何固定的非退化单形的$k+1$点提供$d\geq k+1$，一个结果，最初由于布尔甘，也提出。
2017-01-22 math.CA math.CO
Weighted lattice point sums in lattice polytopes, unifying Dehn--Sommerville and Ehrhart--Macdonald
设$V$是一个维数为$n$的实向量空间，$M\subset V$是一个格。令$P\subset V$是具有$M$中的顶点的$n$维多面体，并且令$φ\colon V\rightarrow \CC $是次数$d$的齐次多项式函数（即，$\Sym^{d} (V^{*})$的元素）。对于$q\in \ZZ_{>0}$和$P$的任何面$F$，令$D_{φ,F} (q)$为扩张$qF$中的晶格点上的$φ$的和。我们定义了一个生成函数$G_φ(q,y) \in \QQ [q] [y]$包装在一起的各种$D_{φ,F} (q)$，并表明，它满足一个功能方程，同时推广Ehrhart-Macdonald互惠和Dehn-Sommerville关系。当$P$是简单的晶格多面体（即，每个顶点满足$n$边缘），我们展示了如何使用Brion-Vergne的Euler-Maclaurin求和公式的模拟来计算$G_φ$。
2019-12-28 math.CO math.NT
On some double sums with multiplicative characters
本文得到了具有小加法加倍的集合上具有乘法特征的二元和的一个新的上界。
2017-12-26 math.CO math.NT
On exponential sums over multiplicative subgroups of medium size
本文得到了F^* p的乘法子群G上指数和的一些新的上界，其中c_1，c_2是接近于1/2的绝对常数，G的大小在[p^{c_1}，p^{c_2}]范围内.作为一个应用，我们证明了在对称情形下，G总是一个5阶加法基，由|G| > p^{1/2} log^{1/3} p提供，并且该方法允许我们给出Heilbronn的指数和的一个新的上界.
2013-11-22 math.CO math.NT
Gauss sums and the maximum cliques in generalized Paley graphs of square order
设$GP(q,d)$是定义在有限域$\mathbb{F}_q$上的$d$ -Paley图.众所周知，提高$GP(q,d)$的团数的平凡上界$\sqrt{q}$是非常困难的。本文研究了有限域上的高斯和与其对应的广义Paley图的最大团之间的关系。我们证明了$GP(q,d)$的团数的平凡上界是紧的当且仅当$d \mid (\sqrt{q}+1)$，从而加强了Broere-Döman-Ridley和Schneider-Silva的相关结果.我们还得到了关于半本原高斯和的Stickelberger定理的一个新的简单证明。
2021-06-13 math.CO math.NT
Curious Bounds for Floor Function Sums
Jacobsthal、Carlitz、Grimson和Tverberg研究了地板函数的和。最近，Onphaeng和Pongsriiam证明了一些尖锐的上限和下界的总和Jacobsthal和Tverberg。在本文中，我们设计简洁的公式的总和，然后用它来证明的上界和下界，声称由Tverberg。此外，我们还给出了这些和的几何上下界和上界。
2018-02-14 math.CO
On popular sums and differences of sets with small products
给出了实数子集$A$的小积$AA$，得到了$A$的加性能量的一个新的上界.该证明利用了$A$的特征函数的卷积的水平集与$A$的乘积较小的自然观察。
2019-11-27 math.CO math.NT
Near-optimal density theorems for large dilates of large point configurations
University of Zagreb（萨格勒布大学）
研究迫使可测集包含所有足够大相似拷贝的密度阈值，证明下界为1-O((log n)/n)，匹配已知上界，解决Falconer等人提出的问题，同时研究嵌入到ℓ^p空间中的情况，得到渐近精确的上界。
2026-04-20 math.CA math.CO math.NT
Refined upper bounds for the linear Diophantine problem of Frobenius
我们研究Frobenius问题：给定互素正整数a_1，.，a_d，找到t的最大值（Frobenius数g（a_1，...，a_d）），使得m_1a_1 +. m_d a_d = t在非负整数m_1，.，m_d。我们介绍了一种方法来计算g（a_1，a_2，a_3）的上界，它的增长速度似乎比以前已知的界慢得多.我们的计算是基于一个公式的限制分拆函数，其中涉及Dedekind-Rademacher总和，和这些总和的互易定律。
2005-01-02 math.CO math.NT
Lattice-point generating functions for free sums of convex sets
令$\J$和$\K$是$\R^{n}$中的凸集，其仿射跨度相交于$\J \cap \K$中的单个有理点，并令$\J \oplus \K = \conv(\J \cup \K)$。给出了生成函数{equation*} σ_{ \cone（\J \oplus \K）}（z_1，...，z_n，z_{n+1}）= \sum_{(m_1,..., m_n) \in t(\J \oplus \K) \cap \Z^{n}} z_1^{m_1}. z_n^{m_n} z_{n+1} ^{t} {方程 *}，在$\J$和$\K$上的各种条件下，根据$σ_{\cone \J}$和$σ_{\cone \K}$，在$\J \oplus \K$的所有整数膨胀中的格点。本文的工作是由B的一个乘积公式激发的（并恢复了它）。Braun的Ehrhart系列的$¶\oplus \Q$的情况下，$¶$和$\Q$是晶格多面体包含的起源，其中之一是自反的。特别是，我们找到了Braun公式及其多元类似物的充分必要条件。
2013-03-08 math.CO
Variations on the Erdős distinct-sums problem
设$\{a_1, . . . , a_n\}$是一组正整数，其中$a_1 < \dots < a_n$使得所有$2^n$子集和是不同的。一个著名的猜想由Erdens指出，$a_n>c\cdot 2^n$为一些常数$c$，而最好的结果是已知的日期是形式$a_n>c\cdot 2^n/\sqrt{n}$。在本文中，我们削弱的条件，要求只有对应的子集的大小小于或等于$λn$是不同的。对于这种情况下，我们推导出最小可能值的$a_n$的上下界。
2022-10-28 math.CO math.NT
Difference sets and positive exponential sums II: cubic residues in cyclic groups
本文通过构造非负指数和，给出了循环群中差集避免三次剩余的集合基数的上界。
2025-04-22 math.CO math.NT
Optimal Bounds on the Growth of Iterated Sumsets in Abelian Semigroups
本文为阿贝尔半群有限子集的迭代和集增长给出最优上界，证明源自Macaulay定理的界可达，构造基于多项式代数中的单项式理想及其通过Gröbner基的形变。
2023-10-16 math.AC math.CO math.NT
Relative Stanley-Reisner theory and Upper Bound Theorems for Minkowski sums
在本文中，我们解决了长期存在的问题，关于组合复杂性的Minkowski和多面体：我们给出了一个紧上界的面数的Minkowski和，包括平等的情况下的特征。我们同样给出了Minkowski和的混合面的一个（紧）上界定理。这有着广泛的应用，推广了经典的McMullen和Stanley的上界定理.我们的主要工具是相对斯坦利-赖斯纳理论，它是由霍赫斯特、赖斯纳和斯坦利开创的单纯复形代数理论的有力概括。我们的理论的一个关键特点是能够容纳拓扑以及组合的限制。我们通过提供几个单纯等周不等式和逆等周不等式来说明这一点。
2021-01-16 math.AC math.CO math.MG
Colorful simplicial depth, Minkowski sums, and generalized Gale transforms
欧氏d-空间中d+1个有限点集的集合的色单形深度是从每个点集中选择一个点使得原点包含在它们的凸包中的次数。我们使用组合拓扑学的方法证明了彩色单纯形深度的一个紧上界。这暗示了Deza et al.（2006）的一个猜想。此外，我们引入彩色盖尔变换之间的桥梁彩色配置和Minkowski和。我们的丰富多彩的上界，然后产生一个严格的上界的数量完全混合方面的某些闵可夫斯基和的单形。这解决了Burton（2003）在法向曲面理论中的一个猜想。
2016-07-01 math.CO math.MG
Ramanujan graphs and exponential sums over function fields
证明了$q+1$ -正则Morgenstern Ramanujan图$X^{q,g}$（依赖于$g\in\mathbb{F}_q[t]$）的直径至多为$\left(\frac{4}{3}+\varepsilon\right)\log_{q}|X^{q,g}|+O_{\varepsilon}(1)$（至少对于奇数$q$和不可约$g$），条件是$\mathbb{F}_q(t)$上的扭曲Linnik-Selberg猜想成立.这将打破30年前的$2\log_{q}|X^{q,g}|+O(1)$的上界，这是Lubotzky、Phillips和Sarnak使用模形式的傅里叶系数的Ramanujan界证明的正则Ramanujan图直径的一个著名上界的结果。我们还无条件地构造了Ramanujan图的无限族，证明了$\frac{4}{3}$不能被改进。
2020-04-25 math.AG math.CO math.NT
Boxes, extended boxes, and sets of positive upper density in the Euclidean space
我们证明了在足够大的维度上具有正的上Banach密度的集合包含三个特定的高维模式的所有足够大的扩张的全等副本。这些模式是：固定的$n$维矩形框的$2^n$顶点，相同的顶点用完成三项等差数列的$n$点扩展，并且相同的顶点用完成三点角的$n$点扩展。我们的结果提供了共同的推广几个欧几里德密度定理从文献中。
2020-08-27 math.CA math.CO
Sharp Bounds for Sums Associated to Graphs of Matrices
我们提供了一个简单的算法来寻找最佳上界的产品的形式S_pi（N）：= sum_{j_1, ..., j_2m = 1} ^N t^1_{j_1 j_2} t^2_{j_3 j_4}.其中求和指数中的一些被约束为相等。上界是很容易从图G相关联的限制和。
2009-09-23 math.CO math.OA
Sharp bounds for the number of regions of maxout networks and vertices of Minkowski sums
UCLA（加州大学洛杉矶分校）；Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克数学科学研究所）；Swansea University（斯旺西大学）；UC Berkeley（加州大学伯克利分校）
我们目前的结果的线性区域的功能，可以表示人工前馈神经网络与maxout单位的数量。秩k最大输出单元是计算$k$线性函数的最大值的函数。对于具有单层maxout单元的网络，线性区域对应于多面体的Minkowski和的上顶点。我们得到的热带超曲面的相交偏序集或部分Minkowski和的上表面的数量方面的面计数公式，以及明确的尖锐的上界的区域的数量为任何输入尺寸，任何数量的单位，和任何职级，在有和没有偏见的情况下。基于这些结果，我们也得到了渐近尖锐的上界的网络与多层。
2022-09-01 cs.DM cs.LG math.CO
An upper bound on the multiplicative energy
本文证明了任意实数有限集的和集或积集$A,$至少是$|A|^{4/3-ε},$，改进了以前的界。我们的主要工具是一个新的乘性能量的上界，$E(A,A).$
2008-06-23 math.CO
A geometric approach for the upper bound theorem for Minkowski sums of convex polytopes
我们推导出紧表达式的最大数目的$k$ -面，$0\le{}k\le{}d-1$，闵可夫斯基和，$P_1+...+P_r$，$r$凸$d$ -多面体$P_1,...,P_r$在$\mathbb{R}^d$，其中$d\ge{}2$和$r<d$，作为一个（递归定义的）函数的顶点数的多面体。我们的结果与Adiprasito和Sanyal最近证明的结果一致。与Adiprasito和Sanyal使用组合交换代数工具的方法相反，我们的方法是纯几何的，并使用基本概念，如$f$ -和$h$ -向量微积分和壳，并推广了[15]和[14]中用于证明两个和三个凸多面体的Minkowski和的$f$ -向量上界的方法。我们的方法背后的关键思想是将Minkowski和$P_1+...+P_r$表示为被加数的Cayley多胞形$\mathcal{C}$的一部分;对$P_1+...+P_r$的$k$ -面进行绑定简化为对包含来自每个$r$多胞形的顶点的$\mathcal{C}$的$(k+r-1)$ -面的子集进行绑定。我们结束我们的文件与草图的明确的建设，建立了紧密的上界。
2015-03-02 cs.CG math.CO
Upper Bounds on Covering Minima of Convex Bodies
Freie Universität Berlin（柏林自由大学）
本文给出了凸体覆盖极值的两个新上界，基于投影和线性子空间的覆盖极值。结果适用于两个凸体的直接和，推广了之前关于直接和的覆盖半径和格宽的研究，并应用于标准终端单纯形，缩小了Gonzaléz Merino和Schymura(2017)猜想中的上下界差距。
2026-01-21 math.CO math.MG
New bounds on the strength of some restrictions of Hindman's Theorem
本文研究了Hindman有限和定理多种自然限制的有效内容与逻辑强度，证明了受限版本在保持已知下界的同时具有更优的证明论上界，并强调了apartness条件的作用。
2017-11-15 math.CO math.LO
