A high-order accurate discretization scheme for variable coefficient elliptic PDEs in the plane with smooth solutions
University of Colorado at Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）
提出一种基于高阶高斯求积的离散化格式，用于求解平面变系数椭圆偏微分方程的光滑解，特别适用于软散射体问题，所得线性方程组适合高效直接求解器。
2011-01-18 cs.NA math.NA
A spectral collocation method for elliptic PDEs in irregular domains with Fourier extension
基于Fourier延拓，提出了一种求解任意非规则区域上变系数椭圆型偏微分方程的过采样配置法.该方法只利用等距节点上的函数值，计算量小，通用性强。虽然各种数值实验来证明这种方法的有效性，它表明，逼近误差迅速达到一个平台，随着自由度的增加，由于固有的病态框架。
2022-11-11 cs.NA math.NA
$H^1$-norm error estimate for a nonstandard finite element approximation of second-order linear elliptic PDEs in non-divergence form
本文建立了逼近连续系数非散度型二阶线性椭圆型偏微分方程$H^2$强解的非标准有限元法的最优$H^1$模误差估计。为了规避这类偏微分方程缺乏一个有效的对偶参数的困难，引入了一种新的分析技术，它的关键是建立一个$H^1$ -范数的稳定性估计的有限元逼近算子模仿一个类似的估计为基础的偏微分方程运营商最近建立的作者和它的证明是基于冻结系数技术和拓扑参数。此外，线性有限元法的$H^1$范数稳定性和误差估计也成立.
2019-09-30 cs.NA math.NA
Optimal complexity of adaptive FEM for second-order linear elliptic PDEs driven by non-residual estimators, Part I: Symmetric PDEs
TU Wien（维也纳工业大学）；University of Twente（特温特大学）
研究对称二阶线性椭圆型偏微分方程的自适应有限元方法，在特定假设下证明算法能无条件全R线性收敛，对足够小参数保证最优复杂度，重点分析如基于平均的非残差估计器。
2026-07-17 cs.NA math.NA
Several Proofs of Coerciveness of First-Order System Least-Squares Methods for General Second-Order Elliptic PDEs
在本文中，我们提出了一阶系统最小二乘方法的有效性证明一般（可能不定）的二阶线性椭圆型偏微分方程的最小唯一性假设下。对于一般的线性二阶椭圆型偏微分方程，由于算子的紧性和Fredholm替代，唯一性、存在性和适定性是等价的。因此，只有一个最小的唯一性假设：齐次方程有一个唯一的零解。标准变分问题的连续性是不需要的。本文的主要贡献是我们的第一个证明，这是一个简单的和简短的证明，使用的inf-sup稳定的标准变分公式。一旦具有标准公式的稳定性，证明可以潜在地应用于其他方程或设置。我们也给出了一般二阶线性椭圆型偏微分方程的最小二乘方法的另外两个证明。第二个证明是基于一个引理中引入的不连续彼得罗夫-伽辽金方法，和第三个证明是基于各种分解问题的稳定性分析。作为应用，我们还讨论了非奇异$H^{-1}$右手边问题的最小二乘有限元法。
2022-05-04 cs.NA math.NA
Norm-preserving discretization of integral equations for elliptic PDEs with internal layers I: the one-dimensional case
Courant Institute, New York University（纽约大学柯朗数学科学研究所）
研究一维情况下，变量系数椭圆PDE积分方程的规范保持离散化方法，通过高阶Nystrom离散化在正确选择的L_p空间中保持规范并自适应细化内部层以获得良好条件数的线性系统。
2013-05-29 cs.NA math.NA
Numerical homogenization of elliptic PDEs with similar coefficients
Uppsala University（乌普萨拉大学）；Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）；University of Gothenburg（哥德堡大学）
本文提出基于PG-LOD的并行算法，通过自适应重新计算局部校正问题提高精度，用于解决具有相似系数的椭圆PDEs问题。
2018-06-04 cs.NA math.NA
Stabilizer-Free Weak Galerkin Methods for Monotone Quasilinear Elliptic PDEs
本文研究了一类主系数具有梯度非线性的散度型二阶椭圆形边值问题在多边形网格上的无稳定子弱Galerkin方法。通过对非线性系数的某些假设，我们证明了离散问题有唯一解。这是通过证明相关算子满足一定的连续性和单调性来实现的。借助这些性质，我们得到了能量范数下的最优误差估计。我们提出了几个数值例子来验证的误差估计。
2020-01-31 cs.NA math.NA
A parametrix method for elliptic surface PDEs
针对三维嵌入光滑曲面上的变系数椭圆 PDE，提出基于 parametrix 与近似 Green 函数的良态积分方程方法，并用快速多极子变体实现高阶数值求解。
2024-01-23 cs.NA math.NA
Combining sparse grids, multilevel MC and QMC for elliptic PDEs with random coefficients
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）
本文结合稀疏网格、多级MC和QMC方法，解决具有有限维不确定性的椭圆PDE，证明计算成本可达到O(ε^{-r})，r<2，与空间维度无关。
2017-11-07 cs.NA math.NA
Adaptive vertex-centered finite volume methods for general second-order linear elliptic PDEs
TU Darmstadt（达姆施塔特工业大学）；TU Wien（维也纳工业大学）
本文研究了自适应顶点中心有限体积法在一般二阶线性椭圆型PDE中的应用，证明了该方法在非对称问题中的最优收敛性，涵盖了对流问题的重要情况。
2017-09-21 cs.NA math.NA
A posteriori error analysis of the virtual element method for second-order quasilinear elliptic PDEs
本文针对二维二阶拟线性椭圆型偏微分方程提出了一种 $C^0$-协调虚拟元方法，推导了完全可计算的基于残差的后验误差估计子并证明了其显式上下界，且通过数值实验验证了其驱动自适应网格细化算法的有效性。
2024-09-26 cs.NA math.NA
Kolmogorov widths and low-rank approximations of parametric elliptic PDEs
研究了参数椭圆扩散PDEs的Kolmogorov n-宽度和低秩近似，证明在扩散系数为分段常数时，n-宽度衰减更快，从而为减少基底或POD方法的快速收敛提供理论依据。
2015-02-10 cs.NA math.NA
Multiscale methods with compactly supported radial basis functions for Galerkin approximation of elliptic PDEs
School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）
研究使用紧支撑径向基函数的多尺度伽辽金方法求解有界域上的椭圆PDE，分析了收敛性和条件数，并处理了Dirichlet边界条件及边界重叠支持问题。
2012-11-07 cs.NA math.NA
A model reduction method for multiscale elliptic PDEs with random coefficients using an optimization approach
California Institute of Technology（加州理工学院）；The University of Hong Kong（香港大学）
本文提出了一种基于优化方法的多尺度椭圆PDEs模型降阶方法，通过构造局部多尺度数据驱动随机基函数，实现高效求解具有随机系数的多尺度问题，具有较高的计算效率和收敛性分析。
2018-07-06 cs.NA math.NA
Mitigating Numerical Stiffness in Least-Squares Formulations of Elliptic PDEs for Physics-Informed Neural Networks
Helmholtz-Zentrum Dresden-Rossendorf e.V.（亥姆霍兹德累斯顿-罗斯多夫中心）；University of Wrocław（弗罗茨瓦夫大学）
研究物理驱动神经网络学习偏微分方程解时\(H^{-1}\)残差损失公式，分析椭圆型偏微分方程中\(H^{-1}\)范数离散化，证明其可平衡偏微分方程损失、改善条件并减轻刚性，通过实验验证。
2026-07-07 cs.NA math.NA
A robust solver for elliptic PDEs in 3D complex geometries
我们开发了一个椭圆型偏微分方程的边界积分方程求解器的复杂\threed几何。我们的方法是有效的，高阶精度和鲁棒性处理复杂的几何形状。一个关键的组成部分是我们的奇异和近奇异层势评估计划，\qbkix：一个简单的外推的解决方案沿着一条线的边界。我们提出了一系列的几何处理算法所需的\qbkix有效地运行与精度保证任意几何形状和自适应上采样方案的基础上的迭代自由启发式正交误差。我们验证了一系列的数值测试的准确性和性能，并比较我们的方法竞争本地评估方法。
2021-05-18 cs.NA math.NA
DeepMartNet -- A Martingale Based Deep Neural Network Learning Method for Dirichlet BVPs and Eigenvalue Problems of Elliptic PDEs in R^d
本文提出DeepMartNet，一种基于鞅的深度神经网络方法，用于求解高维或复杂几何域上椭圆型PDE的Dirichlet边值问题和特征值问题，通过鞅损失函数和随机过程采样实现高效优化，并在多个高维数值实验中验证了其有效性。
2023-12-20 cs.NA math.NA
Collocation approximation by deep neural ReLU networks for parametric elliptic PDEs with lognormal inputs
我们得到了深度ReLU神经网络对对数正态输入椭圆偏微分方程解的配置逼近的收敛速度，由非紧集$\mathbb{R}^\infty$的$\boldsymbol{y}$参数化。近似误差在Bochner空间$L_2(\mathbb{R}^\infty, V, γ)$的范数中测量，其中$γ$是$\mathbb{R}^\infty$上的无限张量积标准高斯概率测度，而$V$是能量空间。我们也得到了类似的结果的情况下，当对数正态输入参数化$\mathbb{R}^M$非常大的尺寸$M$，和近似误差测量的$\sqrt{g_M}$加权均匀范数的Bochner空间$L_\infty^{\sqrt{g}}(\mathbb{R}^M, V)$，其中$g_M$是密度函数的标准高斯概率测量$\mathbb{R}^M$。
2022-12-06 cs.NA math.NA
A greedy MOR method for the tracking of eigensolutions to parametric elliptic PDEs
本文介绍了一种基于稀疏网格自适应加密的椭圆型偏微分方程参数问题特征解的近似算法。特别是，我们感兴趣的是检测交叉的超曲面描述的特征值作为参数的函数。先验匹配之后是后验验证，由适当定义的错误指示器驱动。在给定的细化级别上，通过使用后验指示符给出的标记，采用稀疏网格方法来构建下一级别的网格。各种数值试验证实了该方案的良好性能。
2022-10-18 cs.NA math.NA
Weak TransNet: A Petrov-Galerkin based neural network method for solving elliptic PDEs
虽然深度学习在求解偏微分方程（PDE）方面取得了显著的成功，但它仍然面临着重大挑战，特别是当PDE解具有低正则性或奇异性时。为了解决这些问题，我们提出了基于Petrov-Galerkin公式的弱TransNet（WTN）方法，用于在本工作中求解椭圆偏微分方程，尽管其框架可以扩展到其他类型的方程。具体地，由TransNet定义的神经特征空间（Zhang et al.，2023）作为试验空间，而测试空间由径向基函数组成。由于解被表示为测试函数的线性组合，因此可以通过经由最小二乘法最小化弱PDE残差来确定系数。因此，这种方法可以帮助减轻神经网络训练中经常出现的非凸性和病态性的挑战。此外，WTN方法被扩展到处理的解决方案具有多尺度功能或具有急剧变化的问题。几个数值实验证明所提出的方法的鲁棒性和效率。
2025-06-05 cs.NA math.NA
Randomized Reduced Basis Methods for Parameterized Fractional Elliptic PDEs
本文针对参数化分数阶椭圆型PDEs的重复模拟，提出一种结合Kato积分公式、MPGMRES-Sh求解器和随机化快照压缩的高效降阶基方法，兼顾计算与内存效率。
2023-06-29 cs.NA math.NA
Quasi-optimal nonconforming approximation of elliptic PDEs with contrasted coefficients and minimal regularity
本文研究具有对比扩散率和极低正则性的扩散模型问题的非协调近似方法，通过弱化法向导数处理平滑性不足，实现了对扩散率对比鲁棒的误差估计，并推广至Maxwell方程。
2019-01-29 cs.NA math.NA
An EDG Method for Distributed Optimal Control of Elliptic PDEs
College of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）；Department of Mathematics and Statistics, Missouri University of Science and Technology（密苏里科技大学数学与统计系）
本文提出EDG方法用于求解椭圆PDE的分布式最优控制问题，推导了状态、共轭状态、最优控制的最优先验误差估计，并通过数值实验验证理论结果。
2018-01-06 cs.NA math.NA
ARDO: A Weak Formulation Deep Neural Network Method for Elliptic and Parabolic PDEs Based on Random Differences of Test Functions
Dept. of Mathematics, Southern Methodist University, Dallas, TX 75275（数学系，南方 Methodist 大学，德克萨斯州达拉斯市）
本研究提出ARDO深度学习方法，通过将随机差分算子转移至测试函数的弱对抗形式，实现对解神经网络无需求导，可高效求解Fokker-Planck型二阶椭圆与抛物型偏微分方程。
2025-09-03 cs.AI cs.NA math.NA
Cost-optimal adaptive FEM with linearization and algebraic solver for semilinear elliptic PDEs
针对半线性椭圆型偏微分方程，提出自适应迭代线性化有限元方法AILFEM，通过阻尼Zarantonello迭代与收缩代数求解器均衡网格、线性化和代数误差，证明其以最优计算成本收敛。
2024-11-13 cs.NA math.NA
Sparse and low-rank approximations of parametric elliptic PDEs: the best of both worlds
本文提出一种结合低秩张量逼近与稀疏多项式展开的新格式，用于高效求解参数化椭圆型PDE，并设计了保持准最优秩与最优收敛速度的自适应求解器。
2025-06-24 cs.NA math.NA
Variational method for multiple parameter identification in elliptic PDEs
University of Hamburg（汉堡大学）；University of Goettingen（哥廷根大学）
本文研究了通过测量数据同时识别椭圆偏微分方程的扩散矩阵、源项、边界条件及状态的逆问题，采用基于能量函数的变分法结合Tikhonov正则化进行处理，并通过有限元方法离散PDE并分析收敛性与误差界。
2018-01-17 cs.NA math.NA
A Superconvergent Hybridizable Discontinuous Galerkin Method for Dirichlet Boundary Control of Elliptic PDEs
Oklahoma State University（俄克拉荷马州立大学）；University of Minnesota（明尼苏达大学）；Missouri University of Science and Technology（密苏里科技大学）；Sichuan University（四川大学）
本文提出了一种用于椭圆PDE Dirichlet边界控制问题的混合不连续Galerkin方法，获得了最优先验误差估计，并在二维和三维数值实验中验证了理论结果。
2017-12-08 cs.NA math.NA
Discontinuous Galerkin Isogeometric Analysis of Elliptic PDEs on Surfaces
Johannes Kepler University（约翰·开普勒大学）；Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院）
本文首次提出一种断续伽辽金方法，允许仅在子域边界处存在不连续性，用于曲面上的椭圆偏微分方程的分析与求解。
2014-02-05 cs.NA math.NA
A fully adaptive multilevel stochastic collocation strategy for solving elliptic PDEs with random data
我们提出并分析了一个完全自适应的策略，解决椭圆型偏微分方程的随机数据在这项工作中。一个层次序列的自适应网格细化的空间近似相结合的自适应各向异性稀疏的Scorpak网格在随机空间中的方式，以尽量减少计算成本。我们的策略的新颖之处在于，空间近似的层次结构是样本相关的，因此每个配置点的计算工作量可以单独优化。我们概述了一个严格的分析的自适应多级算法的收敛性和计算复杂性，我们提供了最佳的选择，在每个级别的误差容限。两个数值例子证明了差错控制的可靠性和显着降低的复杂性时，出现相比，单级算法和多级算法，采用自适应性只在空间离散化或配置过程。
2019-12-04 cs.NA math.NA
Sparse polynomial approximation for optimal control problems constrained by elliptic PDEs with lognormal random coefficients
Oden Institute for Computational Engineering & Sciences, The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校奥登计算工程与科学学院）；Department of Mechanical Engineering, and Department of Geological Sciences, The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校机械工程系和地质科学系）
本文研究了受具有对数正态随机系数的椭圆偏微分方程约束的最优控制问题，通过稀疏多项式近似方法对最优解进行逼近，并证明了该方法在维度上具有独立的收敛率。
2019-03-13 cs.NA math.NA
Further analysis of multilevel Monte Carlo methods for elliptic PDEs with random coefficients
University of Bath（巴斯大学）；University of Oxford（牛津大学）
针对缺乏一致椭圆性和有界性的随机系数椭圆PDE，扩展有限元误差分析至非光滑域和系数不连续情形，证明多层蒙特卡罗算法对解的有界线性泛函和连续Fréchet可微非线性泛函的收敛性，并通过引入层级依赖的Karhunen-Loève展开截断改进性能。
2012-04-16 cs.NA math.NA
Reduced basis methods for quasilinear elliptic PDEs with applications to permanent magnet synchronous motors
本文提出了一种求解拟线性椭圆型问题的认证缩减基（RB）方法，并将其应用于非线性静磁方程，其中后一种模型为永磁同步电机（PMSM）。参数化通过域的几何形状进入，因此，与非线性相结合，驱动我们的约简问题。我们提供了一个残差为基础的后验误差界，连同贪婪的方法，允许构建减少的基础空间的小尺寸。我们使用经验插值方法（EIM），以保证高效的离线-在线计算过程。然后用牛顿法的替代方法得到了减基解。数值结果表明，建议的减少基方法提供了一个显着的计算增益相比，有限元法。
2020-07-02 cs.NA math.NA
Application of quasi-Monte Carlo methods to elliptic PDEs with random diffusion coefficients - a survey of analysis and implementation
School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）；Department of Computer Science, KU Leuven（荷语鲁汶大学计算机系）
本文综述了准蒙特卡洛方法在具有随机扩散系数的椭圆PDE中的最新研究，对比了均匀情况与对数正态情况、单级算法与多级算法、一阶QMC规则与高阶QMC规则以及确定性QMC方法与随机性QMC方法。
2016-06-21 cs.NA math.NA
Near-optimal approximation methods for elliptic PDEs with lognormal coefficients
本文研究了对数正态系数为$-{\rm div}(a\nabla u)=f$的椭圆型偏微分方程的数值方法，其中$a=\exp(b)$和$b$是高斯随机场.解$u$的近似是参数化$b$的标量高斯随机变量中的$n$项多项式展开。我们提出了一个一般的收敛性分析加权最小二乘逼近光滑和任意粗糙随机场，使用一个合适的随机设计，我们证明了最优性在以下意义下：他们的收敛速度完全匹配或接近的速度，已建立在\cite{BCDM}的最佳$n$ -项近似Hermite多项式，在相同的最小假设下的高斯随机场。这与随机Galerkin方法的现有技术结果相反，该方法由于扩散场的对数正态性质而缺乏线性度。用$b$作为布朗桥的数值试验证实了我们的理论发现。
2021-03-25 cs.NA math.NA
Multilevel Monte Carlo estimators for elliptic PDEs with Lévy-type diffusion coefficient
扩散系数在空间上不连续的一般椭圆型方程可作为非均质或裂隙多孔介质中地下渗流的简化模型。在这样的模型中，数据稀疏性和测量误差经常被考虑到的随机化的扩散系数的椭圆型方程，揭示了灵活的，空间不连续的随机场的建设的必要性。从属高斯随机场是高维参数域上的随机函数，具有样本路径不连续和分布灵活性。本文考虑一类随机椭圆型偏微分方程，其中扩散系数中存在间断的从属高斯随机场。构造了求解随机椭圆型偏微分方程的多层蒙特卡罗（MLMC）有限元法。我们证明了一个标准的MLMC估计和一个修改的MLMC -控制变量估计的先验收敛性，并验证了我们的结果在各种数值例子。
2021-08-12 cs.NA math.NA
Regularity of Second-Order Elliptic PDEs in Spectral Barron Spaces
Ziang Chen, Liqiang Huang, Mengxuan Yang, and Shengxuan Zhou（作者）
本文研究了二阶椭圆偏微分方程在谱Barron空间中的正则性，证明了在弱椭圆性和小性假设下解的正则性提升，并推导出可由独立于空间维度的神经网络近似的一类PDEs。
2026-09-07 cs.LG cs.NA math.AP
A rate of convergence of Physics Informed Neural Networks for the linear second order elliptic PDEs
近年来，物理信息神经网络（PINN）已被证明是一个强大的工具，解决偏微分方程的经验。然而，PINN的数值分析仍然缺失。在本文中，我们证明了PINNs的收敛速度为二阶椭圆型方程与Dirichlet边界条件，通过建立上界的训练样本的数量，深度和宽度的深度神经网络，以达到所需的精度。PINN的误差被分解为近似误差和统计误差，其中近似误差在具有$\mathrm{ReLU}^{3}$网络（具有激活函数$\max\{0,x^3\}$的深度网络）的$C^2$范数中给出，并且统计误差由Rademacher复杂度估计。我们得到了梯度范数的非Lipschitz合成与$\mathrm{ReLU}^{3}$网络的Rademacher复杂性的界，这是一个非常有意义的独立结果.
2022-03-16 cs.NA math.NA
On convergence and convergence rates for Ivanov and Morozov regularization and application to some parameter identification problems in elliptic PDEs
Alpen-Adria-Universität Klagenfurt（阿尔卑亚德里亚克拉根福大学）；University of Duisburg-Essen（杜伊斯堡-埃森大学）
本文分析了Ivanov和Morozov正则化方法的收敛性及速度，基于变分源条件证明了其收敛性，并应用于椭圆偏微分方程的参数识别问题。
2018-01-30 cs.NA math.NA
Convergence of Sparse Collocation for Functions of Countably Many Gaussian Random Variables (with Application to Elliptic PDEs)
TU Chemnitz（Chemnitz工业大学）；Istituto di Matematica Applicata e Tecnologie Informatiche “E. Magenes” del CNR（CNR应用数学与信息技术研究所“E. Magenes”）
本文证明了稀疏插值对依赖于可数多个高斯随机变量的Hilbert空间值函数的收敛性，并针对椭圆偏微分方程的对数正态扩散系数解进行了应用，建立了L²收敛理论并推导了代数收敛速率。
2017-03-28 cs.NA math.NA
A posteriori error estimation and adaptivity in stochastic Galerkin FEM for parametric elliptic PDEs: beyond the affine case
考虑一类参数系数一致有界的线性椭圆型偏微分方程。这个偏微分方程问题的解决方案是近似的框架内的随机伽辽金有限元法。我们进行后验误差分析的Galerkin近似，并得出一个可靠的和有效估计的能量误差在这些近似。这个误差估计的实际版本进行了讨论和测试数值模型的问题与非仿射参数表示的系数。此外，我们使用来自空间和参数误差估计的误差减少指标来指导给定参数PDE问题的自适应求解算法。自适应算法的性能进行了测试，数值模型的问题，两个不同的非仿射参数表示的系数。
2020-06-04 cs.NA math.NA
Analysis of a finite element method for second order uniformly elliptic PDEs in non-divergence form
City University of Hong Kong（香港城市大学）
本文提出一种适用于非散度形式二阶线性均匀椭圆PDE及均匀椭圆HJB方程的有限元方法，证明了强解在W^{2,p}(Ω)中的well-posed性及离散W^{2,p}范数下的最优收敛性。
2026-09-01 cs.NA math.NA
Optimal control of elliptic PDEs on surfaces of codimension 1
University of Warwick（华威大学）
本文研究了包含沿余维为1表面积分的目标泛函的椭圆最优控制问题，采用分段线性有限元方法进行离散化，并通过数值实验验证了控制的先验L²误差估计。
2014-11-18 cs.NA math.NA
Stable Mesh-Free Variational Radial Basis Function Approximation for Elliptic PDEs and Obstacle Problems
University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文研究了变分形式下椭圆型及障碍型边界值问题的径向基函数逼近，通过截断奇异值分解提高计算稳定性与精度，实验表明在基函数数量、过采样比和截断阈值等参数下，RBF变分求解器在精度和效率上表现优异。
2026-04-21 cs.NA math.NA
Nonasymptotic Convergence Rate of Quasi-Monte Carlo: Applications to Linear Elliptic PDEs with Lognormal Coefficients and Importance Samplings
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
本研究通过准蒙特卡罗方法与重要性采样，改进了对具有对数正态系数的线性椭圆PDE的非渐近收敛速度分析。
2024-08-17 cs.NA math.NA
$hp$-robust multigrid solver on locally refined meshes for FEM discretizations of symmetric elliptic PDEs
本文针对对称二阶线性椭圆扩散问题的有限元离散，提出并分析了一种几何多重网格方法，证明其对多项式次数$p$和网格尺寸$h$具有鲁棒收敛性，并给出$hp$-鲁棒的代数误差估计子及自适应有限元应用。
2023-07-19 cs.NA math.NA
Multilevel Methods for Uncertainty Quantification of Elliptic PDEs with Random Anisotropic Diffusion
Universität Basel（巴塞尔大学）
本文研究了具有随机各向异性扩散系数的椭圆扩散问题，通过Karhunen-Loève展开参数化随机矢量场及解，并证明多级格点和多级求积方法可降低计算复杂度，保持收敛速率。
2018-02-12 cs.NA math.NA
Cost-optimal adaptive iterative linearized FEM for semilinear elliptic PDEs
针对具有强单调但仅局部Lipschitz连续非线性项的半线性椭圆PDE，提出一种基于阻尼Zarantonello迭代的自适应线性化有限元方法，通过同步控制网格细化与非线性迭代，在每步仅求解线性Poisson型方程，并证明了该策略在整体计算复杂度下能保证收敛且达到最优速率。
2023-05-23 cs.NA math.NA
Analytic regularity and collocation approximation for elliptic PDEs with random domain deformations
King Abdullah University of Science and Technology（阿卜杜拉国王科技大学）；Ecole Politechnique Federale Lausanne（洛桑联邦理工学院）
本文研究了随机域变形下椭圆型PDE解的统计量近似问题，通过解析延拓和稀疏网格列点法计算均值和标准差，并分析收敛率。
2016-03-28 cs.NA math.NA
Solving elliptic PDEs in unbounded domains
本文针对无界域椭圆型偏微分方程，在系数无周期性结构假设下扩展了指数正则化方法，并揭示了右手边项在傅里叶域中影响快速收敛的关键性质。
2024-10-21 cs.NA math.NA
Interior Penalty Discontinuous Galerkin Methods for Second Order Linear Non-Divergence Form Elliptic PDEs
University of Tennessee（田纳西大学）；University of Pittsburgh（匹兹堡大学）
本文提出内罚非连续伽辽金方法用于近似非散度形式二阶线性椭圆偏微分方程的W^{2,p}强解，通过建立离散Calderon-Zygmund估计和冻结系数技术，证明了方法的唯一性和最优收敛性。
2016-05-14 cs.NA math.NA
Barron Space Representations for Elliptic PDEs with Homogeneous Boundary Conditions
Ziang Chen（张智恒）；Liqiang Huang（黄立强）
该研究针对带齐次边界条件的高维二阶椭圆型偏微分方程，证明在系数和强迫项满足Barron假设时，其解可由参数规模为O(d^{C|logε|})的两层神经网络逼近，且不受维数灾难影响。
2026-08-04 cs.LG cs.NA math.AP
φ-FD : A well-conditioned finite difference method inspired by φ-FEM for general geometries on elliptic PDEs
本文提出一种基于笛卡尔网格和水平集函数的φ-FD有限差分方法，用于一般几何上的椭圆PDE，具有良态矩阵和拟最优收敛性，并通过多重网格加速及2D/3D实验验证其优于标准有限元和Shortley-Weller方法。
2025-05-27 cs.NA math.NA
