Fast Escaping Sets of meromorphic functions
Jianhua Zheng, Zuxing Xuan
本文利用环的覆盖定理给出了具有无穷多个极点的亚纯函数的Eremenko点的定义及其在窄环上存在的条件。
In this paper, we give a definition of Eremenko's point of a meromorphic function with infinitely many poles and a condition for its existence in narrow annuli in terms of a covering theorem of annulus.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Hausdorff measure of escaping sets on certain meromorphic functions
考虑逆函数的有限奇点集有界的超越亚纯函数。Bergweiler和Kotus给出了逃逸集的豪斯多夫维数的界，如果函数在无穷远处没有对数奇点，极点的重数是有界的，并且阶是有限的。我们研究了无限级的情况，找到了逃逸集的Hausdorff测度为零或无穷大的度规函数。
Escaping points of commuting meromorphic functions with finitely many poles
设$f$和$g$是可交换的具有n个极点的亚纯函数.通过研究Fatou分支在这种交换关系下的行为，证明了当$f$和$g$不存在单连通快速逃逸游荡域时，$f$和$g$具有相同的朱利亚集.结合Tsantaris最近的一个结果，我们得到了关于交换亚纯函数的朱利亚集的最强陈述.为了突出整个情况下的差异，我们表明，超越亚纯函数与许多极点的轨道，交替接近极点和逃逸到无穷大之间的惊人的速度。
Hausdorff dimension of escaping sets of meromorphic functions
给出了具有有限个奇异值的亚纯函数的逃逸集的可能豪斯多夫维数的完整描述。更精确地说，对于任何给定的$d\in [0,2]$，我们表明，存在这样一个亚纯函数，其逃逸集的豪斯多夫维数等于$d$。其主要内容是利用拟共形映射将合适的亚纯函数粘合在一起。此外，我们还证明了存在无数个拟共形等价的亚纯函数，它们的逃逸集具有不同的豪斯多夫维数。
Iterates of Meromorphic Functions on Escaping Fatou Components
本文证明了即使逃逸Fatou分支的轨道包含无穷模环序列，逃逸Fatou分支中两点迭代的模之比也有界，并且当亚纯函数的极大模足够大时，这种情况不会发生.因此，我们将整函数的相关结果推广到具有无穷多个极点的亚纯函数。用Nevanlinna特征代替文献[12]中的极大模，研究了文献[44]中定义的亚纯函数的快速逃逸Fatou分量，证明了在极大模增长的条件下，多连通游荡域是快速逃逸集的一部分.最后给出了游荡域以任意快速率和慢速率逃逸的例子。
The Hausdorff dimension of escaping sets of meromorphic functions in the Speiser class
本研究证明Bergweiler和Kotus给出的Eremenko-Lyubich类半纯函数逃逸集Hausdorff维数上界在Speiser类中也精确，还构造了具指定Julia集与逃逸集维数的Speiser类半纯函数。
Slow escaping points of meromorphic functions
证明了对任意超越亚纯函数$f$，在$f$朱利亚集存在一个点$z$，使得迭代的$f^n(z)$逃逸，即趋向于$\infty$，任意慢.证明使用新的覆盖结果的解析函数。我们还引入了几个慢逃逸集，在每一个慢逃逸集中，$f^n(z)$以有界的速率趋向于$\infty$，并建立了这些慢逃逸集与$f$的朱利亚集之间的联系.要做到这一点，我们证明了$f$的迭代满足强失真估计在所有类型的逃逸Fatou组件，除了一个，我们称之为一个平面填充游荡域。我们给出的例子来显示如何变化的结构，这些慢逃逸集可以。
Hausdorff dimension of escaping sets of meromorphic functions II
本文研究亚纯函数逃逸集的豪斯多夫维数，证明只需不超过4个奇异值即可实现区间[0,2]内的所有可能维数。
Dynamics of meromorphic functions outside a countable set of essential singularities
本文考虑一类在紧可数集B（f）外亚纯的函数，记作K。Bolsch在他的论文在1997年。集合B（f）是孤立本质奇点的闭包。本文综述了K类函数的Fatou集和朱利亚集的主要定义和性质。研究了B（f）在这方面的作用。在Eremenko的基础上，定义了逃逸集，并证明了与逃逸集相关的一些结果.例如，函数的动力学使用逃逸头发扩展到其奇点。我们给出了一个具有游荡奇异端点的逃逸头发的例子，其中头发包含在K中f的游荡域中。
The exact value of Hausdorff dimension of escaping sets of class B meromorphic functions
考虑一类由亚纯函数$f:{\mathbb C}\to\hat{\mathbb C}$组成的${\mathcal B} $子类，其中无穷大不是渐近值，且其所有极点的阶自上而下一致有界.在\cite{BwKo2012}中引入了这个类，并在其中估计了在$f$的向前迭代下逃逸到无穷远的所有点的集合${{\mathcal I} (f)}$的豪斯多夫维数${\rm HD}({{\mathcal I} (f)})$.本文给出了${\rm HD}({{\mathcal I} (f)})$的精确值的一个封闭公式，并与\cite{BwKo2012}中引入的自然级数的临界指数相一致.对于许多具体的函数，这个指数很容易计算。特别是，我们从这个类，这是无限的顺序和${\rm HD}({{\mathcal I} (f)})=0$构建一个功能。
On the Hausdorff dimension of the escaping set of certain meromorphic functions
超越亚纯函数f的逃逸集I（f）由迭代下趋于无穷大的所有点组成。Eremenko-Lyubich类B由所有f的有限临界值和渐近值的集合有界的超越亚纯函数组成。证明了：若f在B中且有有限增长阶，且无穷大不是f的渐近值，且f的极点重数一致有界，则I（f）的豪斯多夫维数严格小于2.实际上，我们给出了I（f）的豪斯多夫维数的一个严格界，它是由f的阶和极点的重数的界所决定的.如果f满足上述假设，但为无穷阶，则I（f）的面积为零。如果不限制极点的多重性，这个结果就不成立。
Hausdorff dimension of escaping sets of Nevanlinna functions
我们确定了具有多项式Schwarzian导数的亚纯函数的逃逸集的豪斯多夫维数的精确值。这将从这些函数与复平面中的二阶微分方程之间的关系得出。
On the iterations and the argument distribution of meromorphic functions
本文共分两部分。一是研究了在亚纯函数的某些增长条件下，若$θ$是$\{\arg f^n(a)\}$的极限点，则在朱利亚集与逃逸集的交中存在一个点$a$，使得$\arg z=θ$是奇异方向.二是研究了法图集与奇异方向的关系。证明了在法图集中，由于奇异方向的不存在，环不存在。
Dynamics of meromorphic functions with direct or logarithmic singularities
证明了如果一个亚纯函数在无穷远点上有一个正奇点，则其逃逸集有一个无界分支，且逃逸集与朱利亚集的交包含连续统.这个交有无界分支当且仅当函数没有贝克游荡域。我们还给出了无穷远点上具有对数奇异性的亚纯函数的朱利亚集的豪斯多夫维数和上盒维数的估计。上述定理是从更一般的结果推出的功能，有“直接或对数轨道”，但不需要亚纯的平面。这些结果是通过推广Wiman-Valiron理论得到的。该方法也适用于复杂的微分方程。
On slow escaping and non-escaping points of quasimeromorphic mappings
证明了对任何在无穷远处具有本质奇点的拟亚纯映射，存在其迭代过程任意缓慢地趋于无穷远的点。这推广了Nicks关于拟正则映射和Rippon和Stallard关于复平面上的超越亚纯函数的一个结果.我们进一步建立了拟正则映射在本质奇点附近的增长率的一个新结果，并将关于有界轨道集和蹦极集的一些结果简单地推广到拟亚纯集.
Dimensions of non-autonomous meromorphic functions of finite order
本文研究了Mayer，Kotus和Urbaidski研究过的两类亚纯函数.特别是我们估计的下界的朱利亚集和逃逸点的非自治添加剂和仿射扰动的功能，从这些类。对于特定的类，我们能够精确地计算这些尺寸。在这些情况下，我们能够重新解释我们的结果表明，朱利亚集中逃逸到无穷远的点集的豪斯多夫维数在足够小的加性扰动下是稳定的。我们通过构造非自治迭代函数系统来实现这一点，其极限集位于上述非自治朱利亚集内。我们还估计了这些非自治扰动的最终和最终双曲维数。
Escaping points in the boundaries of Baker domains
研究了$U$上有限次亚纯映射$f$的单连通不变Baker域$U$边界上点的动力学行为.证明了如果$f|_U$是双曲型或单纯抛物型的，则在迭代过程中，$U$关于调和测度的边界上的几乎所有点都逃逸到无穷远.反之，若$f|_U$是双抛物型的，则$U$关于调和测度的边界上的几乎每一点在$U$的边界上都有稠密的前向轨线，特别是$U$的边界上的逃逸点集有调和测度为零.我们还将结果推广到了当$f$在$U$上具有无限次时的情形，包括经典的Fatou例子.
Fast Escaping Set of Transcendental Semigroup
本文研究了超越半群的快速逃逸集。讨论了超越半群的快速逃逸集的结构和性质。我们还看到了超越整函数的快速逃逸集的经典理论在超越半群的一般设置中的应用程度以及可能出现的新现象。
The fast escaping set for quasiregular mappings
一个超越整函数的快速逃逸集是所有在迭代下趋于无穷大的点的集合，其速度与函数的增长速度一样快。我们研究了类似的一套拟正则映射在更高的维度和显示，除其他事项外，各种等价定义的快速逃逸集的超越整函数在平面上也符合拟正则映射。我们还展示了一类拟正则映射的快速逃逸集具有蜘蛛网的结构。
Area of the complement of the fast escaping sets of a family of entire functions
令$f$是具有$f(z)=P(e^z)/e^z$形式的整函数，其中$P$是次数至少为$2$和$P(0)\neq 0$的多项式。我们证明了$f$的快速逃逸集（因此是法图集）在宽度为$2π$的水平带中的补集的面积是有限的。特别地，相应的结果可以应用于正弦族$α\sin(z+β)$，其中$α\neq 0$和$β\in\mathbb{C}$。
Non-Escaping Sets in Conformal Dynamical Systems and Singular Perturbations of Perron-Frobenius Operators
关于动力系统中球的逃逸率的研究已经很多。当球的半径趋向于零时，理解逃逸率的渐近行为是一个特别微妙的问题。在双曲共形系统的情况下，这已解决了各种作者。在本文中，我们考虑一个更一般的领域的共形映射的分析是相应的更复杂。我们证明了逃逸率的存在性，并计算他们的可数字母的上下文中，无论是有限的或无限的，一致收缩的共形图有向马尔可夫系统的共形可数字母迭代函数系统的特殊情况。这一目标是通过发展适当的理论奇异扰动的Perron Frobenius（转移）运营商与可数字母子移位的有限型和Hölder连续可求和的潜力。这是进一步研究其他共形系统的关键因素。这些包括拓扑Collet-Eckmann多峰区间映射和黎曼球面的有理映射（一个等价的公式是周期点上的一致双曲），以及一大类超越亚纯函数。
Exponentially and non-exponentially small splitting of separatrices for the pendulum with a fast meromorphic perturbation
本文研究了具有快周期或准周期亚纯的单自由度哈密顿系统在状态变量扰动下的分离线分裂现象。所得结果与以往文献中主要假设系统对状态变量具有代数或三角多项式依赖关系的结果不同。作为一个模型，我们考虑了具有几个亚纯扰动的摆方程，我们显示了分裂的大小对状态变量的扰动的解析带的宽度的敏感性。我们表明，分裂的大小是指数小，如果带的解析性是足够宽的。此外，我们看到分裂随着解析性条带的宽度缩小而增长，甚至对于非常窄的条带变得非指数地小。我们的结果避免了用亚纯扰动的多项式截断来计算分离阵的分裂大小。
Simply connected fast escaping Fatou components
给出了一个超越整函数具有单连通快速逃逸Fatou分量，但不具有多连通Fatou分量的例子.我们还给出了一个新的标准点是在快速逃逸集。
Maximally and non-maximally fast escaping points of transcendental entire functions
将超越整函数的快速逃逸集划分为极大快速逃逸集和非极大快速逃逸集。这些集合具有很强的动力学性质。证明了非极大快速逃逸集与朱利亚集的交集不为空。证明使用了一个新的覆盖结果的环，这是更广泛的兴趣。Rippon和Stallard证明了快速逃逸集没有有界分量。相反，通过研究一个函数认为哈代，我们给出了一个例子的超越整函数的最大和非最大快速逃逸集每个都有无数个单点组件。
The Julia set and the fast escaping set of a quasiregular mapping
证明了正低阶拟正则映射的朱利亚集与快速逃逸集的边界重合。
A sharp growth condition for a fast escaping spider's web
我们发现，快速逃逸集$A(f)$的超越整函数$f$有一个结构称为蜘蛛网时，最大模数的$f$增长低于一定的速度。我们给出了整个函数的例子，快速逃逸集不是蜘蛛网，这表明这种增长率是最好的。根据我们先前的结果，这些是逃逸集具有蜘蛛网结构但快速逃逸集没有的第一个例子。这些结果对Baker猜想和Eremenko猜想提供了新的见解。
Are Devaney hairs fast escaping?
从Devaney开始，一些作者研究了超越整函数，其中逃逸集中的每一点都可以通过逃逸集中的曲线连接到无穷大。这种曲线通常被称为Devaney头发。我们表明，在许多情况下，这样的曲线中的每一个点，除了可能的曲线的有限端点，属于快速逃逸集。我们还给出了一个例子，Devaney头发位于对数道的超越整函数，不包含快速逃逸点。
Functions of genus zero for which the fast escaping set has Hausdorff dimension two
研究亏格为零的超越整函数族，其中所有的零点都位于严格小于半平面的闭扇区内。一般来说，这些函数位于Eremenko-Lyubich类之外。我们表明，在这个家庭的功能，快速逃逸集的豪斯多夫维数等于2。
Fast escaping points of entire functions: a new regularity condition
设$f$是一个超越整函数.快速逃逸集$A(f)$在超越动力学中起着关键作用。由一个明显较弱的条件定义的相当快的逃逸集$Q(f)$在一定条件下等于$A(f)$。在这里，我们介绍$Q_2(f)$定义的什么似乎是一个更弱的条件。利用一个新的正则性条件证明了有穷级和正低阶函数满足$Q_2(f)=A(f)$。我们还证明了这类函数的有限复合满足$Q_2(f)=A(f)$。最后，我们构造了一个函数，其中$Q_2(f) \neq Q(f)= A(f)$。
Regularity and growth conditions for fast escaping points of entire functions
设$f$是一个超越整函数.相当快的逃逸集$Q(f)$和最近定义的集$Q_2(f),$在一定条件下都等于快逃逸集$A(f),$。本文通过引入集合族$Q_m(f)$，$m \in \mathbb{N}.$，推广了这类集合，并给出了一个正则性和一个增长条件，这意味着$Q_m(f)$与$A(f)$相等，证明了对于任何$m$，所有有限阶和正低阶函数都满足$Q_m(f)=A(f)$.最后，我们将新的正则性条件与最近工作中引入的$Q_2(f)=A(f)$的一个充分条件联系起来。
The escaping set of transcendental self-maps of the punctured plane
研究了当0和$\infty$都是本质奇点时，$\mathbb C^*=\mathbb C\setminus\{ 0\}$的全纯自映射在迭代下的不同逃逸率.使用环形覆盖引理，我们构造不同类型的轨道，包括快速逃逸和任意缓慢逃逸轨道0，$\infty$或两者兼而有之。我们还证明了这类函数的快速逃逸点集的几个性质。特别是，我们表明，有一个不可数的集合不相交的快速逃逸点，其中每一个有朱利亚集作为其边界。
Regularity and fast escaping points of entire functions
设$f$是一个超越整函数.快速逃逸集$A(f)$，$f$最大模增长的各种正则性条件，以及最近的相当快速逃逸集$Q(f)$都被用来在关于$f$迭代的基本问题上取得进展。在本文中，我们建立了这三个概念之间的新关系。证明了弱正则性条件是$Q(f)=A(f)$的充要条件，并给出了$Q(f)\neq A(f)$满足弱正则性条件的函数的例子。我们还适用的结果Beurling有关的最小模的$f$的增长，其最大模的大小，以建立一个更强的正则性条件，称为对数正则性持有一大类的功能，特别是在Eremenko-Lyubich类${\mathcal B}$的功能。
The structure of spider's web fast escaping sets
在Rippon和Stallard最近工作的基础上，我们探索了与某些超越整函数相关的蜘蛛网快速逃逸集的复杂结构。我们的结果表示的组件的补充集（“孔”在网络中）。我们描述了这样的组件的拓扑结构，并给出其可能的轨道下迭代的表征。我们发现，有无数个组件具有每个轨道类型的数量，我们证明了有界轨道的组件是quasiconformally同胚组件的填充朱利亚集的多项式。我们还表明，有单点周期组件，这些是密集的朱利亚集。
On fundamental loops and the fast escaping set
超越整函数f的快速逃逸集A（f）已开始在超越动力学中起关键作用。在许多情况下，A（f）具有蜘蛛网的结构，其中包含一系列基本循环。我们研究了具有多连通Fatou分量的函数的基本环的结构，证明了存在超越整函数，其中一些基本环是解析曲线和近似圆，而另一些基本环是几何高度扭曲的.我们这样做，通过引入一个实值函数的措施逃逸率的点在A（f），并表明，这个功能有一些有趣的性质。
Unbounded fast escaping wandering domains
我们引入了一个新的近似技术的背景下，复杂的动力学，使我们能够构建的例子超越整函数与无界游荡域。我们提供的例子，整个功能与轨道的无界快速逃逸游荡域，回答了一个长期存在的问题Rippon和Stallard。此外，这些例子涵盖了单连通游荡域在收敛到边界方面的所有可能类型。关于贝克的一个猜想，当时还不知道阶数小于1的函数是否可以有无界游荡域。对于任意给定的阶数大于$1/2$且小于$1$的情形，我们给出了这样阶的整函数的无界游荡域.
Fast escaping points of entire functions
设$f$是一个超越整函数，并设$A(f)$表示在迭代下“尽可能快地”逃逸到无穷大的点的集合。通过将$A(f)$写成闭集的可数并集，称为$A(f)$的“层”，我们对这个集合的结构有了新的理解。例如，我们表明，如果$U$是一个Fatou组件在$A(f)$，然后$\partial U\subset A(f)$，这将导致显着的新结果和相当大的改进，现有的结果约$A(f)$。特别是，我们研究的功能，其中$A(f)$，和它的每一个级别，有一个“无限的蜘蛛网”的结构。我们发现，有许多这样的功能，他们有一些强大的动力学性质。这个新的结构提供了一个意想不到的连接之间的猜想贝克关于组件的法图集和猜想Eremenko关于组件的逃逸集。
A note on the topology of escaping endpoints
研究了当$a\in (-\infty,-1)$满足一定条件时，复指数$\exp(z)+a$的朱利亚集的逃逸端点和快速逃逸端点的拓扑性质.我们证明了两个空间都不同胚于端点的全体。这是从一个一般性的结果得出的，即对于每个超越整函数$f$，逃逸朱利亚集$I(f)\cap J(f)$是第一范畴。
Exponential polynomials with Fatou and non-escaping sets of finite Lebesgue measure
给出了指数多项式$f$的法图集和快速逃逸集的补集具有有限勒贝格测度的条件.本质上，这些条件被设计成使得对于一组有限的勒贝格测度之外的一些$α>0$和所有$z$，$|f(z)|\ge\exp(|z|^α)$。
Julia and escaping set spiders' webs of positive area
我们研究了一系列的超越整函数，其中概括了著名的指数和余弦家庭的动态。我们证明了对于这些函数族中的许多函数，其朱利亚集、逃逸集和快速逃逸集都是正面积的蜘蛛网。这个结果是不寻常的，因为这些函数中的大多数位于Eremenko-Lyubich B类之外。这也是关于蜘蛛网面积的第一个结果。
Continuity of the Green function in meromorphic families of polynomials
证明了由穿孔单位圆盘参数化的亚纯多项式族的格林函数沿任意标记点在原点附近指数快速爆炸，且误差项连续.
Entire functions for which the escaping set is a spider's web
我们构造了几类新的超越整函数f，使得逃逸集I（f）和快速逃逸集A（f）都有一个称为蜘蛛网的结构。我们表明，这些类中的一些有一定程度的稳定下的功能的变化。我们表明，新的例子的功能，其中I（f）和A（f）是蜘蛛网可以构建的组成，分化，并通过整合现有的例子。我们利用蜘蛛网的一个性质，给出了关于无无界Fatou分量的函数的新结果。
Growth of the number of periodic points for meromorphic maps
证明了紧致Kaehler流形X的任何支配亚纯自映射f都是Artin-Mazur映射。更精确地说，如果P_n（f）是它的周期为n的孤立周期点的个数（重数），则P_n（f）关于n至多以指数速度增长，并且指数增长率至多等于f的代数熵。当X是曲面时，给出了进一步的估计。在本文介绍的技术中，得到了紧致Kaehler曲面上两个任意正闭合流之间密度的h维。
Eremenko points and the structure of the escaping set
最近许多关于超越整函数$f$的迭代的工作都是由Eremenko猜想激发的，Eremenko猜想逃逸集$I(f)$的所有分量都是无界的。在这里，我们表明，如果$I(f)$是不连通的，那么集合$I(f)\setminus D$有无数的无界组件的任何开放的磁盘$D$，满足朱利亚集$f$。对于集$A_R(f)$，这是“核心”的快速逃逸集，我们证明了更强的结果，对于一些$R>0$要么$A_R(f)$是连接的，并具有结构的一个无限的蜘蛛网或它有无数个组件，每个组件是无界的。当不存在多连通游荡域时，这些集合与朱利亚集的交集有类似的结果，但当存在多连通游荡域时，结果截然不同。在证明这些，我们得到了意想不到的结果，多连通游荡域可以有互补的组件没有内部，实际上是无数的。
Periodic points for meromorphic self-maps of Fujiki varieties
本文研究Fujiki类紧复流形上支配亚纯自映射的周期点增长，证明当拓扑次数严格大于其他动力学次数时孤立周期点数量呈指数增长，从而肯定Shou-Wu Zhang的猜想，并在一般情形下给出其指数增长的上界为代数熵。
A survey on permutable transcendental entire functions and their dynamics
综述1958年至2025年可交换超越整函数动力学成果，探讨其函数形式、动力学性质，分析基于点轨道动力学分类的子集关系及逃逸集分类，还讨论了相关集合的动力学关系与蹦极集和游荡域的情况。
Hausdorff dimension in quasiregular dynamics
本文研究三维空间中拟正则自映射，证明其快逃逸集的Hausdorff维数可取[1,3]内任意值，并在增长条件下估计Julia集的维数。
Spiders' webs in the Eremenko-Lyubich class
本文证明整函数 cosh(z) 的逃逸集乃至快速逃逸集均呈“蜘蛛网”结构，反驳并解答了相关猜想与问题。
Poincaré functions with spiders' webs
对于具有排斥不动点w的多项式p，我们考虑p在w处的庞加莱函数，即对于复平面中的所有z，满足L（0）=w和p（L（z））=L（p '（w）*z）的整函数L。我们证明，如果p的包含w的朱利亚集的分量等于{w}，则L的（快速）逃逸集是一个蜘蛛网;特别是它是连通的。更确切地说，我们分类的所有线性化的多项式关于蜘蛛网结构的所有点的集合逃脱速度比迭代的最大模函数在一个足够大的点。
Poincare linearizers in higher dimensions
众所周知，一个全纯函数在排斥不动点附近可以共轭到一个线性函数。共轭的函数被称为庞加莱线性化子，并且可以扩展为平面上的超越整函数。在本文中，我们研究了一个高维推广的庞加莱线性化的动力学。这是通过将$\R^m$中的一致拟正则映射在排斥不动点附近共轭到映射$x\mapsto 2x$而产生的。特别是，我们表明，这样的线性化的快速逃逸集具有蜘蛛网结构。
Recurrence of entire transcendental functions with simple post singular sets
研究了亚纯函数的逆函数的奇点轨道如何在其朱利亚集上定义动力学，至少直到一个Lebesgue测度为零的集合.我们集中在一个家庭的整个超越函数只有1000个奇异的逆，计数的多重性，所有这些要么逃逸指数快速或前周期。对于这些函数，我们能够决定函数是否是递归的。在朱利亚集不是整个平面的情况下，我们还得到了朱利亚集的测度的估计.
Permutable Quasiregular Maps
设$f$和$g$是$\mathbb{R}^d$中的两个超越型拟正则映射，它们也满足$f\circ g =g \circ f$ .证明了如果这两个函数的快速逃逸集包含在它们各自的朱利亚集中，则这两个函数必须具有相同的朱利亚集.对于具有无穷远向后轨道的可换拟亚纯函数，我们也得到了同样的结论。此外，我们证明了形式为$f$和$g=ϕ\circ f$的可置换拟正则函数，其中$ϕ$是拟共形映射，具有相同的朱利亚集，并且多项式型拟正则映射不能与超越型拟正则映射交换，除非它们的度小于或等于它们的伸缩.
Entire functions with Julia sets of positive measure
设f是一个超越整函数，其临界值和渐近值的集合是有界的。Denjoy-Carleman-Ahlfors定理意味着，如果所有z的集合，|f（z）|>R有N个分量，对于某个R>0，则f的阶至少为N/2。更精确地说，我们有log log M（r，f）>（N/2）log r - O（1），其中M（r，f）表示f的最大模。证明了如果f的增长速度不超过这个值，则f的逃逸集和朱利亚集都有正的勒贝格测度.然而，只要f的阶数超过N/2，这就不一定是真的。证明需要一个尖锐的形式的估计有关的Tsuji Denjoy-Carleman-Ahlfors定理。
A fast and simple modification of Newton's method helping to avoid saddle points
本文提出新Q-牛顿法。更新规则在概念上非常简单，例如$x_{n+1}=x_n-w_n$，其中$w_n=pr_{A_n,+}(v_n)-pr_{A_n,-}(v_n)$，具有$A_n=\nabla ^2f(x_n)+δ_n||\nabla f(x_n)||^2.Id$和$v_n=A_n^{-1}.\nabla f(x_n)$。这里$δ_n$是一个适当的实数，使得$A_n$是可逆的，而$pr_{A_n,\pm}$是由$A_n$的正（相应地负）特征值的特征向量生成的向量子空间的投影。本文的主要结果大致是：若$f$是$C^3$（可从下无界），且是由任意初始点$x_0$用新Q-牛顿法构造的序列$\{x_n\}$，{ \bf收敛}，则极限点是临界点而不是鞍点，且收敛速度与牛顿法相同.第一作者最近成功地将回溯线搜索新Q-牛顿法，从而解决了收敛保证问题观察到的一些（非光滑）成本函数。本文将讨论一个应用于一元亚纯函数零点的快速求法。针对诸如BFGS和自适应立方正则化之类的公知算法进行了各种实验。
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