On multiplicatively dependent vectors of algebraic numbers
Francesco Pappalardi, Min Sha, Igor E. Shparlinski, Cameron L. Stewart
本文给出了定次数、定数域、有界高度的代数数的乘相依向量个数的几个渐近公式。
In this paper, we give several asymptotic formulas for the number of multiplicatively dependent vectors of algebraic numbers of fixed degree, or within a fixed number field, and bounded height.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the distribution of multiplicatively dependent vectors
本文研究了乘相依向量的分布。例如，虽然它们的Lebesgue测度为零，但它们在$\mathbb{R}^n$和$\mathbb{C}^n$中处处稠密。我们还研究了这个属性，在一个更详细的方式，通过考虑覆盖半径这样的向量。
Multiplicatively dependent integer vectors on a hyperplane
本文研究固定超平面上有界高度乘法相关整数向量的计数，给出渐近公式与上界，扩展了先前工作。
On multiplicatively dependent vectors of polynomial values
本文研究整系数多项式在整点取值构成乘法相关向量的问题，给出有界高度下解数量的上界，并在一定条件下证明分量互素整点解的有限性。
On multiplicatively independent bases in cyclotomic number fields
最近，作者证明了$-m+ζ_k$形式的代数整数是$\mathbb{Z}[ζ_k]$的一个标准数系的基，只要有$m\geq ϕ(k)+1$，其中$ζ_k$表示$k$的原单位根，$ϕ$是欧拉函数.本文研究两个基$-m+ζ_k$和$-n+ζ_k$是否乘法独立的问题.我们证明了在$0<|m-n|<10^6$和$|m|,|n|> 1$的情况下的乘法独立性。
Multiplicative dependence of the translations of algebraic numbers
本文首先证明了给定两两不同的代数数$α_1, \ldots, α_n$，对于所有充分大的整数$t$，数$α_1+t, \ldots, α_n+t$是乘法独立的.然后，对于一对不同的整数$(a,b)$，我们研究了有多少对$(a+t,b+t)$是乘法依赖时，$t$运行通过的整数。对于这样一对$(a,b)$与$b-a=30$，我们表明，有$13$整数$t$对$(a+t,b+t)$是乘法依赖。我们猜想，$13$是最大的值，这样的翻译为任何$(a,b)$，其中$a \ne b$，证明这对所有的$(a,b)$与差异最多$10^{10}$，并假设$ABC$猜想是真的，表明，对于任何这样的对$(a,b)$，$a \ne b$，有一个绝对的约束$C_1$（独立于$a$和$b$）的数量上的翻译$t$。
Effective bounds on multiplicatively dependent orbits of integer polynomials modulo S-integers
我们得到了轨道包含乘相依值模S-整数的代数整数的高度的有效界。我们的方法是基于一个新的上界上所谓的S-高度的多项式值的整数环$\mathbb{K}$。我们的结果提供了A.Bérczes，A.Ostafe，I.E.Shparlinski和J.H.Silverman（arXiv：1811.04971）关于模乘依赖的最近结果的一个有效变体，通过消除K.F.Roth和G. Faltings的非有效结果的使用.
Multiplicatively badly approximable matrices up to logarithmic factors
令$\|x\|$表示从$x\in\mathbb{R}$到最近整数的距离。本文证明了满足$$\liminf_{|\boldsymbol{q}|_{\infty}\to +\infty}\prod_{j=1}^{n}\max\{1,|q_{j}|\}\log\left(\prod_{j=1}^{n}\max\{1,|q_{j}|\}\right)^{m+n-1}\prod_{i=1}^{m}\|A_{i}\boldsymbol{q}\|>0,$$的矩阵$\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{m\times n}$的一个存在性和稠密性定理，其中向量$\boldsymbol{q}$在$\mathbb{Z}^{n}$中，$A_{i}$是矩阵$\boldsymbol{A}$的行.这一结果将Moshchevitin关于$2$维向量的一个结果推广到任意维。将Moshchevitin方法应用于病例$m>2$所需的估计值目前不可用。因此，我们开发了一种完全不同的方法，使我们能够克服这个问题。我们还将这个存在性结果推广到非齐次环境。具有上述性质的矩阵似乎具有非常小的分数部分倒数之和。这一事实有助于我们阐明Lê和Vaaler提出的一个问题，从而证明了高维中这类和的一些新的估计。
On Multiplicatively Badly Approximable Vectors
本文将 Badziahin 关于 Littlewood 猜想的乘积修正结果推广至任意 $d$ 维实向量，利用适配有理逼近乘积研究的新版 Dani Correspondence 给出了 $d=2$ 情形的新证明。
Algebraic Numbers, Hyperbolicity, and Density Modulo One
我们证明了${λ_1^m μ_1^n ξ_1 +...+λ_k^m μ_k^n ξ_k : m,n \in \mathbb N}$模1形式的集合的密度，其中$λ_i$和$μ_i$是乘法独立的代数数，满足一些额外的假设。证明的基础上分析的动力学高阶行动紧阿贝尔群。
A pseudoexponentiation-like structure on the algebraic numbers
伪指数域是类似于复指数的指数域，满足Schanuel性质，这是Schanuel猜想的抽象陈述，也是存在闭包的一种适应形式。在这里，我们表明，如果我们删除Schanuel性质，只关心存在闭包，有可能创建几个存在封闭的指数函数的代数数，仍然有相似之处，复指数。主要的困难是有关的算术的代数数，他们可以克服与已知的结果专业化的乘法独立功能的代数簇。
Multiplicative dependence in the sumset of multiplicative groups
该研究针对有限生成且交集为有限群的代数数乘法群Γ、Δ，探讨其和集元素的乘法相关性，证明二元和的相关结论，并在abc猜想下对三元相关和分类。
Mahler's method in several variables and finite automata
我们开发了一个理论的线性马勒系统在几个变量的超越性和代数独立性的角度来看，其中还包括处理与足够独立的矩阵变换的几个系统的可能性。我们的主要结果远远超出了现有文献，也超过了作者在2018年在arXiv上提供的两个未发表的预印本。主要的新特点是，他们现在适用于没有任何限制的矩阵定义相应的马勒系统。作为结果，我们解决了几个问题，关于数的扩张乘法独立的基础。例如，我们证明了无理数实数在两个乘法独立的整数基中不能自动化，我们给出了自动机理论中Cobham定理的一个新的证明和一个广泛的代数推广。我们还提供了一个新的证明和多元推广西冈定理，一个里程碑式的结果在马勒的方法。
Lower Bounds for Heights in Relative Galois Extensions
本文的目标是获得一个代数数的高度在一个相对设置的下界，扩展以前的工作Amoroso和Masser。具体地说，在我们的第一个定理中，我们得到了一个有效的界限高度的代数数$α$时，基域$\mathbb{K}$是数域和$\mathbb{K}(α)/\mathbb{K}$是伽罗瓦。我们的第二个结果建立了一个明确的高度界为任何非零元素$α$这不是一个单位根在伽罗瓦扩展$\mathbb{F}/\mathbb{K}$，取决于程度的$\mathbb{K}/\mathbb{Q}$和共轭的$α$是乘法独立的$\mathbb{K}$。因此，我们得到了这样的$α$，是独立的乘法独立性条件的高度界。
Twisted Thue equations with multiple exponents in fixed number fields
设$K$是一个次数为$d\geq 3$的数域，并固定$s$为满足某些技术要求的乘法独立代数整数$γ_1, \dots, γ_s \in K^*$，在Schanuel猜想下，可以大大简化为$\mathbb{Q}$ -线性独立.然后我们考虑扭曲的图厄方程\[ \left|N_{K/\mathbb{Q}}\left(X-γ_1^{t_1}\cdotsγ_s^{t_s}Y\right)\right| = 1, \]，并证明了它只有三个解$(x,y, (t_1, \dots, t_s) )$与$xy \neq 0$和$\mathbb{Q}\left( γ_1^{t_1}\cdots γ_s^{t_s} \right) = K$，所有这些都是有效的可计算的。
Mahler's method in several variables II: Applications to base change problems and finite automata
这是第二部分的工作致力于研究线性马勒系统的几个变量的角度超越和代数的独立性。从第一部分中得到的提升定理，我们首先推导出一个一般性的结果，表明马勒函数在几个变量，与变换具有乘法依赖的谱半径，采取代数独立的值在代数点，只要这些点是足够独立的。然后，我们专注于这一结果的应用程序和本工作的第一部分的两个主要结果。我们的主要应用关注的问题，自然和实数的整数基础，涉及自动机理论的表示。这些可以被翻译成代数关系在$\overline{\mathbb Q}$之间的值的马勒函数在一个变量。我们也将我们的结果应用到Mahler函数及其特殊化的代数独立性，以及Hecke-Mahler级数的值的研究。
On the order modulo p of an algebraic number (for p large enough)
设K/Q是伽罗瓦，且eta在K* 中，其共轭是乘法独立的.对一个非分歧的素数p，设np是p的剩余度，gp是P的个数，则o P（eta）和o p（eta）分别是eta模P和p的阶.利用弗罗贝尼乌斯自同构，我们证明了对所有p \textgreater{} \textgreater{} 0，p^（np）-1的某些显式因子不能实现o P（eta）和o p（eta），并给出了o p（eta）的一个下界，从而得到对所有p \textgreater{} \textgreater{} 0，使得np \textgreater{} 1，有Prob（o p（eta）\textless{} p）$\le$ 1/p^（gp.（np-1）-n（n）），其中n = O（1/（log_2（p）;在Borel-Cantelli启发式算法下，这导致对于所有p \textgreater{} \textgreater{} 0的o\_p（eta）\textgreater{} p，使得gp.（np-1）$\ge$ 2，它覆盖了np=3的三次域和np=gp=2的四次域的“极限”情况，但不包括np=2的二次域的情况。在二次情形下，自然的猜想是，对无穷多个惰性p，o_p（eta）\textless{} p成立.用PARI程序给出了一些计算.
Algebraic formulas for the coefficients of mock theta functions and Weyl vectors of Borcherds products
我们提出了一些应用的Kudla-Millson和Millson θ电梯。这两种提升分别将弱全纯模函数映射到权值为$3/2$和$1/2$的向量值调和马斯形式。给出了Ramanujan模拟θ函数$f(q)$和$ω(q)$的系数关于弱全纯模函数的CM-值的迹的有限代数公式.进一步，我们构造了阴影为一元θ函数，全纯部分具有有理系数的向量值调和Maass型.这产生模拟θ函数的系数的合理性结果，即，阴影位于一元θ函数空间的调和马斯形式。此外，我们构造的调和Maass型还可以用来计算具有调和Maass型的一元θ函数的Petersson内积，给出了Borcherds乘积的Weyl向量的计算公式和合理性结果.
On cohomology of Witt vectors of algebraic integers and a conjecture of Hesselholt
设$K$是特征为零的完备离散域，其剩余域$k_K$的特征为$p > 0$ .设$L/K$是有限Galois扩张，其Galois群为$G$，并假定剩余域$k_L/k_K$的导出扩张是可分的. Hesselholt在他的论文中证明了$H^1(G,W(\sO_L))$是零，其中$\sO_L$是$L$的整数环，$W(\sO_L)$是$\sO_L$的Witt环。最好的$p$他部分证明了这一猜想的一大类扩展。在本文中，我们证明了Hesselholt猜想的所有伽罗瓦扩张。
An Alternative Proof of Hesselholt's Conjecture on Galois Cohomology of Witt Vectors of Algebraic Integers
设$K$是特征为零的完全离散赋值域，其剩余域$k_K$的特征为$p>0$。设$L/K$是有限Galois扩张，其Galois群为$G=\Gal(L/K)$，并假定剩余域$k_L/k_K$的导出扩张是可分的.设$\mathbb{W}_n(\cdot)$表示长度为$n$的$p$ -典型Witt向量的环. Hesselholt证明了亲阿贝尔群$\{H^1(G,\mathbb{W}_n(\mathcal{O}_L))\}_{n\geq 1}$同构于零.霍加迪和皮索尔卡最近为这一猜想提供了证据。本文给出了Hesselholt猜想的另一种证明，它在几个方面都比较简单。
Computer Algebra of Vector Bundles, Foliations and Zeta Functions and a Context of Noncommutative Geometry
本文给出了应用代数几何和计算机代数研究代数向量丛、叶理和zeta函数的一些方法和结果。本文将考虑这些方法和结果与非交换几何的联系。
On Algebraic Integrability of Vector Fields with Rational Function Coefficients that Separate Variables
本文针对变量分离的有理函数系数向量场，证明其代数可积性的充要条件，验证相关广义猜想，最终给出这类向量场及其一积分的系数显式公式。
Moduli Stacks of Vector Bundles and Frobenius Morphisms
本文描述了特征p上有限域上代数曲线上定秩行列式代数向量丛模栈的上同调环上的不同弗罗贝尼乌斯态射的作用，并分析了特殊情况，如射影线上的向量丛以及与无限格拉斯曼的关系.
Directional $p$-Adic Littlewood Conjecture for Algebraic Vectors
本文研究了代数向量的位移大小与方向分布，给出了Bugeaud关于代数向量满足p-adic Littlewood猜想结果的新证明，并利用该证明对逼近缺陷方向序列的极限分布进行了分类。
Multiband linear cellular automata and endomorphisms of algebraic vector groups
本文建立了多带线性元胞自动机与有限域上代数幂幺群自同态之间的对应关系，并利用代数方法推导出不动点数、zeta函数二分性及周期轨道数的新结果。
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