James Zhang和Jun Zhang [26]引入了双Ore扩张来研究一类Artin-Schelter正则代数。本文给出了Poisson双扩张的一个定义，它可以看作是双Ore扩张的一个类比，并证明了一类双Ore扩张中的代数是Poisson双扩张的变形量子化.我们还研究了Poisson双扩张的模导子以及Poisson双扩张与迭代Poisson多项式扩张之间的关系。最后用实例说明了结果。
英文摘要：
A double Ore extension was introduced by James Zhang and Jun Zhang [26] to study a class of Artin-Schelter regular algebras. Here we give a definition of Poisson double extension which may be considered as an analogue of double Ore extension and show that algebras in a class of double Ore extensions are deformation quantizations of Poisson double extensions. We also investigate the modular derivations of Poisson double extensions and the relationship between Poisson double extensions and iterated Poisson polynomial extensions. Results are illustrated by examples.
在[1]中，作者给出了量子多项式$\mathcal{O}_q$代数上的泊松括号，称之为\textit{ general algebra of quantum polynomials} .本文的主要目的是通过对环$A$的某些斜PBW扩张的泊松括号的描述，用扩张$\mathcal{O}^{r,n}_{q,δ}$给出[1]的推广，它是$\mathcal{O}_q$的推广，并给出了一些可以应用这种描述的斜PBW扩张的例子.
本文研究了在结合代数上耦合的双泊松括号，引入了满足交叉雅可比恒等式的广义Van den Bergh双泊松括号和广义Fairon-McCulloch右双泊松括号，建立了与Ginzburg-Schedler轮泊松括号的双射关系，并在自由多项式代数上建立了线性耦合双泊松括号与新的代数结构Poisson-left-pre-Lie代数的一一对应关系。
我们发展了双乘法Poisson顶点代数的理论。这些结构，定义在结合代数的水平上，是这样的，他们诱导相应的表示空间上的乘法Poisson顶点代数的经典结构。此外，我们还证明了它们与Van den Bergh的双Poisson代数中的一类新的重要的局部格双Poisson代数一一对应。我们得到了几个分类结果，并展示了它们与非交换可积微分差分方程的关系。在非局部有理情形下，给出了双乘Poisson顶点代数的严格定义。
Morphisms of double (quasi-)Poisson algebras and action-angle duality of integrable systems
双（拟）Poisson代数是Van den Bergh作为赋（拟）泊松括号代数的非交换类似物而引入的。在这项工作中，我们提供了一个研究的态射的双重（拟）Poisson代数，我们涉及到$H_0$ -Poisson结构的Crawley-Boevey。特别证明了Van den Bergh定义的双（拟）Poisson代数结构在同构下只依赖于作为无向图的Poisson代数.从我们的结果中，我们得到了几个经典可积系统的作用角对偶的表示论描述。
Double Poisson vertex algebras and non-commutative Hamiltonian equations
我们发展了双Poisson顶点代数（局部和非局部）的形式，旨在研究非交换Hamilton偏微分方程。这是由Van den Bergh发展的双Poisson代数理论的推广，该理论用于研究Hamilton常微分方程。我们应用我们的双Poisson顶点代数理论的非交换KP和Gelfand-Dickey层次。我们还构造了相关的非交换的de Rham和变分复形。
Quasi-Poisson varieties from double quasi-Poisson algebras in types $B,C,D$
Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京国际数学研究中心）；Université Bourgogne Europe, CNRS, IMB UMR 5584（勃艮第欧洲大学，法国国家科学研究中心，IMB UMR 5584）
Around Van den Bergh's double brackets for different bimodule structures
一个双泊松括号，在M. Van den Bergh是结合代数$A$上的一种运算，它以显式的方式在每个表示空间$\operatorname{Rep}(A,n)$上导出一个Poisson括号。在这篇文章中，我们研究了改变双括号下的莱布尼茨规则的影响。该变更相当于在$A\otimes A$上适当选择$A$-双模结构。在最重要的情况下，我们描述了如何选择的$A$-双模结构固定一个类似的Jacobi恒等式，我们得到诱导泊松括号上的表示空间。本理论还编码的形式化的广泛张量符号用于编写泊松括号中的矩阵数学物理。
我们将Poisson代数的推广与经典的和结合的杨-巴克斯特方程联系起来。特别地，我们证明了向量空间V上的经典杨-巴克斯特方程的解等价于张量代数TV上的“扭曲”泊松代数结构。这里，“扭曲”指的是在阶化向量空间的范畴中工作，该范畴配备了n次的S_n-作用。我们证明了结合杨-巴克斯特方程与Van den Bergh的双Poisson代数具有相似的关系。我们推广到L-无穷代数，定义了杨-巴克斯特方程和双Poisson代数的“无穷”形式。的证据是基于观察，李基本上是唯一的二次运算具有一定的分配性质的交换运算，我们也给了L-无穷大的推广。在附录中，我们证明了Schur-Weyl对偶的一个推广形式，它与V的n次张量幂幂上的非标准S_n-模结构的使用有关。
