Proof of tightness of Varshamov - Gilbert bound for binary codes
Vladimir Blinovsky
本文证明了线性二元码的Varshamov-Gilbert界的右对数渐近的紧性，并找到了线性码的一般渐近编码界
We prove tightness of right logarithmic asymptotic of Varshamov- Gilbert bound for linear binary codes We find general asymptotic coding bound for linear codes
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Quantum Gilbert-Varshamov Bound Through Symplectic Self-Orthogonal Codes
众所周知，量子码可以由经典的辛自正交码构造。本文首先给出了辛自正交码的Gilbert-Varshamov界，然后给出了量子码的Gilbert-Varshamov界。辛自正交码的Gilbert-Varshamov界的概念是从计数参数出发的。
Asymptotic Improvement of the Binary Gilbert-Varshamov Bound on the Code Rate
我们计算了通过贪婪构造奇偶检验矩阵得到的二元线性码的码参数。然后，我们表明，这些代码提高Gilbert-Varshamov（GV）界的代码大小和速率。这一结果反证了二元GV界的渐近正合性猜想。
Random Gilbert-Varshamov Codes for Joint Source-Channel Coding
本文提出随机吉尔伯特-瓦尔沙莫夫码用于联合源-信道编码，证明其能达到随机编码和删减误差指数的最大值。
Algebraic geometry codes with complementary duals exceed the asymptotic Gilbert-Varshamov bound
Massey证明了线性互补对偶码（简称LCD码）是渐近好码。在2004年，Sendrier证明了LCD码满足渐近Gilbert-Varshamov（简称GV）界。到目前为止，GV界仍然是LCD码的最佳渐近下界。本文证明了偶特征有限域上的代数几何码等价于LCD码，从而存在一族等价于代数几何码且超过渐近GV界的LCD码.
Asymptotic improvement of the Gilbert-Varshamov bound for linear codes
Gilbert-Varshamov界是指一个长度为n，最小距离为d的二进制码的最大长度A_2（n，d）满足A_2（n，d）≥ 2^n/V（n，d-1），其中V（n，d）表示半径为d的汉明球的体积。最近Jiang和Vardy证明了对于二元非线性码，当c为常数，d/n ≤ 0.499时，这个界可以改进为A_2（n，d）>= cn2^n/V（n，d-1）.本文证明了线性二元[n，n/2]随机双循环码的某些渐近族满足相同的改进Gilbert-Varshamov界。
Two Gilbert-Varshamov Type Existential Bounds for Asymmetric Quantum Error-Correcting Codes
本文给出了非对称量子纠错码的Gilbert-Varshamov型存在界的两种形式。
Non-linear Cyclic Codes that Attain the Gilbert-Varshamov Bound
证明了存在达到Gilbert-Varshamov界的非线性二元循环码。
Long Nonbinary Codes Exceeding the Gilbert - Varshamov Bound for any Fixed Distance
设A（q，n，d）表示长度为n、距离为d的q元码的最大长度。本文研究了当q和d固定时，当n增长时的最小渐近冗余度ρ（q，n，d）=n-log_qA（q，n，d）.对于任意d和q<=d-1，设计了改进BCH码的长代数码，并使其具有迄今已知的最低渐近冗余度ρ（q，n，d）<=（（d-3）+1/（d-2））logqn.在此之前的工作，代码的固定距离，渐近超过BCH码和Gilbert-Varshamov界设计的距离为4，5和6。
Generalized Random Gilbert-Varshamov Codes: Typical Error Exponent and Concentration Properties
本文给出了在DMC信道下广义似然译码下的常数复合广义随机Gilbert-Varshamov（RGV）码的精确的典型误差指数。我们表明，典型的RGV集成的错误指数是等于删除的错误指数，只要RGV码本参数选择适当。我们还证明了随机编码指数依概率收敛于典型误差指数，并导出了相应的非渐近集中率。我们的结果表明，下尾的衰减率是指数，而上尾的衰减率是双指数以上的删除误差指数。的RGV距离函数的衰减率的明确依赖的特点。
Beating the Gilbert-Varshamov Bound for Online Channels
在在线信道编码模型中，发送方希望通过发送码字x =（x_1，.，x_n）在{0，1}^n中逐位地经由限于至多PN损坏的信道。在第i步信道决定是否翻转第i比特的意义上，信道是在线的，并且其决定仅基于到目前为止传输的比特，即，（x_1，.，x_i）。这与经典的对抗信道形成对比，在经典的对抗信道中，损坏由对发送的码字x具有完全知识的信道选择。在线信道和经典对抗信道的容量的最著名的下限是众所周知的Gilbert-Varshamov界限。在本文中，我们证明了一个下界的在线信道的能力，击败Gilbert-Varshamov界的任何积极的p，使H（2 p）< 0.5（其中H是二进制熵函数）。要做到这一点，我们证明，对于任何这样的p，随机选择的代码与最近邻解码器相结合，以高概率达到严格高于吉尔伯特-Varshamov界（在线信道）的速率。
Asymptotic Gilbert-Varshamov bound on Frequency Hopping Sequences
给定长度为$n$、大小为$M$且具有汉明相关$H$的$q$元跳频序列集，可以得到长度为$n$、大小为$nM$且具有汉明距离$n-H$的$q$元（非线性）循环码.因此，来自编码理论的码的大小的每个上界给出跳频序列集的大小的上界。实际上，来自编码理论的所有上界已经被转换为跳频序列集（\cite{Ding09}）的上界。另一方面，来自编码理论的下限不会自动产生跳频序列集的下限。特别是，编码理论中最重要的下界Gilbert-Varshamov界尚未转化为跳频序列集。通过建立一类特殊的循环码（本文称之为跳频循环码）与跳频序列集之间的联系，将编码理论中的Gilbert-Varshamov界转化为跳频序列集。我们给出了Gilbert-Varshamov界的两个证明。一种是基于概率的方法，需要先进的工具--鞅。这个证明覆盖了整个速率区域。另一个证明是纯初等的，但只覆盖了部分速率区域。
Self-Dual Codes better than the Gilbert--Varshamov bound
证明了如果存在长度为$n$的自对偶码，则$\mathbb F_q$上长度为$n$的自正交码都可以推广为自对偶码.利用代数函数域的伽罗瓦塔族，证明了在任何非素域$\mathbb F_q$上，除了可能的$q=125$之外，有$q\geq 64$的自对偶码优于渐近Gilbert-Varshamov界.
MDS, Hermitian Almost MDS, and Gilbert-Varshamov Quantum Codes from Generalized Monomial-Cartesian Codes
本文利用广义单项式-笛卡尔码和显式扭转向量构造新的稳定子量子纠错码，给出最小距离与维数公式，并证明其在m=2时的一族无限参数下优于Gilbert-Varshamov界。
Generalized Random Gilbert-Varshamov Codes
我们介绍了一种随机编码技术的离散无记忆信道传输，让人想起的基本建设达到吉尔伯特Varshamov界的代码在汉明空间。代码构造基于从固定类型类递归地绘制码字，以这样的方式，新生成的码字必须根据一些通用距离函数与所有先前选择的码字处于某个最小距离。我们推导出一个可实现的误差指数，这个建设，并证明其紧密性相对于合奏平均。我们表明，指数恢复Csiszár和K{<$}rner指数作为一个特殊的情况下，这是已知的至少是一样高的随机编码和删除的指数，我们建立的距离函数的某些选择的最优性。此外，对于加性距离和解码度量，我们提出了一个等价的对偶表达式，以及通过成本约束随机编码推广到无限字母表。
Improved Gilbert-Varshamov Bound for Entanglement-Assisted Asymmetric Quantum Error Correction by Symplectic Orthogonality
提出并证明了一个纠缠辅助非对称量子纠错的存在定理。然后，我们证明了它的优越性比传统的。
Improving the Gilbert-Varshamov Bound by Graph Spectral Method
本研究利用Cayley图性质计算Gilbert图的特征值与特征向量，通过图谱方法改进了Gilbert-Varshamov界，同时给出了计算该界的算法及满足该界的线性码。
Subquadratic time encodable codes beating the Gilbert-Varshamov bound
我们构建明确的代数几何代码建立从加西亚-Stichtenoth函数场塔击败吉尔伯特-Varshamov界的字母表大小至少为192。消息被识别为某些Riemann-Roch空间中的函数，该空间与多个位置上支持的因子相关联。编码相当于在一级位置对这些函数求值。通过利用Garcia-Stichtenoth塔的代数结构，我们设计了一个复杂的确定性ω/2 < 1.19运行时指数编码和1+ω/2 < 2.19期望运行时指数随机（唯一和列表）解码算法。这里ω< 2.373是矩阵乘法指数。如果ω= 2，正如人们普遍认为的那样，编码和解码运行时间分别接近线性和接近二次。在此之前，编码（resp。解码）时间的代码家庭击败吉尔伯特-Varshamov界是二次（分别。cubic）或更糟。
Asymptotic Improvement of the Gilbert-Varshamov Bound on the Size of Permutation Codes
给定正整数$n$和$d$，令$M(n,d)$表示长度为$n$和最小汉明距离$d$的置换码的最大大小。Gilbert-Varshamov界断言$M(n,d) \geq n!/V(n,d-1)$，其中$V(n,d)$是半径为$d$的汉明球在$§_n$中的体积。最近，Gao，Yang和Ge表明，当$d$固定且$n \to \infty$。在这里，我们考虑的情况下，比例$d/n$是固定的，并改善吉尔伯特-Varshamov约束的一个因素，即\emph{linear in $n$}。也就是说，我们表明，如果$d/n < 0.5$，那么$$ M(n,d)\geq cn\,\frac{n!}{V(n,d-1)} $$，其中$c$是一个正常数，只依赖于$d/n$。为了建立这个结果，我们遵循Jiang和Vardy的方法。也就是说，我们重铸的问题绑定$M(n,d)$到图论框架，并证明所得到的图是局部稀疏的。
A generalisation of the Gilbert-Varshamov bound and its asymptotic evaluation
将Turan定理应用于顶点集为{0，1，.}的图，得到了长度为n且最小汉明距离至少为d的q元码的最大基数的Gilbert-Varshamov（GV）下界，q-1}^n，其中两个顶点相连当且仅当它们的汉明距离至少为d。我们将Turan定理推广到顶点集为C^n的图，其中C是长度为m的q元码，两个顶点相连当且仅当它们的汉明距离至少为d。我们渐近地估计了n-> \infty和d δmn的界，并导出了C的距离分布的条件，这些条件是渐近广义界优于渐近GV界的充分必要条件.通过调用Delsarte不等式，我们得出结论，没有得到的渐近GV界的改善。利用Caro和Wei对Turan定理的改进，我们改进了我们的界。它是未定的，如果存在一个代码C的改进的界可以击败渐近GV界。
Asymptotic Improvement of the Gilbert-Varshamov Bound on the Size of Binary Codes
给定正整数$n$和$d$，令$A_2(n,d)$表示长度为$n$且距离为$d$的二进制码的最大大小。著名的Gilbert-Varshamov界断言$A_2(n,d) \geq 2^n/V(n,d-1)$，其中$V(n,d) = \sum_{i=0}^{d} {n \choose i}$是半径为$d$的汉明球的体积。我们证明，事实上，存在一个正的常数$c$，使$$ A_2(n,d) \geq c \frac{2^n}{V(n,d-1)} \log_2 V(n,d-1) $$每当$d/n \le 0.499$。结果如下通过重铸吉尔伯特- Varshamov界到图论框架和使用的事实，相应的图是局部稀疏的。这个结果的推广和扩展进行了简要的讨论。
Finite-Degree Quantum LDPC Codes Reaching the Gilbert-Varshamov Bound
本文通过构造Hsu-Anastasopoulos码和MacKay-Neal码的嵌套CSS码对，证明在固定度数下，编码率和相对距离均远离零，且确定了满足经典Gilbert-Varshamov界限的偶度数选择。
Evaluating the Gilbert-Varshamov Bound for Constrained Systems
本文研究约束系统的 GV 界，给出求解 Kolesnik-Krachkovsky 与 Marcus-Roth 两类优化问题的数值计算及曲线简化方法，并在单状态图表示下提供显式公式。
Gilbert-Varshamov Bound for Codes in $L_1$ Metric using Multivariate Analytic Combinatorics
本文应用多元解析组合论工具确定了 $L_1$ 度量下最优码率的 Gilbert-Varshamov 下界，分析了受多种实际数据存储与传输信道启发的码空间。
Improved Gilbert-Varshamov bounds for hopping cyclic codes and optical orthogonal codes
跳频循环码（HCC）是具有每个给定码字的$n$循环移位都是不同的附加性质的（非线性）循环码，其中$n$是码长。等重二进制跳频循环码也被称为光正交码（OOC）。HCC和OOC具有各种实际应用，多年来已被广泛研究。本文的主要内容是提出改进的Gilbert-Varshamov型下界的这些代码时，最小距离的有界下的一个线性因子的代码长度。对于HCC，我们提高了以前最好的牛，邢，袁的代码长度的线性因子的下限。对于OOCs，我们提高了以前最有名的下界的钟，Salehi，魏，杨和Fuja的代码长度的二次因子。作为副产品，我们还提供了改进的下界跳频序列集和纠错弱互不相关码。我们的证明是基于概率论和图论的工具，特别是McDiarmid的不平等的浓度Lipschitz函数和独立数的局部稀疏图。
When Do Low-Rate Concatenated Codes Approach The Gilbert-Varshamov Bound?
本文研究单随机线性内码的级联码能否达到GV界，证明多数线性外码可实现该目标并给出两个充分条件，为构造显式GV界码提供新思路。
Improvement of the Gilbert-Varshamov Bound for Linear Codes and Quantum Codes
本文提出了一种简洁的概率方法，改进了线性码和量子码的吉尔伯特-瓦拉姆什夫界，通过自正交结构分析，提升了量子码的性能
Exponential decay of intersection volume with applications on list-decodability and Gilbert-Varshamov type bound
给出了度量空间中球有小交的一些自然的充分条件。粗略地说，当度量空间是（i）膨胀的，（ii）良好分布的，以及（iii）球边界上的某个随机变量有一个小尾巴时，就会发生这种情况。作为应用，我们证明了球在Hamming、Johnson空间和对称群中的相交体积随它们的中心漂移而指数衰减。为了验证条件（iii），我们证明了具有利普希茨条件的函数在切片上的大偏差不等式.然后，我们使用这些估计的交集体积$\bullet$随机$q$ -ary码的列表可解码性得到了一个尖锐的下界，证实了李和伍特斯的猜想;和$\bullet$改进经典界Levenshtein从1971年的常数重量码的一个因素，线性的尺寸，解决了一个问题提出的江和Vardy。我们的概率的观点也提供了一个统一的框架，以获得其他吉尔伯特-Varshamov型界限的改进，给概念上简单和计算的证明$q$ -ary码，置换码，和球形码。另一个结果是对代码数量的计数结果，显示了大代码的大量存在。
Partially Concatenated Calderbank-Shor-Steane Codes Achieving the Quantum Gilbert-Varshamov Bound Asymptotically
本文利用级联方案构造了一类新的量子纠错码，使其渐近达到量子Gilbert-Varshamov（GV）界。我们级联交替码与任何线性码实现经典GV界构造Calderbank-Shor-Steane（CSS）码。我们证明了级联码可以渐近地达到量子GV界，并且可以接近非对称泡利信道的哈希界。通过结合Steane的CSS码的扩大构造，我们得到了一族渐近达到扩大CSS码的量子GV界的扩大稳定子码。作为应用，我们得到了两个家庭的快速可编码和可解码的CSS码参数$\mathscr{Q}_1=[[N,Ω(\sqrt{N}),Ω( \sqrt{N})]],$和$\mathscr{Q}_2=[[N,Ω(N/\log N),Ω(N/\log N)/Ω(\log N)]].$我们表明，$\mathscr{Q}_1$可以非常有效地编码电路的大小$O(N)$和深度$O(\sqrt{N})$。对于输入错误伴随式，$\mathscr{Q}_1$可以在$O(N)$时间内纠正权重高达最小距离界限一半的任何对抗性错误。还可以通过使用$O(\sqrt{N})$经典处理器在$O(\sqrt{N})$时间内并行解码$\mathscr{Q}_1$。对于一个输入错误伴随式，我们证明了$\mathscr{Q}_2$能够以高概率纠正线性数目的${X}$ -错误，并且在$O(N )$时间内纠正几乎线性数目的${Z}$ -错误.此外，通过…
List Decodability of Symbol-Pair Codes
本文研究了符号对码的列表可译码性。首先，我们证明了每个符号对码的列表可译码性不超过Gilbert-Varshamov界。另一方面，我们能够证明，以高概率，一个随机符号对码可以列表解码的Gilbert-Varshamov界。本文的第二个结果是导出Johnson型界，即，在最小距离方面的列表解码半径的下限。最后，我们给出了一个超越Johnson型界的Reed-Solomon码的列表译码算法。
Improving the Gilbert-Varshamov bound for permutation Codes in the Cayley metric and Kendall $τ$-Metric
本文利用图论方法，将凯莱度量和Kendall τ-度量下置换码的Gilbert-Varshamov界分别渐近改进了一个log(n)因子。
Cumulative Distance Enumerators of Random Codes and their Thresholds
引入了随机线性码的累积重量计数器，研究了它们的渐近性质，并给出了非常尖锐的阈值，从而证明了对于相对距离大于给定正数的线性码的密度，渐近Gilbert-Varshamov界是一个非常尖锐的阈值.对于任意随机码，类似的设置和结果展出，特别是，非常尖锐的阈值点的相对距离大于一个给定的正数的代码的密度位于一半的渐近吉尔伯特Varshamov界。
Tracing AG Codes: Toward Meeting the Gilbert-Varshamov Bound
针对编码理论中用显式二进制码匹配GV界的古老问题，本研究通过对能超越GV界的AG码取迹得到TAG码，提出适配的Hasse-Weil型定理分析其参数，虽未获改进构造但明确界强化条件，还揭示其高距离下不及级联码的局限。
Bounds and Genericity of Sum-Rank-Metric Codes
我们推导出简化的球包装和吉尔伯特-Varshamov界的代码的和秩度量，可以计算得比以前的更有效。它们产生的渐近界，覆盖的渐近设置，尚未被认为在文献中：家庭的和秩度量码的块大小增长的代码长度。我们还提供了两个通用的结果：我们表明，随机线性码几乎实现了高概率的和秩度量Gilbert-Varshamov界。此外，我们推导出一个随机线性码达到秩和度量Singleton界的概率上的界，表明对于足够大的扩展域，几乎所有的线性码都能实现它。
Unique Decoding of Explicit $ε$-balanced Codes Near the Gilbert-Varshamov Bound
Gilbert-Varshamov界（非构造性地）建立了距离$1/2 -ε$和速率$Ω(ε^2)$的二进制码的存在性（其中$O(ε^2\log(1/ε))$的上界是已知的）。Ta-Shma [STOC 2017]给出了$ε$平衡二进制码的显式构造，其中任何两个不同的码字都位于$1/2 -ε/2$和$1/2+ε/2$之间的距离处，实现了接近最佳速率的$Ω(ε^{2+β})$，其中$β\to 0$为$ε\to 0$。我们开发独特的和列表解码算法（基本上）的家庭的代码构造的Ta-Shma。我们证明了以下结果$ε$平衡码块长度$N$和率$Ω(ε^{2+β})$在这个家庭：-对于所有$ε, β> 0$有明确的代码，可以唯一解码的错误的一半最小距离的时间$N^{O_{ε, β}(1)}$。- 对于任何与$ε$无关的固定常数$β$，都有一个明确的代码构造，它可以被唯一地解码，直到误差为时间上最小距离$(\log(1/ε))^{O(1)} \cdot N^{O_β(1)}$的一半。- 对于任何$ε> 0$，存在具有速率$Ω(ε^{2+β})$的显式$ε$平衡码，其可以在时间上被列表解码直到错误$1/2 - ε'$ $N^{O_{ε,ε',β}(1)}$，其中$ε', β\to 0$为$ε\to 0$ .我们算法的起点是Alev等人的列表解码框架。[SODA 2020]，它使用平方和SDP层次结构。…
Random Quantum LDPC Codes Approaching the Gilbert-Varshamov Bound
我们构造了逼近量子Gilbert-Varshamov界的随机QLDPC码系综，通过控制简并度并级联随机内码，在多个量子信道上达到随机稳定子码的性能。
The q-ary Gilbert-Varshamov bound can be improved for all but finitely many positive integers q
本文利用数域几何码证明，对于除有限个正整数外的所有 $q$，$q$ 元 Gilbert-Varshamov 界均可被改进，并给出了渐近增长函数的非平凡下界。
Concatenated Sum-Rank Codes
本文提出拼接求和-秩码与汉明度量码的方法，构造出性能优于求和-秩BCH码的求和-秩码，并超越了两种已知界。
Lee Weight for Nonbinary Quantum Error Correction
我们提出了量子李重量的量子错误，提供了一个吉尔伯特Varshamov型界，和建议的重量的代码建设。
Asymptotic Bound on Binary Self-Orthogonal Codes
本文提出了二进制自正交码的两种构造方法。事实证明，我们的建设产生一个建设性的二进制自正交码的界限。特别地，当信息率R=1/2时，根据我们的构造性下界，相对最小距离δ \approx 0.0595（对于GV界，δ \approx 0.110）。此外，我们还证明了二元自正交码渐近达到Gilbert-Varshamov界。
On the VC-Dimension of Binary Codes
本文研究了VC-维数至多为$dn$，最小距离至少为$δn$的长度- $n$二元码的渐近速率.两个上界得到，一个作为一个简单的推论的结果Haussler和其他通过缩短的方法结合Sauer-Shelah引理和线性规划界。利用Gilbert-Varshamov型变元给出了常权集和马尔可夫型集上的两个下界。
An Upper Bound on the Minimum Distance of LDPC Codes over GF(q)
文献[1]给出了一个基于伴随式计数的正则二元LDPC码最小距离上界。在本文中，我们扩展的情况下，不规则的和广义的LDPC码在GF（q）。与GF（q）上LDPC码的下界和非二进制码的上界进行了比较。新的界限是躺在Gilbert-Varshamov界在高利率。
Projective Space Codes for the Injection Metric
在随机线性网络编码中的错误控制的上下文中，构造包括有限域上的向量空间的子空间的良好分离的集合的代码是有用的。在本文中，使用的度量是所谓的“注入距离”，介绍了席尔瓦和Kschischang。Gilbert-Varshamov界的这种代码的推导。使用代码建设框架的Etzion和Silberstein，新的非常数维码构造，这些代码包含更多的码字比可比的代码设计的子空间度量。
Achievability Bounds on Unequal Error Protection Codes
该研究针对不等差错保护（UEP）码的可达界问题，通过推广Gilbert-Varshamov（GV）界开展分析，首次证明特定条件下UEP相较时分策略可渐近提升码率。
Bounds and Code Constructions for Partially Defect Memory Cells
本文考虑了所谓的部分卡住存储单元的编码。这样的存储单元只能存储部分信息，因为它们的一些电平由于例如，磨损。首先，我们提出了一种新的代码结构，用于掩蔽这种部分卡住的细胞，同时还纠正错误。这种构造（对于具有$q >2$电平的单元）是通过推广[1]中现有的仅掩蔽构造（基于二进制码）来实现的，以校正错误。与[2]中的先前构造相比，我们的新构造对于许多参数集实现了更大的速率。其次，我们推导出一个球包装（任何数量的$u$部分卡住的细胞）和Gilbert-Varshamov界（$u<q$部分卡住的细胞）的代码，可以掩盖一定数量的部分卡住的细胞和纠正错误。新的边界和我们以前的PSMCs的情况下$u<q$在[2]中的构造之间的数值比较表明，我们的构造位于Gilbert-Varshamov的几个代码参数的界以上。
Entanglement-assisted Quantum Codes from Algebraic Geometry Codes
量子纠错码在量子系统中通过引入冗余来起到抑制噪声和消相干的作用。一些策略可以用来改善这些代码的参数。例如，纠缠可以为量子纠错码提供一种方法，以实现比通过传统稳定器形式主义获得的速率更高的速率。这种编码被称为纠缠辅助量子（QUENTA）编码。本文利用代数几何码，通过欧几里德和厄米特构造，构造了几类QUENTA码。其中两个家族具有最大的纠缠度，并且量子单态亏损等于零或一。比较其他家庭的代码与各自的量子Gilbert-Varshamov界，我们表明，我们的代码有一个率，超过该界限。最后，利用线性互补对偶码的渐近好的塔，得到了渐近好的最大纠缠QUENTA码族。此外，与量子Gilbert-Varshamov界限的简单比较表明，使用我们的构造，可以创建一个渐进的QUENTA码族，超过这个界限。
Bounds on Mixed Codes with Finite Alphabets
混合码是不同大小空间的笛卡尔积中的纠错码，它很好地模拟了降级的存储系统。虽然先前已经研究了这种码的代数性质（例如，完美码的存在）或无限字母大小的情况下，我们专注于有限字母的情况下，并推广吉尔伯特-Varshamov，球包装，Elias-Bassalygo，和第一线性规划界的设置。在后一种情况下，我们的证明也是第一个非对称单字母$q$ -ary的情况下，使用Navon和Samorodnitsky的傅立叶分析方法。
Refined Coding Bounds and Code Constructions for Coherent Network Error Correction
相干网络纠错是网络编码中的差错控制问题，它利用源节点和汇聚节点的网络编码信息。相对于一组给定的本地编码内核定义的线性网络码，我们得到了改进版本的汉明界，Singleton界和Gilbert-Varshamov界的相干网络纠错。类似于它的经典对应物，这个改进的Singleton界对于线性网络码是紧的。给出了两种实现该界的线性网络码的构造算法，证明了该界的严密性。这两种算法说明了不同的设计方法：一种是利用现有的网络编码算法进行无差错传输，另一种是利用经典的纠错码。改进的Singleton边界的紧密性的含义是具有较高最大流值的汇聚节点可以具有较高的纠错能力。
Distance properties of expander codes
研究了二部图上码的最小距离问题。计算了这类码的随机集合的权谱和最小距离。证明了如果顶点码具有最小距离$\ge 3$，则整个顶点码是渐近好的，并且有时满足Gilbert-Varshamov界.建设性的家庭的扩展码，其最小距离渐近超过产品的范围为0和1之间的所有码率。
Linear Codes with Prescribed Hull Dimension and Minimum Distance
本文利用概率方法构造具有指定壳维数和最小距离的线性码，并推导其存在的Gilbert-Varshamov型充分条件。
Entanglement-assisted quantum error-correcting codes over arbitrary finite fields
证明了二进制域上的纠缠辅助量子纠错码（EAQECCs）所需的最大纠缠对数的计算公式对任意有限域上的码也成立.我们还给出了EAQECC的Gilbert-Varshamov界，以及由删余自正交线性码构造的EAQECC，它们对任何有限域都是有效的。
Constructive asymptotic bounds of locally repairable codes via function fields
近年来，由于在分布式和云存储系统中的实际应用，局部可修码得到了广泛的研究。然而，在文献中很少有局部可修码的渐近构造。本文利用函数在有理位置的局部展开式，给出了任意有限域上局部可修码的一个显式渐近构造。这种构造给出了局部可修码的Tsfasman-Vladut-Zink型界。它的主要优点是对位置和字母表大小都没有限制。此外，我们证明了Gilbert-Varshamov型界的局部可修码在非素有限域上可以超过足够大的字母大小。
On Steane-Enlargement of Quantum Codes from Cartesian Product Point Sets
本文研究了利用Steane放大得到的量子纠错码。我们将这种技术应用于由Galindo等人在[4]中考虑的笛卡尔积定义的某些代码。我们给出了通过放大获得的维数增加的界限，并给出了一个算法来计算真实的增加。文中给出了一些算例，并将其参数与文献中的有关规范进行了比较，表明扩大后的规范参数是有利的。此外，与Gilbert-Varshamov界的稳定子量子码的比较表明，几个扩大的代码匹配或超过所承诺的界限的参数。
Analyzing Ta-Shma's Code via the Expander Mixing Lemma
扩展图中的随机游动及其各种去随机化（例如，替换/Z字形乘积）是伪随机性的无价工具。最近，Ta-Shma在他的突破性构造中使用了s-宽替换遍历，几乎匹配Gilbert-Varshamov界（STOC 2017）。Ta-Shma最初的分析完全是线性代数的，后来的发展继承了这一观点。在这项工作中，我们重新推导出塔-什马的分析从组合的角度来看，使用重复应用的扩展混合引理。我们希望，这种替代的角度将产生一个更好的理解Ta-Shma的建设。作为我们的技术的一个额外的应用，我们给出了另一种证明的扩展击中集引理。
Upper and Lower Bounds on the Minimum Distance of Expander Codes
研究了GF（q）上扩展码的最小距离。导出了扩展码最小距离的一个新的上界。当q >= 32时，该界位于Varshamov-Gilbert（VG）界之下。得到了某些扩展码族的最小距离的下界。给出了GF（q）上具有Reed-Solomon成分码的低密度奇偶校验（LDPC）码的最小距离的下界.的界限是非常接近的VG界和谎言的上限扩展码。
On linear complementary-dual multinegacirculant codes
互补线性码（LCD）是指与其对偶平凡相交的线性码。对指数为$2$的多重循环码进行了代数刻划，得到了该类码中的一些好码.通过使用索引2和索引3的级联结构，对索引2和索引3执行精确枚举，并且对所有索引$t$执行精确枚举，以用于共同索引的特殊情况。渐近存在性结果的特殊类的代码，是一个生成器，并有共同指数的2的幂由Dickson多项式。这表明存在无限族的LCD多重循环码，其相对距离满足一个修正的Varshamov-Gilbert界。
Coding over Sets for DNA Storage
本文研究了用于人工合成脱氧核糖核酸（DNA）数据存储的纠错码。我们研究了一个存储模型，其中数据集由一组无序的$M$序列表示，每个序列的长度为$L$。该模型内的错误是整个序列的丢失和序列内的点错误，例如插入、缺失和替换。我们推导出Gilbert-Varshamov下界和球包装上界的可实现的基数的纠错码在这个存储模型。我们进一步提出了显式的代码结构，可以纠正这种可以有效编码和解码的存储系统中的错误。比较这些代码的上限的大小，我们发现，许多建设接近最佳。
Linear Programming Bounds for Almost-Balanced Binary Codes
我们重新讨论了二进制码的大小与距离权衡的线性规划界限，重点是几乎平衡情况下的界限，当所有成对距离都在$d$和$n-d$之间时，其中$d$是码距离，$n$是块长度。对于距离$d \geq (n - \sqrt{n})/2 + 1$较大的几乎平衡情形，我们给出了Delsarte线性规划的一个最优解，证明了线性规划的最优值与自互补码的Grey-Rankin界一致.我们还表明，Samorodnitsky所示的渐近LP界的限制，即它至少是第一MRRW上限和Gilbert-Varshamov界的平均值，继续保持几乎平衡的情况下。
Subsystem Codes
我们调查运营商量子纠错码的各个方面，或者我们更喜欢称之为，子系统代码。我们给出了从经典码导出子系统码的各种方法。我们使用类似于量子Gilbert-Varshamov界的计数参数证明了子系统码的存在性。我们推导出线性规划界和其他上界。回答了是否存在[[n，n-2d+2，r>0，d]]<sub>q个</sub>子系统码的问题.最后，我们比较稳定剂和子系统的代码方面所需的数量的综合征qudits。
Linear hash-functions and their applications to error detection and correction
我们描述和探索所谓的线性哈希函数，并展示如何使用它们来构建错误检测和纠正代码。该方法可以应用于不同类型的错误（例如，突发错误）。当该方法被应用到一个模型中的扭曲的字母的数量是有限的，其性能得到的估计是略好于已知的Varshamov-Gilbert界。我们还描述了随机码，其性能接近相同的边界，但它的构造要简单得多。在某些情况下，所得到的方法比已知的方法更简单，更灵活。特别地，所获得的错误检测码和公知的CRC码的复杂度接近，但是所提出的码与CRC不同，可以确定地检测其数量不超过预定限制的错误。
New bounds of permutation codes under Hamming metric and Kendall's $τ$-metric
置换码由于其在诸如电力线通信、分组密码和用于闪存的秩调制方案等各种领域中的众多应用而被广泛研究。根据置换码的具体应用，考虑了几种度量。本文主要利用图着色的方法，分别对置换码在Hamming度量和Kendall的$τ$ -度量下的上界进行了改进.具体地说，在Hamming度量下，当最小Hamming距离$d$固定且码长$n$趋于无穷大时，我们将Gilbert-Varshamov界渐近地提高了一个因子$n$.在Kendall的$τ$ -度量下，我们缩小了已知的下界和上界之间的差距。此外，我们还得到了小参数下Kendall $τ$ -度量下的一些零星结果。
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