Graph Nimors
Matthew Skala
在图形尼莫斯游戏中，两名玩家交替对图形进行图形小操作（删除和收缩边），直到没有边剩余，此时最后移动的玩家获胜。我们提出了关于这个游戏的理论和实验结果和示意图。
In the game of Graph Nimors, two players alternately perform graph minor operations (deletion and contraction of edges) on a graph until no edges remain, at which point the player who last moved wins. We present theoretical and experimental results and conjectures regarding this game.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Maker-Breaker domination game critical graphs
本文研究了制造-破坏支配游戏中的临界图，探讨了其存在性及在先手能快速获胜情况下的特征化。
The graph grabbing game on blow-ups of trees and cycles
图抓取游戏由Alice和Bob在非负加权的连通图上进行，Alice和Bob交替地从剩余的图中要求一个未切割的顶点，其中Alice首先进行，以在游戏结束时当所有顶点都已被要求时最大化他们各自要求的顶点上的权重。Seacrest和Seacrest证明了Alice可以保证每个加权连通偶图至少一半的权。后来，Egawa，Enomoto和Matsumoto通过证明Alice在一类称为$K_{m,n}$ -树的加权连通偶图上赢得比赛，部分地证实了这个猜想。我们扩展这个类的结果，包括一些图，例如，甚至爆炸的树和周期。
On the threshold for the Maker-Breaker $H$-game
研究了随机图$G_{n,p}$的边集上的制造者-破坏者$H$ -对策。在这个游戏中，两个玩家，制造者和断路器，交替声称$G_{n,p}$的无人认领的边缘，直到所有的边缘被声称。如果Maker声称拥有固定图$H$的副本的所有边，则他获胜;否则，Breaker获胜。在本文中，我们表明，除了树和三角形，$H$ -游戏的阈值是由相应的拉姆齐性质的阈值$G_{n,p}$关于图$H$。
The Maker-Maker domination game in forests
针对2018年提出的Maker-Maker控制游戏，本文证明其在分裂图和二部图上为PSPACE完全，提出森林上的线性时间求解算法，并刻画了先手有必胜策略的环的特征。
Incidence, a Scoring Positional Game on Graphs
位置博弈是由黑尔斯和朱厄特在1963年提出的，并在此后的文献中得到了广泛的研究。这些游戏是在超图上进行的，两个玩家交替选择超图的一个无人认领的顶点。在Maker-Breaker约定中，如果Maker设法完全占据一个超边，她就赢了，否则，Breaker就是赢家。在创客-创客大会中，第一个采取超边的玩家获胜。在这两种情况下，游戏会在Maker采用超边后立即停止。根据定义，这个游戏家族不处理分数，不能代表玩家想要最大化数量的游戏。在这项工作中，我们介绍了得分位置游戏，包括在一个超图上玩，直到所有的顶点都被要求，并通过定义的分数作为一个玩家已经完全采取的超边的数量。我们在这里集中在发病率，一个得分位置游戏上的2均匀超图，即无向图。在这个游戏中，两个参与者交替声明图的顶点，并对他们拥有两端顶点的边的数量进行评分。在制造者-破坏者版本中，制造者的目标是最大化她拥有的边数，而破坏者的目标是最小化它。在制造者-制造者版本中，两个玩家都试图比对手拿更多的边。我们首先给出一些一般结果得分位置游戏，使他们的成员在米尔诺的宇宙和一些一般的界限上的分数。我们证明，令人惊讶的是，计算得分的制造商，断路器版本的发病率是PSPACE完全的，而在制造商，制造商公约，相对得分可以在多项式时间内获得。此外，对于Maker-Breaker约定，我们通过使用Milnor宇宙的一些等价性给出了路径上的得分公式。这个结果意味着…
Undirected edge geography games on stacked prism graphs
本文研究无向边地理博弈在堆叠棱柱图上的胜负，完全确定了特定参数下的赢家并给出获胜策略。
The Toucher-Isolator game
我们引入一个新的位置游戏称为“触摸隔离器”，这是一个制造商，断路器类型的游戏的定量版本。游戏板是给定图G的边的集合，并且两个玩家，Toucher和Isolator，交替地声称边。触摸器的目标是“触摸”尽可能多的顶点（即最大化与至少一个所选边关联的顶点数量），隔离器的目标是最小化被触摸的顶点数量。我们分析了未触及顶点的数量u（G）在游戏结束时，触摸和隔离器发挥最佳，获得的结果为一般的图形和特别有趣的图形类，如周期，路径，树，和k-正则图。我们还提供了严格的例子。
The $K^4$-Game
本文研究双人$K^4$构建博弈，玩家轮流在无限完全图中认领边，目标是占据某个四顶点集合的全部六条边，并给出了首位玩家的必胜策略。
Positional games on randomly perturbed graphs
制造者-破坏者游戏在超图$(X,\mathcal{F})$上进行，其中$\mathcal{F} \subseteq 2^X$表示获胜集的族。两名玩家交替从棋盘$X$上获得预定义的边数（称为偏置），如果Maker能够占据任何获胜集$F \in \mathcal{F}$，则她赢得比赛。当在完全图$K_n$或随机图$G_{n,p}$上玩时，这些游戏被很好地研究。在本文中，我们考虑的Maker-Breaker游戏随机扰动图。这些图由最小度至少为$αn$的确定图$G_α$和二项随机图$G_{n,p}$的并集组成。根据$α$和Breaker的偏置$b$，我们确定了在$G_α\cup G_{n,p}$上赢得Hamilton性博弈和$k$ -连通性博弈的阈值概率的顺序，并讨论了当$b=1$时的$H$ -博弈.此外，我们给出了所有提到的游戏的服务员客户端版本的最佳结果。
Nim on hypercubes
普通Nim博弈在组合对策论领域有着悠久的历史。尼姆的普通博弈的解已经知道很多年了，并适用于许多其他的组合博弈的解。尼姆被扩展到图，取一个固定的图，在给定的顶点上有一个棋子，并将正整数权重分配给对应于尼姆普通游戏中的一堆石头的边。玩家交替地从游戏棋子穿过事件边缘，在移动时从边缘移除重量。本文在单位权情形下完全解决了超立方体上的Nim问题。我们简要地讨论了任意权的情况下，其关系到已知的结果。
A proof of the 3/5-conjecture in the domination game
支配博弈是由两个参与者Dominator和Staller进行的优化博弈，他们交替选择图$G$中的顶点。如果一个顶点已被选中或与选中的顶点相邻，则该顶点被称为支配顶点。每个选定的顶点必须严格增加其选择时的支配顶点的数量，一旦$G$中的每个顶点都是支配的，游戏就结束了。统治者的目标是保持游戏尽可能短，而Staller试图实现相反的。本文证明了Kinnersley，West和Zamani提出的关于$n$顶点上的图$G$，Dominator有一个最多用$3n/5$步结束博弈的策略.
The threshold bias of the clique-factor game
设$r \ge 4$是一个整数，并考虑以下关于$n \in r \mathbb{Z}$的完全图$K_n$上的博弈：两个参与者，Maker和Breaker，交替要求先前未要求的$K_n$的边，使得在每一回合中Maker要求一条边，Breaker要求$b \in \mathbb{N}$边。如果Maker的图包含一个$K_r$ -因子，即$K_r$的$n/r$顶点不相交副本的集合，则Maker获胜，否则Breaker获胜。换句话说，我们考虑一个$b$偏向的$K_r$因子制造者-破坏者博弈。我们表明，这个游戏的阈值偏差是为了$n^{2/(r+2)}$。这为确定生成有界度生成图的阈值偏差迈出了一步，并推广了Allen等人的结果。他将病例$r \in \{3,4\}$解决到对数因子。
The Rational Number Game
研究在有理数顶点的可数无穷完全图上 Maker 与 Breaker 的博弈，证明 Maker 存在必胜策略，但在要求顶点集稠密的版本中 Breaker 必胜。
Creating cycles in Walker-Breaker games
我们考虑有偏的$(1:b)$步行者-断路器游戏：沃克和断路器交替要求边缘的完全图$K_n$，沃克采取一个边缘和断路器要求$b$边缘在每一轮，与沃克需要选择她的边缘根据步行的约束。正如Espig，Frieze，Krivelevich和Pegden在一篇论文中所质疑的那样，我们研究了Walker能够创建多长的周期以及$b$ Walker有机会创建给定恒定长度的周期。
Toppling numbers of complete and random graphs
我们研究了一个两人对策的基础上广泛研究的芯片发射游戏的图形。玩家Max和Min交替将筹码放在图的顶点上。当一个顶点累积了与其度一样多的chip时，它会触发，向每个邻居发送一个chip;这反过来可能会导致其他顶点触发。游戏结束时，顶点继续发射永远。最小值试图最小化游戏中的筹码数，而最大值试图最大化筹码数。当两个玩家都玩最佳游戏时，游戏的长度是图$G$的{ \em倾倒数}，用$\tg(G)$表示。通过考虑两个局中人的策略和用微分方程研究博弈的演化，我们给出了完全图的倾倒数的渐近界。特别是，我们证明了，对于足够大的$n$ $$0.596400 n^2 < \tg(K_n) < 0.637152 n^2.$$使用分数版本的游戏，我们耦合的完全图和二项式随机图$G(n,p)$的倾倒数。证明了对$pn \ge n^{2/\sqrt{\log n}}$渐近几乎必然$t(G(n,p))=(1+o(1))p\tg(K_n)$ .
Game Total Domination Critical Graphs
在图$G$上进行的完全控制博弈中，玩家Dominator和Staller交替选择$G$的顶点，尽可能长，使得每个选择的顶点增加完全控制的顶点的数量。支配者（Staller）希望最小化（最大化）所选顶点的数量。$G$的游戏总控制数$γ_{\rm tg}(G)$是当支配者开始游戏并且两个玩家都最优地玩时选择的顶点的数量。如果$G$的一个顶点$v$被声明为已经是完全支配的，那么我们用$G|v$表示这个图。本文引入了全控制对策临界图$G$，对$G$中的每个顶点$v$，$γ_{\rm tg}(G|v) < γ_{\rm tg}(G)$都成立.如果为$γ_{\rm tg}(G) = k$，则$G$称为$k$ - $γ_{\rm tg}$ -critical。证明了圈$C_n$是$γ_{\rm tg}$ -临界的当且仅当$n\pmod 6 \in \{0,1,3\}$，路$P_n$是$γ_{\rm tg}$ -临界的当且仅当$n\pmod 6\in \{2,4\}$ . $2$ - $γ_{\rm tg}$ -临界图和$3$ - $γ_{\rm tg}$ -临界图以及图的$3$ - $γ_{\rm tg}$ -临界联也被刻画.
On the Structure of $α$-Stable Graphs
图G的稳定数是G的一个稳定系统（即G的最大尺寸的独立集）的基数。一个图是α-稳定的，如果它的稳定数在删除和添加任何边时保持相同。本文试图推广稳定树的一些性质，证明了不存在任何α-稳定弦图，并证明了：若G是连通二部图，则下列断言等价：G是α-稳定的，G可以表示为连通二部图的顶点不交并，每个连通二部图的顶点集恰有两个稳定系统覆盖; G有完美匹配且没有边属于它的所有完美匹配，从G的每个顶点发出至少两条包含在G的某些完美匹配中的边，G的任何顶点位于一个圈上，圈的边交替地在某些完美匹配中或不在某些完美匹配中;没有一个顶点属于G的所有稳定系统，也没有一条边属于G的所有完美匹配。
Node-Kayles on Trees
本文研究了树和由树连接形成的图的 Grundy 值序列，推导了显式公式和递推关系，并证明了这些序列的周期性。
Paintbucket on graphs is PSPACE-complete
针对 Amundsen 和 Erickson 提出的 Paintbucket 游戏，本文研究其在任意简单图上的推广形式，证明判断该推广游戏给定局面获胜者的问题为 PSPACE 完全，解决了相关复杂性问题。
Advantage in the discrete Voronoi game
我们研究了离散Voronoi博弈，其中两个玩家交替地要求t轮图的顶点。最后，剩余的顶点被划分，使得每个玩家接收更接近他或她声称的顶点的顶点。我们证明了有图的第二个球员得到几乎所有的顶点在这个游戏中，但这是不可能的有界度图。对于树，第一个玩家可以得到至少四分之一的顶点，我们给出的例子中，她只能得到略多于三分之一。我们做了一些一般性的观察，将多轮游戏的结果与同一图上的单轮游戏的结果联系起来。
The Complexity of Undirected Partizan Edge Geography
本文证明偏袒边地理游戏在最大度为3的二分无向图上是PSPACE完全的，并指出该归约也适用于棋子不能同顶点的变体。
Maker-Breaker domination game
我们介绍了Maker-Breaker控制游戏，一个图上的两个玩家的游戏。在轮到他时，第一个玩家Dominator选择一个顶点来控制图，而另一个玩家Staller禁止Dominator选择一个顶点来阻止他达到他的目标。两名球员轮流上场，不会错过他们的回合。这个游戏是一个特殊的例子，所谓的庄家，断路器游戏，这是在这里研究的组合背景下。在本文中，我们首先证明了决策的Maker-Breaker控制游戏的赢家是PSPACE完全的，即使是二分图和分裂图。然后，它表明，该问题是多项式的上图和树。特别是，我们定义了一个战略的支配者，是来自一个变化的支配集问题，称为配对支配集问题。
Maker-Breaker total domination game
图中的Maker-Breaker全控制博弈是Duchêne，Gledel，Parreau和Renault最近研究的Maker-Breaker控制博弈的自然对应。这两个游戏都是组合制造者-破坏者游戏的实例。在图$G$上，两个局中人轮流选择图$G$的顶点，进行制造者-破坏者全控制博弈。第一个玩家，统治者，选择一个顶点，以完全支配$G$，而另一个玩家，Staller，禁止顶点统治者，以防止他达到他的目标。它表明，有无限多个连接的三次图中，Staller赢了，没有最小度条件是足以保证主导者赢得时，Staller开始游戏。一个合并引理的建立和使用，以确定在网格上玩的游戏的结果。仙人掌也根据游戏的结果进行分类。游戏和超图之间的联系。证明了该对策在分裂图和二部图上是PSPACE-完全的。也提出了一些问题和疑问。
A new upper bound on the game chromatic index of graphs
我们研究的两个球员的游戏中，制造商和断路器交替着色的边缘，一个给定的图$G$与$k$颜色，使相邻的边缘永远不会得到相同的颜色。Maker的目标是在游戏结束时，所有边都是彩色的。反之亦然，只要有一个未着色的边缘，每个颜色都被阻挡，断路器就赢了。游戏色指数$χ'_g(G)$表示Maker具有获胜策略的最小$k$。平凡界$Δ(G) \le χ_g'(G) \le 2Δ(G)-1$对每个图$G$成立，其中$Δ(G)$是$G$的最大度。在2008年，Beveridge，Bohman，Frieze和Pikhurko证明了对于每个$δ>0$，存在一个常数$c>0$，使得$χ'_g(G) \le (2-c)Δ(G)$对任何具有$Δ(G) \ge (\frac{1}{2}+δ)v(G)$的图都成立，并证明了这同样对每个图$G$都成立。本文证明了$χ'_g(G) \le (2-c)Δ(G)$对所有具有$Δ(G) \ge C \log v(G)$的图$G$都成立.此外，我们考虑一个有偏见的版本的游戏，其中断路器被允许颜色$b$边缘每回合，并给出边界上的颜色数量需要制造商赢得这个有偏见的游戏。
Proper colouring Painter-Builder game
我们考虑下面的两人博弈，参数为正整数$n$和$k$。游戏在画家和建筑师之间进行，轮流进行，画家首先移动。游戏从$n$顶点上的空图开始。在每一轮中，Painter用$k$颜色中的一种为她选择的顶点着色，Builder在两个先前不连接的顶点之间声明一条边。两个玩家都应该坚持在游戏过程中图形允许适当的$k$着色。如果所有$n$顶点都已着色，或者Painter没有合法移动，则游戏结束。在前一种情况下，画家赢得了比赛，在后一种情况下，建设者是赢家。我们证明了最小数量的颜色$k=k(n)$允许画家的胜利是对数阶的顶点数$n$。游戏的版本也被考虑。
On Structural Parameterizations of Node Kayles
节点Kayles是一个著名的两人公平博弈：给定一个无向图，每个玩家交替选择一个与先前选择的顶点不相邻的顶点，不能选择新顶点的玩家输掉比赛。在这个博弈中，决定第一个玩家是否有获胜策略的问题是已知的PSPACE完全问题。有一些关于这个问题的算法方面的研究。在本文中，我们考虑这个问题的固定参数易处理的观点。我们证明了这个问题是固定参数的易处理的参数的最小顶点覆盖的大小或一个给定的图的模宽度。此外，我们给出了关于邻域多样性的多项式核化。
Game Brush Number
我们研究了一个两人对策的基础上，充分研究了刷图的过程。玩家Min和Max交替地将画笔放置在图的顶点上。当一个顶点累积的画笔数量至少与它的度一样多时，它会向每个邻居发送一个画笔，并从图中删除;这反过来可能会导致其他顶点的删除。游戏结束后，所有的顶点已被删除。Min试图最小化游戏期间玩的画笔数量，而Max试图最大化它。当两个玩家都玩最佳游戏时，游戏的长度是图$G$的游戏画笔数量，表示为$b_g(G)$。通过考虑双方球员的战略和建模的游戏与微分方程的演变，我们提供了一个渐近值的游戏刷数的完整的图形，即，我们表明，$b_g(K_n) = (1+o(1))n^2/e$。使用分数版本的游戏，我们耦合的完全图和二项式随机图$\mathcal{G}(n,p)$的游戏刷数。证明了对$pn \gg \ln n$渐近几乎必然$b_g(\mathcal{G}(n,p)) = (1 + o(1))p b_g(K_n) = (1 + o(1))pn^2/e$ .最后，我们研究了游戏刷数和（原始）刷数之间的关系。
Degree Game for Special Regular Graphs
本文针对超立方体图、网格图等无限图族，改进了Maker-Breaker度数博弈中Breaker的度数下界，将原d/4的界限提升至至少⌊d/3⌋
On the game domination number of graphs with given minimum degree
在Brešar、Klavžar和Rall于2010年提出的支配博弈中，支配者和Staller交替选择图$G$的一个顶点。如果所选顶点$v$支配至少一个新顶点，则移动是合法的--也就是说，如果我们有一个$u\in N[v]$，直到游戏的这一点为止，没有从$N[u]$中选择顶点。游戏结束时，没有更多的合法移动可以作出，其长度等于选定的顶点数。统治者的目标是最小化，而Staller的目标是最大化游戏的长度。$G$的博弈支配数$γ_g(G)$是支配者开始且两个参与者都最优地玩的支配博弈的长度。本文利用最小度$δ$和$G$的阶$n$建立了$γ_g(G)$的一个上界.我们的主要结果表明，对每个$δ\ge 4$，$$γ_g(G)\le \frac{30δ^4-56δ^3-258δ^2+708δ-432}{90δ^4-390δ^3+348δ^2+348δ-432}\; n.$$特别地，对每个最小度为4的图，$γ_g(G) < 0.5139\; n$成立，对最小度大于4的图，$γ_g(G)< 0.4803\; n$成立.此外，我们证明了$γ_g(G) < 0.5574\; n$，如果$δ=3$。
On graphs with maximum difference between game chromatic number and chromatic number
本文解决了 Matsumoto 关于博弈色数与色数之差最大值的猜想，通过修改博弈规则证明等号仅在小阶图和 Turán 图上成立，并否定顶点标记博弈的类似结果。
A note on monotonicity in Maker-Breaker graph colouring games
本文研究Maker-Breaker图着色博弈的单调性，肯定回答了树状度博弈的单调性问题，证明有序顶点着色博弈不具单调性，并为连通版本的两个开放问题提供反例。
Octal Games on Graphs: The game 0.33 on subdivided stars and bistars
本文研究了图上的八进制游戏0.33，分析了其在细分星图和双星图上的游戏规则与解法。
Trees with Equal Total Domination and Game Total Domination Numbers
在本文中，我们继续研究图中的全控制对策[Graphs Combin. 31（5）（2015），1453- 1462]，其中玩家Dominator和Staller交替地选择$G$的顶点。每个顶点的选择必须严格增加完全支配的顶点数，其中一个顶点完全支配另一个顶点，如果它们是邻居。该过程最终产生$G$的全支配集$S$，其中每个顶点完全被$S$中的顶点支配。$G$的博弈总控制数$γ_{\rm tg}(G)$（分别为Staller-start game total dominance number，$γ_{\rm tg}'(G)$）是当Dominator（分别为Staller）开始博弈且双方都处于最优状态时所选择的顶点数。对于一般的图$G$，有时候是$γ_{\rm tg}(G) > γ_{\rm tg}'(G)$。证明了如果$G$是一个没有孤立点的森林，则$γ_{\rm tg}(G) \le γ_{\rm tg}'(G)$ .利用这个结果，我们刻画了具有相等全控制数和对策全控制数的树。
Maker-Breaker resolving game played on lexicographic products of graphs
本文研究了在图的字典序积上进行Maker-Breaker解析游戏的策略，证明了在特定条件下Spoiler或Resolver的必胜策略，并确定了相应的解析数。
The game chromatic number of generalized Mycielski graphs of paths and cycles
针对路径和圈的广义Mycielski图，确定其游戏色数介于4至5之间，得出M_2(P_5)与M_2(P_6)的游戏色数精确值为4，证明其不随层数和基础图阶数增长而超过5。
Vertex Nim played on graphs
给定一个顶点上具有正整数权重的图G，以及放置在某个当前顶点u上的令牌，两个玩家交替地从u移除正整数权重，然后将令牌移动到与u相邻的新的当前顶点。当一个顶点的权值设置为0时，它将被移除，其邻域将成为一个团。走到最后一步的玩家获胜。Nim在图上的这种改编被称为Vertexnim，与Stockman在2004年推出的游戏Vertex NimG略有不同。顶点可以在有向图或无向图上播放。在本文中，我们研究的复杂性，决定是否一个给定的游戏位置的顶点是第一个或第二个玩家获胜。特别是，我们表明，对于无向图，这个问题可以在二次时间内解决。我们的算法也适用于游戏顶点NimG，从而改进了Stockman的exptime算法。在有向情况下，我们能够在多项式时间内计算出几个实例的获胜策略，包括具有自循环的回路或有向图。
INFLUENCE: a partizan scoring game on graphs
我们介绍了游戏的影响，得分组合游戏，发挥有向图，其中每个顶点是黑色或白色。这两个球员，黑色和白色交替发挥采取顶点的颜色和所有的继任者（黑色）或所有的前辈（白色）。每个玩家的得分是他所取的顶点数。我们证明了影响是一个nonzugzwang游戏，这意味着没有球员有兴趣通过在游戏的任何一步，因此属于米尔诺的宇宙。我们研究这个游戏中的特殊类的路径，黑色和白色交替。当只有一条路径时，我们给出了两个参与人的几乎紧策略，更精确地说，我们证明了第一个参与人总是得到严格优于第二个参与人的分数，但两个人的分数之差以5为界。最后，我们展示了一些图的颜色的球员的顶点的初始比例是尽可能小的，但这个球员可以得到几乎所有的顶点。
Degrees are Useless in SNORT When Measuring Temperature
本文研究组合博弈 SNORT 的温度，证明其温度可无限大于棋盘度数，并构造了温度增长速度为度数两倍的局面的位置族。
Maker-Breaker resolving game
一个图$G$的顶点集$W$是一个分解集，如果$G$的每个顶点都由它到$W$的距离向量唯一确定。本文介绍了庄家-庄家化解对策。游戏在图$G$上进行，由Resolver和Spoiler交替选择尚未选择的$G$的顶点。如果解析者选择的顶点在某个点形成$G$的解析集，则解析者获胜;如果解析者不能形成$G$的解析集，则剧透者获胜。游戏的结果分别用$o(G)$和$R_{\rm MB}(G)$表示。$S_{\rm MB}(G)$）表示解析器的最小移动次数（分别破坏者）赢得时，解析器有第一步。当剧透拥有第一步时，游戏的相应不变量由$R'_{\rm MB}(G)$和$S'_{\rm MB}(G)$表示。不变量$R_{\rm MB}(G)$、$R'_{\rm MB}(G)$、$S_{\rm MB}(G)$和$S'_{\rm MB}(G)$在它们自身之间以及与度量维度${\rm dim}(G)$进行比较。构造了一类图$G$，其中$R_{\rm MB}(G) > {\rm dim}(G)$成立.描述了孪生等价类和配对分解集对决策者-破坏者分解博弈的影响。作为一个应用程序$o(G)$，以及$R_{\rm MB}(G)$和$R'_{\rm MB}(G)$（或$S_{\rm MB}(G)$和$S'_{\rm MB}(G)$），确定了几个图形类，包括树，完全多部图，网格图，环面网格图。
Generalized saturation game
研究广义图Turán问题的博弈版本，两名玩家交替选边并保持图F-free，分别探讨Max和Mini先手时博弈的H-score最优值。
The random graph intuition for the tournament game
在锦标赛游戏中，两个玩家，称为制造者和断路器，交替轮流要求n个顶点上的完全图的未被要求的边，并选择两个可能的方向之一。在游戏开始之前，Breaker在k个顶点上固定一个任意的竞赛图T_k。如果在游戏结束时，Maker的有向图包含T_k的副本，则Maker获胜;否则Breaker获胜。在我们的主要结果中，我们证明了Maker在k =（2-o（1））log_2n时有一个获胜策略，改进了Beck和第二作者以前结果中的常数因子.这是渐近紧的，因为已知对于k =（2-o（1））log_2n，Breaker可以防止Maker图的底层图包含k-团。此外，我们的下界的精确值与上界的差别仅在于一个附加常数12。我们还讨论了随机图的直觉，这表明，阈值k是渐近相同的两个“聪明”的球员和两个“随机”的球员玩的游戏，是支持比赛的游戏：它会证明，虽然一个简单的应用程序这种直觉失败，它的一个更微妙的版本仍然有效。最后，我们考虑定向游戏版本的比赛游戏，其中制造商赢得比赛，如果最后的有向图-也包含由断路器引导的边-拥有T_k的副本。我们证明了当k =（4+o（1））log_2n时，Breaker有获胜策略.
A Two-Player Zero Forcing Game
在连通图上引入竞争性两人零强迫博弈，玩家交替操作以最小化自身种子数，定义最优玩法并证明相关不等式，确定多种图的该博弈参数值，刻画特定参数的图类，还研究其非子图单调性并验证参数上界。
Domination game on uniform hypergraphs
本文介绍并研究超图上的控制对策。在超图$\mathcal{H}$上，由两个参与者，即Dominator和Staller，交替选择顶点，使得每个选定的顶点扩大到目前为止被控制的顶点集。如果$\mathcal{H}$的所有顶点都是劣势的，则游戏结束。统治者的目标是尽快完成游戏，而Staller的目标是推迟游戏的结束。如果每个参与者都以最佳方式进行游戏，并且支配者开始，则游戏的长度是由$γ_g(\mathcal{H})$表示的不变的“游戏支配数”。这个定义是图上控制对策的推广，是超图上横截对策的一个特例。在一些基本的一般性结果的基础上，我们建立了$k$ -一致超图的博弈控制数的一个渐近紧上界。在本文的剩余部分中，我们证明了$γ_g(\mathcal{H}) \le 5n/9$如果$\mathcal{H}$是一个3-一致的阶为$n$的超图并且不包含孤立点。这也意味着图的以下新结果：如果$G$是$n$顶点上的孤立点自由图，并且它的每条边包含在三角形中，则$γ_g(G) \le 5n/9$。
Progress Towards the Total Domination Game $\frac{3}{4}$-Conjecture
在本文中，我们继续研究图中的全控制对策[Graphs Combin. 31（5）（2015），1453- 1462]，其中玩家Dominator和Staller交替地选择$G$的顶点。每个顶点的选择必须严格增加完全支配的顶点数，其中一个顶点完全支配另一个顶点，如果它们是邻居。该过程最终产生$G$的全支配集$S$，其中每个顶点完全被$S$中的顶点支配。Dominator希望最小化所选顶点的数量，而Staller希望最大化它。$G$的游戏总控制数$γ_{\rm tg}(G)$是Dominator开始游戏时所选顶点的数量，并且两个玩家都最优地玩。Henning，Klavžar和Rall [Combinatorica，to appear]发布了$\frac{3}{4}$ -Game Total Domination Conjecture，该猜想指出，如果$G$是$n$顶点上的图，其中每个组件至少包含三个顶点，则$γ_{\rm tg}(G) \le \frac{3}{4}n$。本文证明了这一猜想在一类图$G$上的存在性，这类图满足两个条件：$G$中相邻顶点的度和至少为$4$，以及$G$中没有两个度为$1$的顶点相距$4$.特别地，我们证明了通过采用一个贪婪策略，支配者可以完成在一个图的最小度至少$2$在最多$3n/4$移动的总控制游戏。
An optimal XP algorithm for Hamiltonian cycle on graphs of bounded clique-width
本文证明了，给定$n$ -顶点图的一个宽度为cumulus的$k$ -表达式，\textsc{Hamiltonian Cycle}可以在时间$n^{\mathcal{O}(k)}$中求解.这改进了Espaniel等人（WG 2001）在时间上运行的朴素算法$n^{\mathcal{O}(k^2)}$，并且它也与Fomin等人的下限结果相匹配，即除非指数时间假设失败，否则没有算法在时间上运行$n^{o(k)}$（SIAM. J. Computing 2014）。我们提出了一种利用$k$顶点上的二边着色重图的代表集技术。其基本思想是，对于一个二边着色多重图，交替使用不同颜色的边的欧拉迹的存在性可以由两个信息确定：与每个顶点关联的着色边的数量，以及多重图的连通性。通过这个想法，我们避免了朴素算法的瓶颈，该算法将所有可能的多重图存储在具有最多$n$边的$k$顶点上。
Thresholds for the biased Maker-Breaker domination games
在$(a,b)$偏向的Maker-Breaker支配博弈中，两个参与者交替选择图$G$中未进行的顶点，使得每次移动时Dominator选择$a$，Staller选择$b$顶点。如果支配者在游戏中选择的顶点形成$G$的支配集，则支配者获胜，而如果Staller可以阻止支配者实现此目标，则她获胜。给定正整数$b$，支配者的阈值$\textrm{a}_b$是使得支配者在开始游戏时在$G$上赢得$(a,b)$偏向游戏的最小$a$。类似地，$\textrm{a}'_b$表示最小$a$，使得当Staller开始$(a,b)$偏置游戏时支配者获胜。类似地定义Staller阈值$\textrm{b}_a$和$\textrm{b}'_a$。证明了在图$G$中，如果Staller的阶关于$k$的函数和$G$的最大度足够大，则Staller赢得$(k-1,k)$ -偏置博弈。在此过程中，引入了图的$\ell$ -局部控制数。从上面证明了该新参数约束支配者的阈值$\textrm{a}_\ell$和$\textrm{a}_\ell'$。因此，$\textrm{a}_1'(G)\le 2$对每个无爪图$G$成立。更具体的结果得到的阈值在线图和笛卡尔网格。在图$G$的$[1,k]$ -因子概念的基础上，引入了$G$的星划分宽度$σ(G)$，并证明了对任何非平凡图$G$，$\textrm{a}_1'(G)\le …
Maker-Breaker Metric Resolving Games on Graphs
令$d(x,y)$表示具有顶点集$V$的图$G$中顶点$x$和$y$之间的最短路径的长度。对于正整数$k$，设$d_k(x,y)=\min\{d(x,y), k+1\}$和$R_k\{x,y\}=\{z\in V: d_k(x,z) \neq d_k(y,z)\}$。如果$S \cap R_k\{x,y\} \neq\emptyset$用于不同的$x,y\in V$，则集合$S \subseteq V$是$G$的\emph{distance-$k$ resolving set}。本文研究了在图$G$上由Maker和Breaker两个参与者交替选择$G$的一个尚未选择的顶点的Maker-Breaker距离- $k$解决对策（MB $k$ RG）. Maker通过选择形成$G$的距离- $k$解析集的顶点来获胜，而Breaker通过阻止Maker获胜来获胜。我们用$O_{R,k}(G)$表示MB $k$ RG的结果。令$\mathcal{M}$、$\mathcal{B}$和$\mathcal{N}$分别表示在MB $k$ RG中庄家、断路器和第一个玩家具有获胜策略的结果。给定图$G$，参数$O_{R,k}(G)$是$k$的非减函数，其余域为$\{-1=\mathcal{B}, 0=\mathcal{N}, 1=\mathcal{M}\}$ .我们展示对$G$和$k$，使有序对$(O_{…
Ramsey-type results for Maker-Breaker games
本文将极小拉姆齐图的概念拓展至Maker-Breaker博弈设定，刻画了存在无穷多极小可胜图的图类，证明了其最小最小度的紧界，揭示了两类设定的异同。
On edge-colouring-games by Erdős, and Bensmail and Mc Inerney
该研究针对Erdős、Bensmail和Mc Inerney提出的三类边着色游戏，在无偏情形下推进相关猜想、提出新猜想并拓展游戏适用图类，在有偏情形下解决两类游戏并证明特定参数下的团游戏结论。
Game Distinguishing Numbers of Cartesian Products of Graphs
图的可区别数$H$是一个与对称性有关的图不变量，其研究始于二十多年前。区别数$D(H)$是使得$H$具有$d$ -区别着色的最小整数$d$。$d$ -可区别染色是仅在平凡自同构下的染色$c:V(H)\rightarrow\{1,\dots,d\}$不变量.在本文中，我们继续研究这个参数的游戏变体，最近推出。区别游戏是两个玩家的游戏，Gentle和Rascal，具有对抗性目标。这个游戏是在一个图形$H$上玩的，它有一组固定的$d\in\mathbb N^*$颜色。或者，两个玩家选择一个$H$的顶点，并用$d$颜色之一对其着色。游戏结束时，所有的顶点都已着色。然后，如果颜色是$d$ -可区分的，则温和获胜，否则，流氓获胜。这个游戏定义了两个新的不变量，这是确保Gentle拥有获胜策略所需的最小颜色数量，取决于谁开始游戏。不变量最终可能是无限的。在本文中，我们专注于carnival产品，一个图的操作，以及在经典的情况下研究。给出了两个连通因子$H$和$F$互素的阶的充分条件，从而保证了卡氏积$H\square F$的一个博弈区别数是有限的.如果$H$是一个对合图，我们给出了$H\square F$的一个博弈可区别数的阶$D^2(H)$的上界.最后，部分地利用前面的结果，我们计算了相对素圈的笛卡儿积的这些不变量的精确值。结果表明，该值要么是无穷大，要么等于$2$，这取决于乘积阶的奇偶性。
Fast winning strategies for Staller in the Maker-Breaker domination game
制造者-破坏者支配博弈是在图$G$上由两个参与者进行的，这两个参与者称为支配者和施特勒，他们交替选择一个迄今为止还没有玩过的顶点。如果支配者的移动形成支配集，则支配者赢得游戏。如果Staller从顶点$v \in V(G)$的封闭邻域中选择所有顶点，则她获胜。支配者的快速获胜策略在前面已经研究过了。在这项工作中，我们专注于当Staller在游戏中有一个获胜的策略的情况下。我们引入不变量$γ'_{\rm SMB}(G)$（分别为，$γ_{\rm SMB}(G)$），它是最小整数$k$，使得在支配者的任何策略下，Staller可以通过玩最多$k$顶点来赢得游戏，如果Staller（分别，支配者）在图形$G$上首先播放。证明了$γ_{\rm SMB}(G)$和$γ'_{\rm SMB}(G)$的一些基本性质，并研究了它们在取图的不交并和删除割点等算子下的参数变化。证明了不等式$δ(G)+1 \le γ'_{\rm SMB}(G) \le γ_{\rm SMB}(G)$总是成立，并且对于每三个具有$2\le r\le s\le t$的整数$r,s,t$，存在一个图$G$使得$δ(G)+1 = r$，$γ'_{\rm SMB}(G) = s$，和$γ_{\rm SMB}(G) = t$ .本文证明了$γ'_{\rm SMB}(G)$的精确公式，其中$G$是一条路，或它是一个由一个圈和一条路的…
Graph games and the pizza problem
提出了一类基于加权图的两人完全信息对策。其中一个游戏可以用圆形比萨饼来描述，比萨饼被径向切成不同大小的块。两名选手轮流取棋子，但须遵守以下规则：一旦选择了第一颗棋子，所有后续选择必须与之前取棋子留下的洞相邻。每个玩家都想得到尽可能多的披萨。最初的披萨问题是为了解决一个猜想，即参与人1总是可以得到至少一半的披萨。这个猜想后来证明是错误的。我们的主要结果是一个完整的解决方案，有点简单的一类游戏，串联堆栈和两端堆栈，我们提供了一个线性时间算法。该算法及其输出可以在不参考游戏的情况下进行描述。它产生一个特定的划分的有限序列的实数。分区上的条件涉及给定序列的各个段的交替和。我们不知道这些划分是否在对策论之外有应用。该算法导致一个二次时间算法，它给出的价值和最佳的初始移动比萨饼游戏。我们还提供了一些一般理论有关的半群的等价类的图对策。
Maker-Breaker games on random geometric graphs
在图$G$上的Maker-Breaker博弈中，Breaker和Maker交替地声明$G$的边。如果在所有的边都被声明之后，由他的边导出的图具有某些期望的性质，则Maker获胜。我们考虑四个Maker-Breaker游戏随机几何图。对于我们的四个游戏中的每一个，我们表明，如果我们添加边之间的$n$点随机随机选择的单位平方米的顺序增加边的长度，然后，与概率趋于一个$n\to\infty$，图成为制造商赢的时刻，它满足一个简单的必要条件。特别地，当最小度至少为2时，Maker以高概率赢得连通性博弈;当最小度至少为4时，Maker赢得Hamilton圈博弈;当最小度至少为2且每条边至少有3个相邻顶点时，Maker赢得完美匹配博弈;并且只要有一个来自有限的“极小图”列表的子图，Maker就赢得了$H$ -游戏。这些结果也使我们能够给出精确的表达式的极限概率，$G(n,r)$是制造商赢在每种情况下，其中$G(n,r)$是图上的$n$点均匀随机选择的单位正方形与边缘之间的两个点当且仅当它们的距离是最多$r$。
Maker-Breaker games on infinite graphs with precolored edges
本文研究可数无限完全图上带预着色边的Maker-Breaker游戏，针对保色与保模式两类游戏，分别给出获胜条件、完整刻画及Maker有胜策的模式，部分解答了相关学者的问题。
The Normal Domination Partizan Game in Stars
研究星图及其完整分割图组件的正常偏党 domination 游戏胜负规则，确定任意初始着色下的胜者，并在完整二分图中获得部分结果。
Maker-Breaker resolving game played on corona products of graphs
本文研究了图的冠积上Maker-Breaker解决游戏的胜负规则，证明了特定条件下冠积图的胜负结果。
The Game Saturation Number of a Graph
给定一个族${\mathcal F}$和一个主图$H$，如果$G$的任何子图都不位于${\mathcal F}$中，但从$E(H)-E(G)$向$G$添加任何边都会创建这样的子图，则图$G\subseteq H$相对于$H$是${\mathcal F}$ -饱和的。在$H$上的${\mathcal F}$ -饱和游戏中，玩家Max和Min交替地将$H$的边添加到$G$，避免${\mathcal F}$中的子图，直到$G$相对于$H$变为${\mathcal F}$ -饱和。它们的目标分别是最大化或最小化游戏的长度; $\textrm{sat}_g({\mathcal F};H)$表示最佳玩法下的长度（当Max开始时）。设${\mathcal O}$表示所有奇圈的族，${\mathcal T}$表示$n$ -顶点树的族，当${\mathcal F}=\{F\}$时，将${\mathcal F}$写成$F$。我们的结果包括$\textrm{sat}_g({\mathcal O};K_{2k})=k^2$、$n\ge6$的$\textrm{sat}_g({\mathcal T};K_n)=\binom{n-2}{2}+1$、$n\ge8$的$\textrm{sat}_g(K_{1,3};K_n)=2\lfloor n/2 \rfloor$、$\textrm{sat}_g(K_{1,r+1…
Line game-perfect graphs
本文研究六种 $[X,Y]$-边着色博弈下的线博弈完美图，并分别用禁用边诱导子图与显式结构给出完整刻画。
Maker-Breaker Strong Resolving Game
本文研究图上的 Maker-Breaker 强解析博弈，分析其一般结果及与解析博弈结果的关系，并确定该博弈在 corona 乘积图、Cartesian 乘积图和 modular 乘积图等图类上的胜负结果。
Incidence coloring game and arboricity of graphs
图$G$的关联是一对$(v,e)$，其中$v$是$G$的顶点，$e$是与$v$关联的边。当$v = w$、或$e = f$、或$vw = e$或$f$时，$(v,e)$和$(w,f)$两个事件相邻。关联着色博弈[S. D. Andres，The incidence game chromatic number，Discrete Appl.Math.157（2009），1980-1987]是普通着色游戏的一种变体，其中两个玩家Alice和Bob使用给定数量的颜色交替地对图的发生率着色，使得相邻的发生率得到不同的颜色。如果整个图都是彩色的，那么Alice就赢了，否则Bob就赢了。图$G$的关联博弈色数$i_g(G)$是Alice在$G$上进行关联着色博弈时获胜策略的最小颜色数。Andres证明了$\lceil 3/2 Δ(G)\rceil \le $ i_g（G）\le 2Δ（G）+ 4k - 2 $ for every $ k $-degenerate graph $ G $. %The arboricity $ a（G）$ of a graph $ G $ is the minimum number of forests into which its set of edges can be partitioned. %If $ G $ is $ k $-degenerate, the…
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