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具有小基的自由局部凸空间

Free locally convex spaces with a small base

Saak Gabriyelyan, Jerzy Kakol

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摘要：

本文研究了Tychonoff空间$X$上的自由局部凸空间$L(X)$。由于对于无限的$X$，空间$L(X)$永远都不是可度量化的（甚至不是Fréchet-Urysohn），所以$L(X)$的一个可能适用的广义度量性质是受欢迎的。我们提出了一个概念（本质上弱于第一可数性），这是已知的名称下的$\mathfrak{G}$ -基地。空间$X$有一个{ \em $\mathfrak{G}$ -base}，如果对于每个$x\in X$，在$x$有一个邻域的基$\{ U_α: α\in\mathbb{N}^\mathbb{N}\}$，使得$U_β\subseteq U_α$每当$α\leqβ$对于所有$α,β\in\mathbb{N}^\mathbb{N}$，其中$α=(α(n))_{n\in\mathbb{N}}\leq β=(β(n))_{n\in\mathbb{N}}$如果$α(n)\leqβ(n)$对于所有$n\in\mathbb{N}$。证明了如果$X$是Ascoli $σ$ -紧空间，则$L(X)$有$\mathfrak{G}$ -基当且仅当$X$容许Ascoli一致$\mathcal{U}$有$\mathfrak{G}$ -基.证明了若$X$是$\mathbb{N}^\mathbb{N}$ -一致紧型的$σ$ -紧Ascoli空间，则$L(X)$有$\mathfrak{G}$ -基.作为一个应用程序，我们显示：（1）若$X$是可度量化空间，则$L(X)$有$\mathfrak{G}$ -基当且仅当$X$是$σ$ -紧的，（2）若$X$是可数Ascoli空间，则$L(X)$有$\mathfrak{G}$ -基当且仅当$X$有$\mathfrak{G}$-基.

英文摘要：

The paper studies the free locally convex space $L(X)$ over a Tychonoff space $X$. Since for infinite $X$ the space $L(X)$ is never metrizable (even not Fréchet-Urysohn), a possible applicable generalized metric property for $L(X)$ is welcome. We propose a concept (essentially weaker than first-countability) which is known under the name a $\mathfrak{G}$-base. A space $X$ has a {\em $\mathfrak{G}$-base} if for every $x\in X$ there is a base $\{ U_α: α\in\mathbb{N}^\mathbb{N}\}$ of neighborhoods at $x$ such that $U_β\subseteq U_α$ whenever $α\leqβ$ for all $α,β\in\mathbb{N}^\mathbb{N}$, where $α=(α(n))_{n\in\mathbb{N}}\leq β=(β(n))_{n\in\mathbb{N}}$ if $α(n)\leqβ(n)$ for all $n\in\mathbb{N}$. We show that if $X$ is an Ascoli $σ$-compact space, then $L(X)$ has a $\mathfrak{G}$-base if and only if $X$ admits an Ascoli uniformity $\mathcal{U}$ with a $\mathfrak{G}$-base. We prove that if $X$ is a $σ$-compact Ascoli space of $\mathbb{N}^\mathbb{N}$-uniformly compact type, then $L(X)$ has a $\mathfrak{G}$-base. As an application we show: (1) if $X$ is a metrizable space, then $L(X)$ has a $\mathfrak{G}$-base if and only if $X$ is $σ$-compact, and (2) if $X$ is a countable Ascoli space, then $L(X)$ has a $\mathfrak{G}$-base if and only if $X$ has a $\mathfrak{G}$-base.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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