Finite temperature topological order in 2D topological color codes
本文研究了二维色码在有限温度下的拓扑序。拓扑熵用来度量拓扑序的行为。色码中的拓扑序来自于色弦网络结构。通过施加硬约束极限，纠缠熵的精确解成为可能。对于有限尺寸系统，通过提高温度，一种类型的弦网络结构被热化，并且关联拓扑熵为零。在热力学极限下，即使在非常低的温度下，基本的拓扑秩序也是脆弱的。先取热力学极限，再取零温度极限，反之亦然，这两个极限之间的差别只与区域的拓扑结构有关。讨论了模型的颜色和对称性对拓扑熵的贡献。它示出了如何的规范对称性的颜色代码的拓扑熵的基础。
2009-07-19 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
Combining Topological Hardware and Topological Software: Color Code Quantum Computing with Topological Superconductor Networks
我们提出了一个可扩展的容错拓扑量子计算的架构，使用网络的电压控制的马约拉纳库珀对盒，和拓扑色码的错误校正。颜色码有一组横向门，这与基于马约拉纳的系统中的拓扑保护门的集合一致，即Clifford门。通过这种方式，我们建立色码提供了一个自然的设置，其中拓扑硬件提供的优势可以与成熟的容错量子计算的拓扑纠错软件所产生的优势相结合。我们提供了一个完整的描述，我们的架构，包括基本的物理成分。我们首先表明，在拓扑超导体网络中，六边形细胞可以用作物理量子比特的通用量子计算，并提出了实现拓扑保护的克利福德门的协议。这些六边形单元量子位允许通过魔态蒸馏直接实现具有无附属校验子读出和逻辑$T$门的开边界色码。为了具体起见，我们描述了如何使用Majorana库珀对盒网络来实现必要的操作，并给出了这种架构中纠错的可行性估计。我们的方法的动机是基于拓扑超导体的网络，但也可以实现在替代设置，如量子霍尔超导体混合。
2017-09-22 cond-mat.mes-hall quant-ph
Topological color codes on Union Jack lattices: A stable implementation of the whole Clifford group
我们研究的错误阈值的拓扑色码的米字格上，允许完全实现整个克利福德组的量子门。在将误差校正过程映射到一个统计力学随机三体伊辛模型的米字格上后，我们用蒙特卡罗模拟计算了它在温度无序平面上的相图。令人惊讶的是，在米字格上的拓扑色码具有与三角形格上的色码以及Kitaev复曲面码相似的错误稳定性。增强的计算能力的拓扑颜色代码的米字格相对于三角形格子和复曲面代码证明了这种实现的固有的鲁棒性。
2010-01-25 cond-mat.dis-nn quant-ph
Local topological order inhibits thermal stability in 2D
本文研究了二维自旋晶格上局域无阻挫哈密顿量的简并基空间中量子信息的鲁棒性。一方面，在局部变换下，分离不同基态的宏观能垒将保护信息不受热涨落的影响。另一方面，局部拓扑序将屏蔽地面空间的静态扰动。在这里，我们表明，当地的拓扑秩序意味着一个恒定的能量障碍，从而抑制热稳定性。
2012-09-25 quant-ph
Simulation of topological phases with color center arrays in phononic crystals
提出了一种基于声子晶体中硅空位（SiV）中心阵列的物质拓扑相模拟方法。这种声子带隙结构允许具有可调轮廓的长程自旋-自旋相互作用。在特定的周期性微波驱动下，带隙介导的自旋-自旋相互作用可以进一步设计为Su-Schrieffer-Heeger（SSH）哈密顿量的形式。在动量空间中，我们研究了SSH模型的拓扑性质，证明了通过调制周期驱动场可以获得拓扑非平凡相。此外，我们还研究了色心阵列边界处的零能拓扑边缘态，并研究了利用拓扑边缘态进行量子信息传输的鲁棒性。该装置为研究色心和声子晶体的拓扑量子物理和量子信息处理提供了一个可扩展和有前途的平台。
2020-01-06 cond-mat.mes-hall quant-ph
Robustness of a topological phase: Topological color code in parallel magnetic field
研究了蜂窝格子上均匀磁场作用下拓扑色码的鲁棒性。我们的研究依赖于两个高阶级数展开使用微扰连续酉变换在低和高领域的限制，精确对角化和经典近似。我们证明了三角格子上平行光场中的拓扑色码与横场中的拓扑色码是等谱的。结果表明，拓扑相在临界电场下是稳定的，超过临界电场，拓扑相通过一阶相变转变为极化相。结果还表明，在平行磁场中，拓扑色码比复曲面色码更鲁棒。
2013-04-01 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el quant-ph
Chiral Color Code : Single-shot error correction for exotic topological order
本文提出三维手性颜色码，可在量子比特和量子比特系统中实现费米子型及手性拓扑序，并继承规范颜色码的单次纠错和码切换能力，为操控费米子与手性任意子提供新平台。
2025-09-22 cond-mat.str-el quant-ph
Twins Percolation for Qubit Losses in Topological Color Codes
通过研究二维拓扑色码中的量子比特损失问题，建立并探索了量子信息理论与经典统计力学之间的新联系。我们介绍了一个协议，以应付量子位的损失，这是基于识别和删除的双量子位的代码，并保证恢复一个有效的三色和三价重建的颜色代码晶格。此外，我们表明，确定相应的量子比特丢失错误阈值是等价的一个新的广义经典渗流过程。我们数值计算相关的量子位损失阈值的两个家庭的二维色码，并发现这些都接近满足基本限制$p_\text{fund} = 0.461 \pm 0.005$接近50%的无克隆定理。我们的研究结果揭示了拓扑色码和逾渗理论之间的新联系，显示了色码对量子比特丢失的高鲁棒性，并且与各种物理平台中的量子纠错的实现相关。
2018-03-07 cond-mat.stat-mech quant-ph
Entanglement properties of topological color codes
计算了一类定义在二维格点上的拓扑稳定态\emph{topological color codes}或\emph{2-colex}的纠缠特性。用拓扑熵度量了2-colex不同二分体的纠缠度。的依赖性的基态简并的表面上的属表明，颜色代码可以支持一个拓扑秩序，和颜色的贡献，在其结构中，使它有趣的比较与Kitaev的复曲面代码。当一个量子比特与系统的其余部分最大程度地纠缠时，两个量子比特不再纠缠，这表明颜色码是真正的多体纠缠。对于凸区域，发现纠缠熵只依赖于两个子系统边界上的自由度。熵的边界标度是补充了一个拓扑subleading长期的定义在一个紧凑的表面上的颜色代码是两倍的复曲面代码。从纠缠熵出发，我们构造了一组二等分，其中由边界项产生的发散项被洗掉，剩下的非零项将具有拓扑性质。除了紧致表面上的色码外，我们还分析了一种带边界色码\emph{triangular color code}的纠缠特性。
2008-12-07 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
Ising model formulation for highly accurate topological color codes decoding
针对拓扑颜色码解码难度大的问题，提出将解码转化为Ising哈密顿量能量最小化问题并通过模拟退火求解的方法，在多种噪声模型下实现了更高的错误阈值和接近最优的逻辑错误率。
2024-02-01 quant-ph
Projecting 3D color codes onto 3D toric codes
Toric码和Color码是两类重要的拓扑码。Kubica、Yoshida和Pastawski证明，任何$D$维的色码都可以映射到$D$维的有限个复曲面码。在本文中，我们提出了一个替代的3D颜色代码映射到3D复曲面代码，以解码3D颜色代码。我们的方法建立在Delfosse的结果为2D颜色代码，并利用这些代码的拓扑性质。我们的结果减少了三维颜色码的解码，三维复曲面码。位翻转误差通过投影到一组3D复曲面码上来解码，而相位翻转误差通过投影到另一组3D复曲面码上来解码。
2016-10-24 quant-ph
Tricolored Lattice Gauge Theory with Randomness: Fault-Tolerance in Topological Color Codes
我们计算的错误阈值的颜色代码，一类拓扑量子代码，允许直接实现量子克利福德门，当量子比特和测量误差。通过将问题映射到一个物理力学的三维无序伊辛格点规范理论，我们估计通过大规模的蒙特卡罗模拟，颜色代码是稳定的，对4.5（2）%的错误。此外，通过计算威尔逊圈分布的偏度，我们引入了一个非常灵敏的探针来定位格点规范理论中的一级相变。
2011-08-09 cond-mat.dis-nn quant-ph
Implementation of Single-qubit and CNOT Gates by Anyonic Excitations of Two-body Topological Color Code
利用拓扑二体色码模型中的任意子激发来实现一组门。由于存在两体相互作用，该模型可以在光晶格中模拟。激发具有非平凡的互统计，并耦合到非平凡的规范场。底层晶格结构提供了用于将逻辑量子比特的状态编码为任意态的各种机会。这些相互作用使不同的任意子状态之间发生转变，因此是编码量子比特的计算基础中的逻辑操作。双量子比特门可以用任意子编织在彼此周围的拓扑方式来实现。
2012-12-03 cond-mat.str-el quant-ph
Statistical Mechanical Models and Topological Color Codes
我们发现，一个拓扑量子色码态，代表一个量子存储器，与量子位的一个因式分解态的重叠，可以写为一个三体经典伊辛模型的配分函数在三角形或米字格上。这种映射使我们能够测试，不同的计算能力的颜色代码对应于定性不同的普适性类的相关的经典自旋模型。通过推广这些统计力学模型的任意非均匀和复杂的耦合，它是可能的，以研究基于测量的量子计算的颜色代码状态，我们发现，他们的经典模拟仍然是一个悬而未决的问题。我们补充meaument-based计算与建设的集群状态，产生的拓扑色码，这也给出了可能性，以表示统计模型与外部磁场。
2007-11-03 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
Universal resource-efficient topological measurement-based quantum computation via color-code-based cluster states
基于拓扑测量的量子计算（MBQC）是以簇态为资源，通过单量子比特的泡利测量来实现泛容错量子计算。基于表面码的Raussendorf三维团簇态（RTCS）主要用于拓扑MBQC。然而，在这样的方案中，逻辑Hadamard、相位（$Z^{1/2}$）和$T$（$Z^{1/4}$）门的容错实现对于建立任意逻辑门是必不可少的，迄今为止还没有在不使用状态蒸馏的情况下实现，而据我们所知，受控非（CNOT）门不需要状态蒸馏。态蒸馏通常会消耗大量的辅助逻辑量子比特，因此它是实际量子计算的一个严重障碍。为了解决这个问题，我们提出了一个MBQC方案，通过一个家庭的集群状态称为基于颜色代码的集群状态（CCCS）的基础上的二维颜色代码，而不是表面码。我们定义逻辑量子比特，构造基本逻辑门，并描述纠错方案。我们证明了所有的逻辑Clifford门，包括CNOT，Hadamard，和相位门可以实现容错状态蒸馏，虽然容错$T$门仍然需要它。我们进一步证明，在CCCS中的每逻辑量子比特的最小数量的物理量子比特最多是约1.8倍小于RTCS的情况。最后，我们表明，通过CCCS的MBQC的逻辑- $Z$错误的错误阈值为2.7- 2.8%，这是相当于RTCS的值，假设一个简单的错误模型，其中物理量子位具有$X$ -测量或$Z$错误独立具有相同的概率。
2021-08-17 quant-ph
Topological color code and symmetry-protected topological phases
我们研究了$(d-1)$维激发的$d$维色码，创建由横向应用的$R_{d}$相位运营商的量子比特的连接子区域。我们发现，这样的激发是电荷的叠加，可以用固定点波函数的$(d-1)$ -维玻色子SPT相位与$(\mathbb{Z}_{2})^{\otimes d}$对称性。虽然这些SPT激发位于$(d-1)$维边界上，但它们的产生需要作用于边界内的所有量子位的操作，这反映了新兴SPT波函数的非平凡性。此外，这些SPT激发可以物理地实现为透明的有间隙的畴壁，其在色码中交换激发。即，在三维色码中，与横向$R_{3}$算子相关联的畴壁交换磁通量和磁通量与环状SPT激励的复合物，揭示了高维TQFT中边界的丰富可能性。我们还发现，磁通量和环状SPT激发表现出非平凡的三圈编织统计在三维的事实，即$R_{3}$相位算子属于Clifford层次的第三层。我们相信，SPT激发，容错逻辑门和带隙畴壁之间的联系，建立在本文中，可以推广到一个大类的拓扑量子码和TQFT。
2015-09-02 cond-mat.str-el quant-ph
The boundaries and twist defects of the color code and their applications to topological quantum computation
色码既是一个有趣的例子，一个精确解决的拓扑有序相的物质，也是最有前途的候选模型之一，以实现容错量子计算与最小的资源开销。这项工作的贡献有三个方面。首先，我们建立在抽象的边界理论和域墙的拓扑相的物质，全面编目的对象实现的颜色代码。连同我们的分类，我们还提供了这些对象，其中包括三种新类型的边界，以及所有72色码扭曲缺陷的生成集的晶格表示。因此，我们的工作提供了一个明确的玩具模型，这将有助于更好地理解域墙的抽象理论。其次，我们发现了一些有趣的新应用的编目对象的量子信息协议。其中包括通过代码变形进行量子计算的改进方法，一种新的四量子比特错误检测代码，以及我们称之为星状色码的新量子纠错码系列，这种码以与下一个最佳色码相同的距离编码逻辑量子比特，但使用的物理量子比特数量约为一半。据我们所知，我们的新的拓扑码具有最高的编码率的本地稳定器码的有界重量稳定器在二维。最后，我们展示了如何边界和扭曲缺陷的颜色代码表示的多个副本的其他阶段。事实上，除了对色码和两个表面码的比较进行了充分的研究之外，我们还将色码与两个三费米子模型的比较。特别是，我们发现，这个类比提供了一个非常清晰的镜头，通过它我们可以查看的颜色代码的对称性，引起其众多的畴壁。
2018-10-24 cond-mat.str-el quant-ph
Accuracy thresholds of topological color codes on the hexagonal and square-octagonal lattices
利用系统的拓扑性质，在两种不同的量子比特排列方式下，预测了量子纠错码的精度阈值。利用映射到自旋玻璃系统的方法，研究了六角晶格和正方形-八边形晶格上的拓扑色码。对相应的自旋玻璃系统的分析包括对偶性和规范对称性，它成功地导出了与拓扑纠错码的精度阈值密切相关的特殊点的位置。我们预测拓扑色码的准确度阈值对于六边形晶格为$1-p_c = 0.1096-8 $，对于正方形-八边形晶格为$1-p_c = 0.1092-3$，其中$1-p$表示每个量子比特上的错误概率。因此，这两个都被认为是略低于概率$1-p_c = 0.110028$的量子吉尔伯特-Varshamov限制与零编码率。
2011-04-04 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech quant-ph
Decohered color code and emerging mixed toric code by anyon proliferation: Topological entanglement negativity perspective
Meijo University（名城大学）；Akita University（秋田大学）；Nihon University（日本大学）；Nagoya Institute of Technology（名古屋工业大学）
研究退相干色码如何产生内在混合态拓扑序，通过拓扑纠缠负性表征其拓扑性质，并展示退相干态与单个面码的关联。
2026-04-30 cond-mat.stat-mech cond-mat.str-el quant-ph
Distinct Floquet topological classifications from color-decorated frequency lattices with space-time symmetries
本文研究了在动态时空对称性下 Floquet 系统的反常拓扑零模，提出基于颜色修饰频率晶格的频域分类方法，揭示了不同能隙处的拓扑分类由上同调群的挠积描述。
2023-05-29 cond-mat.mes-hall quant-ph
Thermal quantum information capacity in a topological insulator
研究一维SSH拓扑绝缘体的热效应，引入OQFI量化热系综纠缠，结合混合态电极化实空间定义计算拓扑相，揭示拓扑区域纠缠增强提升量子信息热鲁棒性，且OQFI能捕捉低温长程跳跃下的拓扑相变。
2025-04-14 cond-mat.mes-hall quant-ph
Analytical percolation theory for topological color codes under qubit loss
量子信息理论与经典统计物理有着密切的联系。例如，像表面和颜色码这样的量子纠错码呈现出对量子比特丢失的容忍度，该容忍度与定义代码的晶格的经典逾渗阈值有关。在这里，我们探索这种连接，研究分析时的协议引入的颜色代码的公差在[物理。$\textbf{121}$，060501（2018）]来校正量子位损失。该协议基于从代码中移除丢失的量子位、相邻的量子位以及这两个量子位所在的晶格边缘。我们首先解析地获得协议从晶格中擦除的边缘$ r(p) $的平均分数，以校正量子比特损失的分数$ p $。然后，逻辑信息被保护的阈值$ p_c $对应于$ r(p) $等于晶格的键渗透阈值的$ p $的值。此外，我们证明了逻辑信息是保护的，当且仅当一组丢失的量子位不包括任何逻辑运算符的整个支持。这里提出的结果打开了一条路线，以分析理解量子比特损失的拓扑量子错误码的影响。
2019-07-29 cond-mat.stat-mech quant-ph
Neural network decoder for topological color codes with circuit level noise
量子计算机需要经典算法的帮助来检测和识别影响编码的量子信息的错误。在经典计算和量子计算的这个接口上，机器学习技术已经出现，作为一种方法来定制这样的算法，以适应实验的特定误差过程-而不需要误差模型的先验知识。在这里，我们将这种技术应用到拓扑颜色代码。我们证明了一个具有长短期记忆单元的递归神经网络可以被训练成将编码逻辑量子比特的错误率$ε_{\rm L}$降低到远低于物理量子比特的错误率$ε_{\rm phys}$的值--拟合预期的幂律缩放$ε_{\rm L} \propto ε_{\rm phys}^{(d+1)/2}$，其中$d$是代码距离。神经网络结合了来自“标志量子位”的信息，以避免由电路引起的有效代码距离的减少。作为测试，我们将神经网络解码器应用于超导量子计算机的基于密度矩阵的模拟，证明了逻辑量子比特具有比组成物理量子比特更长的寿命与近期的实验参数。
2018-10-18 cond-mat.dis-nn quant-ph
Homological Stabilizer Codes
在本文中，我们定义了同调稳定子码，包括代码，如Kitaev的复曲面码和拓扑色码。这些代码完全由它们所在的图来定义，这一特性允许我们利用拓扑图论的性质来确定适合作为同调稳定器代码的图。然后，我们证明了所有的复曲面代码是等价的同调稳定4-valent图的代码。我们证明了拓扑色码和环面码对应于两类不同的图。我们定义的标签集等价的概念，并表明，在一个小的约束条件下，唯一的同调稳定剂代码没有本地逻辑运算符是等价的Kitaev的复曲面代码或拓扑色码。
2011-08-10 math.CO quant-ph
Partial Anyon Condensation in the Color Code: A Hamiltonian Approach
本文通过在三色六角格子的色码模型中引入按颜色区分的伊辛相互作用，利用基变换将其映射到三个解耦横场伊辛模型，系统研究了任意子凝聚驱动的拓扑相变，揭示了向环面码态及部分拓扑相的转变机制，并引入弦序参量刻画不同相。
2025-08-27 cond-mat.str-el quant-ph
Topological quantum color code model on infinite lattice
Nankai University（南开大学）；Central South University（中南大学）；National University of Singapore（新加坡国立大学）；Capital Normal University（首都师范大学）
本研究在无限晶格中分析了颜色码模型，揭示其拓扑序由双层扭码描述，并通过构造弦算子和研究激发性质验证了其拓扑结构。
2026-09-25 hep-th math-ph math.MP
Non-CSS color codes on 2D lattices : Models and Topological Properties
二维色码是复曲面码的替代方案，其编码更多的逻辑量子比特，同时在长波长限制中保持$\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$复曲面码的关键特征。然而，它的短程物理包括违反三个或六个稳定器的单量子位泡利操作，而不是单量子位泡利操作违反两个或四个稳定器的复曲面代码。利用这一事实，我们构建了几个非CSS版本的二维色码，分为两个系列-那些违反三个，四个或五个稳定器的那些违反了所有三种类型的单量子位泡利操作的四个稳定器。这些模型不等同于原始颜色代码的局部酉变换。尽管如此，CSS和非CSS版本的代码空间是由本地幺正相关的，这反映了它们的长程物理一致的事实。这也意味着非CSS版本托管横向Clifford门，因此支持容错计算。作为非CSS结构的结果，逻辑运算符是混合类型的，在某些情况下，包括所有三个泡利运算符，使它们潜在地用于防止有偏泡利噪声。
2022-01-09 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
Interacting Anyonic Fermions in a Two-Body Color Code Model
本文在二维空间晶格上引入了自旋为1/2的两体量子哈密顿模型，该模型在所有耦合区域都具有精确的拓扑简并性。存在一个间隙阶段，在该阶段中，低能量扇区再现有效的色码模型。高能激发态可分为三个具有强相互作用的任意费米子家族。该模型具有Z_2xZ_2规范群对称性和弦网运动积分，这与运动的高能费米子不可见的拓扑荷的存在有关。
2009-09-09 cond-mat.str-el hep-th quant-ph
Thermal Uhlmann Chern number from the Uhlmann connection for extracting topological properties of mixed states
Berry相是纯态在参数空间中沿环路运动时的几何相。几何相位的概念已被推广到混合态的所谓的乌尔曼相位。然而，Uhlmann相位是从具有良好定义的全局截面的Uhlmann连接构造的。这个性质意味着Uhlmann联络是拓扑平凡的，因此相应的Chern特征标为零。我们提出了修正的陈特征标，其积分给出了热Uhlmann-Chern数，它与由Hamilton定义的映射的缠绕数有关。因此，热UhlmannChern数反映了混合态的基本哈密顿量的拓扑性质。通过在体积积分中引入温度依赖性，我们还引入了非拓扑热Uhlmann-Chern数，它随温度变化，但在有限温度下不量子化。我们举例说明了两带模型和一个退化的四带模型的应用。
2018-06-09 cond-mat.mes-hall cond-mat.quant-gas quant-ph
Topologically protected measurement-based quantum computation on the thermal state of a nearest-neighbor two-body Hamiltonian with spin-3/2 particles
最近，李{ \it et al.} [Phys. Rev. Lett. { \bf 107}，060501（2011）]已经证明，只要温度小于临界值，即阈值温度，就可以在具有自旋2和自旋3/2粒子的最近邻两体哈密顿量的热状态上实现拓扑保护的基于测量的量子计算。在这里，我们表明，热状态的最近邻两体哈密顿量，其中只包括自旋3/2粒子，使我们能够进行拓扑保护的测量为基础的量子计算。阈值温度的计算结果表明，与自旋-2和自旋-3/2系统的阈值温度相当。此外，我们一般表明，一个高连通性的集群状态可以有效地产生从自旋3/2系统的热态没有严重的热噪声积累。
2012-02-06 cond-mat.mes-hall cond-mat.quant-gas cond-mat.str-el
Feasibility of self-correcting quantum memory and thermal stability of topological order
最近，很明显，拓扑有序系统在有限温度下的热稳定性，如凝聚态物理中所讨论的，可以通过解决自校正量子存储器的可行性来研究，如量子信息科学中所讨论的。在这里，考虑到这种对应关系，我们提出了一个模型的量子代码，可以覆盖一个大类的物理可实现的量子存储器。该模型是由一定的一类带隙自旋哈密顿，称为稳定哈密顿，平移对称性和少量的基态，不增长的系统大小。我们发现，由于其逻辑算子的几何形状受到一定的拓扑约束，该模型不能作为自校正量子存储器工作。这个量子编码理论的结果意味着，被模型覆盖或近似的系统不可能具有热稳定的拓扑序，这意味着没有一个系统可以同时在二维和三维空间中对热涨落和局部扰动保持稳定。
2011-06-23 cond-mat.str-el math-ph math.MP
Entanglement Entropy, Quantum Fluctuations, and Thermal Entropy in Topological Phases
拓扑有序物质相的纠缠熵已被广泛地用各种方法计算。本文从一个新的角度--准粒子涨落的角度研究了双空间中拓扑相的纠缠熵。在这幅图中，拓扑有序系统的纠缠谱等同于系统的准粒子涨落谱，而纠缠熵则度量了电子束上的最大准粒子涨落.因此，纠缠熵对应于纠缠边界上无限温度下准粒子的热熵。我们证实了我们的结果与显式计算的量子双模型与/无边界。然后，我们系统地构造了具有边界的一般2-曲面上的量子双模型的约化密度矩阵。
2019-01-25 cond-mat.str-el hep-th math-ph
