Square-free values of reducible polynomials
我们计算r的容许值，使得具有整数系数的无平方多项式，没有固定的素除子和次数最多为3的不可约因子，具有无穷多个值，这些值是最多r个不同素数的乘积。
2017-01-18 math.NT
Newly reducible polynomial iterates
给定一个域$K$和$n > 1$，如果$f^{n-1}$在$K$上不可约，但$f^n$不是，则我们说多项式$f \in K[x]$在$K$上有新的可约$n$ th_n，（这里$f^i$表示$f$的$i$ th_n）。我们提出的问题的特征，对于给定的$d,n > 1$，领域$K$，使存在$f \in K[x]$度$d$与新的可约$n$ th，和类似的问题，领域承认无限多这样的$f$。我们给出结果的情况下，$(d,n) \in \{(2,2), (2,3), (3,2), (4,2)\}$以及$(d,2)$时，$d \equiv 2 \bmod{4}$。特别是，我们表明，对于所有这些$(d,n)$对，有无限多幺半群$f \in \mathbb{Z}[x]$的程度$d$与新的可约$n$第四遍$\mathbb{Q}$。奇怪的是，黄金分割率的最小多项式$x^2 - x - 1$是$f \in \mathbb{Z}[x]$的一个例子，它具有新的可约的第三个系数;很少有其他例子具有小的系数。我们的调查引发了一些质疑和未决问题。
2020-08-03 math.NT
Newly reducible iterates in families of quadratic polynomials
我们研究了定义在数域K上的二次多项式f（x）何时可以有新的可约的第n阶，即f^n（x）在K上不可约，但f^{n+1}（x）在K上可约，其中f^n表示f的第n阶。对于f（x）的每一个临界点γ的选择，我们考虑族g_{γ,m}（x）=（x - γ）^2 + m + γ，m \in K.对于固定的n个\geq 3和几乎所有的γ值，我们证明了只有n个m使得g_{γ,m}有一个新的可约的n阶.对于n = 2，我们对一个更严格的γ集给出了类似的结果。这些结果补充了Danielson和Fein在高次情形下得到的结果。我们的方法包括将问题转化为在某些超椭圆曲线上寻找有理点，确定这些曲线的亏格，并应用Faltings定理。
2012-10-15 math.NT
On a class of reducible trinomials
在这篇短文中，我们给出了一些数$n$的表达式，使得多项式$x^{2p}-nx^p+1$是可约的。
2013-11-04 math.NT
Note on the number of divisors of reducible quadratic polynomials
在最近的一篇论文中，Lapkova使用陶伯定理推导出除数和$\sum_{n \leq x} d( n (n+v))$的渐近公式，其中$v$是一个固定的整数，$d(n)$表示$n$的除数。我们根据Hooley的一个建议重新证明了她的结果，即研究这个和与著名的和$\sum_{n \leq x} d( n ) d (n+v)$之间的关系。因此，我们能够在渐近公式中提供附加项。
2018-06-04 math.NT
Prime values of reducible polynomials, II
Schinzel假设声称（但似乎无法证明）任何没有常数因子的不可约Q [x]多项式在整数位置假设有无穷多个素数。另一方面，很容易看出，一个可约Q [x]多项式只能有1/2个这样的位置。本文证明了一个n次可约Z [x]多项式（其中n不为4或5）最多可有n +2个这样的位置，并且存在n +1个位置的例子。如果Schinzel假设和k-素数元组猜想是正确的，那么也有多项式有n +2个这样的位置。(For n = 4或5，最大可能值为8）。如果一个Z [x]多项式是两个非常数整数值Q [x]多项式的乘积，那么最多有1.87234个。n + o（n）这样的地方。即使在这种情况下，具有正素数值的整数位的数量至多为n。更一般地，如果f = gh \in R [x]是两个非常数实多项式的乘积，则实数位置x的数目使得|g（x）|= 1或|h（x）= 1|，当f（x）> 1时，至多为n。对于这最后一个陈述的自然复杂版本，我们给出一个反例。此外，我们简要地考虑了广义问题的假设值在一个固定的有限集的整数。
2005-10-17 math.NT
An iterative construction of irreducible polynomials reducible modulo every prime
给出了一种构造整体域F上任意大次数不可约但模F的每个素数可约的多项式的方法。该方法包括在F[x]中找到其迭代具有所需性质的二次f，并且它依赖于确保f的所有迭代都不可约的新标准。特别是当F是一个数域，其中理想（2）不是一个平方时，我们构造了无穷多个二次f族，使得每个f^n在F上不可约，但f^n模F的所有素数可约，其中n至少为2。我们还给出了一个例子，为每个n的二次f与整数系数的迭代都是不可约的有理数，其（n-1）的第一个是不可约模一些素数，和其第n个可约模所有素数。从伽罗瓦论的角度来看，这表明对于通过多项式迭代获得的伽罗瓦表示，不存在线性伽罗瓦表示的众所周知的刚性现象。最后，我们研究了定义在整体域上的给定二次函数f对于所有n都有f^n模P不可约的素数P的个数。
2012-09-07 math.NT
The parity problem for reducible cubic forms
设Z[x，y]中的f是3次可约齐次多项式.我们证明了f（x，y）有偶数个素因子的次数与有奇数个素因子的次数一样多。
2005-09-26 math.NT
On the distribution of reducible polynomials
设Y_n（t）表示环Z上所有在域Q上可约的次数n>1且高度大于t的多项式的集合。我们表明，真正的数量级的|Y_n（t）|在n=2的特殊情况下等于t^2 log t，对于每个n>2，它都等于t^n。我们还确定了Y_n（t）的某些有趣子集的大小的真数量级。
2020-08-13 math.NT math.RA
Counting Reducible Matrices, Polynomials, and Surface and Free Group Automorphisms
本文给出了在整数和模素数整数上可约的各类多项式的个数的上界，SL（n），GL（n）和Sp（2 n）中具有可约特征多项式的矩阵的个数的上界，以及具有非一般伽罗瓦群的多项式的上界.我们使用我们的结果表明，一个随机（在适当的意义上）的映射类群的闭曲面的元素是伪Anosov，和一个随机自同构的自由群是强不可约（aka不可约的权力）。本文还给出了代数整数的所有幂都是同阶的必要条件，并给出了一个简单的证明（在附录中），证明了带限制系数的多项式模素数p的循环结构的分布与一般多项式的循环结构的分布相同。
2006-04-27 math.GT math.NT
Erdos-Turan with a moving target, equidistribution of roots of reducible quadratics, and Diophantine quadruples
丢番图$m$元组是$m$正整数的集合$A$，使得对于$A$的每对$a,b$的不同元素，$ab+1$是完满平方。本文导出了元素以$x$为界的丢番图四元组个数的渐近公式。在这样做的时候，我们扩展了两个现有的工具的方式，可能是独立的利益。Erd \H os-Turán不等式限制了位于特定区间模1中的序列的元素数与期望数之间的差异;我们建立了这个不等式的一个版本，其中允许区间变化。我们还适应参数胡利的多项式同余的解决方案的等距分布处理可还原的二次多项式。
2009-03-10 math.NT
Asymptotic behavior of the least common multiple of consecutive reducible quadratic progression terms
令$l$和$m$是具有$l>m\ge 0$的两个整数，并且令$f(x)$是两个具有整数系数整系数多项式的乘积。在本文中，我们证明了$\log {\rm lcm}_{mn<i\le ln}\{f(i)\}=An+o(n)$，其中$A$是一个常数，只依赖于$l$，$m$和$f$。
2014-06-24 math.NT
$p$-Adic quotient sets: linear recurrence sequences with reducible characteristic polynomials
本文针对特征多项式在有理数域上可约的一类线性递推序列，解答了Sanna提出的判断其$p$-进商集在$p$-进数域中是否稠密的公开问题，补充了此前不可约情形下的相关研究结论。
2024-08-13 math.NT
A note on a conjecture by Ulas on polynomial substitutions
我们证明了最近的猜想Ulas可约多项式替代。
2019-07-27 math.NT
Reducible Fibers of Polynomial Maps
对于有理数上的次数$n$多项式$f$，根据希尔伯特不可约定理，对于大多数有理数值$a$，纤维$f^{-1}(a)$中的元素的次数为$\mathbb Q$上的$n$。确定一组例外的$a$的没有这个属性是一个长期存在的开放问题，是密切相关的达文波特-刘易斯-Schinzel问题（1959年）约简分离多项式。相对于以前的工作，主要涉及不可分解的$f$，我们回答这两个问题的可分解的$f=f_1\circ\cdots\circ f_r$，只要不可分解的因素$f_i\in\mathbb Q[x]$的程度至少$5$和不$x^n$或切比雪夫多项式组成的线性多项式。
2022-09-08 math.GR math.NT
Walks on groups, counting reducible matrices, polynomials, and surface and free group automorphisms
证明了值在有限群中的图的随机游动的尖锐极限定理。然后我们将这些结果（连同一些初等代数几何、数论和表示论）应用于半单李群（特别是SL（n，Z）和Sp（2n，Z））中的格的有限等价物，以证明这些格中的一个“随机”元素具有不可约的特征多项式（在整数上）。术语"random“至少可以用两种方式来定义（根据高度和生成集的字长）--我们使用两种定义来展示结果。利用上述结果，我们证明了曲面的映射类群的随机（按字长）元是伪Anosov，随机自由群自同构是不可约幂不可约的（或强不可约的）.
2007-03-19 math.GT math.NT
An Infinite Family of Cubics with Emergent Reducibility at Depth 1
一个多项式f（x）在深度n处有涌现约化，如果f^{ \circ k}（x）对于0 \leq k \leq n-1是不可约的，但f^{ \circ n}（x）是可约的.本文通过展示具有此性质的单参数族，证明了存在无限多个不可约三次函数f \in \mathbb{Z} [x]，其中f \circ f可约。
2015-01-07 math.NT
Reducible modular differential equations, Jacobi pole divisors, and supersingular lifts
University of Ottawa（渥太华大学）；University of Ha’il（哈伊勒大学）
本文通过单一 Jacobi 多项式统一了模微分方程极点、Stieltjes 平衡与超奇异提升，证明 Ogg 素数对应完全分裂，并揭示极点的超越性与极限分布。
2026-09-21 math.CA math.NT
An irreducibility criterion for polynomials over integers
本文考虑$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\in \mathbb{Z}[x],$形式的多项式，其中$|a_0|=|a_1|+\dots+|a_n|$和$|a_0|$是素数.我们表明，这些多项式有一个分圆因子时可约。作为结果，我们给出了一个简单的程序来检查这种形式的三项式的不可约性和某些四项式的可分性准则。
2019-07-07 math.NT
Irreducibility of Random Polynomials
本文研究了一个整数系数的随机多项式在分解为有理数时可约的概率。使用计算机生成的数据，我们调查了一些不同的模型，包括monic和非首一多项式。我们的数据支持由Odlyzko和Poonen和Konyagin所作的解释，我们制定了一个普遍性的启发式和新的解释，将他们的工作与希尔伯特的不可约化定理和工作的范德瓦尔登。数据表明，随机多项式可约的概率除以存在线性因子的概率似乎接近一个常数，并且在大度数极限下，这个常数似乎接近1。在模型使得随机多项式不可能具有线性因子的情况下，约简的概率似乎接近于具有非线性、低次因子的概率。我们还研究了元素为+1和-1的随机矩阵的特征多项式。
2017-05-10 math.NT math.PR
Factorization of quadratic polynomials in the ring of formal power series over Z
本文确立了整系数形式幂级数环中二次多项式不可约的充要条件，并证明特定二次多项式在该环中的可约性等价于其在p进整数多项式环中的可约性。
2023-10-22 math.AC math.GM math.NT
Explicit Hilbert's Irreducibility Theorem in Function Fields
本文证明了函数域上Hilbert不可约定理的一个定量形式：如果$f(T_1,\ldots, T_n,X)$是特征$p$的有限域$\mathbb{F}_q$上有理函数域上的不可约多项式，则$f(t_1,\ldots, t_n,X)$可约的次数$d$一元多项式的$n$ -元组$(t_1,\ldots, t_n)$占次数$d$一元多项式的所有$n$ -元组的比例为$O(dq^{-d/2})$ .
2019-12-11 math.NT
Comparing Galois representations in the residually reducible case
本文提出一种算法，用于判定剩余像为p-群的伽罗瓦表示的半单化是否同构，并应用于证明特定不可约表示由五个小范数素数处的Frobenius特征多项式决定，且自动验证了Grenié的2-adic例子。
2025-10-14 math.NT
Multiplicative Series, Modular Forms, and Mandelbrot Polynomials
我们说一个幂级数$\sum_{n=0}^\infty a_n q^n$是乘法的，如果函数$n\mapsto a_n/a_1$（$n\ge 1$）是这样的。本文考虑乘幂级数$f$使得$f^2$也是乘的.我们发现各种解决方案，其中$f$是一个有理函数或θ系列，并证明了完整的解决方案是一个（可能可约）仿射簇在C上的轨迹。这个品种的精确测定是一个有限的计算问题，但似乎是目前的计算机代数系统的范围之外。定理的证明依赖于Mandelbrot集的对数容量的一个界。
2019-10-29 math.NT
Irreducibility of iterates of post-critically finite quadratic polynomials over $\mathbb{Q}$
在本文中，我们分类，多达三个可能的例外，所有一元，后临界有限二次多项式$f(x)\in \mathbb{Z}[x]$与一个可约模每个素数，但所有的迭代是不可约的$\mathbb{Q}$。特别是，我们获得了无穷多的新的例子研究的现象在\cite{Jones}。在这样做的同时，我们还发现，多达三个可能的例外，所有整数$a$，使所有迭代的二次多项式$(x+a)^2-a-1$是不可约的$\mathbb{Q}$，这回答了一个问题提出的\cite{AyadMcdonald}，除了三个值的$a$。最后，我们提出了一个猜想，提出了一个充要条件的稳定性的任何一元，后临界有限二次多项式的任何领域的特征$\neq 2$。
2019-07-07 math.NT
Factoring polynomials in the ring of formal power series over Z
本文研究了整系数多项式在Z上形式幂级数环Z[[x]]中的因式分解性质。本文讨论了任意次数的多项式，并给出了其约化为幂级数的充分条件。此外，如果多项式在Z[[x]]上可约，我们提供了一个显式因式分解算法。对于常数项是素数幂的多项式，我们的研究引出了p进整数的讨论。
2011-06-07 math.AC math.NT
Counting integer polynomials with several roots of maximal modulus
该研究对固定次数、高度有界且恰有指定数量最大模根的首一整系数多项式集合基数给出上下界，分别计数可约与不可约情形，得到全根等模的不可约多项式在奇偶次数下的数量估计。
2024-09-13 math.NT
Polynomials with integer coefficients and their zeros
研究了整系数整系数多项式的几个相关问题。这包括整数Chebyshev问题和Schur问题的手段代数数。我们还讨论了有趣的应用程序，以逼近的整系数多项式，并与根位于规定的集合多项式系数的增长。整系数整系数多项式零点的分布在所有这些问题中起着重要的作用。
2013-07-23 math.NT
Logarithmic vector-valued modular forms and polynomial-growth estimates of their Fourier coefficients
我们建立了全纯对数向量值模形式的傅里叶系数的多项式增长估计（定理3.6）。
2011-09-26 math.NT
On the largest prime divisor of polynomial and related problem
本文研究多项式值的最大素因子问题，识别出满足整除阶乘性质的多项式，并对三次、可约四次及Chebyshev多项式分别给出最大素因子的上界估计。
2025-03-10 math.NT
Divisibility criteria and coefficient formulas for cyclotomic polynomials
本文给出多项式被分圆多项式整除的充要条件，推导拉马努金和的新公式，并揭示分圆多项式系数的新性质及指数相差素因子时的递推关系。
2025-08-01 math.NT
A Goldbach theorem for Laurent polynomials with positive integer coefficients
本文证明了正整系数Laurent多项式情形下的哥德巴赫猜想类比定理。
2023-12-02 math.NT
On Hensel's roots and a factorization formula in Z[[x]]
给定一个奇素数$p$，我们给出了多项式根模$p$的Hensel提升公式，并给出了一类常数项为$p^w$且具有$w>1$形式的可约多项式在整数系数形式幂级数环上的显式因式分解.我们所有的公式都是以部分贝尔多项式的形式给出的，并依赖于拉格朗日的反演公式。
2013-08-13 math.AC math.CO math.NT
Some remarks on the non-real roots of polynomials
令$f \in { \mathbb R} ( t) [x]$由$ f(t, x) = x^n + t \cdot g(x) $和$β_1 < \dots < β_m$给出，$ f(t, x) = x^n + t \cdot g(x) $和$β_1 < \dots < β_m$是$f(t, x)$关于$x$的判别式$Δ_{(f, x)} (t)$的不同实根。令$γ$为$g(x)=\sum_{k=0}^s t_{s-k} x^{s-k}$的实根的个数。对于任何$ξ> | β_m |$，如果$n-s$是奇数，则$f(ξ, x)$的实根的数目是$γ+1$，并且如果$n-s$是偶数，则$f(ξ, x)$的实根的数目分别是$γ$，$γ+2$，如果$t_s>0$或$t_s < 0$。上述结果的一个特例是构造一族在$\mathbb Q$上可约的全复多项式。
2018-02-08 math.NT math.RA
Some identities involving polynomial coefficients
多项式（或扩展的二项式）系数是指多项式$1+t +\cdots +t^{m}$的正整数幂和负整数幂的展开式中的系数; $m\geq 1$是固定整数。我们将建立几个类似于通常的二项式系数的恒等式和求和公式。
2016-03-30 math.CO math.NT
On the Coefficients of Primitive Normal polynomials
文[4]证明了在有限域GF（q）中，对任意大的q，存在n次的具有k个给定系数的本原多项式和本原正规多项式。本文给出了关于本原正规多项式的一个结果的更好的形式。
2005-10-01 math.CO math.NT
Counting irreducible polynomials with prescribed coefficients over a finite field
本文继续研究了有限域上具有给定系数的不可约多项式的计数问题。我们建立了一个通用的组合框架，使用生成函数的系数从一个群代数，这是由等价类的多项式与指定的系数。对于某些特殊情况，导出了简化的表达式.我们的结果推广了一些早期的结果。
2021-09-05 math.CO math.NT
Some factorization results on polynomials having integer coefficients
Guru Nanak Dev University（古鲁纳克德夫大学）
本文研究了几类具有整数系数多项式的因子分解性质，通过系数条件和根位置信息，确定了几类不可约多项式。
2023-11-27 math.AC math.AG math.NT
