Cumulants asymptotics for the zeros counting measure of real Gaussian processes
该研究在更弱假设下得到实高斯过程零点计数测度线性统计量的二阶以上累积量渐近为零的结论，推出中心极限定理，覆盖此前仅猜想的多类过程。
2023-10-05 math.PR
Moment Varieties of Measures on Polytopes
凸多胞体上的一致概率测度在其投影上诱导出分段多项式密度。对于一个固定的组合类型的单纯多面体，这些措施的时刻是有理函数的顶点坐标。我们研究的投射品种参数化的有限收集这样的有理函数。我们的重点在于确定这些时刻品种的素理想。特殊情况包括线段上多面体样条的Hankel行列式理想，以及由单形的累积量给出的多对称函数之间的关系。一般来说，我们的矩变量比这两种特殊情况下的要复杂得多。它们为代数几何中的数值计算和符号计算带来了挑战。
2020-07-07 math.AG math.CO math.PR
Fine Gaussian fluctuations on the Poisson space, I: contractions, cumulants and geometric random graphs
研究了具有多重积分有限和形式的Poisson测度泛函的正规逼近。当被积函数为非负时，我们的结果给出了中心极限定理成立的充要条件。这些条件总是可以用压缩算子或等价的第四累积量来表示。我们的研究结果是专门针对处理几何$U$的正常近似-统计介绍了Reitzner和Schulte（2011）。特别地，我们将提供一个新的几何随机图的边缘计数统计量表现出渐近高斯波动的分析特征，并描述一种新的形式的泊松收敛的平稳随机图稀疏连接。在一个配套文件中，上述分析扩展到一般的$U$ -统计标记点过程可能重新缩放内核。
2012-06-23 math.PR
Convex cones spanned by regular polytopes
我们研究三个家庭的多面体锥的部分是定期单纯形，立方体，和crosspolytopes。我们计算了这些圆锥的立体角和圆锥曲线的固有体积。我们表明，随机几何中出现的几个量可以通过这些圆锥曲线的内禀体积来表示。这些量的列表包括规则单形和交叉多面体的内部和外部立体角，（对称）高斯随机多面体或高斯带形包含一个给定的点，一个规则多面体与一个随机线性子空间通过其中心的交集的预期面数，以及一个规则多面体在一个随机线性子空间上的投影的预期面数。
2020-12-31 math.MG math.PR
Absorption probabilities for Gaussian polytopes and regular spherical simplices
高斯多面体$\mathcal P_{n,d}$是$\mathbb R^d$中与$n$无关的标准正态分布点的凸包。我们推导出明确的表达式的概率，$\mathcal P_{n,d}$包含一个不动点$x\in\mathbb R^d$作为一个函数的欧几里德范数的$x$，和概率，$\mathcal P_{n,d}$包含点$σX$，其中$σ\geq 0$是常数和$X$是一个标准的正常向量独立的$\mathcal P_{n,d}$。作为副产品，我们还计算了$k$ -面的预期数量和$\mathcal P_{n,d}$的预期体积，从而恢复了Affentanger和Schneider的结果[Discr.的Comput。几何学，1992年]和埃夫隆[生物统计学，1965年]分别。所有的公式都是以正球单形的体积为单位的，而正球单形的体积又可以用标准正态分布函数$Φ(z)$及其复数形式$Φ(iz)$表示。在证明中使用的主要工具是克罗夫顿公式的圆锥版本。
2019-12-27 math.MG math.PR
Central limit theorems for Gaussian polytopes
根据标准正态分布在$\R^d$中随机选择$n$独立点。它们的凸包$K_n$是{ \sl Gauss随机多面体}。证明了$K_n$的体积和面数满足中心极限定理，解决了该领域的一个著名猜想.
2006-10-05 math.CO math.PR
Cumulants on Wiener chaos: moderate deviations and the fourth moment theorem
本文给出了一个中等偏差原理，并给出了一个中等偏差和大偏差不等式.所得结果的条件与著名的Nualart和Peccati四阶矩定理的条件一致。这些证明依赖于对累积量的精确估计。作为应用，考虑了布朗单的爆炸积分、分数阶布朗运动的二次变分的离散化形式和球面高斯随机场的样本双谱.
2014-10-29 math.PR
Maximum entropy Gaussian approximation for the number of integer points and volumes of polytopes
我们描述了一个最大熵方法计算体积和计数整数点的多面体。为了估计R ^n中的多面体P中R^n中的特定集合X中的点的数量，通过解决某个熵最大化问题，我们在集合X上构造一个概率分布，使得a）概率质量函数在P和X的交点上是常数，以及b）分布的期望值位于P中。这允许我们应用中心极限定理类型的参数来推导计算上有效的近似值。整数点的数量，体积，以及多面体中0-1向量的数量。作为应用，我们得到了多指标运输多面体体积和多路列联表个数的渐近公式。
2009-07-15 math.CO math.MG math.PR
Monotonicity of functionals of random polytopes
$R^{d}$中的高斯样本$X_{1},...,X_{n}$的凸包$P_{n}$是高斯多面体。我们证明了在$n$中期望的刻面数$E f_{d-1} (P_n)$是单调增加的。此外，我们证明了这一点均匀分布的点在$d$维球产生的随机多面体。
2017-06-26 math.PR
Facets of high-dimensional Gaussian polytopes
本文研究高维高斯点凸包的面数，建立了维度随样本量增长时期望面数的显式渐近公式，并给出了d接近n时的渐近值。
2024-01-10 math.PR
Angle sums of random polytopes
对于两个家庭的随机多面体，我们明确计算预期的总和圆锥曲线的内在体积和格拉斯曼角在所有面临的任何给定的维度的多面体正在考虑中。作为特殊情况，我们计算任何固定尺寸的所有面的内角和外角的期望和。第一类是定义为独立同分布的凸包的高斯多面体。来自$\mathbb R^d$中的非退化高斯分布的样本。第二类是具有可交换增量的随机游动的凸包，满足一定的一般位置假设。期望和分别用正则单形的角度和Stirling数表示。这两种情况之间存在着不小的相似之处。此外，我们计算任意多面体集的高斯投影的角度和，其中高斯多面体是一个特殊的情况。此外，我们还证明了具有旋转不变律的随机多面体的格拉斯曼角和在仿射变换下是不变的。独立的兴趣也可能是多面体集的线性图像的面上的结果。这些结果是众所周知的，但似乎没有详细的证据可以在现有的文献中找到。
2020-07-15 math.CO math.MG math.PR
Zeros and critical points of Gaussian fields: cumulants asymptotics and limit theorems
Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Laboratoire J.A. Dieudonné（J.A. 迪厄多内实验室）；University of Luxembourg（卢森堡大学）；Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）；Laboratoire de Mathématiques d’Orsay（奥赛数学实验室）
本文研究了高斯场零点和临界点的渐近行为，推导了累积量的渐近性及强律和中心极限定理。
2025-12-19 math.PR
Gaussian polytopes with large Banach-Mazur distance to the cross-polytope
研究高斯多胞体与标准交叉多胞体的Banach-Mazur距离，证明当m=n^3时距离至少为c n^{5/8}(ln n)^{-5/8}的概率趋于1，改进了Friedland的指数4/7下界，方法结合离散化、条件化及K/U分解。
2026-09-25 math.FA math.MG math.PR
Estranged facets and $k$-facets of Gaussian random point sets
本文研究维数趋于无穷且点数与维数成正比时的高斯随机多胞体，证明了面与 $k$-面期望数量的渐近公式，并确定了 $n=2d$ 时疏离面对期望数量的常数 $C$。
2023-07-02 math.MG math.PR
On the Gaussian behavior of marginals and the mean width of random polytopes
证明了均匀分布在$\R^n$中各向同性凸体上的$N$随机向量（$n\leq N\leq e^{\sqrt n}$）生成的随机多面体的平均宽度的期望值为$\sqrt{\log N} L_K$阶.这完成了Dafnis，Giannopoulos和Tsolomitis的结果。我们还证明了一些结果与1维边缘的均匀概率测度上的各向同性凸体，延长的间隔，在这些边缘的分布函数的平均值的行为在一个子或supergaussian的方式。
2012-05-28 math.FA math.PR
Real Gaussian exponential sums via a real moment map
本文通过实矩映射研究高斯指数和系统的期望解数，将其化为牛顿多胞体上的积分，并证明添加支撑点可导致解数减少，否定局部猜想，同时给出Aronszajn乘法新下界。
2025-04-22 math.MG math.PR
Hardy-Schatten Norms of Systems, Output Energy Cumulants and Linear Quadro-Quartic Gaussian Control
University of New South Wales at the Australian Defence Force Academy（新南威尔士大学澳大利亚国防军学院）
本文研究线性随机控制系统，通过将输出能量的累积量与Hardy空间中的Schatten范数关联，提出一种最小化平均值和方差组合的新性能准则，并利用同伦方法求解线性四次高斯控制问题。
2012-08-19 cs.SY eess.SY math.OC
Variance asymptotics and scaling limits for Gaussian Polytopes
设$K_n$为i.i.d.的凸包。随机变量根据$\R^d$上的标准正态分布进行分布。我们建立方差渐近$n \to \infty$的重新缩放的固有体积和$k$ -面泛函的$K_n$，$k \in \{0,1,...,d-1\}$，解决一个开放的问题。本文给出了在强度为$e^h dh dv$的$\R^{d-1} \times \R$上具有带Poisson点过程顶点的抛物颗粒的胚粒模型的泛函的方差渐近性。$K_n$边界的标度极限为$n \to \infty$收敛于一个抛物曲面的花饰，与随机输入下Burgers方程零黏性解的尺规作图法特征一致.
2014-09-28 math.PR
Optimal Sobolev Rate for Gaussian Density Approximation of Wiener Chaos Vectors
Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；School of Big Data, Baoshan University（宝山学院大数据学院）；LMAM, School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）
本文证明Wiener混沌向量高斯逼近在Sobolev空间中的最优密度收敛速率由三阶和四阶累积量决定，并推广至多种距离，方法无需Malliavin非退化条件。
2026-09-09 math.PR
Mean width of regular polytopes and expected maxima of correlated Gaussian variables
一个古老的猜想指出，在所有的单形内接在单位球的规则有最大的平均宽度。一个等价的公式是，对于任何满足$\mathbb Eξ_1^2= \dots =\mathbb Eξ_n^2=1$的中心高斯向量$(ξ_1,\dots,ξ_n)$，有$$ \mathbb E\,\max\{ξ_1,\dots,ξ_n\}\leq\sqrt{\frac{n}{n-1}}\, \mathbb E\,\max\{η_1,\dots,η_n\}, $$，其中$η_1,η_2,\dots,$是独立的标准高斯变量。使用这种概率解释，我们推导出一个渐近版本的猜想。我们还证明了具有$2n$顶点的正则单形的平均宽度非常接近于具有相同顶点数的正则交叉单形的平均宽度。从概率上解释，我们的结果表明，$$ 1\leq\frac{\mathbb E\,\max\{|η_1|,\dots,|η_n|\}}{\mathbb E\,\max\{η_1,\dots,η_{2n}\}} \leq\min\left\{\sqrt{\frac{2n}{2n-1}}, \, 1+\frac{C}{n\, \log n} \right\}, $$，其中$C>0$是一个绝对常数。本文还计算了正立方体、单形和交叉多面体在任意方向直线上的投影长度$W$的高阶矩，从而证明了S.芬奇最后，我们证明了随机投影长度的分布极限定理的维数去$\infty$。在$n…
2016-04-06 math.MG math.PR
On the Gaussian approximation of vector-valued multiple integrals
结合Nualart，Peccati和Tudor最近的两篇开创性论文的研究结果，我们得到了任意向量值多重积分序列$F_n$对中心高斯随机向量$N$的收敛律，在给定协方差矩阵$C$的情况下，归结为：$(i)$，$F_n$每个分量的第四累积量收敛到零; $(ii)$是$F_n$到$C$的协方差矩阵。本文的目的是更深入地了解这个有点令人惊讶的现象。为了达到这个目标，我们提供了两个不同性质的结果。当$F$是一个$\R^d$值的随机向量，其分量是可能不同阶的多重积分时，第一个是$d(F,N)$在$F$分量的第四累积量方面的显式界，$N$是$F$的高斯对应（即，与$F$共享相同协方差的高斯中心向量），$d$代表Wasserstein距离.第二个是如上所述的$F$的累积量的一个新的表达式，从它很容易得到以前引用的Nualart，Peccati和Tudor的结果的另一个证明。
2010-09-07 math.PR
Variance lower bounds for geometric functionals of rotationally invariant log-concave random polytopes
该研究将Bárány等人的高斯方差下界扩展到旋转不变对数凹分布生成的随机多面体，通过重心坐标替代处理结合局部方差估计，建立了内蕴体积和面对数的方差下界。
2026-09-01 math.MG math.PR
Optimal Berry-Esseen rates on the Wiener space: the barrier of third and fourth cumulants
设{F_n}是与一般高斯场相关的固定Wiener混沌中的一个规范化随机变量序列，并假定E[F_n^4] --> E[N^4]=3，其中N是标准高斯随机变量.存在两个有限常数c，C>0，使得对n足够大，cmax（|E[F_n^3]|，E[F_n^4]-3）< d（F_n，N）< C_max（|E[F_n^3]|，E[F_n^4]-3），其中d（F_n，N）= sup| E[h（F_n）] - E[h（N）]|，并且h遍历所有二阶导数以1为界的实函数的类。这表明，确定性序列max（|E[F_n^3]|，E[F_n^4]-3）完全刻画了包含混沌随机变量的CLT的收敛速率（相对于光滑距离）.这些结果被用来确定最佳的收敛速度在布鲁尔-梅杰中心极限定理，特别强调分数高斯噪声。
2011-09-07 math.PR
Moments, cumulants and diagram formulae for non-linear functionals of random measures
本文统一讨论了与完全随机测度泛函有关的多重积分、矩、累积量和图解公式。我们的方法是组合的，因为它是基于分划格和默比乌斯函数的代数形式。高斯和泊松措施进行了详细的处理。我们还提出了几个组合的解释，最近的一些CLTs涉及序列的随机变量属于一个固定的维纳混沌。
2008-11-11 math.CO math.PR
Radon Partitions of Random Gaussian Polytopes
本文提出概率框架研究随机高斯点的Radon划分，通过定义Radon多面体编码划分信息，推导概率表达式，并为Reay松弛Tverberg猜想提供新视角。
2025-07-07 math.CO math.PR
Counting faces of randomly-projected polytopes when the projection radically lowers dimension
本文发展渐近方法计数随机高维多面体的面，并揭示在统计、概率、信息论和信号处理中的意外应用，包括高斯点云凸包、随机投影信号恢复以及高斯纠错码可纠正的粗差数量。
2006-09-26 cs.NA math.MG math.NA
A third-moment theorem and precise asymptotics for variations of stationary Gaussian sequences
在两篇新论文（Bierme等人，2013）和（Nourdin and Peccati，2015），给出了精确的一般定量界以补充著名的Nualart和Peccati的四阶矩定理，通过该定理，固定Wiener混沌中的序列收敛于正规律当且仅当其四阶累积量收敛于$0$ .其界表明，收敛速度与四阶累积量的最大值和三阶矩（累积量）的绝对值是一个数量级。专门的情况下，归一化的中心二次变化的平稳高斯序列，我们表明，第三矩定理成立：收敛发生时，只有当序列的第三时刻趋于$0$。对于具有一般递减协方差的序列，通过使用（Nourdin和Peccati，2015）的结果并找到二次变分的第三和第四累积量收敛到$0$的精确速度来证明这一点。（Nourdin and Peccati，2015）还允许我们对一类对数调制协方差结构的收敛速度进行定量估计，这在研究分数布朗运动的二次变分的收敛性时，将临界Hurst参数的概念放在了正确的位置。我们还研究了收敛速度时的限制是不是高斯，而是一个第二维纳混沌法。使用对数调制类的谱密度，我们恢复Dobrushin-Major/Taqqu的经典结果，其中限制是Rosenblatt法，我们提供了新的收敛速度。在这种情况下的结论是，尽管调制缓慢变化，但为了获得Rosenblatt极限而付出的代价是非常慢的收敛速度，大致与调制相同的阶数。
2016-03-01 math.PR
Mean Width of Random Perturbations of Random Polytopes
我们证明了随机多面体的随机扰动的平均宽度的期望值的一些“高概率”结果。考虑高斯和$p$稳定随机向量的随机扰动，以及$\ell_p^N$ -球和单位球上的均匀分布。
2013-03-22 math.FA math.PR
Convex hulls of several multidimensional Gaussian random walks
本文给出了多维高斯随机游动凸包的期望体积和期望面数的显式表达式。特殊情况包括已知的关于单高斯随机游动凸包和$d$维高斯多面体的结果。
2020-12-23 cond-mat.stat-mech math.MG math.PR
An improved lower bound on the Banach--Mazur distance to the cross-polytope
Institut de Mathématiques de Jussieu, Sorbonne Université（巴黎数学研究所，索邦大学）
该研究改进了对交叉多面体的Banach-Mazur距离的下界，通过处理“许多小系数”和“少数小系数”两种情况，得出了指数为4/7的改进结果。
2026-02-11 math.FA math.PR
A $5/8$ Lower Bound on the Banach--Mazur Distance to the Cross-Polytope
Institut de Mathématiques de Jussieu, Sorbonne Université（巴黎数学研究所，索邦大学）
该研究针对高斯Gluskin多面体与交叉多面体的Banach-Mazur距离，在m=n³范围内证明了5/8的多项式下界，改进了前期结果，通过替换商事件的方法完成证明。
2026-09-29 math.FA math.PR
The isotropic constant of random polytopes with vertices on convex surfaces
对于各向同性凸体$K\subset\mathbb{R}^n$，我们考虑由$N$独立随机点生成的对称随机多面体$K_N$的各向同性常数$L_{K_N}$，这些点按锥概率测度分布在$K$的边界上.我们表明，以压倒性的概率$L_{K_N}\leq C\sqrt{\log(2N/n)}$，其中$C\in(0,\infty)$是一个绝对常数。如果$K$是无条件的，我们认为即使是$L_{K_N}\leq C$也有压倒性的可能性。证明的基础上的浓度不等式的总和的次指数或次高斯随机变量，分别，在无条件的情况下，一个新的$ψ_2$估计线性泛函的锥测度的精神Bobkov和Nazarov，这可能是独立的利益。
2018-07-06 math.FA math.MG math.PR
Pentadiagonal Matrices and an Application to the Centered MA(1) Stationary Gaussian Process
本文研究了角点扰动的五对角对称矩阵的性质。更具体地说，我们提出了明确的表达式时，这个矩阵是非负和正定的两个特殊和重要的情况下，表征。我们还给出了这类矩阵的行列式的封闭表达式。以前的作品提出了行列式的递归形式，但不是在一个明确的。作为这些结果的应用，我们还研究了二元随机向量序列（n^{-1}（\sum_{k=1}^n X_k^2，\sum_{k=2}^n X_k X_{k-1}）_{n in N}的极限累积量母函数，当（X_n）_{n in N}是具有高斯新息的中心平稳移动平均过程时.我们展示了这种极限累积量生成函数的显式表达。最后，我们提出了三个例子来说明这里研究的技术。
2021-04-22 math.DS math.PR
Intrinsic Volumes of the Maximal Polytope Process in Higher Dimensional STIT Tessellations
平稳和各向同性迭代稳定的随机镶嵌被认为是，它可以通过一个随机过程的细胞分裂。最大多面体的集合在一个固定的时间$t$内的凸窗口$W\subset{\Bbb R}^d$被认为是和公式的平均值，方差，以及某些协方差措施的特征证明。重点是$d\geq 3$的情况下，这是不同于平面的，在\cite{ST2}单独处理。此外，一个多元极限定理的向量适当重新缩放的内在体积的建立，导致在每个组件-在鲜明对比的情况下，在平面-一个非高斯限制。
2011-01-04 math.PR
Gaussian fluctuations of differential observables of stationary lattice fields
Mathematical Institute, Utrecht University（乌得勒支大学数学研究所）
本文研究平稳格点随机场的微分可观测量的高斯波动，证明其在负Sobolev空间收敛到高斯分布，并给出白噪声极限的应用。
2026-10-06 math-ph math.MP math.PR
Integer Feasibility of Random Polytopes
研究了多面体P（A，b）={x：Ax<=b}上的整数规划问题，其中约束矩阵A是随机的，即，其条目是i.i.d.。高斯分布，或者更一般地说，它的行是独立同分布的。一个球对称分布。最大内接球的半径与多面体中整数点的存在性密切相关。我们证明了当m=2^O（sqrt{n}）时，存在常数c_0 < c_1，使得当最大球的半径至少为c_1sqrt{log（m/n）}时，随机多面体以高概率为整数可行的;当最大球的中心为（1/2，. 1/2），半径至多为c_0sqrt{log（m/n）}。因此，随机多面体从没有整数点过渡到在最大内接球的半径的恒定因子增加内是整数可行的。我们通过随机多项式时间算法找到一个整数点的多面体整数的可行性。我们的主要工具是一个简单的整数可行性和线性差异之间的新的连接。我们扩展了最近的算法寻找低差异的解决方案（Lovett-Meka，FOCS '12），给出了随机矩阵的线性差异的建设性上界。通过我们在差异和整数可行性之间的联系，这个线性差异的上限转化为保证随机多面体整数可行性的半径下限。
2013-08-23 cs.DS math.PR
The smoothed complexity of Frank-Wolfe methods via conditioning of random matrices and polytopes
Frank-Wolfe方法在多面体优化中很受欢迎。其中一个原因是因为他们不需要投影到多面体上，而只需要在其上进行线性优化。为了理解其复杂性，Lacoste-Julien和Jaggi为多面体引入了一个条件数，并证明了该方法的几种变体的线性收敛性。在最坏的情况下（当条件数是指数时），实际运行时间仍然可以是指数。我们研究了条件数的光滑复杂性，即输入多面体的小随机扰动的条件数，并表明它是多项式的任何单形和指数的一般多面体。我们的研究结果也适用于其他条件的措施，已提出的分析弗兰克-沃尔夫方法的多面体：顶点面距离（贝克和Shtern）和面部距离（Peña和Rodríguez）。我们的论点多面体是一个完善的论点，我们开发研究条件随机矩阵。基本论点表明，对于$c>1$，具有$n \geq cd$的$d$ -by-$n$随机高斯矩阵具有最小奇异值的$d$ -by- $d$子矩阵，该最小奇异值以高概率呈指数小。这对张量分解的鲁棒唯一性结果有影响。
2020-11-25 cs.DS math.OC math.PR
A Spectral Approach to Polytope Diameter
我们证明了在两个设置的图直径的多面体的上界。首先是一个最坏情况下的整数约束定义的多面体的高度和某些子行列式的约束矩阵，在某些情况下，这改善了以前已知的结果。第二个是一个平滑的分析界限：给定一个适当的规范化多面体，我们添加小高斯噪声到每个约束。我们考虑一个自然的几何措施上的顶点扰动多面体（对应于中曲率措施，其极），并表明，有很高的概率存在一个“巨人组成部分”的顶点，措施$1-o(1)$和多项式直径。这两个界限依赖于谱间隙-在第一种情况下，一个特定的薛定谔算子，和一个特定的连续时间马尔可夫链在第二-这是从一个简单的多面体的体积的对数，它的松弛变量。
2022-09-15 cs.DM math.CO math.FA
Free cumulants and freeness for unitarily invariant random tensors
本文研究局部酉不变随机张量的渐近描述，通过矩-累积量公式定义了纯张量与混合张量的张量自由累积量，证明其可加性，并基于此提出张量自由性概念，推广了非交换概率空间。
2025-04-03 math-ph math.CO math.MP
Ultra high order cumulants and quantitative CLT for polynomials in Random Matrices
University of Hong Kong（香港大学）
本文研究随机矩阵多项式的超高阶累积量上界，并由此推导出任意自伴多项式迹的三类定量中心极限定理，包括Cramér型修正、Berry-Esseen界和浓度不等式。
2025-11-07 math-ph math.MP math.PR
The multidimensional truncated Moment Problem: Shape and Gaussian Mixture Reconstruction from Derivatives of Moments
本文介绍了矩的导数和矩泛函的理论，用高斯混合函数、多面体的特征函数和多面体的单函数来表示矩泛函。除其他措施外，我们研究高斯混合、它们的矩重建，特别是代表矩泛函所需的高斯数。我们发现存在矩泛函$L:\mathbb{R}[x_1,\dots,x_n]_{\leq 2d}\to\mathbb{R}$，它可以表示为$\binom{n+2d}{n} - n\cdot \binom{n+d}{n} + \binom{n}{2}$高斯之和，但不能小于高斯之和.因此，对于任何$d\in\mathbb{N}$和$\varepsilon>0$，我们找到一个$n\in\mathbb{N}$，使得$L$可以表示为$(1-\varepsilon)\cdot\binom{n+2d}{n}$高斯之和，但不能小于高斯之和.一个上界是$\binom{n+2d}{n}-1$ .
2019-07-16 math.AG math.FA math.PR
