与交叉多面体的Banach-Mazur距离的5/8下界
A $5/8$ Lower Bound on the Banach--Mazur Distance to the Cross-Polytope
- Institut de Mathématiques de Jussieu, Sorbonne Université（巴黎数学研究所，索邦大学）
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AI总结：
该研究针对高斯Gluskin多面体与交叉多面体的Banach-Mazur距离，在m=n³范围内证明了5/8的多项式下界，改进了前期结果，通过替换商事件的方法完成证明。
AI中文摘要：
设Γ为具有独立标准高斯元素的n×m矩阵，令Gₘ=Γ(B₁ᵐ)为相关的高斯Gluskin多面体。在m=n³的范围内，我们证明，以至少1-C/n的概率，d_BM(Gₘ,B₁ⁿ)≥c n^{5/8}(log n)^{-1/4}。这改进了作者前期工作中得到的多项式指数4/7，并给出了一个显式对数因子。证明保留了离散化和条件化/幂化框架，但将早期的两个系数区域拆分替换为两个均匀商事件：一个控制大坐标部分的连续方向，另一个在每次可允许商后将整个小坐标云压缩到低维子空间附近。随后，通过局部Maurey论证（即抑制）和Gram-Schmidt体积估计将这两种控制形式结合起来。
英文摘要：
Let $δ>0$ be fixed, let $m = \lceil(1+δ)n\rceil$, and let $Γ$ be an $n\times m$ matrix with independent standard Gaussian entries. For the Gaussian Gluskin polytope $G_m = Γ(B_1^m)$ we prove $$ \p\left\{d_{\mathrm{BM}}(G_m,B_1^n) \ge c_δn^{5/8}(\log n)^{-1/8}\right\} \ge 1-Ce^{-cn}. $$ Consequently, for all sufficiently large $n$, $$ R_1(n)\ge c n^{5/8}(\log n)^{-1/8}. $$ The proof uses an exact coefficient quantization, a simultaneous Gaussian compression in coefficient quotients, and an inverse-trace estimate for arbitrary inscribed bases.
