平稳格点场的微分可观测量的高斯波动

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我们研究了离散 $d$ 维环面（网格大小为 $1/N$）上中心化平稳随机场的微分可观测量的高斯波动。我们的主要结果是关于场 $f\mapsto N^{-d/2-m}\sum_x\phi_x^N(Pf)(x/N)$ 的中心极限定理，其中 $P$ 是阶数 $m\geq0$ 的标量齐次常系数微分算子，其傅里叶符号为 $p$，例如 $P=\Delta$ 且 $m=2$。在对协方差的谱标度极限 $\gamma$ 和阶数 $r\geq3$ 的归一化累积量满足适当假设的条件下，我们证明了在负 Sobolev 空间中依分布收敛到一个中心化高斯随机分布，其协方差乘子为 $|p(k)|^2\gamma(k)$。这两个因子分别分离了算子和场的影响，值得注意的是，微分可以补偿低频谱奇异性。对于格点高斯自由场，这给出了梯度的投影白噪声极限。证明使用了傅里叶分析以及矩和累积量方法，并结合了紧性论证。最后，我们给出了累积量假设的两个充分条件，即树图界和有限范围吉布斯场的 Dobrushin 唯一性条件，并恢复了高温下中心化 Ising 磁化和 Potts 颜色波动场的白噪声极限。

英文摘要

We study Gaussian fluctuations of differential observables of centered stationary random fields on the discrete $d$-dimensional torus of mesh $1/N$. Our main result is a Central Limit Theorem for the fields $f\mapsto N^{-d/2-m}\sum_xϕ_x^N(Pf)(x/N)$, where $P$ is a scalar homogeneous constant-coefficient differential operator of order $m\geq0$ with Fourier symbol $p$, e.g., $P=Δ$ and $m=2$. Under suitable assumptions on the spectral scaling limit $γ$ of the covariance and the normalized cumulants of order $r\geq3$, we prove convergence in law in a negative Sobolev space to a centered Gaussian random distribution with covariance multiplier $|p(k)|^2γ(k)$. The two factors separate the effects of the operator and the field and, notably, differentiation can compensate a low-frequency spectral singularity. For the lattice Gaussian Free Field, this gives a projected white-noise limit for the gradient. The proofs use Fourier analysis and the method of moments and cumulants, together with a tightness argument. Finally, we give two sufficient criteria for the cumulant assumption, namely a tree--graph bound and the Dobrushin uniqueness condition for finite-range Gibbs fields, and recover the white-noise limits of the centered Ising magnetization and Potts colour fluctuation fields at high temperature.

发表机构

• Mathematical Institute, Utrecht University（乌得勒支大学数学研究所）

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