Chen's conjecture on biharmonic submanifolds in Riemannian manifolds
研究了黎曼流形中的双调和超曲面和双调和子流形。一个有趣的问题，在这个方向是陈的猜想说，任何双调和子流形在欧几里得空间是最小的。从双调和子流形的不变方程出发，导出了一个涉及中曲率向量场的基本恒等式，并利用它证明了欧几里得空间中关于双调和子流形的Chen猜想.更一般地，证明了非正截面曲率的空间型中的任何双调和子流形都是极小的。此外，我们还对推广的Chen猜想和Balmuilla-Montaldo-Oniciuc猜想给出了部分肯定的回答.
2021-10-06 math.DG
On f-biharmonic maps and f-biharmonic submanifolds
f-双调和映射是f-双能量泛函的极值。f-双调和子流形是定义等距浸入为f-双调和映射的子流形。本文证明了从紧致黎曼流形到非正曲流形的具有常数f-双能量密度的f-双调和映射是调和映射，紧致流形上的任何f-双调和函数都是常数，以及关于$m\ge 3$的$S^m$的逆是真f-双调和共形同态.我们导出了f-双调和子流形方程，证明了流形$(N^n, h)$中的曲面是f-双调和曲面当且仅当它能双调和共形浸入$(N^n,h)$中.我们还给出了三维欧几里得空间中f-双调和曲线的一个完全分类。给出了许多真f-双调和映射和f-双调和曲面与曲线的例子。
2013-06-15 math.DG
Biharmonic integral $\mathcal{C}$-parallel submanifolds in 7-dimensional Sasakian space forms
给出了Sasakian空间型的最大维固有双调和积分$\mathcal{C}$ -平行子流形的特征，并在7维Sasakian空间型中对这类子流形进行了分类.在球面$\mathbb{S}^7$中，我们明确地找到了所有的三维固有双调和积分$C$ -平行子流形。我们还确定了$\mathbb{C}P^3$的固有双调和平行拉格朗日子流形。
2010-05-12 math.DG
Explicit formulas for biharmonic submanifolds in Sasakian space forms
对Sasakian空间型中的双调和Legendre曲线进行了分类，得到了它们在具有Tanno定义的正则和变形Sasakian结构的$(2n+1)$维单位球面中的显式参数方程.然后，结合Reeb向量场的流，将双调和积分子流形变换为双调和反不变子流形。使用这种方法，我们得到新的例子，双调和子流形领域，特别是在$\mathbb{S}^{7}$。
2007-06-28 math.DG
Submanifolds with Biharmonic Gauss Map
通过用真双调和高斯映射刻画欧几里得空间中的子流形，推广了Ruh-Vilms问题，并构造了此类超曲面的例子.
2008-09-08 math.DG
Bochner-Simons formulas and the rigidity of biharmonic submanifolds
我们找到了Simons型和Bochner型的积分公式，并利用它们研究了空间型中的双调和子流形和双守恒子流形。我们得到刚性的结果，在双调和的情况下，代表部分答案，两个著名的代数在这样的子流形领域。
2018-01-24 math.DG
Biharmonic C-parallel Legendrian submanifolds in 7-dimensional Sasakian space forms
在[5]中，D. Fetcu和C. Oniciuc给出了$7$ -维Sasakian空间型中双调和$\mathcal{C}$ -平行Legendrian子流形的分类结果.然而，它是不完整的。在本文中，所有这样的子流形明确确定。
2022-10-16 math.DG
Biharmonic submanifolds with parallel mean curvature vector field in spheres
给出了球面中真双调和子流形的中曲率的有界性的一些结果。得到了球面中具有平行中曲率向量场的真双调和子流形的一个部分分类结果。然后，我们对球面中具有平行中曲率向量场和与中曲率向量场相关的平行Weingarten算子的真双调和子流形进行了完全分类.
2011-02-08 math.DG
f-Biharmonic maps and f-biharmonic submanifolds II
我们继续研究f-双调和映射和f-双调和子流形，探索了f-双调和映射的应用以及黎曼流形之间映射的双调和性、f-双调和性和共形性之间的关系.利用f-双调和映射的概念刻画了调和映射和极小子流形，证明了二维区域上所有f-双调和映射的集合在区域上度量的共形变化下不变.给出了f-双调和超曲面的一个改进方程，并利用它证明了非正曲流形中f-双调和超曲面的刚性定理，给出了Einstein空间和空间型中f-双调和超曲面的分类.最后，我们还利用改进的f-双调和超曲面方程得到了曲面到三维流形的双调和共形浸入的改进方程和分类。
2016-04-30 math.DG
Properties of biharmonic submanifolds in spheres
本文综述了单位欧氏球面中真双调和子流形的最新分类结果。我们还得到了球面中真双调和常中曲率子流形几何性质的一些新结果。
2009-08-21 math.DG
Biharmonic PNMC Submanifolds in Spheres
我们得到了$\mathbb{S}^{n}$中具有平行归一化中曲率向量场的双调和子流形的刚性结果。我们对$\mathbb{S}^{n}$中具有平行的归一化中曲率向量场且至多有两个不同主曲率的双调和子流形进行了分类。特别地，我们确定了$\mathbb{S}^n$中所有具有平行归一化中曲率向量场的双调和曲面。然后，我们研究了$\mathbb{S}^n$中的（不一定是紧的）真双调和子流形在B-Y意义下的型。尘我们证明：（i）$\mathbb{S}^n$中的真双调和子流形是1型或2型的当且仅当它分别具有常中曲率${\mcf}=1$或${\mcf}\in(0,1)$.（ii）$\mathbb{S}^n$中不存在具有平行归一化中曲率向量场的真双调和3型子流形.
2011-10-19 math.DG
On the generalized Chen's conjecture on biharmonic submanifolds
关于双调和子流形的广义Chen猜想断言，非正弯曲流形的任何双调和子流形都是最小的（参见例如，[CMO1]、[MO]、[BMO1]、[BMO2]、[BMO3]、[Ba1]、[Ba2]、[Ou1]、[Ou2]、[IIU]）。本文通过在具有负截面曲率的5维共形平坦空间中构造真双调和超平面的叶理，证明了这一猜想是错误的。还给出了非正曲空间的真双调和子流形的许多例子。
2014-05-02 math.DG
Sasaki manifolds, Kaehler cone manifolds and biharmonic submanifolds
对于Sasaki流形$N$的Legendrian子流形$M$，研究了Kaehler流形C（N）的相应Lagrange锥子流形C（M）的调和性和双调和性.证明了若$C(M)$在C（N）中是双调和的，则它是调和的; $M$在$N$中是真双调和的当且仅当C（M）具有Jacobi算子的非零本征截面，其本征值为$m=dim M$ .
2013-07-08 math.DG
Gap results for biharmonic submanifolds in spheres
本文研究了球面中具有平行平均曲率向量场的真双调和子流形，确定了平均曲率的更大间隙，并在边界情形下得到了分裂结果。
2024-03-15 math.DG
Bi-eigenmaps and biharmonic submanifolds in a sphere
本文对球面中由双特征映射（$Δ^2 ϕ=λϕ$）或屈曲特征映射（$Δ^2 ϕ=-μΔϕ$）定义的双调和子流形进行了分类。然后，我们分类双调和双特征映射和屈曲特征映射到具有恒定能量密度的球体。这些结果可以看作是Takahashi用特征映射刻划球面中极小子流形的推广。
2022-01-17 math.DG
On the p-biharmonic submanifolds and stress p-bienergy tensors
本文研究空间形式中的p-双调和子流形，给出其充要条件，并揭示应力p-双能量张量的新性质。
2022-11-10 math.DG
Biharmonic submanifolds with parallel mean curvature in $\mathbb{S}^n\times\mathbb{R}$
在积空间$M^n(c)\times\mathbb{R}$中找到了具有平行中曲率向量的子流形（pmc子流形）的一个Simons型公式，其中$M^n(c)$是具有常截面曲率的空间型$c$，然后利用它证明了一类完备的固有双调和pmc子流形的中曲率的间隙定理，并对$\mathbb{S}^n(c)\times\mathbb{R}$中的固有双调和pmc曲面进行了分类.
2011-09-28 math.DG
Tangentially biharmonic Lagrangian H-umbilical submanifolds in complex space forms
本文基于包含映射双张力场切向分量为零的切向双调和子流形概念，对复空间形式中的切向双调和拉格朗日H-脐子流形进行了分类。
2023-06-26 math.DG
Biharmonic properly immersed submanifolds in Euclidean spaces
考虑欧几里得空间$\mathbb{E}^N$中的完备双调和浸入子流形$M$.假设浸入是恰当的，即$\mathbb{E}^N$中的每个紧集的原像在$M$中也是紧的.然后证明了$M$是极小的.它被认为是对Chen关于双调和子流形的整体猜想的肯定回答。
2012-08-21 math.DG
Biharmonic submanifolds of $\mathbb{C}P^n$
本文给出复空间型，特别是复射影空间的固有双调和子流形的一些一般性结果。这些结果主要涉及具有常中曲率或平行中曲率向量场的子流形。我们找到了$\mathbb{C}P^n$中子流形$\bar{M}$包含的双张力场与$\mathbb{S}^{2n+1}$中相应的Hopf管包含的双张力场之间的关系。利用这个关系，我们产生了$\mathbb{C}P^n$的新的固有双调和子流形族。研究了$\mathbb{C}P^n$的双调和曲线的几何性质，并利用曲率和复挠率刻画了其固有双调和曲线。
2009-02-02 math.DG
f-Biharmonic and bi-f-harmonic submanifolds of generalized space forms
本文研究了广义复空间和Sasakian空间型中的f-双调和子流形和双f-调和子流形。在一般情况下和许多特殊情况下，我们证明了f-双调和性和双f-调和性的充要条件。也得到了一些不存在的结果。
2016-09-27 math.DG
A short note on biharmonic submanifolds in non-Sasakian contact metric 3-manifolds
利用环境空间的中曲率和数量曲率刻画了具有非零常平均曲率的$3$维广义$(κ, μ)$ -流形中的双调和反不变曲面.此外，我们还给出了在一定的$3$维广义$(κ, μ)$ -流形中构造无穷多个双调和子流形的方法。此外，我们还确定了$3$维广义$(κ, μ)$ -流形，它允许某种真双调和叶理。
2015-04-01 math.DG
New results toward the classification of Biharmonic submanifolds in $\mathbb{S}^{n}$
我们证明了以下类型的${\mathbb S}^n$中的真双调和浸入的一些新的刚性结果：Dupin超曲面;具有第二基本型的有界范数的超曲面，包括紧的和非紧的;满足内在性质的超曲面; PMC子流形;平行子流形.
2012-03-19 math.DG
Recent developments of biharmonic conjecture and modified biharmonic conjectures
欧氏$m$ -空间的子流形$M$称为双调和的，如果$Δ\overrightarrow H=0$相同成立，其中$\overrightarrow H$是中曲率向量场，$Δ$是$M$上的拉普拉斯算子。1991年，作者证明了欧几里得空间的每一个双调和子流形都是极小的。双调和子流形的研究是当前一个非常活跃的研究课题。特别是自2000年以来，双调和子流形得到了越来越多的关注，并已成为一个热门的研究课题，取得了许多进展。本文对我的猜想和广义双调和图的最新进展作一简要综述。在文章的最后，给出了两个与双调和子流形有关的修正定理。
2013-07-14 math.DG
Explicit formulas for biharmonic submanifolds in non-Euclidean 3-spheres
我们得到了具有Tanno定义的修正Sasaki结构的三维单位球面中所有双调和Legendre曲线和Hopf柱的参数方程。
2007-01-05 math.DG
Biharmonic Lagrangian $H$-umbilical submanifolds in complex space forms
本文完全分类了复空间形式中的真双调和拉格朗日 $H$-脐子流形，证明其仅存在于复射影空间且局部同构于Hopf纤维化模型，并在复欧氏空间中的不存在性部分证实了陈省身猜想。
2026-09-29 math.DG
On the geometry of biharmonic submanifolds in Sasakian space forms
对Sasakian空间型中的所有固有双调和Legendre曲线进行了分类，并指出了它们的一些几何性质。然后给出了Sasakian空间型中反不变的固有双调和子流形的构造方法。最后，利用Boothby-Wang纤维化，我们确定了复射影空间中齐次实超曲面上的所有固有双调和Hopf柱。
2008-09-30 math.DG
Biharmonic submanifolds in a Riemannian manifold
在本文中，我们肯定地解决了B。Y.在一般条件下，证明了欧几里得空间中超曲面的Chen猜想.更精确地说，欧几里得空间的每个双调和超曲面必是极小的，如果它们的主曲率是单的，并且相关的标架域是不可约的。
2014-08-23 math.DG
An Invitation to Biharmonic and Biconservative Submanifolds
本文基于2024年微分几何会议演讲，通俗介绍了双调和与双保守子流形的研究动机、关键事实及开放问题。
2025-03-01 math.DG
Inequalities for eigenvalues of Laplacian and biharmonic operators on submanifolds
本文研究了完备流形紧致区域上 Laplacian 和 biharmonic 算子的特征值，利用 Sobolev 型不等式分别建立了这两种算子特征值的若干新不等式。
2024-12-20 math.DG
Biharmonic Wintgen ideal submanifolds in Riemannian manifolds of constant sectional curvature
Chiba University（千叶大学）
本文证明非正常截面曲率黎曼流形中的双调和Wintgen理想子流形是极小的，正常截面曲率情形下每个连通分量具有常平均曲率，部分肯定了Chen猜想、双曲空间中的广义Chen猜想以及球面中的Balmuş-Montaldo-Oniciuc猜想。
2026-09-22 math.DG
$f$-Biharmonic submanifolds in space forms and $f$-biharmonic Riemannian submersions from 3-manifolds
本文研究了空间形式中的$f$-双和曲线与可展曲面等距浸入的分类，并利用可积性数据探讨了源自3-空间形式的黎曼浸没的$f$-双和性，给出了相关实例。
2024-02-12 math.DG
Biharmonic submanifolds in a Riemannian manifold with non-positive curvature
证明了对于完备黎曼流形到具有非正曲率的黎曼流形的等距浸入，中曲率向量场的范数是平方可积〔的〕，则它是极小的.这是B的部分肯定回答。Y. Chen的猜想。
2012-01-31 math.DG
Biharmonic homogeneous submanifolds in compact symmetric spaces and compact Lie groups
给出了紧李群上交换Hermann作用和两个对称子群直积作用的轨道是重数对称三元组双调和的充要条件.利用这一准则，我们确定了紧致型不可约对称空间中的所有真双调和子流形，它们是上齐次2的交换Hermann作用的奇异轨道。在紧单李群中，我们确定了所有的双调和超曲面，它们是两个对称子群的直积作用的正则轨道，这些对称子群与上齐性1的交换Hermann作用有关。
2016-12-04 math.DG
Biharmonic submanifolds in manifolds with bounded curvature
考虑截面曲率由非负常数$c$上界的黎曼流形中的完备双调和子流形$ϕ:(M,g)\rightarrow (N,h)$.假设中曲率由$\sqrt c$从下到上限定。如果（i）对于某些$0<p<\infty$，$\int_M (|{\bf H}|^2-c)^{p}dv_g<\infty$，或（ii）$M$的里奇曲率从下有界，则中曲率是$\sqrt c$。此外，如果$M$是紧的，那么我们得到相同的结果没有假设（i）或（ii）。
2014-11-11 math.DG
Four-dimensional pseudo-umbilical biharmonic submanifolds in six-dimensional Riemannian manifolds of constant sectional curvature
Chiba University（千叶大学）
本文研究四维伪脐双调和子流形，通过引入λ-双极小子流形，证明六维欧氏空间中此类子流形必为极小，部分回答了Chen猜想。
2026-09-29 math.DG
On biharmonic submanifolds in non-positively curved manifolds
在双调和子流形理论中有一个推广的Chen猜想，它指出具有非正截面曲率的黎曼流形中的双调和子流形必是极小的。这个猜想被Y的反例证明是错误的。L. Ou和L.唐在\cite{Ou-Ta}。然而，它仍然有趣的是找到充分的条件，保证这一猜想是真实的。本文证明了：1.任何完备的双调和子流形（或超曲面）$(M, g)$在具有非正截面曲率的黎曼流形$(N, h)$中（分别Ricci曲率），它满足一个积分条件：对于某些$p\in (0, +\infty)$，$\int_{M}|\vec{H}|^{p}du_g<+\infty,$，其中$\vec{H}$是$M\hookrightarrow N$的平均曲率向量场，必须是最小的。这推广了N. Nakauchi和H. \cite{Na-Ur1}和\cite{Na-Ur2}中的Urakawa。2.任何完备的双调和子流形（或超曲面），其截面曲率（分别为Ricci曲率）非正必须最小。3.任何完备的双调和子流形（或超曲面）中的非正弯曲流形，其截面曲率（分别为Ricci曲率）小于$-ε$，对于满足$\int_{B_ρ(x_0)}|\vec{H}|^{p+2}dμ_g(p\geq0)$至多是$ρ$的多项式增长的某些$ε>0$，必须是最小的。我们还考虑了G. Wheeler和证明了$\varepsilon$ -超双调和子流形的类似结果，推广了\cite{Wh}中的结果…
2014-05-29 math.DG
Biharmonic orbits of isotropy representations of symmetric spaces
本文给出了黎曼对称空间的线性迷向表示的轨道是欧几里得空间超球面中的双调和子流形的一个充分条件。特别地，我们得到了余维数大于1的超球面中的双调和子流形的例子。
2017-04-25 math.DG
A short survey on biharmonic Riemannian submersions
本文综述双调和黎曼浸没（双调和子流形的对偶概念）的研究进展，涵盖其背景、定义与已有成果。
2024-07-21 math.DG
Construction of $r$-harmonic submanifolds
本文提出余齐性一流形中双调和子流形的构造方法，给出新例子并分析法指标，还构造了带三个不同主曲率的非极小双调和超曲面，并推广至$r$-调和情形。
2024-08-05 math.DG
Construction of normally biharmonic submanifolds
University Mustapha Stambouli Mascara, Faculty of Exact Sciences（马斯卡拉穆斯塔法·斯坦布利大学精确科学学院）
本文研究 warped 乘积结构中双和子流形的构造，分析 warping 函数与子流形几何的关系，探讨切向和法向双和情形的微分条件及 Ricci 曲率影响。
2026-04-23 math.DG
Exemples de sous variétés de $\mathbb{S}^n$; les variétés proprement biharmoniques avec indice et les variétés proprement C--harmoniques
我们把一类特殊的四阶非线性椭圆型偏微分方程的解称为指数双调和映射。这是调和映射的推广，证明了双调和映射是指数为0的双调和映射。本文的目的是研究$\mathbb{S}^n$中包含为非调和和指数双调和（即真指数双调和）的子流形。我们给出了一些伪脐和非伪脐的例子，并研究了$\mathbb{S}^n$的真指数双调和子流形与$\mathbb{S}^n$的真共形调和子流形之间的联系.
2012-04-26 math.DG
Segre embedding and biharmonicity
该文研究Segre嵌入下两类乘积子流形的双调和性，在复射影空间形式中发现了两类新的大范围双调和子流形。
2023-04-30 math.DG
Surfaces in Euclidean 3-space whose normal bundles are tangentially biharmonic
如果定义子流形的等距浸入的双张力场有零切向分量，则称子流形是切向双调和的。本文证明了欧氏$3$ -空间中的曲面具有切向双调和法丛当且仅当它是极小曲面、圆球的一部分或圆柱的一部分。
2014-12-03 math.DG
Recent development in biconservative submanifolds
本文综述了双保守子流形在过去十年中的最新发展，涵盖了其从双调和子流形衍生而来的定义、与H-子流形的等价关系及相关研究成果。
2024-01-06 math.DG
Biharmonic Lagrangian surfaces with constant Gaussian curvature in $2$-dimensional complex space forms
Dongbei University of Finance and Economics（东北财经大学）；Al.I. Cuza University of Iasi（雅西亚历山德鲁·伊万库扎大学）
本文在二维复空间形式中完整分类了具有常高斯曲率的双调和拉格朗日曲面，并由此分类了平坦法丛情形，证明了伪脐双调和拉格朗日曲面必为极小曲面。
2026-10-22 math.DG
p-Biharmonic hypersurfaces in Einstein space and conformally flat space
本文给出了黎曼流形中p-双调和超曲面的一些新性质。我们还刻画了爱因斯坦空间中的p-双调和子流形。我们构造了一个新的真p-双调和超曲面的例子。我们提出了一些开放的问题。
2021-11-23 math.DG
On Chen's biharmonic conjecture for hypersurfaces in $\mathbb R^5$
关于双调和子流形的一个由来已久的猜想是由Chen在1991年提出的，即{ \it任何欧几里得空间中的双调和子流形都是极小的}。在$\mathbb R^{n+1}$中的超曲面$M^n$的情况下，Chen猜想在$n=2$的情况下由Chen和Jiang在1987年前后独立地解决。Hasanis和Vlachos在1995年用$n=3$解决了Chen关于超曲面的猜想。然而，关于超曲面$M^n$的一般Chen猜想对于$n> 3$仍然是开放的.在本文中，我们解决了$n=4$中关于超曲面的Chen猜想。
2020-07-22 math.DG
Quasi-biharmonic Lagrangian surfaces in Lorentzian complex space forms
本文在伪黎曼流形中引入拟双调和子流形的概念，并对洛伦兹复空间型中的拟双调和边缘捕获拉格朗日曲面进行了分类。
2014-12-02 math.DG
Biconservative Lorentz hypersurfaces in $\mathbb{E}_{1}^{\lowercase{n}+1}$ with complex eigenvalues
本文试图证明Chen关于双调和子流形的猜想，并对双守恒子流形进行分类。在这样做，我们提供了一个肯定的回答陈猜想的双调和子流形。本文证明了$\mathbb{E}_{1}^{n+1}$中每一个具有复特征值的双保守Lorentz超曲面$M_{1}^{n}$都具有常数中曲率.此外，在$\mathbb{E}_{1}^{n+1}$中具有复特征值的每个双调和Lorentz超曲面$M_{1}^{n}$必须是最小的。
2017-08-17 math.DG
Biharmonic $δ(\lowercase{r})$-ideal hypersurfaces in Euclidean spaces are minimal
本文研究欧氏空间双调和子流形的陈邦彦猜想，证明n≥3时欧氏空间中δ(r)-理想双调和超曲面必为极小超曲面，推广了已有结果，还得到该条件下双保守超曲面为常平均曲率的结论。
2020-07-14 math.DG
Weakly convex biharmonic hypersurfaces in nonpositive curvature space forms are minimal
欧氏空间$R^{m+p}$的子流形$M^m$称为具有调和平均曲率向量场，如果$Δ\vec{H}=0$，其中$\vec{H}$是$M\hookrightarrow R^{m+p}$的平均曲率向量场，$Δ$是$M$上的粗糙拉普拉斯算子。有一个猜想命名后陈邦彦其中指出，子流形的欧几里得空间调和平均曲率向量场是最小的。本文证明了欧几里得空间中具有调和平均曲率向量场的弱凸超曲面（即主曲率非负的超曲面）是极小的。进一步证明了非正曲空间型中的弱凸双调和超曲面是极小的。
2014-01-17 math.DG
Submanifolds with harmonic mean curvature vector field in contact 3-manifolds
研究了三维切触流形中的双调和或多调和曲线曲面。
2009-10-16 math.DG
Biharmonic and biconservative hypersurfaces in space forms
给出了双调和子流形和双守恒子流形的一些一般性质，并综述了空间型中这类超曲面的最新结果。我们还提出了一个替代版本的一个著名的结果Nomizu和Smyth的超曲面取代CMC假设与更一般的条件的双保守性。
2021-01-31 math.DG
