On sums of triangular numbers
Dmitry Krachun
我们研究自然数分解成三角和数。例如，我们证明了任何自然数都可以表示为四个三角数的和，其中两个三角数的指数为偶数，另外两个三角数的指数为奇数。这解决了孙志伟的一个猜想（arXiv：1503.03743v8）。
We study decompositions of natural numbers into triangular summands. For instance, we prove that any natural number can be represented as a sum of four triangular numbers, two of them having even indices and the other two having odd indices. This settles a conjecture by Zhi-Wei Sun (arXiv:1503.03743v8).
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Recursive formulas for sums of squares and sums of triangular numbers
我们证明了递归公式平方和和三角数的总和的总和的约数函数，我们给这些公式的各种后果。中间应用包括一些无穷乘积的系数的正性的陈述。
Mixed sums of triangular numbers and certain binary quadratic forms
本文证明了对于$d=3,\dots,8$，每个自然数都可以写成$t_x+t_y+3t_z+dt_w$，其中$x$，$y$，$z$，$w$非负整数，$t_k=k(k+1)/2$ $(k=0,1,2,\ldots)$是三角数.此外，我们还研究了三角数与某些二元二次型的混合和。
Triangular and tetrahedral number differences of sumset sizes in additive number theory
本文研究有限整数集合sumset大小的完整范围，发现在大小为4的集合流行sumset大小分布中存在与三角数和四面体数相关的意外模式。
Ternary Sums of Squares and Triangular Numbers
对于任何整数$x$，令$T_x$表示三角数$\frac{x(x+1)}{2}$。本文给出了三进制和$αx^2 +βT_y + γT_z$表示除1/2个正整数以外的所有正整数三元组$(α, β, γ)$的一个完全刻划。这解决了Kane和Sun的一个猜想\cite [猜想1.19（i）]{KS 08}，并完成了几乎泛三元混合平方和和三角数的刻画.
Universal Sums of Triangular Numbers and Squares
本文研究三角数与平方数的泛性和问题，证明其泛性等价于能表示一组给定的正整数。
Sums of Reciprocals of Generalized Triangular Numbers
本文通过微积分方法计算了三角数倒数之和及其交替和，并推广到广义三角数推导闭式表达式。
Representing Sets with Sums of Triangular Numbers
本文研究了三角数$f(x):=\sum_i b_i T_{x_i}$的和，其中$T_n$是第$n$个三角数.我们证明了对于一组正整数$S$，存在一个有限子集$S_0$使得$f$表示$S$当且仅当$f$表示$S_0$ .然而，计算确定$S_0$对于$S$的许多选择是无效的。给出了在某些广义Riemann假设下确定集合$S_0$的显式有效算法，并实现了当$S$是所有奇数的集合时确定$S_0$的算法.
On a product of three theta functions and the number of representations of integers as mixed ternary sums involving squares, triangular, pentagonal and octagonal numbers
本文推导了三个theta函数乘积的线性组合一般公式，并由此得到两个theta函数乘积的公式，进而应用于整数表示为平方数、三角数、广义五角数和广义八边形数的混合三元和问题。
Almost universal sums of triangular numbers with one exception
对于任意整数$x$，形式为$T(x)=\frac{x^2+x}{2}$的整数称为三角数。对于正整数$α_1,α_2,\dots,α_k$，三角数之和$Δ_{α_1,α_2,\dots,α_k}(x_1,x_2,\dots,x_k)=α_1 T(x_1)+α_2 T(x_2)+\cdots+α_k T(x_k)$被称为几乎泛在，但有一个例外，如果丢番图方程$Δ_{α_1,α_2,\dots,α_k}(x_1,x_2,\dots,x_k)=n$对于除单个非负整数$n$之外的任何非负整数都有整数解$(x_1,x_2,\dots,x_k)\in\mathbb{Z}^k$。在这篇文章中，我们分类了所有几乎泛和的三角数，只有一个例外。此外，我们还给出了一个有效的几乎普适性判据，除了任意三角数和之外，它是Conway，Miller和Schneeberger的“15-定理”的推广。
On periodic sign changes for weighted representations of integers as colored sums of triangular and generalized pentagonal numbers
研究整数表示为三角形数与三色广义五边形数之和的表示数的符号变化和消失，通过分析Dedekind-eta函数相关q级数展开的系数，并利用Hardy-Ramanujan-Rademacher圆法给出渐近公式。
Even universal sums of triangular numbers
本文分类了所有偶泛的三角数之和，并给出了任意三角数之和偶泛性的有效判定准则，推广了 Bosma 和 Kane 的三角数八定理。
Mixed sums of squares and triangular numbers
利用$q$ -级数证明了任意自然数都是一个偶数平方与两个三角数之和，且每个正整数都是一个三角数与$x^2+y^2$之和，对于某些整数$x$和$y$，它们具有$x\not\equiv y (mod 2)$或$x=y>0$ .本文还包含了混合平方和与三角数的一些结果和公开的讨论。
On sums of primes and triangular numbers
本文研究了足够大的整数能否写成cp+T_x的形式，其中p是零或r mod d的素同余，T_x=x（x+1）/2是三角数。我们还研究了是否存在无穷多个非（2^ap-r）/m+T_x的正整数，其中p是素数，x是整数.除了两个定理外，本文还包含了几个猜想以及相关的分析和数值数据。我们的一个猜想指出，每个不等于216的自然数都可以写成p+T_x的形式，其中x是整数，p是素数或零;另一个猜想断言，任何奇数n>3都可以写成p+x（x+1）的形式，其中p是素数，x是正整数。
Indefinite theta functions arising from affine Lie superalgebras and sums of triangular numbers
本文通过推广 Roehrig 和 Zwegers 的不定 theta 函数理论，证明若干幂级数为模形式，并由此导出三角数生成函数幂的恒等式，进而揭示其与仿射李超代数分母恒等式的联系。
Mixed sums of squares and triangular numbers (II)
对于整数$x$，令$t_x$表示三角数$x(x+1)/2$。在Z. W. Sun，我们证明了每一个自然数都可以用$x,y,z\in\Z$写成以下任何一种形式：$$x^2+3y^2+t_z, x^2+3t_y+t_z, x^2+6t_y+t_z, 3x^2+2t_y+t_z, 4x^2+2t_y+t_z.$$这证实了Sun的一个猜想。
Ramanujan's theta functions and sums of triangular numbers
设$\Bbb Z$和$\Bbb N$分别是整数集和正整数集。对于$a_1,a_2,\ldots,a_k,n\in\Bbb N$，令$N(a_1,a_2,\ldots,a_k;n)$为$n$由$a_1x_1^2+a_2x_2^2+\cdots+a_kx_k^2$表示的数量，令$t(a_1,a_2,\ldots,a_k;n)$为$n$由$a_1\frac{x_1(x_1-1)}2+a_2\frac{x_2(x_2-1)}2+\cdots+a_k\frac{x_k(x_k-1)}2$ $(x_1,\ldots,x_k\in\Bbb Z$表示的数量）。本文利用Ramanujan的θ函数$φ(q)$和$ψ(q)$，揭示了$k=3,4$的$t(a_1,a_2,\ldots,a_k;n)$和$N(a_1,a_2,\ldots,a_k;8n+a_1+\cdots+a_k)$之间的许多联系。
Sums of triangular numbers and sums of squares
对于非负整数$a,b,$和$n$，令$N(a, b; n)$是$n$作为系数为$1$或$3$的平方和的表示的数目（1的$a$和3的$b$）。令$N^*(a,b; n)$是$n$作为系数为$1$或$3$的奇数平方和的表示的数目（$a$为1，$b$为3）。我们有，$N^*(a,b;8n+a+3b)$是$n$作为系数为$1$或$3$的三角数之和的表示数（$a$为1，$b$为3）。已知对于满足$1\leq a+3b \leq 7$的$a$和$b$，我们有$$ N^*(a,b;8n+a+3b)= \frac{2}{2+{a\choose4}+ab} N(a,b;8n+a+3b) $$，对于满足$a+3b=8$的$a$和$b$，我们有$a+3b>8$。本文对一般的$a$和含$a+b$的$b$，证明了类似于上述公式的渐近等价性，如$n\rightarrow\infty$ .我们的一个主要结果扩展了贝特曼，Datskovsky和Knopp的一个定理的情况下$b=0$和一般$a$被认为是。我们的方法是不同的Bateman-Datskovsky-Knopp的证明中使用的圆的方法和奇异级数。我们实现我们的结果通过明确计算生成函数的爱森斯坦组件的$N^*(a,b;8n+a+3b)$和$N(a,b;8n+a+3b)$。我们使用的方法是强大的，可以适用于研究的渐近性的其他表示数与一般系数。
Mixed sums of squares and triangular numbers (III)
本文证实了孙文的一个猜想：每个正整数是一个平方、一个奇平方和一个三角数的和。对任意正整数m，我们证明了p= 2 m +1是3模4的素同余当且仅当T_m=m（m+1）/2不能表示为两个奇平方和一个三角数之和，即，p^2=x^2+8（y^2+z^2），其中x，y，z均为非奇数。我们还证明了一个正整数不能写成一个奇数平方和两个三角数之和当且仅当它是2T_m（m>0）的形式，其中2 m +1没有素除子与3模4全等。
Sums of triangular numbers from the Frobenius determinant
我们表明，分母公式的奇怪系列的仿射超代数，由卡茨和Wakimoto，证明了Zagier，从一个经典的行列式评价Frobenius。作为极限情况，我们得到了任意数表示为4m^2/d个三角形之和（当d整除2 m时）和4 m（m+1）/d个三角形之和（当d整除2 m或d整除2 m +2时）的精确公式。这扩展了Getz和Mahlburg，Milne和Zagier最近的结果。
Generic Newton polygon for exponential sums in two variables with triangular base
设$p$为素数。特征为$p$的有限域上的二元多项式$f(x_1, x_2)$定义了一个Artin-Schreier-Witt塔曲面，其Galois群同构于$\mathbb Z_p$ .本文的目的是研究与$\mathbb{Z}_p$的有限特征相关的$L$ -函数的牛顿多边形和凸壳为固定三角形$Δ$的一般多项式。我们用$\textrm{GNP}(Δ)$表示该多边形。我们证明了$\textrm{GNP}(Δ)$的一个下界，我们称之为改进的Hodge多边形$\textrm{IHP}(Δ)$，并且我们猜想$\textrm{GNP}(Δ)$和$\textrm{IHP}(Δ)$是相同的.证明了如果$\textrm{GNP}(Δ)$和$\textrm{IHP}(Δ)$在某一点重合，则它们在无穷多点重合。当$Δ$是一个等腰直角三角形的顶点$(0,0)$，$(0, d)$和$(d, 0)$，使$d$是不可分的$p$和$p$模$d$的剩余相对于$d$是小的，我们证明了$\textrm{GNP}(Δ)$和$\textrm{IHP}(Δ)$重合在无穷多个点。作为推论，我们推导出$\textrm{GNP}(Δ)$的斜率大致形成一个算术级数与增加的多重性。
The Möbius function of the poset of triangular numbers under divisibility
本文研究了整除关系下三角形数偏序集上的默比乌斯函数，通过Hasse图和矩阵可视化分析其部分和与经典默比乌斯函数的异同，并提出了关于其渐近行为和上下界的新猜想。
A sum of three nonunit squares of integers
我们说一个正整数是三个非单位平方的和，如果它是三个非1整数的平方和。本文在广义黎曼假设（GRH）成立的条件下，求出了所有三个非单位平方和的整数。作为应用，我们在GRH下求出了$k=3$为唯一时的所有整数，它们分别是对任意整数$k\ge 3$的$k$非零三角数之和，$k$非零广义五边形数之和，$k$非零广义八边形数之和.
The triangular theorem of eight and representation by quadratic polynomials
本文研究了整数作为三角数之和的可表示性，其中第$n$个三角数由$T_n = n(n + 1)/2$给出.特别地，我们证明了对于固定的正整数$b_1, b_2,..., b_k$，$f(x_1,x_2,..., x_k) = b_1 T_{x_1} +...+ b_k T_{x_k}$表示每个非负整数当且仅当它表示1，2，4，5和8。此外，如果“交叉项”是允许在$f$，我们表明，没有有限的正整数集可以发挥类似的作用，反过来又表明，没有总括有限性定理，概括的声明从正定二次型完全正二次多项式。
On pairs of triangular numbers whose product is a perfect square and pairs of intervals of successive integers with equal sums of squares
本文研究了乘积为完全平方数的三角数对以及具有相等平方和的连续整数区间对，构造了多项式并提出了相关猜想。
On Sums of Practical Numbers and Polygonal Numbers
本文证明了所有正整数均可表示为实用数与三角形数之和，解决了 Sun 的猜想，并证明充分大的自然数可表示为实用数与两个 $s$ 角数之和。
On almost universal mixed sums of squares and triangular numbers
1997年K. Ono和K. Soundararajan [发明。Math.130（1997）]证明了在广义黎曼假设下，任何大于2719的正奇数都可以用著名的拉马努金形式$x^2+y^2+10z^2$表示，等价地，形式$2x^2+5y^2+4T_z$表示所有大于1359的整数，其中$T_z$表示三角数$z(z+1)/2$。给定正整数$a,b,c$，我们采用模形式和二次型的理论，以确定完全时，一般形式$ax^2+by^2+cT_z$表示足够大的整数，并建立类似的结果，形式$ax^2+bT_y+cT_z$和$aT_x+bT_y+cT_z$。下面是我们的主要定理的一些结果：（1）所有足够大的奇数都有$2ax^2+y^2+z^2$的形式当且仅当$a$的所有素因子全等于1模4。(ii)形式$ax^2+y^2+T_z$几乎是通用的（即，它表示足够大的整数）当且仅当$a$的每个奇素因子全等于1或3模8。(iii)$ax^2+T_y+T_z$几乎是泛的当且仅当$a$的所有奇素因子全等于1模4。(iv)当$v_2(a)\not=3$时，形式$aT_x+T_y+T_z$几乎是普适的当且仅当$a$的所有奇素因子全等于1模4和$v_2(a)\not=5,7,...$，其中$v_2(a)$是$a$的2进阶。
On Nathanson's Triangular Number Phenomenon
本文利用格的逐次L1-极小值刻画整数有限集合的和集大小序列，解释其中三角数出现规律，并给出前两个极小值区间内的精确公式，从而阐明Nathanson实验中的现象。
On the $q$-derivative and $q$-series expansions
利用一般的$q$ -级数展开，我们导出了一些涉及许多无穷乘积的非平凡的$q$ -公式.大量的Hecke型系列身份的推导。给出了任意个数平方和的一般公式。本文导出了三个三角数和的母函数的一种新表示，它与Andrews的表示略有不同，同时也包含了Gauss的著名结果，即每个整数都是三个三角数的和.
Recurrent Relations for Multiple of Triangular Numbers being Triangular Numbers
我们寻找的三角数是其他三角数的倍数。证明了对于任意非平方正整数乘子，存在无穷多个三角数的倍数是三角数，并从理论上推导出了递归关系。如果乘数是一个平方整数，则根据乘数的值，要么有一个解，要么没有解。
Fibonacci Plays Billiards
链是整数1到n的排序，使得相邻对具有特定形式的和，例如平方数、立方数、三角数、五边形数或斐波那契数。例如，4 1 2 3 5形成斐波那契链，而1 2 8 7 3 12 9 6 4 11 10 5形成三角链。由于1 + 5也是三角形，后者形成三角形项链。通过在矩形或其他多边形台球桌上使用台球的路径，可以方便地搜索这种链和项链。
A note on another approach on power sums
本文首先回顾了Muschielok在arXiv：2207. 01935 v1中提出的幂和的新方法，它可以用公式$S_m^{(a)}(n) = \sum_{k} c_{mk} ψ_k^{(a)}(n)$来概括，其中$S_m^{(a)}(n) = \sum_{k} c_{mk} ψ_k^{(a)}(n)$是展开系数，基函数$ψ_m^{(a)}(n)$满足递归性质$ψ_m^{(a+1)}(n)= \sum_{i=1}^n ψ_m^{(a)}(i)$ .然后，我们指出了一些补充事实，有关上述方法没有考虑明确Muschielok的文件。特别是，我们表明，对于任何给定的$m$，值的$c_{mk}$的，可以通过反转矩阵只涉及二项式系数。这可以与Muschielok的原始方法进行比较，其中$c_{mk}$的值可以通过对涉及第一类Stirling数的下三角形矩阵求逆来获得。同时，我们对系数$c_{m\, m-k}$的函数形式作了一个猜想。
Recent progress in the study of representations of integers as sums of squares
在这篇文章中，我们收集了最近的结果表示整数作为一个偶数平方和的启发下，Kac和Wakimoto的图解。我们开始与一个草图米尔恩的证明这两个apturtures。我们还展示了另一种途径来推导这两个矩阵从米尔恩的行列式公式的总和$4s^2$，分别$4s(s+1)$，三角形数。这种方法的灵感来自Zagier的证明Kac-Wakimoto公式通过模形式。我们以第一作者和蔡美儿最近的照片结束了调查。
Triangular Numbers Multiple of Triangular Numbers and Solutions of Pell Equations
对于所有正的非平方整数乘数k，存在无穷多个三角数的倍数，它们也是三角数。通过简单的变量变量变换，这些三角形数可以使用Pell方程的解来找到。通过对简单Pell方程和广义Pell方程的基本解的奇偶性给出一定的条件，仅保留广义Pell方程的奇解，从而在每个广义基本解对应的分支上找到许多无穷多解.对于乘子k为最近自然平方的函数的某些值，找到了Pell方程的基本解的一般代数式。此外，在Pell方程解的表达式中，一组递归关系与以前没有Pell方程求解方法时发现的那些递归关系相同。还发现三角数的倍数问题的两个常数与简单Pell方程的基本解直接相关，这是一个意想不到的结果，因为这意味着简单Pell方程的基本解在所有的一般性中与三角数的倍数问题的递归关系中的常数相关。
Convolution sums of some functions on divisors
本文的主要目的之一是建立函数的卷积和的除数和$\widetildeσ_s(n)=\sum_{d|n}(-1)^{d-1}d^s$和$\widehatσ_s(n)=\sum_{d|n}(-1)^{\frac{n}{d}-1}d^s$，对于某些$s$，这是第一次定义的Glaucine。我们首先介绍了三个功能$\mathcal{P}(q)$，$\mathcal{E}(q)$，$\mathcal{Q}(q)$相关的$\widetildeσ(n)$，$\widehatσ(n)$，和$\widetildeσ_3(n)$，分别，然后我们评估他们的两个参数$x$和$z$在Ramanujan的椭圆函数理论。利用这些公式，我们得到了一些恒等式，由这些恒等式我们可以推出卷积和恒等式。本文讨论了用$\widetildeσ(n)$、$\widehatσ(n)$和$\widetildeσ_3(n)$确定$r_s(n)$和$δ_s(n)$、$s=4,$ $8$的一些公式，其中$r_s(n)$表示$n$作为$s$平方和的表示数，$δ_s(n)$表示$n$作为$s$三角数和的表示数.最后，我们利用色划分的概念找到了一些划分同余。
The triangular numbers are finitely stable
本文证明三角数集合是有限稳定的加性基，并结合先前结果指出三角数和平方数是所有多边形数中仅有的有限稳定加性基。
The Frobenius number for sequences of triangular and tetrahedral numbers
我们计算Frobenius数的三角形和四面体数的序列。此外，我们还研究了与这些序列相关的数值半群的一些性质。
On Diophantine triples containing a triangular number
本文提出一种构造方法，生成无限多个三角数的D(m²)-三元组，并证明每个三元组包含相同的三角数T_n。
New recurrences for divisor sum functions and triangular numbers
欧拉发现了递归的除数和函数的结果，五边形数定理。基于类似的思想，并受Ewell在1977年工作的启发，我们证明了某些因子和函数与三角数的新递归性。
A product rule for triangular numbers
我们证明了有五个序列，包括三角数，满足产品规则$T(mn) = T(m) T(n) + T(m-1) T(n-1)$的所有$m, n \ge 1$。
Computation of Jacobi sums and cyclotomic numbers with reduced complexity
Jacobi和与分圆数是数论中的重要研究对象。确定所有的Jacobi和$e$阶的分圆数仅仅是计算复杂。本文给出了Jacobi和与分圆数的较少个数，它们足以确定所有Jacobi和与特定阶的分圆数。
Euler sums of generalized hyperharmonic numbers
本文主要证明了广义超调和数的欧拉和可以用经典欧拉和的线性组合表示。
Generalized hyperharmonic number sums with reciprocal binomial coefficients
本文主要证明了具有倒数二项式系数的广义超调和数和可以用经典（交错）欧拉和、zeta值和广义（交错）调和数来表示。
Sums of powers over equally spaced Fibonacci numbers
最近关于斐波那契数立方和的结果[Frontczak，2018]扩展到任意幂。
On some $D(u^2)$-triples and quadruples of triangular numbers
本文分类了最小元素为 $T_{4u-1}$ 或 $T_{4u}$ 的 $D(u^2)$-三角数三元组，研究其正则性，并证明无限多个 $u$ 存在全三角 $D(u^2)$-四元组，且 $T_{16k^2-1}$ 属于无限多个此类四元组。
Patterns in numbers and infinite sums and products
在这篇文章中，我们提出了一个通用的方法，获得无限总和的产品与功能，计数模式的数字。
Multiplicative functions which are additive on triangular numbers
修复$k \ge 3$。如果乘法函数$f$对任意正三角数$x_1, x_2, \dots, x_k$满足\[ f(x_1+x_2+\dots+x_k) = f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_k) \]，则$f$是恒等函数。这扩展了Chung和Phong对$k=2$的工作。
On the Congruence of Finite Generalized Harmonic Numbers Sums Modulo $p^2$
本文研究了特殊有限广义调和数和的同余关系。我们建议更透明和更简单的方法来分析这些和，并提出了一些额外的结果，某些特殊情况下。
Weighted sums of generalized polygonal numbers with coefficients 1 or 2
本文考虑系数为$1$或$2$的广义多边形数的加权和.证明了对任何$m\ge10$，如果广义$m$ -1的加权和只表示$1$，$m-4$和$m-2$，则它们表示所有非负整数.此外，我们还研究了四个广义多边形数的和以$1$或$2$为系数的表示.
Consecutive Cycle Sums
本文研究将数字1至n排列在n-循环上，哪些数可表示为连续数字之和，并证明当n≥8时，n-循环不完备。
Cubic alternating harmonic number sums
A. Sofo证明了二次交错调和数与倒数二项式系数乘积和的一些结果。本文将他的结果推广到三次交错调和数和，并给出了三次交错调和数和与倒数二项式系数和的新的封闭形式表示.还考虑了一些新的或已知的特殊情况以及主要结果的直接后果。
Bernoulli numbers and sums of powers of integers of higher order
利用高阶Bernoulli数给出了高阶整数幂和多项式的一个表达式。
Asymptotics of the number of partitions into p-cores and some trigonometric sums
一个渐近公式的分区成p-核心的数量。作为一个副产品，一些整数值三角和发现
On harmonic numbers and nonlinear Euler sums
本文主要研究调和数、Stirling数和Bell数乘积的欧拉型和。讨论了欧拉和通过多对数函数和黎曼ζ函数的值的解析表示.此外，我们提供了明确的评估几乎所有的欧拉和重量为5，这可以表示在zeta值和多项式。此外，我们给出了几类欧拉相关和的zeta值和调和数的显式公式，并给出了几个例子。给出的表示是新的。
On certain diophantine equations related to triangular and tetrahedral numbers
本文给出了与三角数和四面体数有关的某些丢番图方程的解，并提出了与这些数有关的几个问题。本文的部分材料在2008年9月14日至20日在克拉科夫举行的第11届青年数学家国际研讨会-数论上发表。
Sums of series involving central binomial coefficients & harmonic numbers
本文给出了一类系数为中心二项式系数与调和数乘积的级数。最后一节中给出了一个涉及$ζ(2)$和另外两个很好的和的优雅求和。
Symmetry properties of finite sums involving generalized Fibonacci numbers
推广了I. J.Good并证明了广义斐波那契数和的更多对称性
On Bourgain's bound for short exponential sums and squarefree numbers
我们使用Bourgain最近的短指数和的界来证明与无平方数的分布在等差数列中的某些独立性结果。
On Diophantine pairs and triples of triangular numbers
研究非零整数a下三角数的D(a)丢番图对和三数组，证明若三角数属于D(a)对，则可扩展为无穷多个D(a)三数组，并确定存在和不存在此类对的整数a的无限族。
Euler sums of generalized alternating hyperharmonic numbers II
引入了一类新的广义交错超调和数$H_n^{(p,r,s_{1},s_{2})}$，并证明了广义交错超调和数$H_n^{(p,r,s_{1},s_{2})}$的欧拉和可以用经典（交错）欧拉和的线性组合表示.
On the Fibonacci and Lucas numbers, their sums and permanents of one type of Hessenberg matrices
本文给出了一类下Hessenberg矩阵的积和式与Fibonacci数、Lucas数及其和的关系。
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