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arXiv 1601.02192math.CA
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关于Bernoulli数和欧拉数的一些结果及其应用

Some results associated with Bernoulli and Euler numbers with applications

C. -P. Chen, R. B. Paris

备注：
15 pages, 0 figures
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摘要：

本文给出了$2/(e^t+1)$、$\mbox{sech} t$和$\coth t$的展开式中展开子的级数表示。例如，我们证明，对于$t > 0$和$N\in\mathbb{N}:=\{1, 2, \ldots\}$，\[\mbox{sech}\, t=\sum_{j=0}^{N-1}\frac{E_{2j}}{(2j)!}t^{2j}+R_N(t) \]与\[ R_N(t)=\frac{(-1)^{N}2t^{2N}}{π^{2N-1}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(k+\frac{1}{2})^{2N-1}\Big(t^2+π^2(k+\frac{1}{2})^2\Big)}, \]和\[\mbox{sech}\, t=\sum_{j=0}^{N-1}\frac{E_{2j}}{(2j)!}t^{2j}+Θ(t, N)\frac{E_{2N}}{(2N)!}t^{2N} \]与一个合适的$0 < Θ(t, N) < 1$。这里$E_n$是欧拉数。利用所得结果，我们导出了与伽玛函数比有关的一些不等式和完全单调函数。此外，我们给出了一个（可能是新的）二次递归关系的伯努利数。

英文摘要：

In this paper, we present series representations of the remainders in the expansions for $2/(e^t+1)$, $\mbox{sech} t$ and $\coth t$. For example, we prove that for $t > 0$ and $N\in\mathbb{N}:=\{1, 2, \ldots\}$, \[\mbox{sech}\, t=\sum_{j=0}^{N-1}\frac{E_{2j}}{(2j)!}t^{2j}+R_N(t) \] with \[ R_N(t)=\frac{(-1)^{N}2t^{2N}}{π^{2N-1}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(k+\frac{1}{2})^{2N-1}\Big(t^2+π^2(k+\frac{1}{2})^2\Big)}, \] and \[\mbox{sech}\, t=\sum_{j=0}^{N-1}\frac{E_{2j}}{(2j)!}t^{2j}+Θ(t, N)\frac{E_{2N}}{(2N)!}t^{2N} \] with a suitable $0 < Θ(t, N) < 1$. Here $E_n$ are the Euler numbers. By using the obtained results, we deduce some inequalities and completely monotonic functions associated with the ratio of gamma functions. Furthermore, we give a (presumably new) quadratic recurrence relation for the Bernoulli numbers.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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