Polar Grassmannians and their Codes
Ilaria Cardinali, Luca Giuzzi
我们提出了一个简洁的描述正交极性格拉斯曼码和激励他们的相关性。我们还描述了有效的编码和解码算法的情况下，线格拉斯曼，并介绍了一些开放的问题。
We present a concise description of Orthogonal Polar Grassmann Codes and motivate their relevance. We also describe efficient encoding and decoding algorithms for the case of Line Grassmannians and introduce some open problems.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Enumerative Coding for Line Polar Grassmannians with applications to codes
一个$k$ -极格拉斯曼几何是具有一个向量空间$V$的所有$k$ -维子空间的集合作为点集的几何，这些子空间对于定义在$V.$上的给定非退化双线性形式$μ$是完全各向同性的。因此，它可以被认为是普通$k$ -格拉斯曼几何的一个子几何。本文讨论正交线Grassmannian和辛线Grassmannian，即假定$k=2$和$μ$为非退化对称或交错形式.我们将提供一种方法来有效地枚举正交和辛线格拉斯曼的点集。这有几个很好的应用;其中，我们将讨论一个有效的编码/解码/纠错策略的线极性格拉斯曼码的两种类型。
Characterization of apartments in polar Grassmannians
类型为$\textsf{C}_n$和$\textsf{D}_n$的建筑物由秩$n$极空间定义。相关联的建筑格拉斯曼是极地和半自旋格拉斯曼。在\cite{CKS}中刻画了对偶极空间和半自旋格拉斯曼空间中的公寓。我们刻画公寓在所有极格拉斯曼组成的非极大奇异子空间。这个特征是一个部分情况下，更一般的结果，极约翰逊图在极格拉斯曼图的嵌入。
Isometric embeddings of polar Grassmannians and metric characterizations of their apartments
我们描述了由非极大奇异子空间构成的极Grassmann图的等距嵌入。在几乎所有的情况下，它们是由共线性保持极空间的注入引起的。作为这一结果的一个简单结果，我们得到了极地格拉斯曼人公寓的度量特征。
Minimum distance of Symplectic Grassmann codes
我们引入辛格拉斯曼码作为由辛格拉斯曼定义的投射码，类似于[4]中引入的正交格拉斯曼码。拉格朗日-格拉斯曼码是一类特殊的辛格拉斯曼码。本文描述了秩为$2$和$3$的Lagrangian-Grassmann码的重量计数器，并确定了线辛Grassmann码的最小距离.
Projective Subgrassmannians of Polar Grassmannians
在这个简短的说明中，完成了Cooperstein，Kasikova和Shult的一系列研究，我们考虑了有限秩n的一些极几何的k-格拉斯曼。我们对与射影m-空间的j-格拉斯曼同构的子空间进行了分类。在几乎所有的情况下，这些都是抛物线，也就是说，它们是极几何的旗帜的残基。只有当子空间同构于射影m-空间中的2-空间的格拉斯曼时，才会发生这种情况，我们对此进行了详细的描述。这个维特型结果意味着格拉斯曼的自同构几乎总是由底层极空间的自同构诱导的。
Codes and caps from orthogonal Grassmannians
本文研究了正交Grassmann型$Δ_k$的Grassmann嵌入$\varepsilon_k^{gr}$的线性纠错码和投射帽.特别地，我们确定了由$\varepsilon_k^{gr}(Δ_k)$确定的投射系统所产生的码的一些参数。我们还研究了$Δ_k$的特殊点集，这些点集由$Δ_k$的任何一条线在至多2个点上满足，我们证明了它们在Grassmann嵌入$\varepsilon_k^{gr}$下的像是一个投影帽。
Base subsets of polar Grassmannians
令$Δ$为$\textsf{X}_{n}=\textsf{C}_{n},\textsf{D}_{n}$类型的厚建筑物。也令${\mathcal G}_k$是相关极空间$Π$（秩为$n$）的$k$维奇异子空间的格拉斯曼算子。我们为相应的$\textsf{X}_{n,k}$型阴影空间写${\mathfrak G}_k$。${\mathcal G}_k$的每一个将基子集发送到基子集（公寓的阴影）的双射变换都是${\mathfrak G}_k$的一个直射变换，并且如果$n\ne 4$或$k\ne 1$，则它由$Π$的一个直射变换导出。
Totally symmetric Grassmannian codes
本文提出了一种构造具有完全对称性的紧融合框架的方法，从而生成新的等异时紧融合框架，形成最优格拉斯曼码。
Linear programming bounds for codes in Grassmannian spaces
我们引入了一个线性规划方法来获得弦距离的格拉斯曼空间中的码的基数的界。我们得到明确的界限，和一个渐近界，提高了汉明界。我们的方法推广了最初由P. Delsarte和Kabatianski-Levenshtein开发的紧致两点齐性空间的方法。
On the Minimum Distance of Subspace Codes Generated by Linear Cellular Automata
本文研究由线性元胞自动机生成的子空间码，证明其最小距离由多项式两两最大公约数的最大次数决定，并给出同GCD情形下的码基数及互素时的最优最小距离。
Grassmannians of classical buildings
这本书致力于与古典类型的建筑相关的格拉斯曼主义者：普通的，极地的和半旋转的格拉斯曼主义者。向量空间的格拉斯曼和由非退化交替、埃尔米特和对称形式的完全迷向子空间组成的格拉斯曼是这些“建筑”格拉斯曼的特例。
Equidistant Codes in the Grassmannian
考虑向量空间上的等距码。对于大向量空间上的$k$维子空间，最大码总是向日葵。我们提出了几个简单的结构，这样的代码可能会产生最大的非向日葵代码。基于Plücker嵌入，给出了$\F_q^n$上$k$维子空间的1-交码的一种新的构造方法，其中码长为$\frac{q^{k+1}-1}{q-1}$，即$n \geq \binom{k+1}{2}$.最后，我们提出了一个相关的建设，产生等距常数秩码的矩阵的大小$n \times \binom{n}{2}$在$\F_q$，秩$n-1$，秩距离$n-1$。
Transformations of polar Grassmannians preserving certain intersecting relations
设$Π$是秩为$n\ge 3$的极空间。用${\mathcal G}_{k}(Π)$表示由$Π$的奇异子空间构成的极格拉斯曼算子，其投影维数等于$k$。假设$k$是不大于$n-2$的整数，并考虑由所有对$(X,Y)\in {\mathcal G}_{k}(Π)\times {\mathcal G}_{k}(Π)$形成的关系${\mathfrak R}_{i,j}$，$0\le i\le j\le k+1$，使得$\dim_{p}(X^{\perp}\cap Y)=k-i$和$\dim_{p} (X\cap Y)=k-j$（$X^{\perp}$由$Π$的所有点与$X$的每个点共线组成）。证明了保持${\mathfrak R}_{1,1}$的${\mathcal G}_{k}(Π)$的每一个双射变换都是由$Π$的一个自同构引起的，并且对于关系${\mathfrak R}_{0,t}$，如果$n\ge 2t\ge 4$和$k=n-t-1$也是如此。当$Π$是一个有限的经典极空间时，如果$(i,j)\ne (i',j')$，则${\mathfrak R}_{i,j}$和${\mathfrak R}_{i',j'}$的化合价是不同的.
Isometric embeddings of half-cube graphs in half-spin Grassmannians
设$Π$是$\textsf{D}_{n}$型的极空间。用${\mathcal G}_δ(Π)$、$δ\in \{+,-\}$表示相关的半自旋格拉斯曼图，并将相应的半自旋格拉斯曼图写成$Γ_δ(Π)$。当$n\ge 4$为偶数时，${\mathcal G}_δ(Π)$的单元将被刻画为半立方体图$\frac{1}{2}H_n$在$Γ_δ(Π)$中的等距嵌入的像.作为应用，在$n\ge 6$是偶数的假设下，我们描述了与$\textsf{D}_{n'}$型极空间相关的半自旋Grassmann图中$Γ_δ(Π)$的所有等距嵌入.
Line Polar Grassmann Codes of Orthogonal Type
正交型极格拉斯曼码在I. Cardinali和L. \emph{Codes and caps from orthogonal Grassmannians}，{有限域应用} { \bf 24}（2013），148-169.它们是格拉斯曼码的子码，产生于由正交型极格拉斯曼的Plücker嵌入定义的投射系统。本文充分确定了$q$奇数的正交型线极格拉斯曼码的最小距离。
Grassmannians of codes
本文定义由最小对偶距离至少为 $t+1$ 的 $[n,k]$ 线性码构成的点线几何及其共线图，研究其与已知码图的关系、孤立点，并刻画 $t=1,2$ 时的连通条件。
The second minimum weight of Grassmann codes
本研究通过格拉斯曼簇的特殊分解，独立证明了格拉斯曼码最小距离的Nogin定理，并运用相同思路计算出其第二最小重量。
Grassmannian codes from paired difference sets
等角紧框架（ETF）是希尔伯特空间中的向量序列，其在Welch界中实现相等，因此具有最小相干性。更一般地，等弦紧融合框架（ECTFF）是希尔伯特空间的等维子空间序列，其在Conway，Hardin和Sloane的单纯形界中实现相等。每个ECTFF都是一类最优格拉斯曼码，即希尔伯特空间的等维子空间的最优填充。我们通过利用已知ETF之间的新关系来构建ECTFF。调和ETF等同于有限阿贝尔群的差集。我们说这样一个群的一个差集与它的庞特里亚金对偶的一个差集“配对”，当它的调和ETF的相应子序列恰好是它的跨度的ETF时。我们表明，每个这样的对产生一个ECTFF。利用二元域上的二次型构造了一个成对差集的无限族。这一起产生两个无限族的真实ECTFF。
Subspace Packings -- Constructions and Bounds
格拉斯曼$\mathcal{G}_q(n,k)$是向量空间$\mathbb{F}_q^n$的所有$k$维子空间的集合。Kötter和Kschischang证明了格拉斯曼空间中的码可以用于随机网络编码中的纠错。另一方面，这些码是Johnson方案中的码的$q$类似物，即，固定尺寸代号。格拉斯曼$\mathcal{G}_q(n,k)$的这些码也形成区组设计的$q$ -类似物族，它们被称为子空间设计。在本文中，我们研究了最后一个家庭的$q$ -类似物的区组设计，这是没有考虑过。这个家庭，称为子空间包装，是包装的$q$模拟，最近被认为是网络编码解决方案的一个家庭的组播网络称为广义组合网络。子空间包装$(n,k,λ)_q$是来自$\mathcal{G}_q(n,k)$的$k$ -子空间的集合$\mathcal{S}$，使得$\mathcal{G}_q(n,t)$的每个$t$ -子空间被包含在$\mathcal{S}$的至多$λ$元素中。这项工作的目标是考虑这种子空间包装的最大尺寸。我们推导出一系列的下限和上限的最大尺寸，这样的包装，分析这些界限，并确定在这一领域的进一步研究的重要问题。
Metric characterization of apartments in dual polar spaces
设$Π$是秩为$n$的极空间，${\mathcal G}_{k}(Π)$，$k\in \{0,\dots,n-1\}$是由$Π$的$k$维奇异子空间构成的极格拉斯曼空间.相应的格拉斯曼图将由$Γ_{k}(Π)$表示。本文研究了由$Π$的极大奇异子空间构成的极Grassmannian ${\mathcal G}_{n-1}(Π)$，证明了$n$维超立方体图$H_{n}$在$Γ_{n-1}(Π)$中的等距嵌入的象是${\mathcal G}_{n-1}(Π)$的一个公寓.这是从关于$H_{m}$、$m\le n$在$Γ_{n-1}(Π)$中的等距嵌入的更一般的结果（定理2）得出的。作为应用，我们对$Γ_{n-1}(Π)$在$Γ_{n'-1}(Π')$中的等距嵌入进行了分类，其中$Π'$是秩为$n'\ge n$的极空间（定理3）.
Families of twisted tensor product codes
利用几何性质的品种$\cV_{r,t}$，图像下的格拉斯曼映射的Deskiesian $(t-1)$ -扩展的$\PG(rt-1,q)$，我们介绍了纠错码相关的扭曲张量积建设，生产几个家庭的常循环码。我们精确地确定了这些码的参数，并确定了最小重量的字。
Line Hermitian Grassmann Codes and their Parameters
本文引入线厄米特格拉斯曼码，确定其参数并刻画m≠5时的最小权重码字。
A Group-Theoretic Framework for the Construction of Packings in Grassmannian Spaces
利用正交空间Omega^{+}（2 i，2）中的全迷向子空间，构造了实2^i维空间中2^k维子空间的几个无限族填充，并证明了其中一些填充是最优填充.一个特定的Clifford群构成了该构造的基础，并将该问题与Barnes-Wall格、Kerdock集和量子纠错码联系起来。
Implementing Line-Hermitian Grassmann codes
在[I. Cardinali和L.朱齐线Hermitian Grassmann码及其参数有限域应用51：407-432，2018]我们引入了线厄米特格拉斯曼码并确定了它们的参数。本文的目的是提出（在精神[I. Cardinali和L.朱齐线极格拉斯曼数的计数编码及其在编码中的应用。有限域应用46：107-138，2017]）一种用于线Hermitian Grassmannian的点计数器的算法，其可以有用地应用于获得用于上述代码的有效编码器、解码器和纠错算法。
Automorphisms of Codes in the Grassmann Scheme
有限域上的两个映射，Frobenius映射和循环移位映射，分别作用于PG（$n,p$）中的线或Grassmannian中的码上，形成Grassmannian及其码中的自同构群.这些自同构检查两个经典的编码问题中的格拉斯曼。首先是存在的平行线在相关的射影几何和第二个是存在的斯坦纳结构。计算机搜索被应用到寻找parallelisms和代码。在PG（5，3）中形成了一种新的直线平行性.以前不知道这些参数的平行性。一个大的代码，这是只有稍微短的施泰纳结构形成。
Gray codes and Enumerative Coding for vector spaces
向量空间的格雷码被认为是在两个图：格拉斯曼图，和投影空间图，这两个最近发现的应用在网络编码。对于Grassmann图，给出了所有参数的循环最优码的构造.对于射影空间图，给出了两种具体参数的构造方法，并给出了一些不存在性结果。在此基础上，给出了格拉斯曼格雷码的编码和译码算法，从而导出了一种枚举编码方案。算法的计算复杂性至少与已知方案一样低，并且对于某些参数范围，新方案优于先前已知的方案。
Subclose Families, Threshold Graphs, and the Weight Hierarchy of Grassmann and Schubert Codes
我们讨论的问题，确定完整的重量层次的线性纠错码相关的格拉斯曼品种，更一般地说，舒伯特品种在格拉斯曼。这个问题在格拉斯曼码的情况下得到了部分解决，其中一个解决方案使用了封闭族的组合概念。我们提出了一个推广这被称为一个subclose家庭。证明了次闭族的一些性质，并概述了它与阈值图和顶点度平方和最大图的概念之间的联系。
On torus quotients of Schubert varieties in Orthogonal Grassmannian
设$G=Spin(8n, \mathbb{C})(n\ge 1)$和$T_{G}$是$G.$的极大环面，$P^{α_{4n}}(\supset T_{G})$是$G$的极大抛物子群，对应于单根$α_{4n}.$，$X$是$G/P^{α_{4n}}$中的Schubert簇，允许关于$T$ -线性化的非常充分线丛$\mathcal{L}(2ω_{4n}).$的半稳定点，$R=\bigoplus_{k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}}R_k,$其中$R_k=H^{0}(X, \mathcal{L}^{\otimes k}(2ω_{4n}))^{T_{G}}.$在本文中，证明了对于$n=1$和$X=G/P^{α_4},$，分次$\mathbb{C}$ -代数$R$是由$R_1.$生成的。我们证明了$G/P^{α_{4}}$的GIT商关于$T_{G}$的下降是射影正规的。线性化的非常丰富的线丛$\mathcal{L}(2ω_{4})$，并且同构于作为极化簇的射影空间$(\mathbb{P}^{2},\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{2}}(1))$。进一步，我们证明了$R$是由$R_1$和$R_2$生成的一些舒伯特品种在$G/P^{α_{4n}}$（为$n \geq 2$）。因此，我们证明了这些Schubert簇的GIT商关于$T_G$ -线性化的非常充裕线丛…
AGC, t-designs and partition sets
AG码在几何上对应于定义在q个元素的有限域F_q上的n维射影空间PG（n，F_q）中k平面的格拉斯曼运动中的点。我们证明了不变subgrassmannian的三角形组的行动举行的t-设计确定的参数。
Hyperplane Neural Codes and the Polar Complex
超平面码是一类作为单层前馈神经网络的输出而出现的凸码。在这里，我们建立了稳定的超平面代码的{ \it极性复杂}的代码，一个简单的复杂的任何组合码的几个自然属性。我们证明了一个稳定的超平面代码的极复杂的壳，并表明，目前已知的性能的超平面代码遵循适当的极复杂的壳。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。