本调查总结了2015年7月在比勒费尔德大学举行的“比勒费尔德几何与拓扑日”会议上讨论的结果。我们感兴趣的是Bott-Chern上同调的定量和定性性质。我们公布了[D. Angella，N. Tardini，Quantitative and Qualitative cohomological properties for non-Kähler manifold，arXiv：1507.07108] jointly with Nicoletta Tardini.特别地，我们证明了Bott-Chern上同调维数的一个上界。我们还介绍了一个概念，称为Schweitzer定性性质，它编码的存在一个非退化配对的Bott-Chern上同调，如庞加莱对偶的德-拉姆上同调。我们证明了这个性质刻画了$\partial\overline\partial$ -引理。
英文摘要：
This survey summarizes the results discussed in a talk at "Bielefeld Geometry & Topology Days" held at Bielefeld University in July 2015. We are interested in quantitative and qualitative properties of Bott-Chern cohomology. We announce new results obtained in [D. Angella, N. Tardini, Quantitative and qualitative cohomological properties for non-Kähler manifolds, arXiv:1507.07108] jointly with Nicoletta Tardini. In particular, we prove an upper bound of the dimensions of Bott-Chern cohomology in terms of Hodge numbers. We also introduce a notion, called Schweitzer qualitative property, which encodes the existence of a non-degenerate pairing in Bott-Chern cohomology, like the Poincaré duality for the de Rham cohomology. We show that this property characterizes the $\partial\overline\partial$-Lemma.
Inequalities à la Frölicher and cohomological decompositions
研究了具有两个平方为零的反交换自同态的向量空间的Bott-Chern和Aeppli上同调。特别是，我们证明了一个不等式拉Frölicher有关的尺寸的Bott-Chern和Aeppli上同调的Dolbeault上同调的尺寸。我们证明了这样一个不等式à la Frölicher中的等式刻画了满足$\partial\overline{\partial}$ -引理的所谓上同调性质的有效性。作为一个应用，我们研究了紧致复流形，或辛流形，或更一般的广义复流形的上同调性质。
Morse-Novikov cohomology of locally conformally Kähler manifolds
局部共形Kahler（LCK）流形是一个具有Kahler覆盖的复流形，其中单值映射通过同素映射作用于该覆盖上。我们定义了三个上同调不变量，李类，Morse-Novikov类和Bott-Chern类，LCK结构。这些不变量一起扮演着与Kahler几何中的Kahler类相同的角色。如果两个LCK结构的这些类重合，则这些结构之间的差异可以由光滑势表示，类似于Kahler的情况。我们证明了Vaisman流形的Morse-Novikov类和Bott-Chern类为零。此外，对于Vaisman流形上的任何LCK-结构，我们证明了它的Morse-Novikov类为零。证明了Bott-Chern类为零的紧致LCK-流形$M$在Hopf流形上有一个全纯嵌入，如果$\dim_\C M \geq 3$，这一结果与Kodaira嵌入定理相似.
