Criterion for convergence almost everywhere, with applications
E. Ostrovsky, L. Sirota
本文给出了可测函数序列几乎必然收敛的充要条件，并考虑了它在傅里叶级数理论和随机场理论中的一些应用.
We derive the necessary and sufficient condition for almost sure convergence of the sequence of measurable functions, and consider some applications in the theory of Fourier series and in the theory of random fields.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the Almost Everywhere Continuity
本文的目的是给出函数f：[a，b] $\rightarrow$ R的Lebesgue-几乎处处连续性的特征。这些特征允许得到f的Riemann可积性的充要条件。
Almost everywhere convergence of Bochner-Riesz means on some Sobolev type spaces
本文研究了一类Sobolev型空间（包括索伯列夫空间$(p\geq 1)$和$H^q$索伯列夫空间$(0<q<1)$）上Bochner-Riesz平均的收敛性.给出了函数的光滑性与广义Bochner-Riesz平均的几乎处处收敛速度之间的关系。
Differentiability almost everywhere of weak limits of bi-Sobolev homeomorphisms
本文研究了双Sobolev同胚的弱极限的可微性。给定$p>n-1$，考虑具有正雅可比算子$J_{f_k} >0$几乎处处和$\sup_k(\|f_{k}\|_{W^{1,n-1}} + \|f_{k}^{-1}\|_{W^{1,p}}) <\infty$的同胚序列$f_k$。我们证明了如果$f$和$h$分别是$f_k$和$f_k^{-1}$的弱极限，且具有正雅可比行列式$J_f>0$和$J_h>0$，则$h(f(x))=x$和$f(h(y))=y$都保持a.e.\并且$f$和$h$几乎处处可微。
The Bochner-Riesz means for Fourier-Bessel expansions: norm inequalities for the maximal operator and almost everywhere convergence
本文对与Fourier-Bessel展开有关的Bochner-Riesz平均的极大算子的有界性进行了深入的分析。对于该算子，我们研究了空间L^p（（0，1），x^{2ν+1}dx）中的加权不等式和非加权不等式.此外，对于p的临界值，得到了弱的和限制的弱型不等式，从而得到了这些平均的几乎处处点态收敛性.
About the almost everywhere convergence of the spectral expansions of functions from $L_1^\a(S^N)$
本文研究了单位球面上Laplace-Beltrami算子自伴扩张展开式的几乎处处收敛性。得到了可和的充分条件。使用了Liouville空间$L_1^\a$的Laplace-Beltrami算子的更一般的性质和本征函数表示。对于Riesz平均的阶数大于临界指数$\frac{N-1}{2}$的情形，我们证明了Fourier-Laplace级数可和性的正结果。注意当Riesz平均的阶$α$小于临界指数时，为了建立几乎处处收敛性，需要使用其他方法来证明否定结果。利用单位球面上自伴Laplace-Beltrami算子的谱展开性质，构造了Laplace级数可和性的不同方法。
On almost everywhere convergence of orthogonal spline projections with arbitrary knots
本文的主要结果是一个证明，对于任何$f \in L_1[a,b]$，它的正交投影$(P_{Δ_n}(f))$到具有任意结点$Δ_n$的$k$阶样条上的序列，如果网格直径$|Δ_n|$趋于零，即\[ f \in L_1[a,b] \Rightarrow P_{Δ_n}(f,x) \to f(x) \quad \mbox{a.e.} \quad (|Δ_n|\to 0)\,. \]，则几乎处处收敛。这推广了早先的结果，即对于$f \in L_p$，我们在$1 \le p \le \infty$的$L_p$ -范数下收敛$P_{Δ_n}(f) \to f$。}
On almost everywhere convergence of tensor product spline projections
令$d\in\mathbb N$和$f$是在$\mathbb{R}^d$中的单位立方体$[0,1]^d$上定义的Orlicz类$L(\log^+L)^{d-1}$中的函数。给出$[0,1]$的剖分$Δ_1,\ldots,$ $Δ_d$，证明了当网格直径$|Δ_1|,\ldots, |Δ_{d}|$趋于零时，任意阶$(k_1,\dots, k_d)$和结点$Δ_1,\ldots,Δ_d$的张量积样条空间上的正交投影$P_{(Δ_1,\dots,Δ_d)}(f)$几乎处处收敛于$f$.这将[Passenbrunner and Shadrin，Journal of Approximation Theory，2014]中的一维结果扩展到任意维度。在第二步中，我们证明这个结果是最优的，即，给定任何“较大的”Orlicz类$X=σ(L)L(\log^+ L)^{d-1}$，其中任意函数$σ$在无穷远处趋于零，存在函数$φ\in X$和单位立方体的分区，使得$φ$的正交投影不会几乎处处收敛。
Almost everywhere Convergence of Spline Sequences
证明了多项式样条序列鞅收敛定理的类似定理。给定一个自然数$k $和一个$[0,1]$中的结点序列$(t_i)$，其重数为$\le k-1$，我们令$P_n $为$[0,1] $中样条多项式在$k-1$次的空间上的正交投影，该次的样条多项式对应于网格$(t_i)_{i=1}^n$。设$X$是一个具有Radon-Nikodaim性质的Banach空间。设$(g_n)$是Bochner-Lebesgue空间$L^1_X [0,1]$中满足$$ g_n = P_n ( g_{n+1} ),\qquad n \in \mathbb N . $$的有界序列，我们证明了对几乎所有的$t \in [0,1]. $，$\lim_{n\to \infty} g_n(t) $在$X$中的存在性。
Almost everywhere convergent sequences of weak$^*$-to-norm continuous operators
设$X$和$Y$是Banach空间，$T:X^*\to Y$是算子.证明了若$X$是Asplund的，且$Y$具有逼近性质，则对于$(B_{X^*},w^*)$上的每个Radon概率$μ$，存在$w^*$ -到-范数连续算子序列$T_n:X^*\to Y$，使得$\|T_n(x^*)-T(x^*)\| \to 0$对于$μ$ -a. e. $x^*\in B_{X^*}$ ;如果$Y$对于某些$λ\geq 1$具有$λ$有界逼近性质，则可以以这样的方式选择该序列，使得对于所有$n\in \mathbb{N}$都是$\|T_n\|\leq λ\|T\|$。如果$X$不包含与$\ell_1$同构的子空间，则同样的结论成立，$Y$具有逼近性质（分别为，$λ$ -有界逼近性质）和$T$具有可分值域。这延伸到不可分离的设置的结果Mercourukis和Stamati。
Almost everywhere convergence of Bochner-Riesz means on Heisenberg-type groups
本文证明了海森堡型群上$L^p$函数的Bochner-Riesz平均的几乎处处收敛性，得到了任意小阶平均收敛的$p>2$的存在性.证明铰链上减少加权$L^2$估计的最大Bochner-Riesz运营商相应的估计的非最大运营商，和一个“对偶Sobolev跟踪引理”，其证明是基于雅可比多项式的精细估计。
Injectivity almost everywhere and mappings with finite distortion in nonlinear elasticity
我们证明了具有有限畸变的$W^1_q$ -同胚序列的弱极限对于$q \geq n-1$是几乎处处内射的一个充分条件，可以借助于复合算子来陈述.应用这一结果，我们研究了关于这些新的映射类的非线性弹性问题。此外，我们施加松散的增长条件的存储能量函数类的$W^1_n$ -同胚有限失真和可积的内部以及外部的失真系数。
A note on the almost everywhere convergence to initial data for some evolution equations
加权Lebesgue空间的初始数据，其中几乎处处收敛的热方程举行只是最近的特点。本文证明了具有谐振子和Ornstein-Uhlenbeck算子的热扩散抛物型方程在相同的初始数据加权空间下是最优的。
Injectivity almost everywhere for weak limits of Sobolev homeomorphisms
设$Ω\subset\mathbb{R}^n$是开集，$f\in W^{1,p}(Ω,\mathbb{R}^n)$是Sobolev同胚的弱（序列）极限.则$f$在图像和域中对于$p>n-1$几乎几乎处处是单射的。对于$p\leq n-1$，我们构造了同胚的一个强极限，使得一个点的原像对于它的像中的正测度集中的每一点都是连续的，并且一个点的拓扑像对于它的定义域中的正测度集中的每一点都是连续的.
Weak derivatives and metric differentiability almost everywhere
本文针对任意度量或Banach空间中Lipschitz映射不一定弱*可微的问题，提出基于弱弱*导数的方法，为度量微分提供线性表示并使其可通过线性算子范数计算。
Almost Everywhere Generalized Phase Retrieval
广义相位恢复的目的是从二次测量$\mathbf{x}^*A_1\mathbf{x},\ldots,\mathbf{x}^*A_N\mathbf{x}$恢复$\mathbf{x}\in \mathbb{F}^d$，其中$A_j\in \mathbf{H}_d(\mathbb{F})$和$\mathbb{F}=\mathbb{R}$或$\mathbb{C}$。本文研究了具有几乎处处相位恢复特性的矩阵集合$\mathcal{A}=(A_j)_{j=1}^N$。对于$\mathbb{F}=\mathbb{R}$的情况下，我们表明，$N\geq d+1$通用矩阵与规定的秩有几乎处处相位恢复属性。我们还将这一结果推广到$A_1,\ldots,A_N$是正交矩阵的情况，从而建立了融合帧相位恢复的几乎处处相位恢复特性。对于$\mathbb{F}=\mathbb{C}$的情形，我们在$N\geq 2d$的假设下得到了类似的结果。我们降低测量数$d+1$（分别为$2d$），并显示存在$N=d$（分别）。$2d-1$）矩阵$A_1,\ldots, A_N\in \mathbf{H}_d(\mathbb{R})$（分别$\mathbf{H}_d(\mathbb{C})$），其具有几乎处处的相位恢复特性。我们的结果是几乎处处相位恢复从标准相位恢复到一般情况下的推广，并且证明往往基于行列式簇的一些新思想。
Almost everywhere convergence of entangled ergodic averages
研究了\[ \frac{1}{N^k}\sum_{1\leq n_1,\ldots, n_k\leq N} T_m^{n_{α(m)}}A_{m-1}T^{n_{α(m-1)}}_{m-1}\ldots A_2T_2^{n_{α(2)}}A_1T_1^{n_{α(1)}} f, \]形式的纠缠平均的点态收敛性，其中$f\in L^2(X,μ)$，$α:\left\{1,\ldots,m\right\}\to\left\{1,\ldots,k\right\}$和$T_i$是标准概率空间$(X,μ)$上的遍历测度保持变换.我们证明了在$(A_i,T_i)$对上的某些联合有界性和扭曲紧性条件下，对所有$f\in L^2$都成立几乎处处收敛。我们还提出了一般$L^p$情况下（$1\leq p<\infty$）和多项式的权力，除了连续版本遍历流的结果。
Almost-everywhere convergence of Fourier series for functions in Sobolev spaces
设$S_λF(x)$是函数$F\in L_2(\mathbb{T}^N)$的重傅里叶级数的球面部分和。在$1< p \leq 2$和$a> (N-1)(\frac{1}{p}-\frac{1}{2})$的条件下，证明了索伯列夫空间$H_p^a(\mathbb{T}^N)$中函数的几乎处处收敛$S_λF(x)\rightarrow F(x)$.对于多重傅里叶积分，这是Carbery和Soria（1988）的著名结果。为了证明我们的结果，我们首先将Kenig和Tomas（1980）的移植技术从$L_p$空间推广到$H_p^a$空间，然后将它应用于Carbery和Soria的结果.
Almost uniform vs. pointwise convergence from a linear point of view
本文从线性结构角度比较不同收敛模式，证明了存在大量向量子空间和代数结构，这些结构包含逐点几乎处处收敛但不几乎均匀收敛的序列，以及几乎均匀收敛但不逐点几乎处处收敛的序列。
Almost uniform convergence in Wiener-Wintner ergodic theorem
本文将$σ$ -有限测度的Wiener-Wintner遍历定理中的几乎处处收敛推广到一个更强的几乎一致收敛，并给出了一个更大的、普遍的收敛空间.然后，我们将这一结果与贝西科维奇权重的情况下。
Jacobians of BV homeomorphisms and their weak-* limits
本文证明在三维空间中，BV同胚及其弱*极限的雅可比行列式符号不变，即几乎处处非负或非正。
Almost Everywhere Convergence of Prolate Spheroidal Series
本文证明了$L^p$-Paley-Wiener型空间中函数的长球面波函数展开式对于$1<p<\infty$几乎几乎处处收敛，即使在它们可能不收敛于$L^p$ -范数的情况下也是如此.因此，我们考虑经典的Paley-Wiener空间$PW_c^p\subset L^p(\mathcal{R})$的功能，其傅里叶变换支持在$[-c,c]$和Paley-Wiener的功能，其Hankel变换$\mathcal{H}^α$支持在$[0,c]$空间$B_{α,c}^p\subset L^p(0,\infty)$。作为一个副产品，我们显示了连续的投影算子$P_c^αf:=\mathcal{H}^α(χ_{[0,c]}\cdot \mathcal{H}^αf)$从$L^p(0,\infty)$到$L^q(0,\infty)$，$1<p\leq q<\infty$。
Riesz means in Hardy spaces on Dirichlet groups
给定一个频率$λ=(λ_n)$，研究了当$\mathcal{H}_1$ - Dirichlet级数$\sum a_n e^{-λ_ns}$的几乎所有垂直极限在虚轴上几乎处处都是Riesz可和的.等价地，这意味着研究$H_1$ -函数的Fourier级数在所谓$λ$ -Dirichlet群上的几乎处处收敛，并且作为我们的主要技术工具，我们需要为这样的群发明一个弱型$(1, \infty)$ Hardy-Littlewood极大算子。应用于无限维环面上的$H_1$ -函数$\mathbb{T}^\infty$、普通狄利克雷级数$\sum a_n n^{-s}$，以及开右半平面上的有界函数和全纯函数，它们在每条垂直线上均匀几乎周期。
Almost everywhere convergence of spectral sums for self-adjoint operators
设$L$是作用在空间$L^2(X)$上的非负自伴算子，其中$X$是度量测度空间.令${ L}=\int_0^{\infty} λdE_{ L}(λ)$为${ L}$的谱分辨率，$S_R({ L})f=\int_0^R dE_{ L}(λ) f$表示根据${ L}$的分辨率的球面部分和。本文给出了$L$使得$$ \lim_{R\rightarrow \infty} S_R({ L})f(x) =f(x),\ \ {\rm a.e.} $$对任何$f$使得${\rm log } (2+L) f\in L^2(X)$ .这些结果适用于大类算子，包括光滑有界域上的Dirichlet算子，Hermite算子和具有平方反比势的Schrodinger算子。
A Probabilistic Generalization of the Mazur-Ulam Theorem
本文将马祖尔-乌拉姆定理泛化到概率空间，证明几乎处处保持距离的映射几乎处处与全局欧几里得等距映射一致。
Schrödinger means in higher dimensions
研究了薛定谔平均的极大估计和薛定谔平均序列的几乎处处收敛.
Differentiation theorems for BV functions of several variables, and applications
本文利用联合导数与联合单调性，将Lebesgue和Fubini微分定理推广至多变元BV函数，证明联合导数几乎处处存在且其L1范数受全变差控制，并处理收敛级数的逐项微分。
A note on the spaces of variable integrability and summability of Almeida and Hästö
我们解决一个开放的问题最近提出的阿尔梅达和Hästö在\cite{AlHa10}。他们定义的空间$\ellqp$的可变可积性和可求和性，并表明$\|\cdot|\ellqp\|$是一个规范，如果$q$是常数几乎无处不在或如果$\esssup_{x\in\R^n}1/p(x)+1/q(x)\le 1$。然而，自然的猜想（也用\cite{AlHa10}表示）是，如果$p(x),q(x)\ge 1$几乎处处成立，则该表达式是范数。证明了$\|\cdot|\ellqp\|$是一个范数，如果几乎所有的$x\in\R^n.$都有$1\le q(x)\le p(x)$.此外，我们构造了一个$p(x)$和$q(x)$的例子，其中对每个$x\in\R^n$都有$\min(p(x),q(x))\ge 1$，使得三角不等式对$\|\cdot|\ellqp\|$不成立.
Spectral Multipliers on 2-step Stratified Groups, I
给定一个不满足Moore-Wolf条件的$2$阶分层群，一个子Laplacian $\mathcal{L}$和一个$\mathcal{T}$族，我们研究了与$m(\mathcal{L}, -i \mathcal{T})$形式的算子相关的卷积核.在适当的条件下，证明了：i）若算子$m(\mathcal{L},-i \mathcal{T})$的卷积核属于$L^1$，则$m$几乎处处等于在$\infty$处为零的连续函数（“Riemann-Lebesgue引理”）; ii）若算子$m(\mathcal{L},-i\mathcal{T})$的卷积核是Schwartz函数，则$m$几乎处处等于Schwartz函数.
Convergence of Singular integrals with general measures
证明了度量空间中关于一般测度和核的L^2-有界奇异积分弱收敛.这意味着一种几乎处处几乎处处收敛的平均收敛。对于密度为零的测度，我们证明了几乎处处存在主值。
Almost everywhere convergence of Bochner-Riesz means for the Hermite type Laguerre expansions
本文研究 Hermite 型 Laguerre 展开的 Bochner-Riesz 平均的几乎处处收敛性，给出了收敛的充分条件 $\lambda>\lambda(p)/2$ 和必要条件 $\lambda<\lambda(p)/2$ 时收敛失败的例子。
A C^k Lusin Approximation Theorem For Real-Valued Functions on Carnot Groups
研究了Carnot群上实值可测函数的Lusin逼近问题。我们证明了几乎处处k-近似可微等价于$C^{k}_{\mathbb{G}}$映射的Lusin逼近。我们还证明了几乎处处存在一个近似（k-1）-Taylor多项式等价于在适当的Lipschitz函数空间中允许映射的Lusin逼近.
Prevalence: a translation-invariant ``almost every'' on infinite-dimensional spaces
我们提出了一个测量理论的条件，一个属性举行“几乎处处”的无限维向量空间，特别强调函数空间，如$C^k$和$L^p$。就像有限维空间中的“勒贝格几乎所有”概念一样，我们的“普遍性”概念也是平移不变的。而不是使用一个特定的措施，在整个空间，我们定义流行的类的所有概率测度紧支持。当人们希望得到函数空间上给定性质的概率结果时，普遍性是一个比"开放和稠密“或”一般“的拓扑概念更合适的条件。我们给出几个在普遍性意义上“几乎处处”成立的性质的例子。例如，我们证明了几乎所有$\reals^n$上的$C^1$映射都具有周期轨道都是双曲的性质。
Almost everywhere convergence of Bochner-Riesz means for the Hermite operators
设$H = -Δ+ |x|^2$是${\mathbb R}^n$中的Hermite算子。本文研究了由$S_R^λ(H)f(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \big(1-{2k+n\over R^2}\big)_+^λ P_k f(x).$定义的$H$的Bochner-Riesz平均的几乎处处收敛性，其中$P_k f$是第$k$次Hermite谱投影算子.对于$2\le p<\infty$，我们证明了$$ \lim\limits_{R\to \infty} S_R^λ(H) f=f \ \ \ \text{a.e.} $$的所有$f\in L^p(\mathbb R^n)$提供的$λ> λ(p)/2$和$λ(p)=\max\big\{ n\big({1/2}-{1/p}\big)-{1/ 2}, \, 0\big\}.$相反，我们还表明，如果$λ< λ(p)/2$在这个意义上，有一个$f\in L^p(\mathbb R^n)$的$2n/(n-1)\le p$，使收敛失败的收敛一般失败。这与a.e.形成了惊人的对比。Laplacian的经典Bochner-Riesz平均的收敛性。对于$n\geq 2$和$p\ge 2$，我们的结果表明，a.e. $S_R^λ(H)$的收敛性小到只有a.e.的临界指数的\emph{half}。经典Bochner-Ries…
On the differentiability of Lipschitz functions with respect to measures in the Euclidean space
Rademacher定理指出，欧几里得空间上的每个Lipschitz函数几乎处处可微，其中“几乎处处“指的是勒贝格测度。本文证明了一个相似类型的可微性结果，其中勒贝格测度被任意测度$μ$所代替.特别是，我们证明了Lipschitz函数在$μ$ -几乎每一点的可微性与$μ$的可求长一维测度的分解有关。因此，我们得到了可微的结果Lipschitz函数就（措施相关）$k$维正常电流，我们用它来扩展某些公式，涉及正常电流和地图类$C^1$ Lipschitz地图。
Rademacher's Theorem for Calderon-Zygmund-type Spaces
本文在Calderón-Zygmund型空间中建立了几乎处处的改进原理，证明了在特定条件下函数的正则性改进，并展示了结果的尖锐性。
About summability of Fourier-Laplace series
本文研究了与Laplace算子自伴扩张有关的展开式的几乎处处收敛性。得到了可和的充分条件。对于Riesz平均阶数大于临界指标$\frac{N-1}{2}$的情形，建立了Riesz平均极大算子的估计.注意当Riesz均值的阶数$α$小于临界指数时，为了建立几乎处处收敛性，需要使用其他方法来证明否定结果。利用单位球面上自伴Laplace-Beltrami算子的谱展开性质，构造了Laplace级数可和性的不同方法
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