Enhancement of near-cloaking. Part II: the Helmholtz equation
本文的目的是将改进隐身结构电导率的方法推广到散射问题。我们构建了非常有效的近隐身结构的散射问题在一个固定的频率。这些新结构在使用变换光学器件之前是分层结构，并且被设计成使得它们的第一散射系数消失。在隐身区域内，任何目标在某一频段的散射截面都接近于零。我们分析表明，我们的新建设显着提高了亥姆霍兹方程的隐身效果。
2011-10-10 math.AP
A backscattering model based on corrector theory of homogenization for the random Helmholtz equation
本文研究随机介质中波的传播问题。我们感兴趣的介质是海冰，它是纯冰背景和随机定位的盐水和空气夹杂物的复合物。从海冰层以上的源发出的脉冲，这项工作的主要目标是推导出一个模型的源/检测器位置处测量的后向散射信号。这个问题是困难的，因为在我们考虑的实际配置中，波以非垂直入射的方式撞击层。由于海冰被脉冲视为有效（均匀化）介质，因此能量被镜面反射，后向散射信号在一阶近似下消失。因此，在检测器处测量的内容包括对主阶项的校正，我们的工作重点是均匀化校正器。我们用一个随机Helmholtz方程来描述这种传播，并推导出在这种分层框架中的校正器的表达式。此外，我们得到了一个传输模型的二次量的随机波场在高频限制。
2018-05-08 math.AP
Existence and asymptotics of nonlinear Helmholtz eigenfunctions
本文证明了非线性Helmholtz方程\begin{equation*} (Δ- λ^2) u = N[u], \end{equation*}的一大类解的存在性和渐近展开式，其中$Δ= -\sum_j \partial^2_j$是$\mathbb{R}^n$上的Laplacian算子，其符号约定为正算子，$λ$是正实数，$N[u]$是$u$，$\overline{u}$和它们的二阶导数中次数为$\geq p$的单项式之和的非线性算子.买点$p \geq 2$具有$N[u]= \pm |u|^{p-1} u$的非线性亥姆霍兹本征函数首先由Gutiérrez考虑。这样的方程是感兴趣的部分原因是，对于某些非线性$N[u]$，他们提供驻波的非线性发展方程，也就是说，解决方案是时间谐波。证明了在$(p-1)(n-1)/2 > 2$和$k > (n-1)/2$的条件下，对每个范数足够小的$f \in H^{k+2}(\mathbb{S}^{n-1})$，对于某些$g \in H^{k}(\mathbb{S}^{n-1})$，存在形式为\begin{equation*} u(r, ω) = r^{-(n-1)/2} \Big( e^{-iλr} f(ω) + e^{+iλr} g(ω) + O(r^{-ε}) \Big), \text{ as } r \to \infty, \quad ε> 0…
2019-08-13 math.AP
Fully sign-changing Nehari constraint vs sign-changing solutions of a competitive Schrödinger system
Yunnan Normal University（云南师范大学）；Yunnan Research Center Of Modern Analysis And Partial Differential Equations（云南省现代分析与偏微分方程研究中心）
本文通过完全变号Nehari约束和Krasnosel'skii泛数，构造了竞争Schrödinger系统中能量递增的变号解，并证明其在极限系统中收敛。
2026-02-18 math.AP
Sign changing solution of the hardy-sobolev-maz'ya equation
本文研究了有界区域上具有临界增长的Hardy-Sobolev-Maz'ya（HSM）方程变号解的存在性、多重性和Morse指数。我们得到了HSM方程的无穷多个变号解。我们还建立了一个估计的Morse指数的符号变化的解决方案。
2014-09-15 math.AP
Uniqueness of sign-changing solutions to Trudinger's equation
University of Jyväskylä（于韦斯屈莱大学）；Norwegian University of Science and Technology（挪威科技大学）
研究Trudinger抛物方程在时间依赖C²边界数据下的sign-changing解唯一性问题，采用分析方法证明解的唯一性。
2026-04-02 math.AP
The semi-global isometric embedding of surfaces with curvature changing signs stably
通过求解Darboux方程，得到了任意有穷级变号高斯曲率抽象曲面的半整体等距嵌入.
2020-06-08 math.AP
Nontrivial solutions for periodic Schrödinger equations with sign-changing nonlinearities
利用一个新的无穷维连接定理，得到了一类具有变号非线性项的强不定周期薛定谔方程的非平凡解.
2014-06-18 math.AP
Classification of global and blow-up sign-changing solutions of a semilinear heat equation in the subcritical Fujita range II. Higher-order diffusion
研究了高阶半线性抛物型方程的两类变号解。
2012-10-12 math.AP
High energy sign-changing solutions to Schrödinger-Poisson type systems
本文证明了在有界区域中某些非线性项具有次临界或临界增长的Schrodinger-Poisson系统存在无穷多个高能变号解。我们的方法是变分的，并依赖于一个新的符号变化版本的对称山路定理的应用程序。
2015-01-23 math.AP
A sign-changing solution for the Schrödinger-Poisson equation
在$\mathbb{R}^3$中，通过极小化方法在包含方程所有变号解的闭子集中得到了一类Schrödinger-Poisson方程组的变号解的存在性结果.证明是基于变分方法与变形引理和米兰达定理。
2014-08-13 math.AP
Solutions for quasilinear fourth order elliptic equations on $\mathbb{R}^{N}$ with sign-changing potential
在变号位势的$\mathbb{R}^{N}$上得到了拟线性四阶椭圆型方程解的存在性和多解性结果.我们的结果推广了最近关于这个问题的一些结果。
2018-08-08 math.AP
Sign-changing solutions for a class of fractional Schrödinger equations with vanishing potentials
本文考虑一类势在无穷远处为零的分数阶薛定谔方程。利用极小化论证和定量变形引理，证明了变号解的存在性。
2017-07-04 math.AP
For most frequencies, strong trapping has a weak effect in frequency-domain scattering
众所周知，当几何形状和/或系数允许稳定的捕获射线时，亥姆霍兹方程（a.k.a.拉普拉斯算子的预解式）通过趋于无穷大的实频率序列呈指数增长。在本文中，我们表明，即使在存在的最强可能的陷阱，如果一组频率的任意小的措施被排除在外，亥姆霍兹解决方案运营商增长最多项式的频率趋于无穷大。这一结果的一个重要应用是在收敛性分析的几个数值方法求解Helmholtz方程在高频率是基于一个多项式增长假设的解决方案运营商（例如$hp$ -有限元，$hp$ -边界元，某些多尺度方法）。本文的结果表明，这一假设成立，即使在存在最强的可能的陷阱，对大多数频率。
2020-03-31 math.AP
Non-radial sign-changing solutions for the Schroedinger-Poisson problem in the semiclassical limit
研究了N ≥ 3维Schroedinger-Poisson方程组非径向变号解的存在性。我们构造了非径向变号多峰解，其峰在适当的对称配置中位移并坍缩到同一点。证明是基于Lyapunov-Schmidt约化。
2015-06-30 math.AP
Sign changing solutions of the Brezis-Nirenberg problem in the Hyperbolic space
本文研究了双曲空间中Brezis-Nirenberg型问题变号解的存在性和不存在性。我们还将建立解的精确渐近估计和解的紧性。
2012-09-25 math.AP
Multiplicity of Positive Solutions of P-Laplacian Systems With Sign-Changing Weight Functions
本文研究了具有变号权函数的p-Laplacian系统正解的多重性.利用Nehari流形的分解，证明了椭圆型方程组至少有两个正解.
2013-12-25 math.AP
Soliton solutions for coupled Schrodinger systems with sign-changing potential
本文考虑一类具有变号位势的非线性薛定谔方程组的耦合系统，包括线性耦合情况。在巴拿赫空间中利用锥的连接方法证明了非平凡束缚态解的存在性。
2010-11-24 math.AP
Nondegeneracy of nonradial sign-changing solutions to the nonlinear Schrödinger equations
我们证明了由Musso，Pacard和Wei构造的非线性薛定谔方程\begin{equation*} Δu-u+|u|^{p-1}u=0 \mbox{ in }\R^N, \quad u \in H^1 (\R^N ) \end{equation*}的非径向变号解是非退化的.这为上述非线性薛定谔方程的有限能量非退化变号解提供了第一个例子。
2015-05-27 math.AP
Energy bounds of sign-changing solutions to Yamabe equations on manifolds with boundary
研究了欧氏半空间中的Yamabe方程。我们证明，任何符号变化的解决方案至少有两倍的能量的标准泡沫。利用移动平面的方法，得到了变号解集的一个更精确的能量下界。该界扩大了相关变分问题的Palais-Smale序列具有非平凡弱极限的能量范围。
2022-05-13 math.AP
Least energy sign-changing solutions for asymptotically cubic Kirchhoff equations on locally finite graphs
Kunming University of Science and Technology（昆明理工大学）
本文在局部有限图上证明了一类渐近三次基尔霍夫方程最小能量变号解与基态解的存在性，并指出变号解最小能量严格大于基态能量的两倍。
2026-09-14 math.AP
Least energy sign-changing solution of fractional $p$-Laplacian problems involving singularities
本文利用Nehari流形方法、约束变分方法和Brouwer度理论研究了涉及奇异性的非局部椭圆偏微分方程最小能量变号解的存在性。
2019-06-05 math.AP
The maximum principle and sign changing solutions of the hyperbolic equation with the Higgs potential
本文讨论了线性方程的最大值原理和含Higgs势的半线性方程的变号解。数值模拟表明，deSitter时空中的半线性Klein-Gordon方程的泡是产生的，并且似乎一直存在.
2018-01-27 math.AP
New sign-changing solutions for the 2D Lane-Emden problem with large exponents
本文针对大指数二维 Lane-Emden 问题，构造了一族呈交替变号气泡塔形态的新型变号解，各气泡对应全平面上不同的奇异 Liouville 方程。
2023-12-12 math.AP
Infinitely many sign-changing solutions for the nonlinear Schrödinger-Poisson system
我们研究了多重束缚态解的存在性，特别是变号解。利用下降流不变集的方法，证明了该系统存在无穷多个变号解。特别是，非线性项包括幂型非线性$f(u)=|u|^{p-2}u$的研究情况$p\in(4,6)$，和较少研究的情况$p\in(3,4)$，对于后者的情况下，很少有存在性的结果是在文献中。
2014-08-28 math.AP
Minimax solutions for a problem with sign changing nonlinearity and lack of strict convexity
利用非光滑泛函的临界点定理证明了非负非平凡解的存在性。所考虑的方程提出了一个凸的部分和一个非线性的改变符号。
2013-10-25 math.AP
Existence of sign-changing solution for a problem involving the fractional Laplacian with critical growth nonlinearities
研究了分数阶方程$(-Δ)^{s} u=|u|^{2_{s}^{*}-2}u+λf(x,u)$在光滑有界区域$Ω$ of $\mathbb{R}^{N},$ $u=0$ in $\mathbb{R}^{N}\setminus Ω$中最小能量变号解的存在性，其中$s\in (0,1)$和$2_{s}^{*}$是分数阶临界Sobolev指数.证明基于Nehari流形的一个子集上的约束极小化，包含方程的所有可能的变号解。
2018-03-29 math.AP
Uniqueness and nondegeneracy of sign-changing radial solutions to an almost critical elliptic problem
研究了半线性椭圆型方程\begin{align*} Δu-u+|u|^{p-1}u=0\quad{\rm{in}}\ \mathbb{R}^N,\quad u\in H^1(\mathbb{R}^N), \end{align*}的变号径向解，其中$1<p<\frac{N+2}{N-2}$，$N\geq3$ .众所周知，该方程存在唯一的正径向解和具有精确$k$节点的变号径向解。本文证明了当$p$接近于$\frac{N+2}{N-2}$时，这种变号径向解也是唯一的。此外，这些解是非退化的，即，线性化算子的核恰好是$N$维的。
2015-10-15 math.AP
Sign-changing solutions to elliptic second order equations: glueing a peak to a degenerate critical manifold
通过将一个标准泡粘在一个退化函数上，构造了一类非线性临界方程的变号爆破解。我们开发了一种基于解析性的方法来执行胶合时的临界流形的解决方案是退化的，没有Bianchi-Egnell型条件成立。
2014-10-13 math.AP
Existence and blow up of small-amplitude nonlinear waves with a sign-changing potential
研究了任意维空间中具有变号位势的非线性波动方程。如果势很小且衰减很快，则小振幅解的存在性是由非线性项驱动的。然而，如果势导致线性化问题的增长，那么开始时很小的解可能会在有限时间内爆破。
2005-03-09 math.AP
The Nehari manifold for fractional p-Laplacian system involving concave-convex nonlinearities and sign-changing weight functions
本文研究了一类在有界区域上具有变号权函数的具有凹凸非线性项的分数阶p-Laplacian系统。借助于Nehari流形，我们证明了当参数对$(λ,μ)$属于$\mathbb{R}^{n}$的某个子集时，系统至少有两个非平凡解
2017-11-17 math.AP
Vanishing properties of sign changing solutions to p-Laplace type equations in the plane
本文研究了p-Laplacian的非线性本征值问题，以及更一般的构成Fucik谱的问题。我们感兴趣的是这些问题的变号解的消失性质。我们的方法在平面上是适用的。
2012-09-14 math.AP
Positive and sign-changing clusters around saddle points of the potential for nonlinear elliptic problems
研究了一类定常非线性Schroedinger方程正的变号多峰解的存在性。这里假设$V$上没有对称性。已知该方程具有正的多峰解，其中所有峰都接近电势的局部极大值。证明了在极小值的情况下，存在正负尖峰交替的解。本文的目的是证明在外部势的非退化鞍点附近正的和变号的多峰解的存在性。
2009-07-03 math.AP
A sign-changing Liouville Equation
研究了一类变号权的Liouville方程初边值问题的周期解。一个表示公式推导出奇异和非奇异边界数据，包括数据产生的分数线性映射。在奇异边界数据的情况下，我们研究了诱导奇异性对解的内部正则性的影响。正则性准则也发现了一个广义形式的方程。
2014-10-03 math.AP
An upper bound for the least energy of a sign-changing solution to a zero mass problem
给出了非线性标量场方程$$-Δu = f(u), \qquad u\in D^{1,2}(\mathbb{R}^{N}),$$变号解的最小能量的一个上界，其中$N\geq5$和非线性项$f$在无穷远处是亚临界的，在原点附近是超临界的.更准确地说，我们建立了一个非径向的符号变化的解决方案，其能量小于$12c_0$，如果$N=5,6$和小于$10c_0$，如果$N\geq 7$，其中$c_0$是基态能量的存在。
2022-09-21 math.AP
On an anisotropic double phase problem with singular and sign changing nonlinearity
本文研究了具有奇异项和变号项的各向异性亚临界和临界非线性双相问题。借助于著名的Nehari流形技巧，我们建立了在亚临界情形下至少存在两个相反符号的能量解，在临界情形下至少存在一个负能量解.在临界情况下的结果甚至是新的经典$p$ -拉普拉斯的情况下。
2022-02-28 math.AP
A Fibering Map Approach for a Laplacian System With Sign-Changing Weight Function
证明了Laplacian方程组（E？）利用Nehari流形和与系统的Euler泛函相联系的映射，在有界区域上得到了一个新的结果。
2014-01-02 math.AP
Ground state sign-changing solutions for a class of nonlinear fractional Schrödinger-Poisson system in $\mathbb{R}^{3}$
本文研究了如下分数阶Schr dinger-Poisson方程组：\begin{align*} \left\{ \begin{aligned} &(-Δ)^{s} u+V(x)u+λϕ(x)u=f(x, u),\quad &\text{in}\, \ \mathbb{R}^{3},\\ &(-Δ)^{t}ϕ=u^{2},& \text{in}\,\ \mathbb{R}^{3}, \end{aligned} \right. \end{align*}，其中$λ\in \mathbb{R}^{+}$是参数，$s, t\in (0, 1)$和$4s+2t>3$，$(-Δ)^{s}$代表分数阶Laplacian.利用约束变分方法和定量变形引理，证明了上述问题存在一个最小能量变号解。此外，对于任何$λ>0$，我们表明，最小能量符号变化的解决方案的能量是严格大于基态能量的两倍。最后，我们将$λ$作为参数，研究了最小能量变号解作为$λ\searrow 0$的收敛性。
2017-03-10 math.AP
Determining a fractional Helmholtz system with unknown source and medium parameter
我们关心的是分数亥姆霍兹系统，从研究中产生的粘声物理学和热粘性建模的有耗介质的反问题。我们特别感兴趣的情况下，介质参数和波动方程的内部源是未知的。此外，我们考虑了一类可以是频率依赖的源函数。我们建立了几个一般的唯一性结果，同时恢复介质参数和内部源相应的外部测量。与此形成鲜明对比的是，这些独特的确定结果是未知的，在当地的情况下，这将是显着的重要性，在热和光声层析成像。
2018-03-26 math-ph math.AP math.MP
Ground state sign-changing homoclinic solutions for a discrete nonlinear $p$-Laplacian equation with logarithmic nonlinearity
本文通过直接非Nehari流形方法，证明了一类带对数非线性项的离散非线性$p$-Laplacian方程存在仅变号一次的基态变号同宿解和基态同宿解，并指出变号基态能量大于基态能量的两倍。
2023-11-15 math.AP
Multiple sign-changing solutions to a class of Kirchhoff type problems
本文研究了一类非局部Kirchhoff型问题变号解的存在性，其形式为\begin{equation}\label{s}\tag{S} -\Big(a+b\int_Ω|\nabla u|^2dx\Big)Δu=f(x,u)\, \text{ in }Ω,\quad\quad u=0 \text{ on }\partialΩ, \end{equation}，其中$Ω$是$\mathbb{R}^N$（$N=1,2,3$）中具有光滑边界的有界区域，$a>0$，$b>0$，$f:\overlineΩ\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$是连续函数.我们给出了一个肯定的答案长期存在的问题，关于存在两个以上的符号变化的解决方案\eqref{s}。更准确地说，我们在本文中，如果$f$是全球3-超线性，次临界和奇的第二个变量，那么\eqref{s}具有一个无界序列的符号变化的解决方案。我们的方法是变分的，并依赖于一个新的符号变化版本的对称山路定理建立在本文中。
2016-03-05 math.AP
Compactness, existence and multiplicity for the singular mean field problem with sign-changing potentials
本文考虑了具有锥奇点的紧致曲面上的平均场问题。这个问题出现在几何学中的高斯曲率处方问题中，也出现在物理学中的电弱理论和阿贝尔陈-西蒙斯-希格斯模型中。本文主要讨论变号位势的情形，给出了解的紧性、存在性和多解性的结果。
2017-07-20 math.AP
Positive or sign-changing solutions for a critical semilinear nonlocal equation
我们考虑以下涉及分数拉普拉斯方程的临界半线性非局部方程$$ (-Δ)^su=K(|x|)|u|^{2^*_s-2}u,\ \ \hbox{in}\ \ \mathbb{R}^N, $$，其中$K(|x|)$是正径向函数、$N>2+2s$、$0<s<1$和$2^*_s=\frac{2N}{N-2s}$。在$K(x)$在极值点的渐近假设下，证明了该问题有无穷多个非径向正解或变号解。
2015-11-21 math.AP
Nodal solutions with synchronous sign changing components and Constant sign solutions for singular Gierer-Meinhardt type system
本文研究了奇异Gierer-Meinhardt型系统，通过结合上下解法与Leray-Schauder拓扑度证明了三个解的存在性，包括两个定号解和一个同步变号结点解。
2023-06-29 math.AP
Signed and sign-changing solutions for a class Kirchhoff-type problem involving the fractional p-Laplacian with critical Hardy nonlinearity
本文研究了一类具有Sobolev和Hardy非线性项的非局部分数p-Laplacian算子的Kirchhoff方程在亚临界和临界增长下三个解的存在性.证明是基于山路定理、Ekeland变分原理和Nehari集上的约束极小化。
2018-11-23 math.AP
Ground state sign-changing solutions for Kirchhoff-type equations with logarithmic nonlinearity on locally finite graphs
本文在局部有限图上利用直接非Nehari流形方法，证明了一类带对数非线性项的Kirchhoff型方程基态变号解与基态解的存在性，并得到变号基态能量大于基态能量两倍的结论。
2024-01-15 math.AP
Sign-changing blowing-up solutions for supercritical Bahri-Coron's problem
设$Ω$是$\R^n$，$n\ge 3$中的有界区域，具有光滑边界$\partialΩ$和一个小孔.我们给出了非线性椭圆问题$$ -Δu=|u|^{{n+2\over n-2} +\ve -1 } u \, \, \mbox{ in } Ω, \quad \quad u=0 \mbox{ on } \partial Ω, $$的变号{ \it冒泡}解的第一个例子，其中$\ve$是一个小的正参数。构造中的基本单元是临界Yamabe问题$$ -Δw = |w|^{\frac{4}{n-2}} w, \ \ w \in {\mathcal D}^{1,2} (\R^n) $$的变号节点解，该问题具有大量（$3n$）核。
2015-02-05 math.AP
Sign-changing self-similar solutions of the nonlinear heat equation with positive initial value
本文考虑${\mathbb R}^N$上的非线性热方程$u_t - Δu = |u|^αu$，其中$α>0$和$N\ge 1$ .证明了在$0 < α<\frac {4} {N-2}$范围内，对每个$μ>0$，初值为$u_0 (x)= μ|x|^{-\frac {2} {α}}$的Cauchy问题存在无穷多个变号自相似解.该构造是基于对相关反演剖面方程的分析。特别是，我们构造（符号变化）自相似的解决方案，它是已知的，不存在任何本地的，非负的解决方案。
2020-05-28 math.AP
Infinitely many sign-changing solutions for a class of elliptic problem with exponential critical growth
在这项工作中，我们证明了存在无穷多个非径向的解决方案，改变信号的问题$-Δu=f(u)$在$B$与$u=0$对$\partial B$，其中$B$是单位球在$\mathbb{R}^2$和$f$是一个连续的和奇函数的指数临界增长。
2015-03-31 math.AP
On the optimality of shifted Laplacian in the class of expansion preconditioners for the Helmholtz equation
University of Antwerp（安特卫普大学）
本文研究了扩张预置器EX(m)在亥姆霍兹问题中的最优性，指出EX(1)预置器在计算效率上最优，同时探讨了扩展预置器的改进方向。
2016-12-23 cs.NA math.AP math.NA
Wavenumber-explicit convergence of the $hp$-FEM for the full-space heterogeneous Helmholtz equation with smooth coefficients
在论文[Melenk-Sauter，2010]、[Melenk-Sauter，2011]、[Esterhazy-Melenk，2012]、[Melenk-Parsania-Sauter，2013]中率先提出了应用于各种常系数亥姆霍兹问题的$hp$-FEM的收敛理论。这一理论表明，如果解算子在波数$k$中多项式有界，则Galerkin方法是拟最优的，只要$hk/p \leq C_1$和$p\geq C_2 \log k$满足，其中$C_1$充分小，$C_2$充分大，且两者都独立于$k,h,$和$p$ .该结果的意义在于，如果$hk/p= C_1$和$p=C_2\log k$，则通过与$k^d$成比例的自由度总数实现准最优性;即，$hp$-FEM不受污染影响。本文证明了$\mathbb{R}^d$，$d=2,3$中提出的变系数非均匀Helmholtz方程在无穷远处的Sommerfeld辐射条件和$C^\infty$系数下的类似拟最优性结果.我们还证明了在特定情况下的平面波散射问题的Galerkin解决方案的相对误差的一个界。这是有史以来第一个结果的波数显式收敛的$hp$-FEM的Helmholtz方程的变系数。
2022-03-05 cs.NA math.AP math.NA
Sign-changing solutions of variational inequality
本文针对变分不等式的变号解存在性问题，结合惩罚方法与下降流不变集方法，首次基于该方法证明了变分不等式变号解的存在性，拓展了变分不等式解的存在性研究结果。
2024-04-15 math.AP math.FA
Sign-changing solutions for a Yamabe type problem
University Mustapha Stambouli of Mascara（马斯卡拉穆斯塔法·斯坦布利大学）
本文研究了Yamabe类型问题中变号解的存在性，通过几何条件确保了临界椭圆方程解的存在。
2026-03-08 math.AP math.DG
Sign-changing blow-up for the Yamabe equation at the lowest energy level
研究正Yamabe型黎曼流形$(M,g)$上Yamabe方程变号解序列的爆破行为.对于每一个维度$n\ge11$，我们描述了发生爆破的最小能量阈值的值。在尺寸$11 \le n \le 24$，其中的正解集是紧凑的，我们表明，一组的符号变化的解决方案是不紧凑的，爆破已经发生在尽可能低的能量水平。我们通过在空间型$\mathbb{S}^n/Γ$，$Γ\neq \{1\}$上构造一个光滑的，非局部共形平坦的度量证明了这个结果，其中Yamabe方程存在一族变号爆破解.作为这个结果的对应，我们也证明了一个尖锐的紧凑性结果的符号变化的解决方案在最低的能量水平，在小尺寸或强几何假设。
2022-06-17 math.AP math.DG
