A Fibering Map Approach for a Laplacian System With Sign-Changing Weight Function
Seyyed Sadegh Kazemipoor, Mahboobeh Zakeri
证明了Laplacian方程组（E？）利用Nehari流形和与系统的Euler泛函相联系的映射，在有界区域上得到了一个新的结果。
We prove the existence of at least two positive solutions for the Laplacian system(E?)On a bounded region by using the Nehari manifold and the fibering maps associated with the Euler functional for the system.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A Laplacian System With Sign-Changing Weight Function
本文通过Nehari流形和纤维映射方法，证明了具有变号权函数的拉普拉斯系统在有界区域内存在至少一个正解。
Existence and Multiplicity of Positive Solutions for Quasilinear Elliptic Systems Involving the P-Laplacian
研究了一类椭圆型方程组解的存在性和多解性，其中RN是一个有界光滑区域。在Nehari流形上利用映射和提取Palais-Smale序列，证明了至少两个不同的非平凡非负解的存在性.
Local minimizers over the Nehari manifold for a class of concave-convex problems with sign changing nonlinearity
研究了一类含有参数$λ$和带变号权的凹凸非线性项的$p$ -Laplacian方程.本文利用Nehari流形和Dirichering方法，证明了在某个区间$(0,λ^*+\varepsilon)$上两个正解的存在性，其中$λ^*$可被变分刻画.我们还研究了当$λ\downarrow 0$ .
Existence of solutions for a poly-Laplacian system involving concave-convex nonlinearity on locally finite graphs
本文研究局部有限图上带凹凸非线性项的poly-Laplacian系统，利用山路定理和Ekeland变分原理证明存在正负能量的非平凡解，并借助纤维方法获得基态解，给出参数范围。
Multiplicity of Positive Solutions of P-Laplacian Systems With Sign-Changing Weight Functions
本文研究了具有变号权函数的p-Laplacian系统正解的多重性.利用Nehari流形的分解，证明了椭圆型方程组至少有两个正解.
Existence, multiplicity and regularity for a Schrödinger equation with magnetic potential involving sign-changing weight function
本文考虑一类椭圆型问题$$- Δ_A u + u = a_λ(x) |u|^{q-2}u+b_μ(x) |u|^{p-2}u ,\,\, x\in \mathbb{R}^N$$，其中$1<q<2<p<2^*-1= \frac{N+2}{N-2}$，$a_λ(x)$是变号权函数，$b_μ(x)$有一定的渐近条件，$u \in H^1_A(\mathbb{R}^N)$和$A:\mathbb{R}^N \rightarrow\mathbb{R}^N$是磁势.通过探讨Nehari流形与映射的关系，我们将讨论解的存在性、多重性和正则性。
The Nehari manifold for fractional p-Laplacian system involving concave-convex nonlinearities and sign-changing weight functions
本文研究了一类在有界区域上具有变号权函数的具有凹凸非线性项的分数阶p-Laplacian系统。借助于Nehari流形，我们证明了当参数对$(λ,μ)$属于$\mathbb{R}^{n}$的某个子集时，系统至少有两个非平凡解
Infinitely many non-radial sign-changing solutions for a Fractional Laplacian equation with critical nonlinearity
本文研究了具有纯临界非线性项的分数阶Laplacian问题\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} (-Δ)^{s} u=|u|^{\frac{4s}{N-2s}}u, &\mbox{in}\ \mathbb{R}^N, \\ u\in \mathcal{D}^{s,2}(\mathbb{R}^N), \end{array} \right. \end{equation*}，其中$s\in (0,1)$，$N$是正整数，$N\geq 3$，$(-Δ)^{s}$是分数阶Laplacian算子.我们将证明这个问题有无穷多个非径向变号解。
Least energy sign-changing solution of fractional $p$-Laplacian problems involving singularities
本文利用Nehari流形方法、约束变分方法和Brouwer度理论研究了涉及奇异性的非局部椭圆偏微分方程最小能量变号解的存在性。
Signed and sign-changing solutions for a class Kirchhoff-type problem involving the fractional p-Laplacian with critical Hardy nonlinearity
本文研究了一类具有Sobolev和Hardy非线性项的非局部分数p-Laplacian算子的Kirchhoff方程在亚临界和临界增长下三个解的存在性.证明是基于山路定理、Ekeland变分原理和Nehari集上的约束极小化。
Nontrival solution for nonlinear p(x)-Laplacian Dirichlet problem with the sign-changing weight
本文研究了具有非光滑位势的p（x）-Laplacian算子的非线性椭圆问题，其中权函数可以变号.利用Chang关于局部Lipschitz泛函的临界点理论，得到了问题解的存在性条件.
Sign-changing solutions for the stationary Kirchhoff problems involving the fractional Laplacian in \mathcal{R}^N
本文研究了一类含分数阶Laplacian算子的Kirchhoff型问题的最小能量变号解的存在性。利用约束变分方法和定量变形引理，我们得到了给定问题的最小能量节块解ub。此外，我们还证明了ub的能量严格大于基态能量的两倍。当b为参数时，我们还给出了u_b在b趋于0时的收敛性质。
Ground state sign-changing homoclinic solutions for a discrete nonlinear $p$-Laplacian equation with logarithmic nonlinearity
本文通过直接非Nehari流形方法，证明了一类带对数非线性项的离散非线性$p$-Laplacian方程存在仅变号一次的基态变号同宿解和基态同宿解，并指出变号基态能量大于基态能量的两倍。
Existence of sign-changing solution for a problem involving the fractional Laplacian with critical growth nonlinearities
研究了分数阶方程$(-Δ)^{s} u=|u|^{2_{s}^{*}-2}u+λf(x,u)$在光滑有界区域$Ω$ of $\mathbb{R}^{N},$ $u=0$ in $\mathbb{R}^{N}\setminus Ω$中最小能量变号解的存在性，其中$s\in (0,1)$和$2_{s}^{*}$是分数阶临界Sobolev指数.证明基于Nehari流形的一个子集上的约束极小化，包含方程的所有可能的变号解。
Multiple solutions for a fractional $p$-Laplacian equation with sign-changing potential
利用喷泉定理的一个变形证明了如下分数阶p-Laplace方程（-Δ）^{s}_{p}u+V（x）|u| ^{p-2}u=f（x，u）在R^N中存在无穷多个弱解，其中$s \in (0,1)$，$ p \geq 2$，$ N \geq 2$，$(-Δ)^{s}_{p}$是分数阶$p$ -Laplace算子，非线性f在无穷远处是$p$ -超线性的，并且允许电势V（x）改变符号。
Infinitely many sign-changing solutions for the nonlinear Schrödinger-Poisson system with $p$-Laplacian
本文考虑了具有$p$ -Laplacian \begin{equation} \begin{cases} -Δ_{p}u+V(x)|u|^{p-2}u+ϕ|u|^{p-2}u=f(u)\qquad&x\in\mathbb{R}^{3},\newline -Δϕ=|u|^{p}&x\in\mathbb{R}^{3}. \end{cases}\notag \end{equation}的Schrödinger-Poisson方程组，研究了其多个变号解的存在性.利用下降流不变集的方法，证明了该系统存在无穷多个变号解。该系统是由$p$ -拉普拉斯方程的薛定谔方程与一个泊松方程耦合而成的新系统。我们的结果补充了Zhaoli Liu，Zhiqiang Wang，Jianjun Zhang的研究（Annali di Matematica Pura ed Appliata，195（3）：775-794（2016））。
A Liouville theorem for the $p$-Laplacian and related questions
证明了有界和无界区域上$p$ -Laplacian问题的几个分类结果，并讨论了$\mathbb R^N$上含临界非线性的$p$ -Laplacian方程变号解的定性性质.此外，在径向域上，我们证明了可能变号的Palais-Smale序列的紧性。
Regularity and multiplicity results for fractional $(p,q)$-Laplacian equations
本文研究非线性双非局部方程：\begin{equation*} (-Δ)^{s_1}_{p}u+\ba(-Δ)^{s_2}_{q}u = \la a(x)|u|^{δ-2}u+ b(x)|u|^{r-2} u,\; \text{ in }\; \Om, \; u=0 \text{ on } \mathbb{R}^n\setminus \Om, \end{equation*}其中$\Om$是$\mathbb{R}^n$中的有界区域，具有光滑边界，$1< \de \le q\leq p<r \leq p^{*}_{s_1}$，其中$p^{*}_{s_1}=\ds \frac{np}{n-ps_1}$，$0<s_2 < s_1<1$，$n> p s_1$和$\la, \ba>0$是参数.这里，$a\in L^{\frac{r}{r-\de}}(\Om)$和$b\in L^{\infty}(\Om)$是符号改变函数。在次临界情形$(r<p_{s_1}^*).$下，证明了上述问题弱解的$L^\infty$估计、弱Harnack不等式和内Hölder正则性.同时，通过分析映射和极小化Nehari流形的适当子集上的能量泛函，证明了上述凹凸问题弱解的存在性和多重性.在$\de=q$的情况下，我们证明了解的存在性。
On the Structure of the Solution Set of a Sign Changing Perturbation of the p-Laplacian under Dirichlet Boundary Condition
在最近的一篇论文D。D. Hai证明了方程$ -Δ_{p} u = λf(u) \mbox{in} Ω$，在Dirichlet边界条件下，其中$Ω\subset {\bf R^N}$是具有光滑边界$\partialΩ$的有界区域，$Δ_{p}$是p-Laplacian算子，$f : (0,\infty) \rightarrow {\bf R} $是一个连续函数，它可以在原点爆破到$\pm \infty$，如果$λ> λ_0$有解，如果$0 < λ< λ_0$无解.本文证明了上述方程的解集$\mathcal{S}$实际上存在一个正解连续统，根据海的结果，该解集不是空的。
Unilateral global bifurcation and nodal solutions for the $p$-Laplacian with sign-changing weight
本文建立了一类变号权拟线性椭圆型方程的Dancer型单边全局分支结果。在扰动函数的某些自然假设下，我们证明了$(μ_k^ν(p),0)$是上述问题的一个分歧点，并且存在两个不同的无界连续统$(\mathcal{C}_{k}^ν)^+$和$(\mathcal{C}_{k}^ν)^-$，它们由$(μ_k^ν(p), 0)$的分歧分支$\mathcal{C}_{k}^ν$组成，其中$μ_k^ν(p)$是与上述问题对应的线性问题$ν\in\{+,-\}$的第$k$个正或负特征值.作为上述单侧全局分歧结果的应用，我们研究了一类变号权拟线性椭圆型方程节点解的存在性。此外，基于Drábek和Huang（1997）[ \ref{DH} ]的分歧结果，我们研究了一类变号权的高维拟线性椭圆型问题的单符号解的存在性.
A Nehari manifold for non-local elliptic operator with concave-convex non-linearities and sign-changing weight function
本文研究了下列$p$ -分数阶方程：$$ \quad \left\{\begin{array}{lr}\ds \quad - 2\int_{\mb R^n}\frac{|u(y)-u(x)|^{p-2}(u(y)-u(x))}{|x-y|^{n+p\al}} dxdy = \la h(x)|u|^{q-1}u+ b(x)|u|^{r-1} u \; \text{in}\; \Om \quad \quad \quad \quad u \geq 0 \; \mbox{in}\; \Om,\quad u\in W^{\al,p}(\mb R^n), \quad \quad\quad \quad\quad u =0\quad\quad \text{on} \quad \mb R^n\setminus \Om \end{array} \right. $$其中$\Om$是$\mb R^n$中的有界区域，$p\geq 2$，$n> p\al$，$\al\in(0,1)$，$0< q<p-1 <r < \frac{np}{n-ps}-1$，$\la>0$和$h$，$b$是变号光滑函数.我们利用映射在Nehari流形的适当子集上通过极小化证明了解的存在性。我们发现存在$\la_0$使得对于$\la\in (0,\la_0)$，它至少有两个解.
On Hopf's Lemma for sign-changing supersolutions to fractional Laplacian equations
本文研究了分数拉普拉斯方程中变号超解的霍普夫引理有效性，通过扩展方法将其与边界点的霍普夫引理联系起来，并改进了最近关于二元性结果的分析。
Maximum principle and one-sign solutions for the elliptic $p$-Laplacian
在本文中，我们证明了一个最大值原理的$p$ -Laplacian与一个符号变化的重量。作为这个最大值原理的应用，我们研究了一类拟线性椭圆型方程单符号解的存在性。
Existence of Nontrivial Solutions for p-Laplacian Equations in {R}^{N}
本文考虑{R}^{N}中具有变号势和亚临界p-超线性非线性项的p-Laplacian方程.利用Degiovanni和Lancelotti在2007年提出的锥的上同调连接方法，得到了一个存在性结果。我们还给出了一维$p$ -Laplacian方程周期解的存在性的一个结果，该结果可以用同样的方法得到证明.
Properties of fractional p-Laplace equations with sign-changing potential
本文研究受De Giorgi猜想启发的带变号势分数阶p-Laplacian方程，分别用移动平面法和滑动法证明有界域解的径向对称性与无界域解的方向性单调递增，揭示其性质差异源于算子的非局部性。
Superlinear fractional $Φ$-Laplacian type problems via the nonlinear Rayleigh quotient with two parameters
本文针对带符号不定非线性的分数阶 $Φ$-Laplacian 非局部椭圆问题，利用非线性 Rayleigh 商和纤维映射分析确定 Nehari 方法适用的参数精确范围，并研究弱解在参数极限下的渐近行为。
Multiple Positive Solutions for a Class of Nonlinear Elliptic Eigenvalue Problems with a Sign-Changing Nonlinearity
2009年Loc和Schmitt建立了一类p-Laplace算子在Dirichlet边界条件下的非线性本征值问题解的多重性的充分条件，推广了Peter Hess在1981年关于Laplacian算子的结果。并建立了存在的必要条件。本文将Loc和Schmitt的主要结果推广到$Φ$ -Laplacian上.为了克服困难，这更一般的运营商有必要采用规律性的结果利伯曼，一个强最大值原理的普奇和Serrin和一般结果的上下解乐。
Optimization results for the higher eigenvalues of the $p$-Laplacian associated with sign-changing capacitary measures
本文证明了有限测度盒中包含的固定测度的$p$ -拟开集中，$p$ -拉普拉斯算子的$k$阶变分特征值的极小化的最优集的存在性.对于与薛定谔势相关的$p$ -Laplacian算子的本征值，得到了类似的存在性结果。为了处理这些非线性形状最优化问题，我们开发了一种通用的方法，它允许处理连续依赖的特征值的$p$ -拉普拉斯算子与符号变化的电容措施下$γ$收敛。
An existence and uniqueness result to evolution equations with sign-changing pseudo-differential operators and its applications to logarithmic Laplacian operators and second-order differential operators without ellipticity
本文通过扩展 Fourier 变换定义域构建新弱形式，解决了带变号伪微分算子的发展方程的存在与唯一性问题，并应用于对数 Laplace 算子和无椭圆性的二阶微分算子。
Entire nodal solutions to the pure critical exponent problem for the $p$-Laplacian
本文证明了拟线性临界问题$N\geq4$的多个变号解的存在性，其中$Δ_{p}u:=\mathrm{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$是$p$ -Laplace算子，$1<p<N$和$p^*:=\frac{Np}{N-p}$是临界Sobolev指数
Vanishing properties of sign changing solutions to p-Laplace type equations in the plane
本文研究了p-Laplacian的非线性本征值问题，以及更一般的构成Fucik谱的问题。我们感兴趣的是这些问题的变号解的消失性质。我们的方法在平面上是适用的。
On the pure critical exponent problem for the $p$-Laplacian
本文证明了具有非平凡拓扑和离散对称的有界区域上具有Dirichlet边界条件的$p$ -Laplacian算子的纯临界指数问题正解和变号解的存在性和多解性.与$p=2$案件有关的开创性工作是H。Brezis和L.尼伦伯格[4]，J.- M. Coron [10]和A. Bahri和J. - M. Coron [3].在对称性存在的情况下，给出了Palais-Smale序列的整体紧性分析.
On a $(p,q)$-Laplacian problem with parametric concave term and asymmetric perturbation
研究了由$(p,q)$ -Laplace算子和带正参数的非对称凹反应驱动的狄利克雷问题.四个非平凡光滑的解决方案（两个积极的，一个消极的，其余的节点），一旦参数变得足够小。在扰动原点附近的奇性条件下，产生了一个收敛于零的变号解序列。
Maximal existence domains of positive solutions for two-parametric systems of elliptic equations
本文研究了具有不定非线性项和$p, q$ -Laplacian算子的方程组的两参数Dirichlet问题。在参数平面$λ\times μ$上引入了连续单调曲线$Γ_f$和$Γ_e$，它们是弱正解存在的最大域的下界和上界. $Γ_f$曲线是在我们以前的工作\cite{BobkovIlyasov}的基础上得到的，它确定了Nehari流形和离散方法的最大适用域。通过扩展泛函方法的极小极大变分原理，显式地导出了曲线$Γ_e$。
Positive or sign-changing solutions for a critical semilinear nonlocal equation
我们考虑以下涉及分数拉普拉斯方程的临界半线性非局部方程$$ (-Δ)^su=K(|x|)|u|^{2^*_s-2}u,\ \ \hbox{in}\ \ \mathbb{R}^N, $$，其中$K(|x|)$是正径向函数、$N>2+2s$、$0<s<1$和$2^*_s=\frac{2N}{N-2s}$。在$K(x)$在极值点的渐近假设下，证明了该问题有无穷多个非径向正解或变号解。
Hopf's lemmas and boundary behaviour of solutions to the fractional Laplacian in Orlicz-Sobolev spaces
本文在Orlicz-Sobolev空间框架下，将Hopf边界引理推广到分数阶$a-$拉普拉斯算子，研究满足内部球条件的区域边界附近解的行为，并同时处理常号与变号位势问题。
On an anisotropic double phase problem with singular and sign changing nonlinearity
本文研究了具有奇异项和变号项的各向异性亚临界和临界非线性双相问题。借助于著名的Nehari流形技巧，我们建立了在亚临界情形下至少存在两个相反符号的能量解，在临界情形下至少存在一个负能量解.在临界情况下的结果甚至是新的经典$p$ -拉普拉斯的情况下。
{Localized nodal solutions for $p-$Laplacian equations with critical exponents in $\mathbb{R}^N$
本文考虑了$p-$ Laplacian非线性薛定谔方程$$ -ε^pΔ_pu+V(x)|u|^{p-2}u=|u|^{p^*-2}u+μ|u|^{q-2}u,~~u\in W^{1,p}(\mathbb{R}^N), $$的局部变号解的存在性，其中$1<p<N$，$p_N=\max\{p,p^*-1\}<q<p^*=\frac{Np}{N-p}$，$μ>0$，$Δ_p$是$p-$ Laplacian算子.通过使用惩罚方法与截断方法和爆破参数，我们建立了小$ε$的存在性的一系列局部节点的解决方案集中在一个给定的局部极小点附近的潜在功能。
Multiplicity of positive solutions for a fractional Laplacian equations involving critical nonlinearity
本文讨论了分数阶Laplacian方程\begin{equation*} (-Δ)^{\fracα{2}} u=λf(x)|u|^{q-2}u+|u|^{2^{*}_α-2}u, \quad\text{in}\,\,Ω, u=0,\text{on}\,\,\partialΩ, \end{equation*}正解的多重性，其中$Ω\subset \mathbb{R}^{N}(N\geq 2)$是一个具有光滑边界的有界区域，$0<α<2$，$(-Δ)^{\fracα{2}}$是分数阶Laplacian算子，$f\in C(Ω\times\mathbb{R},\mathbb{R})$可以变号，$λ$是一个正参数.我们将证明存在$λ_{*}>0$使得问题对于每个$λ\in (0\,,\,λ_{*})$至少有两个正解。此外，还研究了溶液的浓度行为。
Liouville-type theorems for sign-changing solutions to nonlocal elliptic inequalities and systems with variable-exponent nonlinearities
考虑具有变指数非线性项$$ (-Δ)^{\fracα{2}} u+λ\, Δu \geq |u|^{p(x)}, \quad x\in\mathbb{R}^N, $$的分数阶椭圆型不等式，其中$N\geq 1$，$α\in (0,2)$，$λ\in\mathbb{R}$为常数，$p: \mathbb{R}^N\to (1,\infty)$为可测函数，$(-Δ)^{\fracα{2}}$为$\fracα{2}$阶分数阶拉普拉斯算子.一个刘维尔型定理建立所考虑的问题。也就是说，我们得到了唯一弱解是平凡解的充分条件。接下来，我们扩展我们的研究系统的变指数非线性的分数椭圆不等式。除了考虑变指数的非线性，这项工作的新颖之处在于调查所考虑的问题的改变符号的解决方案。也就是说，据我们所知，以前只研究了分数阶椭圆型问题正解的不存在性结果。我们的方法是基于非线性容量方法，结合一些检验函数的分数拉普拉斯算子的逐点估计，这是由Fujiwara（2018）推导出来的（另见Dao和Reissig（2019））。注意，标准的非线性容量法不能应用于所考虑的问题，由于改变的符号的解决方案。
Bifurcation for indefinite weighted $p$-laplacian problems with slightly subcritical nonlinearity
本文研究带变号权重的超线性 $p$-laplacian 椭圆边值问题，证明两个主特征值处正解从平凡解分岔，并借助 Orlicz 空间处理紧性，将 Drabek 结果推广至轻微次临界非线性。
The $\infty$-eigenvalue problem with a sign-changing weight
设$Ω\subset\mathbb{R}^{n}$是光滑有界域，$m\in C(\overlineΩ)$是变号权函数.对于$1<p<\infty$，考虑本征值问题$$ \left\{ \begin{array} [c]{ll} -Δ_{p}u=λm(x)|u|^{p-2}u & \text{in }Ω,\\ u=0 & \text{on }\partialΩ, \end{array} \right. $$，其中$Δ_{p}u$是通常的$p$ -拉普拉斯算子。本文的目的是研究上述问题的本征值$λ_{k,p}\left( m\right) $的$p\rightarrow\infty$极限。此外，我们还讨论了当$k=1$ .
Critical growth fractional systems with exponential nonlinearity
研究一类分数阶椭圆型方程组\begin{equation*} \begin{array}{rl} (-Δ)^{\frac{1}{2}} u &=\frac{p}{p+q}λf(x)|u|^{p-2}u|v|^q + h_1(u,v) e^{u^2+v^2},\;\textrm{in}\; (-1, 1),\\ (-Δ)^{\frac{1}{2}} v &=\frac{q}{p+q}λf(x)|u|^p|v|^{q-2}v + h_2(u,v) e^{u^2+v^2},\;\textrm{in}\; (-1, 1), u,v&>0 \;\textrm{in } \; (-1,1), u&=v=0 \; \text{in} \; \mathbb R\setminus (-1,1). \end{array} \end{equation*}正解的存在性，其中{ $1<p+q<2$ }，$h_1(u,v)=(α{+}2u^2)|u|^{α-2}u|v|^β, h_2(u,v)=(β{+}2v^2) |u|^α|v|^{β-2}v$和${α+β>2}$ .这里$(-Δ)^{\frac{1}{2}}$是分数拉普拉斯算子。通过分析映射和相应的Nehari流形，证明了在适当的范围内，$λ$的多解存在性.我们还研究了具有临界增长指数非线性项的超线性系统正解的存在性。
Overdetermined problems with sign-changing eigenfunctions in unbounded periodic domains
本文证明欧几里得空间中存在非平凡无界周期径向域，使 Laplace Dirichlet 特征函数可变号且边界 Neumann 值恒定，并推广到双边界分量的相反边界值情形。
Hopf's lemmas and boundary point results for the fractional $p$-Laplacian
本文针对分数阶 $p$-拉普拉斯算子（$p \geq 2$）建立了Hopf边界引理的新证明，并推广到变号势情形，无需全局符号条件，且应用于边界点引理和非局部超定问题。
On a property of the nodal set of least energy sign-changing solutions for quasilinear elliptic equations
本文证明了关于方程$-Δ_p u = f(u)$在有界Steiner对称域$Ω\subset \mathbb{R}^N$上的最小能量变号解的节点集在零Dirichlet边界条件下的行为的Payne型猜想.假设非线性$f$是超线性的或共振的。在后一种情况下，最小能量符号变化解是$Ω$中的零Dirichlet $p$ -Laplacian的第二本征函数。我们证明了任何最小能量变号解的节点集与$Ω$的边界相交。证明是基于一个移动的极化参数。
Ground state sign-changing solutions for a class of nonlinear fractional Schrödinger-Poisson system in $\mathbb{R}^{3}$
本文研究了如下分数阶Schr dinger-Poisson方程组：\begin{align*} \left\{ \begin{aligned} &(-Δ)^{s} u+V(x)u+λϕ(x)u=f(x, u),\quad &\text{in}\, \ \mathbb{R}^{3},\\ &(-Δ)^{t}ϕ=u^{2},& \text{in}\,\ \mathbb{R}^{3}, \end{aligned} \right. \end{align*}，其中$λ\in \mathbb{R}^{+}$是参数，$s, t\in (0, 1)$和$4s+2t>3$，$(-Δ)^{s}$代表分数阶Laplacian.利用约束变分方法和定量变形引理，证明了上述问题存在一个最小能量变号解。此外，对于任何$λ>0$，我们表明，最小能量符号变化的解决方案的能量是严格大于基态能量的两倍。最后，我们将$λ$作为参数，研究了最小能量变号解作为$λ\searrow 0$的收敛性。
Sign-changing bubble-tower solutions to fractional semilinear elliptic problems
研究了一类分数阶半线性椭圆型方程\[ \begin{cases} (-Δ)^s u = |u|^{2^*_s-2-\varepsilon}u &\text{in } B_R, \\ u = 0 &\text{in }\mathbb{R}^n \setminus B_R, \end{cases} \]的最小能量径向变号解的渐近性质和定性性质，其中$s \in (0,1)$，$(-Δ)^s$是s-Laplacian，$B_R$是$\mathbb{R}^n$的球，$2^*_s := \frac{2n}{n-2s}$是临界Sobolev指数，$\varepsilon>0$是小参数.我们证明了这样的解决方案有一个“气泡塔”的极限轮廓，作为$ \varepsilon \to 0^+$，即积极和消极的部分集中在同一点不同的浓度速度。此外，我们提供了这些解决方案的节点集的信息。
On sign-changing solutions for $(p,q)$-Laplace equations with two parameters
研究了两参数部分齐次$(p,q)$-Laplace方程族$-Δ_p u -Δ_q u=α|u|^{p-2}u+β|u|^{q-2}u$的狄利克雷问题的变号节点解的存在性，其中$p \neq q$ .借助于Nehari流形、连接定理和下降流，我们明确地刻画了对应于节点解存在性的$(α,β)$ -平面的子集.在每个子集中，所获得的解决方案具有规定的能量符号，并且在某些情况下，正好有两个节点域。研究了节点解的不存在性。此外，我们还探讨了一维$p$ -和$q$ -拉普拉斯算子的特征值和特征函数之间的几种关系。
Solutions of a pure critical exponent problem involving the half-laplacian in annular-shaped domains
考虑非线性非局部问题$$ A_{1/2}u=|u|^{2^\sharp-2}u\ \text{in Ω, \quad u=0 \text{on} \partialΩ$$，其中$A_{1/2}$表示Dirichlet边界条件为零的有界区域上Laplacian的平方根，$Ω$是$\R^n$，$n\ge 2$中的有界光滑区域，$2^{\sharp}=2n/(n-1)$是临界trace-Sobolev指数.我们假设$Ω$是环形的，即，存在$R_2>R_1>0$常数，使得$\{x\in\R^n\ \text{= s.t.}\ R_1<|x|<R_2\}\subsetΩ$和$0\notinΩ$，并且在没有不动点的$\R^n$的正交变换的组$Γ$下不变。在以下两种情况下，我们证明了正解和多重变号解的存在性：如果$R_1/R_2$是任意的，并且$Ω$的最小$Γ$ -轨道足够大，或者如果$R_1/R_2$足够小，并且$Γ$是任意的.
Critical exponent for half-Laplacian in the whole space
研究了一类分数阶椭圆型方程\begin{equation*} (-Δ)^{\frac{1}{2}} u+ V(x) u= h(u), u> 0 \;\textrm{in} \;\mathbb R, \end{equation*} %{弱}解的存在性，其中$1<q<2,\;p>2,\;1<β\leq2\;, λ>0, K(x)>0, f$是连续变号的.其中，$h$是一个实值函数，其行为与$e^{u^2}$类似，如$u\rightarrow \infty$，而$V(x)$是一个正的、连续的无界函数。这里$(-Δ)^{\frac{1}{2}}$是分数拉普拉斯算子。当非线性项在$t=0$附近为超线性时，我们证明了山路解的存在性。我们还研究了Kirchhoff方程\[ m\left(\int_{\mathbb R}|(-Δ)^{\frac{1}{2}}u|^2 dx+ \int_\mb R u^2 V(x)dx\right)\left((-Δ)^{\frac{1}{2}} u+ V(x) u\right)= f(u)\;\, \text{in}\, \mathbb R \]的临界指数问题，其中$f(u)$的行为类似于$e^{u^2}$作为$u\rightarrow \infty$，$f(u)\sim u^3$作为$u\rightarrow 0$ .
Nodal solutions for Logarithmic weighted $(N, p)$-Laplacian problem with exponential nonlinearities
本文研究对数加权 $(N,p)$-Laplacian 问题在单位球上的最小能量变号解的存在性，通过 Nehari 集约束极小化、定量形变引理和度理论，在指数非线性条件下证明了存在性。
Existence through convexity for the truncated Laplacians
本文研究了$\mathbb R^N$的有界凸区域上的狄利克雷问题，其中零边界数据为截断Laplacian ${\mathcal P}_k^\pm$，且满足$k<N$ .利用区域的“平坦性”建立了一般非齐次项解存在的一个充要条件（定理1）。这个结果，特别是，表明严格的凸域是足够的狄利克雷问题的可解性。将所得结果及相关思想应用于含低阶项算子${\mathcal P}_k^+$的狄利克雷问题在严格凸区域上的可解性及算子${\mathcal P}_1^+$的主本征函数的存在性.对算子${\mathcal P}_1^+$的带零阶项的狄利克雷问题给出了一个关于主特征值的存在性定理.当区域具有近似平坦的边界部分时，建立了带一阶项的算子${\mathcal P}_k^+$的不存在性结果。此外，当区域是球时，我们研究了具有常非齐次项和可能变号的一阶项的狄利克雷问题及其本征值问题。
Sign-changing solutions for a class of zero mass nonlocal Schrödinger equations
考虑一类分数阶薛定谔方程$$ (-Δ)^α u + V(x)u = K(x) f(u) \mbox{in} \mathbb{R}^{N} $$其中$α\in (0, 1)$，$N>2α$，$(-Δ)^α$是分数阶拉普拉斯算子，$V$和$K$是在无穷远处消失的正连续函数，$f$是连续函数.利用一个极小化论证和一个定量变形引理，我们得到了变号解的存在性。当$f$为奇数时，证明了上述问题存在无穷多个非平凡解.我们的结果扩展到分数的框架中的一些著名的定理证明椭圆方程在经典的设置。相对于这些情况下研究的文献中，非局部的一个考虑在这里提出了一些额外的困难，如缺乏分解涉及的积极和消极的部分，和不可微的Nehari流形，使一个仔细的分析所涉及的分数空间是必要的。
Multiplicity results and sign changing solutions of non-local equations with concave-convex nonlinearities
本文证明了由具有凹凸非线性项和齐次Dirichlet边界条件的非局部积分微分算子$L_K$驱动的下列方程的无穷多个非平凡解的存在性，其中\begin{eqnarray*} \mathcal{L}_{K} u + μ\, |u|^{q-1}u + λ\,|u|^{p-1}u &=& 0 \quad\text{in}\quad Ω, \\[2mm] u&=&0 \quad\mbox{in}\quad\mathbb{R}^N\setminusΩ, \end{eqnarray*}是$\mathbb{R}^N$，$N>2s$，$s\in(0, 1)$，$0<q<1<p\leq \frac{N+2s}{N-2s}$中的光滑有界区域.此外，当$L_K$约简为分数拉普拉斯算子$-(-Δ)^s $，$p=\frac{N+2s}{N-2s}$，$\frac{1}{2}(\frac{N+2s}{N-2s})<q<1$，$N>6s$，$λ=1$时，我们发现$μ^*>0$使得对于任何$μ\in(0,μ^*)$，至少存在一个变号解.
Existence of multiple solutions of $p$-fractional Laplace operator with sign-changing weight function
本文研究了$p$ -分数阶拉普拉斯方程\begin{equation*} (P_{\la}) \left\{ \begin{array}{lr} - 2\int_{\mb R^n}\frac{|u(y)-u(x)|^{p-2}(u(y)-u(x))}{|x-y|^{n+p\al}} dy = \la |u(x)|^{p-2}u(x) + b(x)|u(x)|^{\ba-2}u(x)\; \text{in}\; \Om \quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad \quad u = 0 \; \mbox{in}\; \mb R^n \setminus\Om,\quad u\in W^{\al,p}(\mb R^n).\\ \end{array} \quad \right. \end{equation*}，其中$\Om$是$\mb R^n$中的有界光滑区域，$n> p\al$，$p\geq 2$，$\al\in(0,1)$，$\la>0$和$b:\Om\subset\mb R^n \ra \mb R$是变号连续函数.我们证明了$(P_{\la})$关于参数$\la$的非负解的存在性和多重性，参数$\la$根据$1<\ba<p$或$p< \ba< p^{*}=\frac{np}{n-p\al}$分别变化。我们分别讨论这两个案例。不存在的…
Integral representation of solutions to higher-order fractional Dirichlet problems on balls
我们提供了闭公式（唯一）的解决方案的非齐次狄利克雷问题涉及任何积极的权力$s>0$的拉普拉斯球。我们能够使用显式泊松型内核和一个新的概念，高阶边界算子，恢复正常的衍生物，如果$s$是一个自然数的域和边界数据的不同的顺序。我们的结果统一和推广以前的方法在研究多调和算子和分数拉普拉斯算子。作为应用，我们给出了$s$ -调和函数在Martin核、高阶分数阶Hopf引理和正变号格林函数方面的一个新的刻画.
Sign changing solutions of Poisson's equation
设$Ω$是欧氏空间$\R^m$中的一个开的、可能无界的、有边界的集合$\partialΩ,$，设$A$是$Ω$的一个可测子集，其测度为$|A|$，设$γ\in (0,1)$。我们研究了$-Δv=γ{\bf 1}_{Ω\setminus A}-(1-γ){\bf 1}_{A}$与$v=0$对$\partial Ω$的溶液$v_{\Om,A,γ}$是否改变了符号。根据$\Om$的几何特征（Dirichlet Laplacian的谱的底部、挠率、测度或$R$ -边界的光滑度）获得$|A|$的边界，使得${\rm essinf} v_{\Om,A,γ}\ge 0$。我们表明，${\rm essinf} v_{\Om,A,γ}<0$的任何可测集$A$，提供$|A| >γ|\Om|$。这个值是尖锐的。我们还研究了形状优化问题的最佳位置的$A$（与规定的措施），最小化的基本下确界的$v_{\Om,A,γ}$。令人惊讶的是，如果$\Om$是一个球，对称性破缺现象就会发生。
Multiplicity results of fractional $p$-Laplace equations with sign-changing and singular nonlinearity
本文研究了具有奇异非线性项的分数阶$p$-Laplacian方程\begin{equation*} (P_{\la}) \left\{ \begin{array}{lr} - 2\int_{\mb R^n}\frac{|w(y)-w(x)|^{p-2}(w(y)-w(x))}{|x-y|^{n+ps}}dy = a(x) w^{-q}+ \la b(x) w^r\; \text{in}\; \Om \quad \quad w>0\;\text{in}\;\Om, \quad w = 0 \; \mbox{in}\; \mb R^n \setminus\Om, \end{array} \quad \right. \end{equation*}，其中$\Om$是$\mb R^n$中的有界区域，具有光滑边界$\partial \Om$，$n> ps$，$s\in(0,1)$，$\la>0$，$0<q<1$，$q<p-1<r< p_{s}^*-1$，$p_{s}^*=\frac{np}{n-ps}$，$a: \Om\subset\mb R^n \ra \mb R$使得$0< a(x)\in L^{\frac{p^{*}_{s}}{p^{*}_{s}-1+q}}(\Om)$，$b:\Om\subset\mb R^n \ra \mb R$是变号函数使得$b(x)\in L^{\frac{p^{…
Infinitely many sign-changing solutions of a critical fractional equation
本文对标准单位球面上的共形不变算子和欧几里得空间中的分数Laplacian算子的一些临界问题，得到了正解的不存在性和变号的无界解序列的存在性.我们的论点是基于一个减少的初始问题在欧几里得空间上的一个等价问题的标准单位球，反之亦然，什么一起炸毁参数，一个变种Pohozaev的类型身份，一个完善的正则性结果，这种类型的运营商，最后，通过利用对称性的领域。
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