Hopf algebra and renormalization: A brief review
Usman Naseer
简要回顾了量子场论重整化过程中产生的Hopf代数结构。我们明确构造一个简单的玩具模型的Hopf代数，并显示如何实现重整化这个特定的模型。
We briefly review the Hopf algebra structure arising in the renormalization of quantum field theories. We construct the Hopf algebra explicitly for a simple toy model and show how renormalization is achieved for this particular model.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Feynman diagrams, Hopf algebras and renormalization
本文综述了量子场论中微扰重整化的Connes-Kreimer公式。我们从费曼演算的推导开始，费曼图上的霍普夫代数结构，我们展示了Birkhoff分解在微扰重整化中的自然发生。本文中加入了大部分的证明。
Universal Hopf Algebra of Renormalization and Hopf Algebras of Rooted Trees
本文从重整化的泛Hopf代数（Connes-Marcolli在研究可重整化的量子场论中的方法）出发，在维数正则化的最小减法方案下，寻找一个根树表示。注意到这一新的图片，有趣的关系，这一特定的Hopf代数和一些重要的Hopf代数的根树和（拟）对称函数的Hopf代数。此外，基于Hall根树，从广义奇异标架出发，导出了一种新的解释，使之能应用于可重整化理论的物理信息，如反项。
Wave-Function renormalization and the Hopf algebra of Connes and Kreimer
在这次演讲中，我们展示了如何康纳斯-克莱默霍普夫代数态射可以扩展时，考虑到波函数重整化。这导致我们的一个半直积的可逆幂级数的正式的同构。
Renormalization of gauge fields using Hopf algebras
本文描述了非交换规范理论的Feynman图的Hopf代数结构，证明了Slavnov-Taylor恒等式与余积的相容性.当考虑这些恒等式时，余积在格林函数上闭合，从而生成一个Hopf子代数。
Combinatorial Hopf algebras from renormalization
本文描述了在量子场论重整化中出现的三个霍普夫代数的右侧组合霍普夫结构：非交换形式的Faà di Bruno霍普夫代数，非交换形式的量子电动力学平面二叉树上的电荷重整化霍普夫代数，以及非交换形式的任意玻色子场上的Pinter重整化霍普夫代数.我们还描述了两种定义这种霍普夫代数中结合积的一般方法，第一种是递归方法，第二种是嫁接和洗牌一些装饰的有根树。
The structure of renormalization Hopf algebras for gauge theories I: Representing Feynman graphs on BV-algebras
研究了规范理论的重整化Hopf代数的结构。我们确定了其中的某些Hopf子代数，它们的特征群是可逆形式幂级数与形式同态的半直积。这在物理上可以分别理解为波函数重整化和耦合常数重整化。在考虑到耦合作为一个Hopf理想的生成元的斯拉夫诺夫-泰勒恒等式后，我们也在相应的商中找到了Hopf子代数。在本文的第二部分中，我们解释了这些Hopf理想的起源考虑的相互作用的重整化Hopf代数的Batalin-Vilkovisky（BV）代数所产生的字段和耦合常数。BV-代数中作用所满足的所谓经典主方程暗示了重整化Hopf代数中上述Hopf理想的存在性。最后，我们将其应用于杨-米尔斯规范理论，验证了我们的构造。
Renormalization of gauge fields: A Hopf algebra approach
本文研究了规范理论下的Connes-Kreimer Hopf重整化代数。我们证明了沃德恒等式和Slavnov-Taylor恒等式（分别在交换和非交换情形下）与Hopf代数结构相容，因为它们生成一个Hopf理想.因此，商Hopf代数是定义良好的，并且具有内置的那些恒等式。这提供了一个纯粹的组合和严格的证明兼容性的斯拉夫诺夫-泰勒身份重整化。
Renormalization Hopf algebras for gauge theories and BRST-symmetries
本文研究了规范理论中Connes-Kreimer重整化Hopf代数的结构，特别强调了BRST形式。我们的工作在量子色动力学的明确例子，夸克和胶子的物理理论。在耦合常数和场的基础上定义了重整化Hopf代数的余作用。在这种情况下，BRST-不变性的行动意味着存在某些Hopf理想的重整化的Hopf代数，编码的Slavnov-Taylor身份的耦合常数。
On matrix differential equations in the Hopf algebra of renormalization
我们在任何连通分次霍普夫代数中Connes-Kreimer的Birkhoff分解中的反项（相应的重整化特征）的矩阵设置中建立了Sakakibara的微分方程，从而将微扰重整化中的费曼规则作为一个关键例子。
Renormalization of Quantum Electrodynamics and Hopf Algebras
1999年，A. Connes和D. Kreimer发现了标量场理论的Feynman图上的Hopf代数结构。他们发现重整化可以解释为解决一些黎曼-希尔伯特问题。在这项工作中，他们的计划的情况下，量子电动力学的推广。定义了规范群在图的Hopf代数上的作用，并证明了该作用与图的Hopf代数结构是一致的。
Hopf-algebraic Renormalization of QED in the linear covariant Gauge
在线性协变规范固定的无质量量子电动力学（QED）中，考察了反项与重整化的Hopf代数方法之间的联系.格林函数的余积公式中含有两个不变荷，这两个不变荷产生了不同的重整化群函数。所有的公式进行了测试，明确计算的第三个循环顺序。本文讨论了通过固定一个广义线性协变规范而得到有限电子自能的可能性。对次发散的分析表明，这种规范只存在于淬火QED中。
Renormalization Hopf algebras and combinatorial groups
以下是2007年7月2- 20日在哥伦比亚莱瓦镇举行的暑期学校{ \em量子场论的几何和拓扑方法}的五个讲座的笔记。这些讲座是为物理学或数学专业的研究生或准研究生开设的。其中包括参考文献，许多例子和一些练习。内容如下。第一堂课是对代数和原代数群的简短介绍，基于矩阵群和形式级数群的一些例子，以及它们的坐标函数的霍普夫代数。第二讲提出了一个非常浓缩的审查经典和量子场论，从拉格朗日形式主义的欧拉-拉格朗日方程和戴森-施温格方程的格林函数。它提出了求解相互作用场的非线性微分方程的主要问题。在第三讲中，我们解释了在标量$ϕ^3$理论的最简单情况下，在费曼图上扩展的先前方程的微扰解。第四讲介绍了量子场论中出现的发散积分问题，图形的重整化过程，以及重整化如何影响作为微扰级数给出的拉格朗日函数和格林函数。最后一堂课介绍了纯量理论的重整化的康纳斯-克雷默霍普夫代数及其相关的形式级数的原代数群。
The Hopf algebra of rooted trees in Epstein-Glaser renormalization
我们展示了根树的Hopf代数如何编码Epstein-Glaser重整化和坐标空间重整化的组合学。特别是，我们证明了Epstein-Glaser时间序产品可以从霍普夫代数适当的费曼规则，映射树算子值分布。用重整化映射扭转对极形式上解决了Epstein-Glaser递归，并由于嫁接算子$B_+$的Hochschild 1-闭性而提供了局部反项。
Hopf algebraic Renormalization of Kreimer's toy model
这篇硕士论文回顾了由Dirk Kreimer开创的使用霍普夫代数的重整化的代数公式，并将其应用于量子场论的玩具模型，该模型通过迭代插入单个原始发散到自身。使用这个例子中的减法方案，我们展示的重整化费曼规则产生霍普夫代数代数态射到霍普夫代数代数的多项式和作为一个结果研究的重整化群的出现与组合戴森Schwinger方程。特别是，我们涉及的扰动膨胀的异常尺寸的系数的梅林变换的积分内核指定的本原发散。关于有根树的霍普夫代数的一个定理通过这个霍普夫代数的自同构把不同的Mellin变换联系起来。
Renormalization group functions for the Wess-Zumino model: up to 200 loops through Hopf algebras
我们得到了一个简单的超对称Wess-Zumino模型的所有包含唯一的单圈原始发散的图的重整化群函数的贡献，最多超过200圈。分析了反常维数展开式中系数的渐近行为。
Renormalization and Hopf Algebraic Structure of the 5-Dimensional Quartic Tensor Field Theory
本文研究了五维（=秩）四次Melonic张量模型的重整化问题。我们回顾了微扰重整化和单圈β函数的计算，证实了模型的渐近自由。然后，我们定义的Connes-Kreimer-like的Hopf代数描述的组合的重整化这个模型，我们详细分析，在一个和两个循环的水平，Hochschild上同调允许写的组合戴森-Schwinger方程。Feynman张量图的Hopf子代数也被展示。
Renormalization in combinatorially non-local field theories: the Hopf algebra of 2-graphs
众所周知，微扰量子场论重整化的数学结构是建立在费曼图的Hopf代数基础上的。这样做的前提是场论的定域性。因此，人们可能会怀疑非定域场论，如矩阵或张量场论，不能从类似的代数理解中获益。在这里，我表明，相反，重整化和微扰动力学的广泛的一类这样的场论是基于以同样的方式对一个霍普夫代数。这些理论的特点是相互作用的顶点与图作为外部结构，导致费曼图，可以归纳为“2-图”的概念。从重整化的角度来看，这种图形式的相互作用与点状相互作用一样具有局部性。它们在组合细节上有所不同，因为它们具有组合关联函数的微扰序列的中心恒等式。这为微扰重整化以及非微扰方面的系统研究奠定了基础，例如Dyson-Schwinger方程，一些组合非局部场论可能应用于量子引力，统计模型等。
Renormalization, Hopf algebras and Mellin transforms
这篇文章的目的是给一个简短的介绍到重整化的霍普夫代数方面，享受越来越多的关注了十多年。由于大多数现有文献都涉及最小减法方案，我们想指出运动减法方案的性质，该方案也广泛用于物理学（以BPHZ或BPHZ的名义）。特别是，我们涉及重正化费曼规则$ϕ_R$在这个计划的根树的Hopf代数$H_R$的普遍属性，表现出一个精致的重整化群方程，相当于$ϕ_R: H_R \rightarrow K[x]$是一个态射的Hopf代数的多项式在一个不定。在引入解析正则化后，这导致有效的组合递归来根据梅林变换计算$ϕ_R$。我们发现，不同的费曼规则相关的一个杰出的类的Hopf代数自同构的$H_R$自然产生的Hochschild上同调。此外，我们还记得已知的最小减法方案的结果，并阐明这两个计划的相互关系。最后我们结合组合Dyson-Schwinger方程来研究重整化对物理意义上的关联函数的影响。这就给出了前面提到的两种不同的重整化处方的等价性的精确公式，并允许在特殊情况下量子场论的非微扰定义。
Renormalization : A number theoretical model
分析了算术数论函数的Dirichlet卷积环.由于乘积和余积不具有完全乘法性，所以它在对角线上不是一个Hopf代数。可以建立一个相关的Hopf代数，但是它超过了对角线。我们认为，在量子场论重整化机制是仿照相同的原则。因此，奇异性作为对角线上的（现在连续索引的）过度计数而出现。重整化由从辅助Hopf代数到较弱乘法结构的映射给出，称为Hopf代数，重新标度对角线。
The necklace Lie coalgebra and renormalization algebras
我们给出了一个自然的单态从项链李余代数，定义为任何一个，Connes和Kreimer的李余代数的树，并延长这一映射从一定的箭理论的Hopf代数Connes和Kreimer的重整化Hopf代数，以及前李版本。这些结果与Turaev在2004年的结果直接类似，通过用箭图上的路径代数替换曲面上的循环代数。我们还因素的态射通过代数的弦图和解释的几何版本。然后，我们解释了所有霍普夫代数如何由预李结构唯一确定，并讨论了霍普夫代数的非交换版本。
The Dirichlet Hopf algebra of arithmetics
在这项工作中，我们系统地发展了“Dirichlet Hopf代数的算术”对偶加法和乘法映射。我们研究的添加剂和乘法反足卷积，未能产生的Hopf代数结构，只服从一个削弱（乘法）同态公理。削弱的结构，称为霍普夫gebra，例如上同调的后果进行了探讨。这一特点的乘法性与完全乘法性的数论算术函数。不被一个霍普夫代数的不足之处，然后通过引入一个“unrenormalized”的余积和一个“unrenormalized”配对治愈。然后，有人认为，正是非互质整数的同态属性（完全乘法）的失败是一个蓝图的问题，在量子场论（QFT）导致需要重整化。重整化是从代数上可靠的Hopf代数到物理上和数论上有意义的Hopf代数的态射。这可以通过使用Rota-Baxter算子来替代地建模。我们强调需要一个无特征的发展，在可能的情况下，有一个良好的起点，概括的代数结构。最后一节提供了三个关键的应用：对称函数理论，量子（矩阵）力学，以及QFT中重整化的组合学，这些可以被认为是从数论水平上的发展中继承下来的。因此，数论函数在QFT中的出现变得很自然。
Groupes de renormalisation pour deux algèbres de Hopf en produit semi-direct
考虑两个相互作用的连通分次Hopf代数，前者是后者上的余模余代数.我们展示了如何定义Connes-Kreimer的重整化群和Beta函数的类似物，当毕业运营商被替换为任何双导来自一个无穷小的字符的第二个Hopf代数。
Normal Coordinates and Primitive Elements in the Hopf Algebra of Renormalization
本文在Connes和Kreimer分析有根树的Hopf代数时引入了无穷维群$G$上的法坐标。我们研究了代数的原始元素，并表明它们是由一个简单的应用程序的逆庞加莱引理，给出了一个封闭的左不变1-形式$G$。对于特殊情况下的梯形原语，我们发现第二个描述，将它们与通常的产品的幂级数的Hopf代数泛函。这两种方法都表明梯形基元是由舒尔多项式给出的。本文还讨论了对偶李代数的下中心级数在重整化过程中的相关性，从而引出了$k$ -重复性的自然概念，并证明了它与文献中已有的概念是等价的.
Integrable Renormalization II: the general case
我们推广了我们在早期工作中得到的结果。根梯树的余交换情形被推广到（装饰）根树的满Hopf代数。对于目标空间为Rota-Baxter型的Hopf代数特征标，分别利用Rota-Baxter二重构造和Atkinson定理，导出了重整化理论的Birkhoff分解.我们还概述了通过装饰根树的费曼图的Hopf代数的扩展。
Renormalization automated by Hopf algebra
最近表明，量子场论的重整化是由装饰根树的Hopf代数组织的，其余积确定需要减法的发散，其对极实现了这一点。我们在几行递归符号代码中自动化了这个过程，它为任何费曼图提供了一个有限的重整化表达式。因此，我们验证了表示的算子乘积展开，推广陈引理的迭代积分。图的森林结构需要一个独特的原始subdivergence的子集提供了一个表示的Hopf代数${\cal H}_R$的未装饰的根树。我们的未修饰的Hopf代数程序被设计用于处理24，213，878 BPHZ对7，813个图的重整化的贡献，最多有12个循环。我们考虑了10个模型，每个模型有9个重整化方案。这两个最简单的模型揭示了Connes和Moscovici的子代数的一个显著特征，对应于同构群的Hopf代数${\cal H}_T$的交换部分：它为费曼图分配了那些从最小减法方案的反项中删除zeta值的权重。我们设计了一个快速算法，这些权重，其平方和置换因子，给合理的counterterterms。
Gauge Symmetries and Renormalization
在Connes和Kreimer的Hopf代数体系下研究量子规范理论的微扰重整化. van Suijlekom（2007）证明了规范对称性的量子对应物--所谓的Ward-Takahashi恒等式和Slavnov-Taylor恒等式--对应于各自重整化Hopf代数中的Hopf理想。我们将这种对应关系推广到超和不可重整化的量子场论，将其扩展到具有多个耦合常数的理论，并增加了对横截性的讨论。特别是，这使我们能够将我们的结果应用于（有效的）量子广义相对论，可能与标准模型中的物质相耦合，正如Kreimer（2008）所建议的那样。为此，我们在重整化Hopf代数上引入了不同的分次，并研究了表面发散度的组合性质。然后，我们推广已知的余积和对极身份的超和非重正化的情况下，理论与多个顶点剩余。在我们的主要结果的基础上，我们提供了这些Hopf理想与相应的重整化费曼规则的兼容性的标准。我们的研究结果的一个直接后果是量子杨-米尔斯理论的花冠多项式的良好定义，而不参考一个特定的重整化方案。
Matrix Representation of Renormalization in Perturbative Quantum Field Theory
本文用三角矩阵表示法，给出了康纳斯和克雷默在微扰量子场论中重整化的Hopf代数方法。给出了Feynman图Hopf代数上的一般正则泛函到Rota-Baxter代数中的三角矩阵的Rota-Baxter反同态.对于映射到幂单三角矩阵群上的特征标，我们利用斯皮策恒等式导出了矩阵的代数Birkhoff分解。这个简单的矩阵分解被用来描述和计算微扰重整化。
Riemann-Hilbert Problem and Quantum Field Theory: Integrable Renormalization, Dyson-Schwinger Equations
在第一个目的中，我们集中在量子可积系统的理论基础的Connes-Kreimer方法。在可重整化理论中引入了一类新的依赖于微扰重整化过程的Hamilton系统。据观察，重整化群可以确定一个无限维的可积系统，这样，这一事实提供了一个链接这类建议的运动积分和重整化流。此外，借助积分重整化定理，我们研究了Bogoliubv特征和BCH级数下的运动积分，得到了一族新的不动点方程。在第二个目标中，我们考虑Connes-Marcolli方法的组合学，从这个理论中的一个特定对象，即重整化的通用Hopf代数$H_{\mathbb{U}}$，提供一个Hall根树型重构。作为结果，这个Hopf代数和一些著名的组合Hopf代数之间的有趣的关系，也可以使一个新的霍尔多项式表示，从通用奇异框架，这样的基础上的普遍性质，这种特殊的循环，人们可以期待一个霍尔树型散射公式的物理信息，如counterterterterms。在第三个目标中，我们关注给定的根树形式的$H_{\mathbb{U}}$，并应用Connes-Marcolli的普遍研究，从Dyson-Schwinger方程中发现了一个新的几何解释。
Non-commutative Hopf algebra of formal diffeomorphisms
本文的研究对象是两个霍普夫代数，它们是两个不同的形式幂级数群的非交换模拟.第一个群是可逆级数的乘法集合，而第二个群是形式反同态的合成集合。引入这些霍普夫代数的动机来自于对非交换系数形式级数的研究。具有非交换系数的可逆级数仍然构成一个群，我们将相应的新的非交换霍普夫代数解释为由群的坐标环给出的自然霍普夫代数的替代，它具有在系数代数中是函子的优点.对于具有非交换系数的形式复同态，这种解释失败了，因为在这种情况下复合不再是结合的。然而，我们证明了对于对偶非交换代数，存在一个自然的余结合余积定义了一个非交换霍普夫代数。此外，我们给出了一个明确的公式的对极，这是一个非交换版本的拉格朗日反演公式，我们表明，其系数有关的平面二叉树。然后我们将这些结果推广到以前的霍普夫代数的半直余积和多元级数。最后，我们还讨论了形式级数的非交换霍普夫代数与由量子场论中的重整化所激发的组合Hopf代数的重整化霍普夫代数代数以及双代数上的双张量代数所给出的重整化函子之间的关系.
Hopf algebra of non-commutative field theory
本文构造了非对易量子场论重整化过程的Hopf代数结构。
Rota-Baxter Algebras in Renormalization of Perturbative Quantum Field Theory
近年来，微扰量子场论中的重整化理论取得了令人振奋的新进展。克雷默发现了一个组织的费曼图到组合的霍普夫代数。重整化的过程被正则化的Hopf代数特征的因式分解定理所捕获。在这方面的概念Rota-Baxter代数进入现场。我们回顾了Rota-Baxter代数的几个方面，因为它们出现在其他部门也相关的微扰重整化，例如多重zeta值和矩阵微分方程。
A Generalization of Connes-Kreimer Hopf Algebra
本文介绍的Bonsai-Hopf代数是Connes-Kreimer Hopf代数的推广，它是由Feynman图和重正化得到的.我们证明了在bonsais集合上可以找到操作数结构。我们引入了一个新的微分这些盆景Hopf代数，这是受启发的树微分。本文计算了它们的上同调，并研究了这种微分与Connes-Kreimer Hopf代数的附加运算$*$的关系.
Renormalization in quantum field theory and the Riemann-Hilbert problem I: the Hopf algebra structure of graphs and the main theorem
本文给出了我们的结果的一个完备的自含证明，证明了量子场论中的重整化是基于Riemann-Hilbert问题的有限值提取的一般数学过程的一个特例.我们将首先证明，对于任何量子场论，费曼图的组合学产生一个Hopf代数$\Hc$，它作为一个代数是交换的。它是一个李代数$\ud G$的赋形代数的对偶Hopf代数，其基由单粒子不可约Feynman图标记.两个这样的图的李括号是从一个图在另一个图中的插入来计算的，反之亦然。相应的李群$G$是$\Hc$的特征标群。然后，我们将证明，使用维数正则化，裸（未重整化）理论产生一个循环$$ \g (z) \in G \qquad z \in C $$，其中$C$是围绕时空的整数维$D$的一个复维数的小圆圈。我们的主要结果是：重整化理论就是$\g$的Birkhoff分解的全纯部分$\g_+$在$z = D$上的求值.我们开始分析组$G$，并表明，它是一个半直接产品的一个容易理解的阿贝尔群由一个高度非平凡的群密切联系在一起的群的同构。后一组的分析以及重整化群和反常维数的解释是我们第二篇论文的内容，总标题相同。
Infinite Hopf Families of Algebras and Yang-Baxter Relations
提出了一种基于Yang-Baxter关系的广义量子仿射代数的形式，该代数具有无限Hopf（超）代数族的结构。在$L$矩阵水平上给出了无限Hopf族的结构.通过研究Ding-Frenkel定理的类比，在$4\times4$ $R$ -矩阵的情况下，建立了与Drinfeld电流实现的关系.利用代数“余态”的概念（它推广了标准Hopf代数的代数余模的概念），给出了从广义$RLL$代数构造无穷多个交换算子的一种可能途径.最后简要讨论了广义$RLL$代数的一些例子。
Coalgebras and quantization
在量子场论中使用了两种余代数结构。第一个是导致形变量子化的Hopf代数的余代数部分。第二个是第一个Hopf代数上的余模余代数，它用来定义连通的时序积和重正化。
A nondiagrammatic description of the Connes-Kreimer Hopf algebra
我们证明了Connes-Kreimer霍普夫代数的基本代数结构--图上的插入预Lie结构--直接对应于多项式向量场的规范预Lie结构。利用这一事实，我们构造了一个由张量构成的霍普夫代数，它与首次出现在量子场论的微扰重整化中的Connes-Kreimer霍普夫代数的一个版本同构。
Exponential renormalization
超越经典的加法和乘法方法，我们提出了一个“指数”方法的微扰重整化。利用Green函数的Dyson恒等式以及Faa di Bruno Hopf代数与Feynman图的Hopf代数之间的联系，分析了它与形式幂级数合成的关系.最后，我们认为，新的方法有几个有吸引力的功能，包括BPHZ方法。后者可以被看作是一个特殊的情况下，新的重整化方案映射的Rota-Baxter性质的程序。据我们所知，虽然非常自然的群论和物理的观点，在本文中介绍的几个想法似乎是新的（除了指数的方法，让我们提到的概念的抗衡因子和n阶裸耦合常数）。
Renormalization and Mellin transforms
我们研究重整化的动力学计划使用的Hopf代数框架，首先总结和恢复已知的结果，在此设置。然后，我们给出了一个直接的组合描述的重整化振幅的梅林变换系数，具有普遍性质的根树H_R。特别地，H_R的一类特殊的自同构产生于改变Mellin变换对扰动级数的Hochschild上同调的作用。此外，我们展示了多项式的Hopf代数如何进行细化的重整化群属性，这意味着它的粗糙形式的关联函数的水平。应用于纯量量子场论揭示了单个费恩曼图的标度行为。
Renormalization flows for 1D mixed states and a quantum Goursat lemma
研究非手性二维拓扑有序模型边界态的重整化过程，初始数据经扰动和粗粒化，流可用代数描述，迭代由卷积幂控制，得到新不动点并给出物理解释，还对有限群代数等分类，证明了量子古尔萨引理。
Quantum field theory meets Hopf algebra
本文介绍了一个基于Hopf代数的量子场论（QFT）的基础，并描述了受QFT概念启发的新的Hopf代数结构。介绍了QFT的几个基本概念：时间积、S矩阵、费曼图、连通图、格林函数、重整化。使用霍普夫代数的定义允许简单的递归推导，并导致费曼图和半标准杨tableaux之间的对应关系。反过来，这些概念被用来作为模型，以获得霍普夫代数结构，如一个连接的共正则行动或组结构的线性映射从S（V）到V。
Combinatorics of renormalization as matrix calculus
本文用三角矩阵的形式给出了微扰量子场论中重整化的组合学的简单表示。处方，这可能是计算的价值，是来自第一原则，即“伯克霍夫分解”在霍普夫代数描述的重整化由康纳斯和Kreimer。
Renormalization of Gauge Theories and Gravity
我们研究了规范理论和引力的微扰量子化。我们的研究从时空和粒子场的几何学开始。然后讨论了耦合到标准模型的（有效）量子广义相对论的各种Lagrange密度。此外，我们还研究了相应的BRST双复形和规范变换。接下来，我们应用Connes-Kreimer重整化理论的微扰费曼图的扩展：在这个框架中，subdivergences组织通过一个Hopf代数的余积和重整化操作被描述为一个代数Birkhoff分解。为此，我们推广和改进了已知的余积恒等式和van Suijlekom（2007）的一个定理，该定理将（广义）规范对称性与Hopf理想联系起来。特别是，我们的推广适用于引力，正如Kreimer（2008）所建议的那样。此外，我们的结果也适用于具有多个顶点剩余、耦合常数等横截结构的理论。此外，我们还提供了这些Hopf理想与费曼规则和所选择的重整化方案的兼容性的标准。我们继续计算相应的重力物质费曼规则的任何价和一般的规范参数。然后我们展示了所有的传播子和三价顶点费曼规则，并计算了相应的取消身份。最后，我们提出了计划的后续项目：这包括一个推广的Wigner的分类的基本粒子的线性引力，通过费曼图上同调表示的取消身份和调查的引力场的不同定义的等价性。特别是，我们认为，适当的设置研究扰动BRST上同调是一个微分分次Hopf代数。
The Epstein-Glaser approach to pQFT: graphs and Hopf algebras
本文旨在研究Epstein和Glaser（EG）方法中的微扰量子场论（pQFT），特别是它在图和Hopf代数（HAs）语言中的表述。遇到各种各样的HA，每一个都与物理概念的特殊组合相关联，例如归一化，局部化，伪酉性，因果关系和相关的正则化和重整化。代数结构，代表的S-矩阵的微扰扩展，被施加在算子值分布，配备了适当的图指数。平移不变性保证了代数是解析定义良好的，而分次全对称性允许用公式表示双代数。的代数结果嵌入在物理框架，其中包括两个最近的EG版本Fredenaland和Scharf的不同方面的具体递归实现的因果关系。此外，还对费曼表象中的紫外发散现象进行了数学推导。作为最终的结果，在EG框架中的重正化方案的变化是通过一个HA，它可以被看作是EG模拟的Kreimer的HA。
Wormhole Renormalization: The gravitational path integral, holography, and a gauge group for topology change
本文借鉴微扰重整化方法自下而上研究因子化悖论，在二维拓扑引力模型中引入“反虫洞”抵消破坏全息对偶因子化的虫洞贡献，并基于对称性Hopf代数提出规范群重组不同拓扑时空贡献。
Topological Hopf algebras, quantum groups and deformation quantization
在介绍了上下文和形变量子化的简要提示后，我们指出了如何引入自然拓扑向量空间拓扑的霍普夫代数与泊松李群，李双代数和他们的双打解释他们的对偶，并提供了一个全面的框架。讨论了形变量子化与对称空间形变量子化的关系及其应用
Lessons from Quantum Field Theory - Hopf Algebras and Spacetime Geometries
讨论了Hopf代数在量子场论研究中的重要性。特别是，我们将考虑重整化的霍普夫代数，其对极原来是一个概念理解的减法程序的关键。然后，我们将描述这个或密切相关的Hopf代数在其他数学领域，如叶状，龙格库塔方法，迭代积分和多重zeta值的几个occupational。我们强调的统一作用，布彻组，发现在研究数值积分的常微分方程，在QFT中发挥。
The Exact Renormalization Group
这是一个非常简短的介绍威尔逊的重整化群与数学发展的重点。
Completely Integrable Lax Pair equations for Connes-Kreimer Hopf algebra of rooted trees
本文证明了由Bădiţoiu和Rosenberg引入的无穷小特征$\ ildeβ_0$对应的低维李代数Lax对方程具有完全可积性。
Renormalization of quasisymmetric functions
单项拟对称函数作为拟对称函数的霍普夫代数的自然基，是由复合定义的形式幂级数。同样的定义也适用于左弱合成，而对于其他弱合成则会导致发散。我们在Connes和Kreimer的框架下，采用了量子场论中的重整化方法来处理这种发散。该方法将单项式拟对称函数定义为弱复合的幂级数，同时推广了通常拟对称函数所满足的拟混洗（填塞）关系.由此得到的重正化拟对称函数代数与弱复合拟混洗代数同构，前者具有自然的霍普夫代数结构，后者具有幂级数实现.这个同构也给自由交换Rota-Baxter代数一个幂级数实现，以支持Rota的一个建议，即Rota-Baxter代数应该为对称函数的推广提供一个广泛的背景。
Cancellation Identities and Renormalization
本文提出基于 BRST 费曼图复形和 Connes-Kreimer 重整化理论的显式规范不变重整化框架，并通过量子杨-米尔斯理论和广义相对论验证其有效性。
Hopf algebras of rooted forests, cocyles and free Rota-Baxter algebras
Hopf代数和Rota-Baxter代数是Connes和Kreimer用代数方法研究微扰量子场论重整化问题的两种代数结构。特别是根树的霍普夫代数作为费曼图的“婴儿模型”在他们的方法中，可以通过涉及Hochschild 1-cocycle的某些普适性质来表征。装饰根树也被用来研究费曼图。我们将继续研究具有这样一个1-上圈的装饰根树的各种空间的普适性质，从而引出上圈Hopf代数的概念。我们进一步应用泛性质来构造一个自由Rota-Baxter代数，使其具有上圈Hopf代数或上圈双代数的结构.
Quantum Gravity and Renormalization: The Tensor Track
基于大随机张量分析的最新进展，我们提出了一个新的引力修正和重整化方案。我们简单地比较它与其他现有的方法。
Algebraic Structures in the Coupling of Gravity to Gauge Theories
本文是作者第二篇硕士论文[1]的延伸。它的目的是介绍耦合到旋量电动力学的微扰量子化广义相对论的理论，提供其结果，并设置符号作为在这个方向上进一步研究的起点。它包括微分几何和Hopf代数背景，以及相应的拉格朗日密度和一些重整化理论。然后，讨论了量子电动力学与量子广义相对论重正化中的一个特殊问题，并利用Furry定理的推广解决了这个问题。其次，给出了所有双圈传播子及其所有单圈发散子图的受限组合格林函数。最后，讨论了乘法重整化所必需的单圈限制组合格林函数之间的关系。保留字：量子场论;量子引力量子广义相对论量子电动力学微扰量子化;霍普夫代数重整化
Rota-Baxter algebras, singular hypersurfaces, and renormalization on Kausz compactifications
我们考虑亚纯形式的Rota-Baxter代数，其极点沿着光滑射影簇中的（奇异）超曲面，以及交换Hopf代数的代数同态的Birkhoff因子分解。在一个正常的交叉因子的情况下，Rota-Baxter结构大大简化和因式分解成为一个简单的极点减法。我们应用这种形式主义的非重整化动量空间费曼振幅，视为（发散）积分的补充行列式超曲面。我们将积分提升到边界因子为正规交叉的一般线性群的Kausz紧化。我们证明了Kausz紧化是一个Tate动机，边界因子和包含积分链边界的因子是混合Tate配置。我们得到的积分的正则化不同于通常的物理费曼振幅的重正化，特别是它可能会在某些情况下，有非混合泰特贡献时，与其他重正化方法计算混合泰特期间。
The combinatorics of Bogoliubov's recursion in renormalization
我们描述了各种组合方面的Birkhoff-Connes-Kreimer分解的扰动重整化。Bogoliubov的准备映射在Feynman图的李代数上的类似物被识别为pre-Lie Magnus展开。基于无穷小特征标李代数的pro-nilpotency性，我们的结果适用于任何连通滤子Hopf代数。
Combinatorial Hopf algebra for the Ben Geloun-Rivasseau tensor field theory
本·吉隆-里瓦索量子场论模型是第一个被证明是微扰重整化的张量模型。我们在这里定义一个适当的Hopf代数描述这个新的张量重整化的组合。我们提出的结构是显着不同，从以前定义的Connes-Kreimer组合Hopf代数由于所涉及的张量Feynman图的组合和拓扑性质。特别是，2-和4-点函数插入必须被定义为非平凡的，只有当相关的费曼积分的表面发散度是保守的。
Integrable models and star structures
本文研究了可分解S-矩阵模型（FSM's）、一维量子自旋链（QSC's）和统计顶点模型（SVM's）中的Hopf代数表示。这些物理表示有明确的厄密性分配，并导致相应的Hopf代数上的星结构。结果表明，对于有限状态机和量子力学时间演化的QSC的相应的恒星是兼容的霍普夫结构。然而，在统计模型的情况下，所得到的星结构不是霍普夫结构，而是我们所说的扭曲星。扭星Hopf代数的实表示在通常的张量积表示下不闭合。我们简要地评述了这些结果与Wick转动的关系。
A Lie theoretic approach to renormalization
出于最近的工作Connes和Marcolli，Connes-Kreimer方法重整化的基础上，我们增加了后者的组合，李代数的观点。我们的研究结果依赖于Dynkin幂等元的性质，一个基本的李幂等元的理论中的自由李代数，并封装在相关的下降代数的概念的Hopf代数的性质。除了导致非常直接的证明的主要组合方面的重整化程序，新的技术引起了代数方法的伽罗瓦理论的重整化。特别是，它们不依赖于维正则化和黎曼-希尔伯特对应的几何基础。这说明了BPHZ重整化方案的讨论。
The Geometry of Quantum Computing
该综述性论文介绍量子计算问题的几何建模，聚焦量子信息几何与ZX-calculus，建立了量子计算问题与量子群（Hopf代数）的关联。
Pathlike Co/Bialgebras and their Antipodes with Applications to Bi- and Hopf Algebras Appearing in Topology, Number Theory and Physics
我们发展了一个代数理论的着色，半群味和路径样的co-，双和霍普夫代数。这是讨论自然出现在组合学、拓扑学、数论和物理学中的双代数的对极的正确框架。特别是，我们可以精确地给出条件的可逆性的字符，需要在制定的Connes和Kreimer重整化。这些在相关的例子中得到了满足。为了构造对极，我们讨论了形式局域化构造和量子形变。这些允许定义和解释布朗风格的相互作用的外观。使用以前的结果，我们可以解释所有相关的余代数作为源于一个范畴的建设，绑双代数结构费曼范畴，并在此设置中应用开发的理论。
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