On the (K.2) supercongruence of Van Hamme
Robert Osburn, Wadim Zudilin
我们证明了最后剩下的情况下，原来的13 Ramanujan型超同余由于范Hamme从1997年。证明利用经典的同余和WZ对由于Guillera。此外，我们提到一些未来的方向，关于这种类型的超同余。
We prove the last remaining case of the original 13 Ramanujan-type supercongruence conjectures due to Van Hamme from 1997. The proof utilizes classical congruences and a WZ pair due to Guillera. Additionally, we mention some future directions concerning this type of supercongruence.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On van Hamme's (A.2) and (H.2) supercongruences
1997年，van Hamme证明了13个Ramanujan型超同余，标号为（A.2）-（M.2）。利用Sigma发现的一些组合恒等式，我们将（A. 2）和（H. 2）推广到素数$p\equiv 3\pmod{4}$的模$p^4$超同余，这似乎是新的.
Refinements of Van Hamme's (E.2) and (F.2) supercongruences and two supercongruences by Swisher
该研究利用更一般的WZ对，将Van Hamme的(E.2)、(F.2)超同余式及Swisher的两个超同余式推广到奇素数$p$的模$p^4$情形，且推广结果与Euler多项式相关，同时提出了相关$q$-同余猜想供后续研究。
q-analogues of the G.2 Supercongruence of Van Hamme
该研究受同余与q-同余研究启发，用创造性显微术方法首次给出Van Hamme的（G.2）超同余的两种直接q-模拟，还提出了与Swisher的Dwork型超同余（G.3）相关的猜想。
$q$-Analogues of Dwork-type supercongruences
1997年，Van Hamme证明了13个Ramanujan型超同余。所有的13个超同余都已被广泛的方法所证实。2015年，Swisher证明了与Van Hamme的前12个超同余相关的Dwork型超同余。本文通过建立Swisher的（C.3）和（J.3）超同余的$q$ -模拟，证明了Swisher的（C.3）和（J.3）超同余是真模$p^{3r}$（原模为$p^{4r}$）.我们的证明将使用作者最近与Zudilin合作介绍的创造性显微镜方法。我们还对Van Hamme的（M.2）超同余的等价形式的$q$ -类似物提出了一些讨论，部分回答了[Adv. Math. 346（2019），329- 358]结尾的一个问题。
A $q$-Analogue of a Supercongruence Related to Van Hamme's (B.2) Supercongruence
受Li和Wang在$q$-框架下对Van Hamme (C.2)超同余式参数推广的启发，建立了最近作者得到的与Van Hamme (B.2)超同余式相关的超同余式的$q$-模拟，并通过$q$-WZ方法构造合适的超几何函数对，推导了这些$q$-超同余式的参数扩展。
On the supercongruence conjectures of van Hamme
在1997年，范·哈姆为素数$p$开发了$p-$进类比，它将超几何级数与最初由拉马努金研究的Γ函数的值联系起来。这些类似物将超几何级数的截断和与$p-$ adic Γ函数的值联系起来，称为Ramanujan型超同余。在所有，凡Hamme estretured 13这样的公式，其中三个是证明了凡Hamme自己，和其他五个已证明最近使用广泛的方法。在这里，我们将探讨剩下的五个van Hamme超同余中的四个，重新审视一些已证明的超同余，并提供一些扩展。
$q$-Analogues of some supercongruences related to Van Hamme's (E.2) and (F.2) supercongruences
本文给出Van Hamme的(E.2)和(F.2)超同余相关超同余的单参数扩展，利用creative microscoping方法和Jackson的${}_{6}\phi_{5}$求和公式推导了分圆多项式三次方模的q-超同余。
Proof of Two Conjectural $q$-Supercongruences Related to Van Hamme's $\mathrm{(G.2)}$ Supercongruence
本文证明了与Van Hamme的(G.2)超同余相关的两个q-超同余猜想，即Tang的猜想和Wang与Xu的猜想，完成了同余式的扩展与验证。
A further $q$-generalization of the (C.2) and (G.2) supercongruences of Van Hamme
本文利用q-Zeilberger算法，建立(C.2)和(G.2)超同余的q-推广，推导出涉及伯努利数的q-超同余，并改进(G.2)超同余结果。
A refined $q$-analogue of some congruences of Van Hamme
本文受 Guo 近期工作启发，为 Van Hamme 的 (B.2)、(E.2)、(F.2) 超同余式建立了统一的 q-模拟，并由此导出与 Euler 多项式相关的含参数超同余式。
Streamlined WZ method proofs of Van Hamme supercongruences
本文提出一种通过WZ方法证明Van Hamme超同余式的程序，利用p进近似和Gosper算法实现统一证明及扩展。
$q$-Analogues of some supercongruences related to generalized Van Hamme-type supercongruences
本文采用q-望远镜技术建立含q移位阶乘的超同余，给出Jana与Kalita所得两类超同余的q-模拟，拓展了广义范·哈梅型超同余的相关研究。
Proof of two supercongruences conjectured by Z.-W. Sun
本文证明了Z.- W.太阳通过Wilf-Zeilberger方法。其中之一是，对于任何一个素$p>3$，\begin{align*} \sum_{n=0}^{p-1}\frac{6n+1}{256^n}\binom{2n}n^3&\equiv p(-1)^{(p-1)/2}-p^3E_{p-3}\pmod{p^4}. \end{align*}，实际上，这个超同余是范·哈姆超同余的一个推广。
Some congruences related to a congruence of Van Hamme
我们建立了一些与Van Hamme的超同余相关的超同余，如\begin{align*} \sum_{k=0}^{(p+1)/2} (-1)^k (4k-1)\frac{(-\frac{1}{2})_k^3}{k!^3} &\equiv p(-1)^{(p+1)/2}+p^3(2-E_{p-3})\pmod{p^{4}},\\ \sum_{k=0}^{(p+1)/2} (4k-1)^5 \frac{(-\frac{1}{2})_k^4}{k!^4} &\equiv 16p\pmod{p^{4}}, \end{align*}，其中$p$是奇素数，$E_{p-3}$是$(p-3)$ -第欧拉数.我们的证明使用了Z的一些同余式。W. Sun的方法、Wilf-Zeilberger方法、Whipple的$_7F_6$变换和Schneider开发的软件包{ \tt Sigma}。并提出了两个相关的建议。
Some q-analogues of (super)congruences of Beukers, Van Hamme and Rodriguez-Villegas
对任意奇素数p，我们得到了Van Hamme超同余的q-模拟：$$ \sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}{2k\choose k}^3\frac{1}{64^k} \equiv 0 \pmod{p^2} \quad\text{for}\quad p\equiv 3\pmod 4, $$和Rodriguez-Villegas的含三个二项式系数乘积的Beukers超同余.例如，我们证明了\begin{align*} \sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}} {2k\brack k}_{q^2}^3 \frac{q^{2k}}{(-q^2;q^2)_k^2 (-q;q)_{2k}^2} &\equiv 0\pmod{[p]^2} \quad\text{for}\quad p\equiv 3\pmod 4, \\ \sum_{k=0}^{\frac{p-1}{2}}{2k\brack k}_{q^3}\frac{(q;q^3)_k (q^{2};q^3)_{k} q^{3k} }{ (q^{6};q^{6})_k^2 } &\equiv 0 \pmod{[p]^2}\quad\text{for}\quad p\equiv 2\pmod{3}, \end{align*}，其中$[p]=1+q+\cdots+q^{p-1}$、$(a;q)_n=(1-a)(1-aq)…
Hypergeometric evaluation identities and supercongruences
本文给出了一个超几何赋值恒等式的应用，包括一个奇异赋值的Gogleman，证明了与截断超几何级数的特殊赋值有关的几个超同余.特别地，我们证明了van Hamme的一个猜想。
Mosaic supercongruences of Ramanujan-type
我们推广了L. Van Hamme和W. Zudilin对级数中涉及简单平方根的任何地方求和而不求唯一的结果。为了支持我们的观察，我们给出了一些例子。
Some supercongruences occurring in truncated hypergeometric series
超同余是指终止超几何级数与$p$ -adic Γ函数的同元之间的同余，其强于人们期望用交换形式群定律证明的那些同元。我们利用经典的超几何变换公式证明了一些这样的超同余。这些公式（见附录），其中大多数是几十年或几百年前的，允许我们将终止级数写成$Γ$ -值的乘积的比率。在这一点上，总和已经成为一种共识。将这些$Γ$ -同余式写成$Γ_p$ -同余式，我们就处于非常适合证明$p$ -adic同余式的情形。这些$Γ_p$ -函数可以用它们的泰勒级数展开式来近似为$p$ -代数。有时会有低阶项的抵消，导致更强的同余。使用这种技术，我们证明，除其他事项外，猜想Kibelbek和加强版本的猜想范哈姆。
A refinement of a congruence result by van Hamme and Mortenson
设$p$为奇素数。2008年E. Mortenson证明了van Hamme的猜想：$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}(4k+1)\binom{-1/2}k^3\equiv (-1)^{(p-1)/2}p\pmod{p^3}.$$本文进一步证明了\begin{align*}\sum_{k=0}^{p-1}(4k+1)\binom{-1/2}k^3\equiv &\sum_{k=0}^{(p-1)/2}(4k+1)\binom{-1/2}k^3 \\\equiv & (-1)^{(p-1)/2}p+p^3E_{p-3} \pmod{p^4},\end{align*}，其中$E_0,E_1,E_2,\ldots$是欧拉数.我们还证明了，如果$p>3$，那么$$\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{20k+3}{(-2^{10})^k}\binom{4k}{k,k,k,k}\equiv(-1)^{(p-1)/2}p(2^{p-1}+2-(2^{p-1}-1)^2)\pmod{p^4}.$$
Supercongruences for Domb numbers
本文证明了Sun关于Domb数的两个超同余猜想，通过模周期和复乘理论，在惰性素数处得到模p^2可除性，在分裂素数处得到模p^3同余。
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